/1.4用一元二次方程解決問題（一）【推本溯源】1.解決應用題的一般步驟：步驟內容摘要注意事項1.審審題目，分清已知量、未知量、等量關系等等量關系往往體現在關鍵詞句中2.設設未知數，有時會用未知數表示相關的量一般要帶單位3.列根據題目中的等量關系，列出方程方程兩邊單位要統一4.解解方程，注意分式方程需檢驗，將所求量表示清晰一般不必寫出解方程的過程5.檢檢驗方程的解能否保證實際問題有意義一般兩個根中只有一個符合實際意義6.答寫出答案，切忌答非所問注意帶上單位2.解下列應用（1）已知兩個數的和等于12，積等于32，求這兩個數是多少．數字問題（1）任何一個多位數都是由數位和數位上的數組成.數位從右至左依次分別是：個位、十位、百位、千位……，它們數位上的單位從右至左依次分別為：1、10、100、1000、……，數位上的數字只能是0、1、2、……、9之中的數，而最高位上的數不能為0.因此，任何一個多位數，都可用其各數位上的數字與其數位上的單位的積的和來表示，這也就是用多項式的形式表示了一個多位數.如：一個三位數，個位上數為a，十位上數為b，百位上數為c，則這個三位數可表示為：

.

（2）幾個連續整數中，相鄰兩個整數相差1.如：三個連續整數，設中間一個數為x，則另兩個數分別為，.幾個連續偶數(或奇數)中，相鄰兩個偶數(或奇數)相差2.如：三個連續偶數(奇數)，設中間一個數為x，則另兩個數分別為，.（2）隨著國家“惠民政策”的陸續出臺，為了切實讓老百姓得到實惠，國家衛計委通過嚴打藥品銷售環節中的不正當行為，某種藥品原價200元/瓶，經過連續兩次降價后，現在僅賣98元/瓶，現假定兩次降價的百分率相同，求該種藥品平均每場降價的百分率．平均變化率問題

列一元二次方程解決增長(降低)率問題時，要理清原來數、后來數、增長率或降低率，以及增長或降低的次數之間的數量關系.如果列出的方程是一元二次方程，那么應在原數的基礎上增長或降低兩次.

①增長率問題：平均增長率公式為(a為原來數，x為平均增長率，n為增長次數，b為增長后的量.)

②.降低率問題：平均降低率公式為(a為原來數，x為平均降低率，n為降低次數，b為降低后的量.)

（3）有一個人患了新冠肺炎，經過兩輪傳染后共有169人患了新冠肺炎，那么每輪傳染中平均傳染了多少人？傳播問題：從傳播的第二輪中可以抽象出一元二次方程，設a為傳染源，x為每個傳染源傳播的個數，則傳播兩輪后感染總個數為.（4）如圖，一農戶要建一個矩形豬舍，豬舍的一邊利用長為12m的住房墻，另外三邊用25m長的建筑材料圍成，為方便進出，在垂直于住房墻的一邊留一個1m寬的門，所圍矩形豬舍的長、寬分別為多少時，豬舍面積為80m2？幾何圖形問題各種規則圖形的面積、體積、周長公式，常涉及三角形的三邊關系、三角形全等、勾股定理等。列一元二次方程解應用題是把實際問題抽象為數學問題（列方程），然后由數學問題的解決而獲得對實際問題的解決.這是在解決實際問題時常用到的數學思想—方程思想（5）某商品現在的售價為每件60元，每星期可賣出300件．市場調查反映：每降價1元，每星期可多賣出20件．已知商品的進價為每件40元，在顧客得實惠的前提下，商家還想獲得6080元的利潤，應將銷售單價定位多少元？商品銷售問題利潤=售價-進價(成本)

總利潤=每件的利潤×總件數

【解惑】例1：若某兩位數的十位數字是方程的根，則它的十位數字是_____．例2：有一人患了流感，經過兩輪傳染后共有169人患了流感，每輪傳染中平均一個人傳染了___人．例3：如圖，在一塊長米、寬米的矩形空地上，修建兩條同樣寬的相互垂直的道路，剩余部分栽種花草．要使綠化面積為平方米，則修建的路寬應是多少米？

