/重難點02全等三角形中“倍長中線”模型1.識別幾何模型。2.利用“倍長中線”模型解決問題倍長中線是指加倍延長中線，使所延長部分與中線相等，往往需要連接相應的頂點，則對應角對應邊都對應相等。常用于構造全等三角形。中線倍長法多用于構造全等三角形和證明邊之間的關系（通常用“SAS”證明）（注：一般都是原題已經有中線時用）。三角形一邊的中線（與中點有關的線段），或中點，通常考慮倍長中線或類中線，構造全等三角形.把該中線延長一倍，證明三角形全等，從而運用全等三角形的有關知識來解決問題的方法.圖一圖二圖三例1、如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，且BD=CD．求證：AB=AC．【變式1】如圖1，已知中，是邊上的中線．求證：．【變式2】如圖，在△ABC中，AD為BC邊上的中線．（1）按要求作圖：延長AD到點E，使DE=AD；連接BE．（2）求證：△ACD≌△EBD．（3）求證：AB+AC>2AD．（4）若AB=5，AC=3，求AD的取值范圍．【變式3】如圖，CB是△AEC的中線，CD是△ABC的中線，且AB=AC．求證：①CE=2CD；②CB平分∠DCE．例2.如圖，在△ABC中，D是BC的中點，E是AD上一點，BE=AC，BE的延長線交AC于點F．求證：∠AEF=∠EAF．【變式1】EF∥AD交CA的延長線于點F，交AB于點G，BG=CF．求證：AD為△ABC的角平分線．例3.如圖，在ABC中，AC=2AB，AD平分∠BAC，延長CB到點E，使BE=BD，連接AE．（1）依題意補全圖形；（2）試判斷AE與CD的數量關系，并進行證明．【變式】閱讀理解：（1）如圖1，在中，若，，求邊上的中線的取值范圍．解決此問題可以用如下方法：延長到點，使得，再連接，把，，集中在中，利用三角形三邊關系即可判斷中線的取值范圍是______．（2）解決問題：如圖2，在中，是邊上的中點，，交于點，交于點，連接，求證：．（3）問題拓展：如圖3，在中，是邊上的中點，延長至，使得，求證：．一．選擇題（共2小題）1．（2022秋?如皋市校級月考）如圖，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，AD是邊BC上的中線，則AD長的取值范圍是（）A．6＜AD＜8 B．6≤AD≤8 C．1＜AD＜7 D．1≤AD≤72．（2020秋?江陰市校級月考）在△ABC中，AB＝5，AC＝7，則中線AD的取值范圍是（）A．1＜AD＜7 B．1＜AD＜8 C．1＜AD＜6 D．2＜AD＜5二．填空題（共3小題）3．（2021秋?東港區校級期末）△ABC中，AB＝10，AC＝8，則BC邊上的中線AD的取值范圍是．4．（2022秋?江都區校級月考）在△ABC中，AB＝5，AC＝3，AD是BC邊上的中線，則AD的取值范圍是．5．（2021秋?江陰市校級月考）在△ABC中，AB＝6，AC＝4，則BC邊上的中線AD的取值范圍是．三．解答題（共5小題）6．（2022秋?鎮江月考）（1）方法呈現：如圖①：在△ABC中，若AB＝6，AC＝4，點D為BC邊的中點，求BC邊上的中線AD的取值范圍．解決此問題可以用如下方法：延長AD到點E使DE＝AD，再連接BE，可證△ACD≌△EBD，從而把AB、AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三邊的關系即可判斷中線AD的取值范圍是（直接寫出范圍即可）．這種解決問題的方法我們稱為倍長中線法；（2）探究應用：如圖②，在△ABC中，點D是BC的中點，DE⊥DF于點D，DE交AB于點E，DF交AC于點F，連接EF，判斷BE+CF與EF的大小關系并證明；（3）問題拓展：如圖③，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AF與DC的延長線交于點F、點E是BC的中點，若AE是∠BAF的角平分線．試探究線段AB，AF，CF之間的數量關系，并加以證明．7．（2021秋?濱湖區校級月考）如圖，在△ABC中，已知：點D是BC中點，連接AD并延長到點E，連接BE．（1）請你添加一個條件使△ACD≌△EBD，并給出證明．（2）若AB＝5，AC＝3，求BC邊上的中線AD的取值范圍．8．（2022秋?句容市月考）（1）如圖1，AD是△ABC的中線，延長AD至點E，使ED＝AD，連接CE．①證明△ABD≌△ECD；②若AB＝5，AC＝3，設AD＝x，可得x的取值范圍是；（2）如圖2，在△ABC中，D是BC邊上的中點，DE⊥DF，DE交AB于點E，DF交AC于點F，連接EF，求證：BE+CF＞EF．9．（2020?徐州模擬）（1）閱讀理解：如圖①，在△ABC中，若AB＝8，AC＝5，求BC邊上的中線AD的取值范圍．可以用如下方法：將△ACD繞著點D逆時針旋轉180°得到△EBD，在△ABE中，利用三角形三邊的關系即可判斷中線AD的取值范圍是；（2）問題解決：如圖②，在△ABC中，D是BC邊上的中點，DE⊥DF于點D，DE交AB于點E，DF交AC于點F，連接EF，求證：BE+CF＞EF；（3）問題拓展：如圖③，在四邊形ABCD中，∠B+∠D＝180°，CB＝CD，∠BCD＝100°，以C為頂點作一個50°的角，角的兩邊分別交AB、AD于E、F兩點，連接EF，探索線段BE，DF，EF之間的數量關系，并說明理由．10．（2022秋?寶應縣校級月考）（1）閱讀理解：如圖①，在△ABC中，若AB＝10，AC＝6，求BC邊上的中線AD的取值范圍．解決此問題可以用如下方法：延長AD到點E使DE＝AD，再連接BE（或將△ACD繞著點D逆時針旋轉180°得到△EBD），把AB、AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三邊的關系即可判斷．中線AD的取值范圍是；（2）問題解決：如圖②，在△ABC中，D是BC邊上的中點，DE⊥DF于點D，DE交AB于點E，DF交AC于點F，連接EF，求證：BE+CF＞EF；（3）問題拓展：如圖③，在四邊形ABCD中，∠B+∠D＝180°，CB＝CD，∠BCD＝140°，以C為頂點作一個70°角，角的兩邊分別交AB，AD于E、F兩點，連接EF，探索線段BE，DF，EF之間的數量關系，并加以證明．一、單選題1．（2022秋·江蘇連云港·八年級校考階段練習）在中，，中線，則邊的取值范圍是（）A． B． C． D．2．（2022秋·八年級課時練習）在中，，中線，則邊的取值范圍（

）A． B． C． D．3．（2022秋·廣西欽州·八年級校考期中）如圖，已知AD是△ABC中BC邊上的中線，AB＝5，AC＝3，則AD的取值范圍是（）A．2＜AD＜8 B．1＜AD＜4 C．2＜AD＜5 D．4≤AD≤8二、填空題4．（2023春·八年級課時練習）如圖，在△ABC中，點D是BC的中點，若AB＝5，AC＝13，AD＝6，則BC的長為______．5．（2023春·全國·七年級專題練習）如圖，在中，是邊上的中線，，，則的取值范圍是______．6．（2023春·全國·七年級專題練習）如圖，在中，，，求邊上中線的范圍為_____．7．（2022秋·遼寧葫蘆島·八年級統考期中）在中，AB＝6，AC＝10，那么中線AD邊的取值范圍是___．三、解答題8．（2022秋·八年級課時練習）已知：多項式x2+4x+5可以寫成（x﹣1）2+a（x﹣1）+b的形式．(1)求a，b的值；(2)△ABC的兩邊BC，AC的長分別是a，b，求第三邊AB上的中線CD的取值范圍．9．（2022秋·全國·八年級專題練習）如圖，為中邊上的中線．（1）求證：；（2）若，，求的取值范圍．10．（2022秋·江蘇·八年級專題練習）【觀察發現】如圖①，△ABC中，AB＝7，AC＝5，點D為BC的中點，求AD的取值范圍．小明的解法如下：延長AD到點E，使DE＝AD，連接CE．