例4：如果不防范，病毒的傳播速度往往很快，有一種病毒人感染后，經過兩輪傳播，共有人感染．(1)平均每人每輪感染多少人？(2)第二輪傳播后，人們加強防范，使病毒的傳播力度減少到原來的，這樣第三輪傳播后感染的人數只是第二輪傳播后感染人數的倍，求的值．例5：一款服裝每件進價為80元，銷售價為120元時，每天可售出20件，為了擴大銷售量，增加利潤，經市場調查發現，如果每件服裝降價1元，那么平均每天可多售出2件．(1)設每件衣服降價x元，則每天銷售量增加______件，每件商品盈利________元（用含x的代數式表示）；(2)在讓利于顧客的情況下，每件服裝降價多少元時，商家平均每天能盈利1200元；(3)商家能達到平均每天盈利1500元嗎？請說明你的理由．【摩拳擦掌】1．三國時期的數學家趙爽在其所著的《勾股圓方圖注》中記載了一元二次方程的幾何解法，例如可構造如圖所示的圖形求解方程，這一過程體現的數學思想是（

）

A．統計思想 B．化歸思想 C．分類討論思想 D．數形結合思想2．為大力實施城市綠化行動，某小區規劃設置一片面積為1000平方米的矩形綠地，并且長比寬多30米，設綠地長為x米，根據題意可列方程為（

）A． B． C．D．3．據國家統計局發布的《2022年國民經濟和社會發展統計公報》顯示，2020年和2022年全國居民人均可支配收入分別為3.2萬元和3.7萬元．設2020年至2022年全國居民人均可支配收入的年平均增長率為x，依題意可列方程為（

）A． B．C． D．4．一人患了流感，經過兩輪傳染后共有121個人患了流感，每輪傳染中平均一個人傳染幾個人？設每輪傳染中平均一個人傳染個人．根據題意列出方程為（

）A． B．C． D．5．參加宴會的人兩兩彼此握手，在某次宴會中，出席宴會的人一共握了次手，那么出席這次宴會的人數是________人．6．（2023·山西大同·大同一中校考模擬預測）2023“全晉樂購”網上年貨節活動期間，某商家購進一批進價為80元/盒的呂梁沙棘汁，按150元/盒的價格進行銷售，每天可售出160盒．后經市場調查發現，當每盒價格降低1元時，每天可多售出8盒．若要每天盈利16000元，設每盒價格降低元，則可列方程為___________．7．（2023·全國·九年級假期作業）一個兩位數，個位數字比十位數字少1，且個位數字與十位數字的乘積等于72，則這個兩位數是_____．8．（2023秋·廣東惠州·九年級統考期末）某商場一種商品的進價為每件30元，售價為每件40元，每天可以銷售48件，為盡快減少庫存，商場決定降價促銷．(1)若該商品連續兩次下調相同的百分率后售價降至每件元，求兩次下降的百分率；(2)經調查，若該商品每降價元，每天可多銷售4件，那么每天要想獲得512元的利潤，每件應降價多少元？9．（2023·全國·九年級假期作業）一個兩位數是一個一位數的平方，把這個一位數放在這個兩位數的左邊所成的三位數，比把這個一位數放在這個兩位數的右邊所成的三位數大，求這個兩位數．10．（2020秋·廣東清遠·九年級期末）如圖，某中學準備在校園里利用圍墻的一段，再砌三面墻，圍成一個矩形花園（圍墻最長可利用），現在已備足可以砌長的墻的材料．(1)當長度是多少時，矩形花園的面積為米；(2)能否圍成矩形花園面積為米，為什么？11．（2023·河南開封·統考一模）閱讀材料，解決問題．相傳古希臘畢達哥拉斯學派的數學家經常在沙灘上研究數學問題．他們在沙灘上畫點或用小石子來表示數，比如，他們研究過1、3、6、10…，由于這些數可以用圖中所示的三角點陣表示，他們就將每個三角點陣中所有的點數和稱為三角數．則第n個三角數可以用（且為整數）來表示．(1)若三角數是55，則______；(2)把第n個三角點陣中各行的點數依次換為2，4，6，…，2n，…，請用含n的式子表示前n行所有點數的和；(3)在（2）中的三角點陣中前n行的點數的和能為120嗎？如果能，求出n，如果不能，請說明理由．12．（2023·上海·八年級假期作業）一個兩位數，它們的十位數字與個位數字之和為，如果把十位數字與個位數字調換后，所得的兩位數乘以原來的兩位數就得，求原來的兩位數．【知不足】1．（2023·江蘇南通·統考二模）有人患了流感后，經過兩輪傳染后共有人患了流感，每輪傳染中平均一個人傳染了幾個人？設每輪傳染中平均一個人傳染了人，則根據題意可列方程（

）A． B． C． D．2．（2023秋·廣東惠州·九年級統考期末）參加一次活動的每個人都和其他人各握了一次手，所有人共握手10次，有多少人參加活動？設有人參加活動，可列方程為（）A． B． C． D．3．（2023·全國·九年級假期作業）如圖，在一塊長，寬的矩形耕地上挖三條水渠（水渠的寬都相等），水渠把耕地分成6個矩形小塊（陰影部分），如果6個矩形小塊的面積和為，那么水渠應挖多寬？若設水渠應挖xm寬，則根據題意，下面所列方程中正確的是（