在△ABD與△ECD中∴△ABD?△ECD（SAS）∴AB＝．又∵在△AEC中EC﹣AC＜AE＜EC+AC，而AB＝EC＝7，AC＝5，∴＜AE＜．又∵AE＝2AD．∴＜AD＜．【探索應用】如圖②，ABCD，AB＝25，CD＝8，點E為BC的中點，∠DFE＝∠BAE，求DF的長為．（直接寫答案）【應用拓展】如圖③，∠BAC＝60°，∠CDE＝120°，AB＝AC，DC＝DE，連接BE，P為BE的中點，求證：AP⊥DP．11．（2022春·陜西西安·八年級校考階段練習）如圖，在中，，，邊上的中線，求的長．12．（2023春·山東青島·七年級即墨市第二十八中學校考期中）（1）方法學習：數學興趣小組活動時，張老師提出了如下問題：如圖1，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，求BC邊上的中線AD的取值范圍．小明在組內經過合作交流，得到了如下的解決方法（如圖2），①延長AD到M，使得DM＝AD；②連接BM，通過三角形全等把AB、AC、2AD轉化在△ABM中；③利用三角形的三邊關系可得AM的取值范圍為AB﹣BM＜AM＜AB+BM，從而得到AD的取值范圍是；方法總結：上述方法我們稱為“倍長中線法”．“倍長中線法”多用于構造全等三角形和證明邊之間的關系．（2）請你寫出圖2中AC與BM的數量關系和位置關系，并加以證明．（3）深入思考：如圖3，AD是△ABC的中線，AB＝AE，AC＝AF，∠BAE＝∠CAF＝90°，請直接利用（2）的結論，試判斷線段AD與EF的數量關系，并加以證明．13．（2022秋·八年級課時練習）問題背景：課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：如圖1，△ABC中，若AB＝4，AC＝3，求BC邊上的中線AD的取值范圍．小明在組內經過合作交流，得到了如下的解決方法：延長AD到點E，使DE＝AD，則得到△ADC≌△EDB，小明證明△BED≌△CAD用到的判定定理是：（用字母表示）；問題解決：小明發現：解題時，條件中若出現“中點”“中線”字樣，可以考慮延長中線構造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結論集合到同一個三角形中．請寫出小明解決問題的完整過程；拓展應用：以△ABC的邊AB，AC為邊向外作△ABE和△ACD，AB＝AE，AC＝AD，∠BAE＝∠CAD＝90°，M是BC中點，連接AM，DE．當AM＝3時，求DE的長．14．（2020秋·遼寧大連·八年級大連市第三十四中學校考階段練習）課堂上，老師出示了這樣一個問題：如圖1，點是邊的中點，，，求的取值范圍．（1）小明的想法是，過點作交的延長線于點，如圖2，從而通過構造全等解決問題，請你按照小明的想法解決此問題；（2）請按照上述提示，解決下面問題：在等腰中，，，點邊延長線上一點，連接，過點作于點，過點作，且，連接交于點，連接，求證．15．（2022秋·江蘇·八年級專題練習）（1）如圖1，已知中，AD是中線，求證：；（2）如圖2，在中，D，E是BC的三等分點，求證：；（3）如圖3，在中，D，E在邊BC上，且．求證：．16．（2023秋·湖南懷化·八年級統考期末）如圖1，在△ABC中，若AB＝10，BC＝8，求AC邊上的中線BD的取值范圍．（1）小聰同學是這樣思考的：延長BD至E，使DE＝BD，連接CE，可證得△CED≌△ABD．①請證明△CED≌△ABD；②中線BD的取值范圍是．（2）問題拓展：如圖2，在△ABC中，點D是AC的中點，分別以AB，BC為直角邊向△ABC外作等腰直角三角形ABM和等腰直角三角形BCN，其中，AB＝BM，BC＝BN，∠ABM＝∠NBC＝∠90°，連接MN．請寫出BD與MN的數量關系，并說明理由．17．（2023秋·重慶黔江·八年級統考期末）數學興趣小組在活動時，老師提出了這樣一個問題：如圖1，在中，，，D是BC的中點，求BC邊上的中線AD的取值范圍．【閱讀理解】小明在組內經過合作交流，得到了如下的解決方法：（1）如圖1，延長AD到E點，使，連接BE．根據______可以判定______，得出______．這樣就能把線段AB、AC、集中在中．利用三角形三邊的關系，即可得出中線AD的取值范圍是．【方法感悟】當條件中出現“中點”、“中線”等條件時，可以考慮作“輔助線”——把中線延長一倍，構造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結論集中到同一個三角形中，這種做輔助線的方法稱為“中線加倍”法．【問題解決】（2）如圖2，在中，，D是BC邊的中點，，DE交AB于點E，DF交AC于點F，連接EF，求證：．【問題拓展】（3）如圖3，中，，，AD是的中線，，，且．直接寫出AE的長＝______．18．（2022秋·江蘇南京·八年級校考階段練習）（1）已知如圖1，在中，，求邊上的中線的取值范圍．（2）思考：已知如圖2，是的中線，，試探究線段與的數量和位置關系，并加以證明．

重難點02全等三角形中“倍長中線”模型1.識別幾何模型。2.利用“倍長中線”模型解決問題倍長中線是指加倍延長中線，使所延長部分與中線相等，往往需要連接相應的頂點，則對應角對應邊都對應相等。常用于構造全等三角形。中線倍長法多用于構造全等三角形和證明邊之間的關系（通常用“SAS”證明）（注：一般都是原題已經有中線時用）。三角形一邊的中線（與中點有關的線段），或中點，通常考慮倍長中線或類中線，構造全等三角形.把該中線延長一倍，證明三角形全等，從而運用全等三角形的有關知識來解決問題的方法.圖一圖二圖三例1、如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，且BD=CD．求證：AB=AC．方法1：如圖，延長AD到E，使DE=AD，連接BE在△BDE和△CDA中∴△BDE≌△CDA（SAS）∴AC=BE，∠E=∠2∵AD平分∠BAC∴∠1=∠2∴∠1=∠E∴AB=BE∴AB=AC方法2：如圖，過點B作BE∥AC，交AD的延長線于點E∵BE∥AC∴∠E=∠2在△BDE和△CDA中∴△BDE≌△CDA（AAS）∴BE=AC∵AD平分∠BAC∴∠1=∠2∴∠1=∠E∴AB=BE∴AB=AC【變式1】如圖1，已知中，是邊上的中線．求證：．證明：如圖2，延長至，使，∵是邊上的中線∴在和中∴∴在中，∴．【變式2】如圖，在△ABC中，AD為BC邊上的中線．（1）按要求作圖：延長AD到點E，使DE=AD；連接BE．（2）求證：△ACD≌△EBD．（3）求證：AB+AC>2AD．（4）若AB=5，AC=3，求AD的取值范圍．解：（1）如圖，（2）證明：如圖，∵AD為BC邊上的中線∴BD=CD在△BDE和△CDA中∴△BDE≌△CDA（SAS）（3）證明：如圖，∵△BDE≌△CDA∴BE=AC∵DE=AD∴AE=2AD在△ABE中，AB+BE>AE∴AB+AC>2AD（4）在△ABE中，ABBE<AE<AB+BE由（3）得AE=2AD，BE=AC∵AC=3，AB=5∴53<AE<5+3∴2<2AD<8∴1<AD<4【變式3】如圖，CB是△AEC的中線，CD是△ABC的中線，且AB=AC．求證：①CE=2CD；②CB平分∠DCE．證明：如圖，延長CD到F，使DF=CD，連接BF∴CF=2CD∵CD是△ABC的中線∴BD=AD在△BDF和△ADC中∴△BDF≌△ADC（SAS）∴BF=AC，∠1=∠F∵CB是△AEC的中線∴BE=AB∵AC=AB∴BE=BF∵∠1=∠F∴BF∥AC∴∠1+∠2+∠5+∠6=180°又∵AC=AB∴∠1+∠2=∠5又∵∠4+∠5=180°∴∠4=∠5+∠6即∠CBE=∠CBF在△CBE和△CBF中∴△CBE≌△CBF（SAS）∴CE=CF，∠2=∠3∴CE=2CDCB平分∠DCE例2.如圖，在△ABC中，D是BC的中點，E是AD上一點，BE=AC，BE的延長線交AC于點F．