）

A． B．C． D．4．（2023春·浙江·八年級階段練習）如圖所示，…都是直角三角形，請細心觀察圖形，認真分析各式，然后解答問題．；；；請用含有n（n是正整數）的等式表示上述變化規律：_________．若，則___________．5．（2023·黑龍江哈爾濱·統考三模）某件服裝廠促銷一種服裝，原來每件每件售價為200元，經過連續兩次降價后，該種服裝每件售價為98元，則平均每次降價的百分率為__________．6．（2023·全國·九年級假期作業）某新建工業園區今年六月份提供就業崗位個，并按計劃逐月增長，預計八月份將提供崗位個．設七、八兩個月提供就業崗位數量的月平均增長率為，根據題意，可列方程為___________．7．（2023·重慶·統考中考真題）為了加快數字化城市建設，某市計劃新建一批智能充電樁，第一個月新建了301個充電樁，第三個月新建了500個充電樁，設該市新建智能充電樁個數的月平均增長率為，根據題意，請列出方程________．8．（2023·上海·八年級假期作業）某商場銷售一批襯衫，進貨價為每件元，按每件元出售，一個月內可售出件．已知這種襯衫每件漲價元，其銷售量要減少件．為了減少庫存量，且在月內賺取元的利潤，售價應定為每件多少元？9．（2023·全國·九年級假期作業）要建一個面積為的長方形養雞場，為了節省材料，養雞場的一邊利用原有的一道墻，另三邊用鐵絲網圍成，如果鐵絲網的長為．

(1)若墻足夠長，則養雞場的長與寬各為多少？(2)若給定墻長為，則墻長a對題目的解是否有影響？10．（2023·上海·八年級假期作業）圣誕節昂立師生互送賀卡，總共送出張，求昂立共有師生多少人？11．（2023春·八年級單元測試）如圖，用籬笆靠墻圍成矩形花圃，一面利用舊墻，其余三面用籬笆圍，墻可利用的最大長度為，籬笆長為，設平行于墻的邊長為．(1)若圍成的花圃面積為時，求的長；(2)如圖，若計劃在花圃中間用一道籬笆隔成兩個小矩形，且花圃面積為，請你判斷能否圍成花圃，如果能，求的長；如果不能，請說明理由．12．（2023春·北京東城·八年級匯文中學校考期中）三國時期的數學家趙爽在其所著的《勾股圓方圖注》中記載了用幾何法對一元二次方程進行求解的方法，以為例，大致過程如下：第一步：將原方程變形為．即．第二步：構造一個長為，寬為的長方形，長比寬大2，且面積為3，如圖①所示．第三步：用四個這樣的長方形圍成一個大正方形，中間是一個小正方形，如圖②所示．第四步：將大正方形邊長用含的代數式表示為______．小正方形邊長為常數______，長方形面積之和為常數______．由觀察可得，大正方形面積等于四個長方形與小正方形面積之和，得方程______，兩邊開方可求得，．

(1)第四步中橫線上應依次填入______，______，______，______；(2)請參考古人的思考過程，畫出示意圖，寫出步驟，解方程．13．（2023·湖南郴州·統考中考真題）隨旅游旺季的到來，某景區游客人數逐月增加，2月份游客人數為1.6萬人，4月份游客人數為2.5萬人．(1)求這兩個月中該景區游客人數的月平均增長率；(2)預計5月份該景區游客人數會繼續增長，但增長率不會超過前兩個月的月平均增長率．已知該景區5月1日至5月21日已接待游客2.125萬人，則5月份后10天日均接待游客人數最多是多少萬人？【一覽眾山小】1．（2023·浙江·一模）取一張長與寬之比為的長方形紙板，剪去4個邊長為的小正方形（如圖），并用它做一個無蓋的長方體形狀的包裝盒．要使包裝盒的容積為（紙板的厚度略去不計），則這張長方形紙板的周長為（

）

A． B． C． D．2.（2023·全國·九年級假期作業）如圖，學校課外生物小組的試驗園地的形狀是長35米、寬20米的矩形，為便于管理，要在中間開辟一橫兩縱共三條等寬的小道，使種植面積為600平方米，則小道的寬為多少米？若設小道的寬為米，則根據題意，列方程為()BC．D．3．（2023·重慶·西南大學附中校考三模）某中學連續3年開展植樹活動，已知第一年植樹500棵，第三年植樹720棵，若設該校這兩年植樹棵數的年平均增長率為x，根據題意，下面所列方程正確的是（

）A． B．C． D．4．（2023·湖南永州·統考中考真題）某縣年人均可支配收入為萬元，年達到萬元，若年至年間每年人均可支配收入的增長率都為，則下面所列方程正確的是（

）A． B．C． D．5．（2023·全國·九年級假期作業）有一個人患了流感，經過兩輪傳染后共有121個人患了流感，每輪傳染中平均一個人傳染了（

）個人．A．8 B．9 C．10 D．116．（2023·山西運城·山西省運城中學校校考三模）如圖，將一張正方形鐵皮的四個角同時切去邊長為2的四個小正方形，制成一個無蓋箱子，若箱子的底面邊長為，原正方形鐵皮的面積為，則無蓋箱子的外表面積為（）

A．1 B．4 C．6 D．97．（2023·全國·九年級假期作業）空地上有一段長為a米的舊墻，工人師傅欲利用舊墻和木棚欄圍成一個封閉的長方形菜園（如圖），已知木柵欄總長為40米，所圍成的長方形菜園面為S平方米．若，，則（）

A．有一種圍法 B．有兩種圍法 C．不能圍成菜園 D．無法確定有幾種圍法8．（2023·河南駐馬店·統考三模）如圖，在平面直角坐標系中，矩形的邊在y軸上，邊在x軸上，點B的坐標是，D為邊上一個動點，把沿折疊，若點A的對應點恰好落在矩形的對角線上，則點的坐標為（

）

A． B． C． D．9．（2023·湖南·統考中考真題）某校截止到年底，校園綠化面積為平方米．為美化環境，該校計劃年底綠化面積達到平方米．利用方程想想，設這兩年綠化面積的年平均增長率為，則依題意列方程為__________．10．（2023·內蒙古·二模）端午節又稱端陽節，是中華民族重要的傳統節日，我國各地都有吃粽子的習俗，某超市以9元每袋的價格購進一批棕子，根據市場調查，售價定為每袋15元，每天可售出200袋；若售價每降低1元，則可多售出70袋，問此種粽子售價降低多少元時，超市每天售出此種粽子的利潤可達到1360元？若設每袋棕子售價降低x元，則可列方程為____________．11．（2021秋·廣東河源·七年級校考期中）某批發店將進價為元的小商品按元賣出時，可賣出件，已知這種商品每件漲價元，其銷售量就減少件．若要賺得元利潤，設每件漲價元，則滿足方程____．12．（2023·全國·九年級假期作業）如圖，在寬為，長為的矩形地面上修建兩條同樣寬且互相垂直的道路，其余部分作為耕地為．則道路的寬為是______．13．（2023春·安徽合肥·九年級統考階段練習）某家電超市銷售一款智能水壺，平均每天可售出件，每件贏利元，為了擴大銷售，增加贏利，盡快減少庫存，超市決定采取適當的降價措施，經調查發現，如果每件水壺每降價元，超市平均每天可多售出件，若超市銷售水壺平均每天要贏利元，每件水壺應降價多少元？14．（2023·全國·九年級假期作業）某書店銷售一本科普讀物，進價為每本16元，若按每本30元銷售，平均每月能賣出200本．經市場調研發現，在不虧本的情況下，為減少庫存，若每本售價降低1元，則平均每月可多賣出20本．設每本科普讀物的售價降低元．(1)小宇說：“既然降價銷售，薄利多銷，那么就有可能賣出600本．”請判斷小宇的說法是否正確，并說明理由；(2)若該書店銷售此科普讀物想平均每月的銷售利潤為2860元，銷售經理甲說：“在原售價的基礎上降低3元，可以完成任務”，銷售經理乙說：“在原售價的基礎上降低1元即可”，請判斷甲、乙兩人的說法是否正確并指出應采取誰的意見．15．（2023春·江蘇·八年級期末）某體育用品店銷售一種運動鞋，當每雙的零售價為300元時，每天能賣出10雙，經過調研發現，當單價降低10元，每天就能多賣出10雙，但是單價不能低于200元，按此規律，如果該店某天銷售這種運動鞋的銷售額為3960，則這一天共賣出多少雙這種運動鞋？16．（2023·上海·八年級假期作業）讀詩詞解題：大江東去浪淘盡，千古風流數人物，而立之年督東吳，早逝英年兩位數，十位恰小個位三，個位平方與壽符，哪位學子算得快，多少年華屬周瑜？（提示：三十而立，四十而不惑）17．（2023·陜西咸陽·統考三模）如圖，某小區矩形綠地的長寬分別為30m，20m．現計劃對其進行擴充，將綠地的長、寬增加相同的長度后，得到一個新的矩形綠地．若擴充后的矩形綠地面積為，求新的矩形綠地的長與寬．

18．（2023·全國·九年級假期作業）春季是傳染病多發季節．2023年3月，我國某地甲型流感病毒傳播速度非常快，開始有4人被感染，經過兩輪傳播后，就有256人患了甲型流感．若每輪傳染的速度相同，求每輪每人傳染的人數．19．（2023·全國·九年級專題練習）閱讀材料，回答下列問題：反序數：有這樣一對數，一個數的數字排列完全顛倒過來變成另一個數，簡單的說，就是順序相反的兩個數，我們把這樣的一對數稱為“反序數”，比如：的反序數是，的反序數是．用方程知識解決問題：若一個兩位數，其十位上的數字比個位上的數字大3，這個兩位數與其反序數之積為，求這個兩位數．20．（2023秋·遼寧大連·九年級統考期末）有一個人患了流感，經過兩輪感染后共有81個人患了流感．(1)求每輪感染中平均一個人會傳染了幾個人？(2)如果按這樣的傳染速度，經過三輪感染后共有多少個人患流感？

1.4用一元二次方程解決問題教材知識總結教材知識總結列一元二次方程解應用題的一般步驟1.利用方程解決實際問題的關鍵是尋找等量關系.

2.解決應用題的一般步驟：

審(審題目，分清已知量、未知量、等量關系等)；

設(設未知數，有時會用未知數表示相關的量)；

列(根據題目中的等量關系，列出方程)；

解(解方程，注意分式方程需檢驗，將所求量表示清晰)；驗（檢驗方程的解能否保證實際問題有意義）

答(寫出答案，切忌答非所問).

【點撥】列方程解實際問題的三個重要環節：

一是整體地、系統地審題；

二是把握問題中的等量關系；

三是正確求解方程并檢驗解的合理性.

一元二次方程應用題的主要類型1.數字問題(1)任何一個多位數都是由數位和數位上的數組成.數位從右至左依次分別是：個位、十位、百位、千位……，它們數位上的單位從右至左依次分別為：1、10、100、1000、……，數位上的數字只能是0、1、2、……、9之中的數，而最高位上的數不能為0.因此，任何一個多位數，都可用其各數位上的數字與其數位上的單位的積的和來表示，這也就是用多項式的形式表示了一個多位數.如：一個三位數，個位上數為a，十位上數為b，百位上數為c，則這個三位數可表示為：100c+10b+a.

(2)幾個連續整數中，相鄰兩個整數相差1.

如：三個連續整數，設中間一個數為x，則另兩個數分別為x-1，x+1.幾個連續偶數(或奇數)中，相鄰兩個偶數(或奇數)相差2.如：三個連續偶數(奇數)，設中間一個數為x，則另兩個數分別為x-2，x+2.

2.平均變化率問題

列一元二次方程解決增長(降低)率問題時，要理清原來數、后來數、增長率或降低率，以及增長或降低的次數之間的數量關系.如果列出的方程是一元二次方程，那么應在原數的基礎上增長或降低兩次.

(1)增長率問題：平均增長率公式為(a為原來數，x為平均增長率，n為增長次數，b為增長后的量.)

(2)降低率問題：平均降低率公式為(a為原來數，x為平均降低率，n為降低次數，b為降低后的量.)

3.利息問題

(1)概念：

本金：顧客存入銀行的錢叫本金；利息：銀行付給顧客的酬金叫利息；本息和：本金和利息的和叫本息和；

期數：存入銀行的時間叫期數；利率：每個期數內的利息與本金的比叫利率。

(2)公式:利息=本金×利率×期數；利息稅=利息×稅率；本金×(1+利率×期數)=本息和；本金×[1+利率×期數×(1-稅率)]=本息和(收利息稅時)

4.利潤(銷售)問題

利潤(銷售)問題中常用的等量關系：利潤=售價-進價(成本)；總利潤=每件的利潤×總件數

5.形積問題

此類問題屬于幾何圖形的應用問題，解決問題的關鍵是將不規則圖形分割或組合成規則圖形，根據圖形的面積或體積公式，找出未知量與已知量的內在關系并列出方程。看例題，漲知識看例題，漲知識【例題1】某種病毒傳播速度非常快，如果最初有兩個人感染這種病毒，經兩輪傳播后，就有五十個人被感染，求每輪傳播中平均一個人會傳染給幾個人？若病毒得不到有效控制，三輪傳播后將有多少人被感染？【答案】每輪傳播中平均一個人會傳染給4個人，若病毒得不到有效控制，三輪傳播后將有250人被感染【分析】設每輪傳播中平均一個人會傳染給x個人，則第一輪會傳染給2x人，第二輪會傳染給人，再根據經兩輪傳播后，就有五十個人被感染列出方程求解即可．【解析】解：設每輪傳播中平均一個人會傳染給x個人，則第一輪會傳染給2x人，第二輪會傳染給人，依題意得：，整理得：，解得：，（不合題意，舍去），∴（人）.答：每輪傳播中平均一個人會傳染給4個人，若病毒得不到有效控制，三輪傳播后將有250人被感染【例題2】重慶地鐵18號線一共設站29座，總投資約102億元其中，楊家坪與石坪橋區何標段隧道總長1000米，由于此標段經過商圈和高層密集區域，隧道挖掘難度大．為了協助九龍坡區爭創“全國文明城區”，盡快完成標段的施工，施工單位加快了此標段隧道挖掘速度．(1)若施工單位將挖掘速度提升到了原速度的倍，則比原計劃提前50天完成隧道挖掘任務．求原計劃每天挖掘繼道多少米？(2)2021年初工程隊開始進行隧道挖掘工作，按照（1）中提速后的速度挖掘隧道，每天挖掘隧道的費用為40萬元．隧道挖通后，施工單位進行其他項目的施工，到2021年底，其他項目施工總費用為2000萬元．為了盡快完成所有工程，施工單位計劃在2021年總投資額（即挖掘隧道總費用和其他項目總費用之和）基礎上繼續增加投資額，預計從2021年初到2023年底，三年累計共完成4.75億元的投資額．設2022年和2023年這兩年的總投資額年平均增長率為m，求m的值．【答案】(1)4米；(2)【分析】（1）設原計劃每天挖x米，根據題意列方程求解即可；（2）由題可得，提速后的速度為米，則要挖天，根據題意列方程求解即可．【解析】(1)解：設原計劃每天挖x米，則解得經檢驗，是所列方程的解答：原計劃每天挖4米隧道．(2)解：由題可得，提速后的速度為米，則要挖天則挖隧道的總費用為億元，所以2021年總投資額為億元，則由題可得解得或（舍）答：的值為．【例題3】對于任意一個三位數，如果滿足各個數位上的數字都不為零，且十位上的數字的平方等于百位上的數字與個位上的數字之積的4倍，那么稱這個數為“方積數”．例如：，因為，所以484是“方積數”．(1)請通過計算判斷263是不是“方積數”，并直接寫出最小的“方積數”．(2)已知一個“方積數”（，其中，，為自然數），若是一元二次方程的一個根，是一元二次方程的一個根，且，求滿足條件的所有的值．【答案】(1)263不是方積數，121(2)121，242，363，484【分析】（1）由題意代入驗證即可解答；（2）求出m與n互為倒數，又m＋n＝?2，得出m＝?1，n＝?1，求出b＝a＋c，a＝c，結合方積數的定義即可得出答案【解析】(1)∵62＝36，4×2×3＝24，36≠24∴263不是方積數；∵各個數位上的數字都不為零，百位上的數字與個位上的數字之積的4倍，∴十位上的數字的平方最小為4，∵22＝4，4×1×1＝4，∴最小的“方積數”是121；(2)∵k＝100a＋10b＋c是方積數，∴b2＝4ac，即b2﹣4ac＝0，∵x＝m是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的一個根，x＝n是一元二次方程cx2＋bx＋a＝0的一個根，∴am2＋bm＋c＝0，cn2＋bn＋a＝0，將cn2＋bn＋a＝0兩邊同除以n2得：a（）2＋b（）＋c＝0，∴將m、看成是方程ax2＋bx＋c＝0的兩個根，∵b2﹣4ac＝0，∴方程ax2＋bx＋c有兩個相等的實數根，∴m＝，即mn＝1，∵m＋n＝﹣2，∴m＝﹣1，n＝﹣1，∴a﹣b＋c＝0，∴b＝a＋c，∵b2＝4ac，∴（a＋c）2＝4ac，解得：a＝c，∴滿足條件的所有k的值為121，242，363，484．【例題4】某水果店以每千克30元出售一批草莓．一位顧客購買了2千克草莓，水果店獲得利潤20元．(1)求草莓的進價為每千克多少元？(2)己知該水果店第一天以每千克30元的單價售出草莓30千克．為了讓顧客獲得實惠，第二天水果店決定把草莓降價促銷，若在第一天銷售單價的基礎上每降價1元，第二天的草莓銷量就會在第一天銷量的基礎上增加6千克．通過這兩天的銷售，這批草莓全部售完，水果店銷售完這批草莓的利潤一共為600元，求第二天的草莓每千克降價多少元？【答案】(1)草莓的進價為每千克20元(2)第二天的草莓每千克降價5元【分析】（1）設草莓的進價為每千克x元，然后根據利潤=（售價-進價）×數量列出方程求解即可；（2）設第二天的草莓每千克降價m元，然后根據利潤=（售價-進價）×數量列出方程求解即可．【解析】(1)解：設草莓的進價為每千克x元，由題意得：，解得，∴草莓的進價為每千克20元，答：草莓的進價為每千克20元；(2)解：設第二天的草莓每千克降價m元，由題意得，解得或（舍去），∴第二天的草莓每千克降價5元，答：第二天的草莓每千克降價5元．課后習題鞏固一下課后習題鞏固一下一、單選題1．某蔬菜種植基地2020年蔬菜產量為40噸，預計2022年蔬菜產量比2021年增加20噸．若蔬菜產量的年平均增長率為x，則下面所列的方程正確的是（

）．A． B． C． D．【答案】A【分析】設平均每次增長的百分率為x，根據“2020年蔬菜產量為40噸，預計2022年蔬菜產量比2021年增加20噸”，即可得出方程．【解析】解：設蔬菜產量的年平均增長率為x，則可列方程為40（1+x）x=20，故選：A．2．冰墩墩是2022年北京冬季奧運會的吉祥物，其以國寶熊貓為原型設計創作，將熊貓憨態可掬的形象與富有超能量的冰晶外殼相結合，體現了冬季冰雪運動和現代科技的特點，一經開售供不應求．已知該款吉祥物在某電商平臺上2月4日的銷售量為5000個，2月5日和2月6日的總銷售量是22500個．若2月5日和6日較前一天的增長率均為x，則x滿足的方程是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據題意分別表示出2月5日和2月6日的銷量，進而相加得出等式即可．【解析】解：根據題意可得：2月5日的銷量為：5000（1+x），2月6日的銷量為：5000（1+x）（1+x）=5000（1+x）2，故5000（1+x）+5000（1+x）2=22500．故選：D．3．某市2019年底森林覆蓋率為45%．為貫徹落實“綠水青山就是金山銀山”的發展理念，弘揚“塞罕壩”精神．該市大力開展植樹造林活動，2021年底森林覆蓋率達到80%，如果這兩年森林覆蓋率的年平均增長率為x，那么，下列符合題意的方程是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用2021年底森林覆蓋率=2019年底森林覆蓋率×（1+這兩年的森林覆蓋率年平均增長率）2，即可得出關于x的一元二次方程，此題得解．【解析】解：依題意得：45%（1+x）2=80%，即0.45（1+x）2=0.8．故選：B．4．某市積極響應國家的號召“房子是用來住的，不是用來炒的”，在宏觀調控下，商品房成交價由今年1月份的每平方米10000元下降到3月份的每平方米8100元，且今年房價在2月份、3月份、4月份的下降率保持一致，則4月份的房價單價為每平方米（

）．A．7300元 B．7290元 C．7280元 D．7270元【答案】B【分析】設房價的下降率為x，根據“商品房成交價由今年1月份的每平方米10000元下降到3月份的每平方米8100元，”列出方程，即可求解．【解析】解：設房價的下降率為x，根據題意得：，解得：（舍去）∴房價的下降率為10%，∴4月份的房價單價為每平方米元．故選：B．二、填空題5．我國南宋數學家楊輝在1275年提出的一個問題：“直田積（矩形面積）八百六十四步（平方步），只云闊（寬）不及長一十二步（寬比長少一十二步），問闊及長各幾步？若設闊（寬）為x步，則可列方程______．【答案】x（x+12）=864【分析】利用長乘以寬=864，列出方程即可得出答案．【解析】解：設闊（寬）為x步，則所列方程為：x（x+12）=864．故答案為：x（x+12）=864．6．為增強學生身體素質，某校開展籃球比賽，賽制為單循環形式（每兩隊之間賽一場）．現計劃安排36場比賽，應安排多少個球隊參賽？設安排個球隊參賽，根據題意，可列方程為__．【答案】【分析】賽制為單循環形式（每兩隊之間都賽一場），x個球隊比賽總場數為x（x﹣1），即可列方程．【解析】解：依題意得：．故答案為：．三、解答題7．為了響應“踐行核心價值觀，傳遞青春正能量”的號召，小穎決定走入社區號召大家參加“傳遞正能量志愿服務者”．假定從一個人開始號召，每一個人每周能夠號召相同的m個人參加，被號召參加的人下一周會繼續號召，兩周后，將有121人被號召成為“傳遞正能量志愿服務者”．(1)求出m的值；(2)經過計算后，小穎、小紅、小麗三人開始發起號召，但剛剛開始，他們就發現了問題，實際號召過程中，不是每一次號召都可以成功，而他們三人的成功率也各不相同，已知小紅的成功率比小穎的兩倍少10%，第一周后小麗比小穎多號召2人，三人一共號召17人，其中小穎號召了n人．請分別求出他們三人號召的成功率．【答案】(1)10(2)所以小穎的成功率為，小紅的成功率為，小麗的成功率為【分析】（1）根據“每一個人每周能夠號召相同的m個人參加，被號召參加的人下一周會繼續號召，兩周后，將有121人被號召成為“傳遞正能量志愿服務者”．”列出方程，即可求解；（2）根據題意，得小穎號召了n人.小麗號召了（n+2）人，小紅號召了[17-（n+2）-n]=（15-2n）人，從而得到小穎的成功率為，小紅的成功率為，小麗的成功率為，再根據“小紅的成功率比小穎的兩倍少10%，”列出方程，即可求解．【解析】(1)解：根據題意得：m（m+1）+m+1=121，即（m+1）2=121，∴m+1=±11，解得：m1=10，m2=-12（舍去）答：m的值為10；(2)解：根據題意，得小穎號召了n人，小麗號召了（n+2）人，小紅號召了[17-（n+2）-n]=（15-2n）人，∴小穎的成功率為，小紅的成功率為，小麗的成功率為，∵小紅的成功率比小穎的兩倍少10%，∴，解得：n=4，∴所以小穎的成功率為，小紅的成功率為，小麗的成功率為，答：所以小穎的成功率為，小紅的成功率為，小麗的成功率為．8．深圳著名“網紅打卡地”東部華僑城在2018年春節長假期間，接待游客達20萬人次，預計在2020年五一長假期間，接待游客獎達28.8萬人次．一家特色小面店希望在五一長期限期間獲得好的收益，經測算知，該小面成本價為每碗6元，借鑒經驗：若每碗賣25元，平均每天將銷售300碗，若價格每降低1元，則平均每天多銷售30碗．(1)求出2018至2020年五一長假期間游客人次的年平均增長率；(2)為了更好地維護深圳城市形象，店家規定每碗售價不得超過20元，則當每碗售價定為多少元時，店家才能實現每天利潤6300元？【答案】(1)20%；(2)20元【分析】（1）設年平均增長率為x，根據題意列出方程求解即可；（2）根據每碗的利潤乘以數量列出方程求解即可．【解析】(1)解：設年平均增長率為x，依題意有20（1＋x）2＝28.8，解得x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（舍去）．答：年平均增長率為20%；(2)每碗售價定為y元時，店家才能實現每天利潤6300元，依題意有（y﹣6）[300＋30（25﹣y）]＝6300，解得y1＝20，y2＝21，∵每碗售價不得超過20元，∴y＝20．答：當每碗售價定為20元時，店家才能實現每天利潤6300元．9．《生物多樣性公約》締約方大會第十五次會議于2021年10月11日至15日和2022年上半年分兩階段在昆明召開．為迎接cop15，昆明某園藝公司準備圍建一個矩形花圃，其中一邊靠墻（墻長20米），另外三邊用籬笆圍成如圖所示，所用的籬笆長為36米．(1)設垂直于墻的一邊長為x米．則平行于墻的一邊為_________米；(2)當花圃的面積為144平方米時，求垂直于墻的一邊的長為多少米？【答案】(1)36-2x(2)當花圃的面積為144平方米時，垂直于墻的一邊的長為12米【分析】（1）垂直于墻的邊長是x米，有兩條邊長，平行于墻的邊長只有一條，這樣就可以求出來；（2）花圃的面積=長×寬，令面積等于144即可求出來；【解析】(1)設垂直于墻的一邊長為x米，則平行于墻的一邊為36-2x米；(2)設花圃的面積為S平方米∴S=（36-2x）·x=144解得x=12答：當花圃的面積為144平方米時，求垂直于墻的一邊的長為12米．10．2021年7月1日是建黨100周年紀念日，在本月日歷表上可以用小方框圈出四個數（如圖所示），圈出的四個數中，最小數與最大數的乘積能否為33或65，若能求出最小數：若不能請說明理由．【答案】最小的數是5，理由見解析【分析】設這個最小數為x，則最大數為(x+8)，根據最小數與最大數的乘積為65或33，即可得出關于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結論．【解析】解：設最小的數為x，則最大數為(x+8)，由題意得x(x+8)=33，解得x1=-11，x2=3．由表格知不符合實際舍去；由題意得x(x+8)=65，解得x1=-13（舍去），x2=5，所以當最大數與最小數乘積為65時，最小的數是5．11．抖音直播購物逐漸走進了人們的生活．