求證：∠AEF=∠EAF．證明：如圖，延長AD到M，使DM=AD，連接BM∵D是BC邊的中點∴BD=CD在△ADC和△MDB中∴△ADC≌△MDB（SAS）∴∠1=∠M，AC=MB∵BE=AC∴BE=MB∴∠M=∠3∴∠1=∠3∵∠3=∠2∴∠1=∠2即∠AEF=∠EAF【變式1】EF∥AD交CA的延長線于點F，交AB于點G，BG=CF．求證：AD為△ABC的角平分線．證明：如圖，延長FE到M，使EM=EF，連接BM∵點E是BC的中點∴BE=CE在△CFE和△BME中∴△CFE≌△BME（SAS）∴CF=BM，∠F=∠M∵BG=CF∴BG=BM∴∠1=∠M∴∠1=∠F∵AD∥EF∴∠3=∠F，∠1=∠2∴∠2=∠3即AD為△ABC的角平分線例3.如圖，在ABC中，AC=2AB，AD平分∠BAC，延長CB到點E，使BE=BD，連接AE．（1）依題意補全圖形；（2）試判斷AE與CD的數量關系，并進行證明．【答案】（1）見解析；（2），見解析【分析】（1）直接延長CB到點E，使BE=BD即可；（2）延長至點，使得，連接，可證得，則，再通過證明，可得到，從而得到即可．【詳解】（1）如圖所示：（2）如圖，判斷：證明如下：延長至點，使得，連接在和中，∵∴∴∵∴∵∴∵AD平分∠BAC∴在和中，∵∴∴又∵∴【點撥】本題考查全等三角形的判定與性質，主要涉及倍長中線的模型，熟記基本模型是解題關鍵．【變式】閱讀理解：（1）如圖1，在中，若，，求邊上的中線的取值范圍．解決此問題可以用如下方法：延長到點，使得，再連接，把，，集中在中，利用三角形三邊關系即可判斷中線的取值范圍是______．（2）解決問題：如圖2，在中，是邊上的中點，，交于點，交于點，連接，求證：．（3）問題拓展：如圖3，在中，是邊上的中點，延長至，使得，求證：．【答案】（1）；（2）見解析；（3）見解析．【分析】（1）如圖1延長到點，使得，再連接，由AD為中線，推出BD=CD，可證△ACD≌△EBD（SAS）得AC=EB，在中，由三邊關系即可，（2）如圖2延長FD到G，使DG=FD，連結BG，EG由D為BC中點，BD=CD可證△FCD≌△GBD（SAS）得FC=GB，由，DF=DG得EF=EG，在△BEG中由三邊關系，（3）如圖3，延長AD到G使DG=AD，連結BG，由是邊上的中點，得BD=CD，可證△ACD≌△GBD（SAS）得AC=GB，∠DAC=∠G，利用BE=BG即可推得答案，解答：（1）如圖1延長到點，使得，再連接，∵AD為中線，∴BD=CD，在△ADC和△EDB中，∵CD=BD，∠ADC=∠EDB，AD=ED，∴△ACD≌△EBD（SAS），∴AC=EB=6，，∵，∴，∴，（2）如圖2延長FD到G，使DG=FD，連結BG，EG，由D為BC中點，BD=CD，在△FDC和△GDB中，∵CD=BD，∠FDC=∠GDB，FD=GD，∴△FCD≌△GBD（SAS），∴FC=GB，∵，DF=DG，∴EF=EG，在△BEG中EG<EB+BG，即，（3）如圖3，延長AD到G使DG=AD，連結BG，由是邊上的中點，∴BD=CD，在△ADC和△GDB中，∵CD=BD，∠ADC=∠GDB，AD=GD，∴△ACD≌△GBD（SAS），∴AC=GB，∠DAC=∠G，∵BE=AC，∴BE=BG，∴∠BED=∠G=∠CAD．【點撥】本題考查中線加倍，三角形全等，三邊關系，垂直平分線，等腰三角形，掌握中線加倍構造三角形，用三角形全等轉化等量關系，用三邊關系求取值范圍，用垂直平分線轉化線段，用等腰三角形證角是解題關鍵，一．選擇題（共2小題）1．（2022秋?如皋市校級月考）如圖，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，AD是邊BC上的中線，則AD長的取值范圍是（）A．6＜AD＜8 B．6≤AD≤8 C．1＜AD＜7 D．1≤AD≤7【分析】延長AD到點E，使DE＝AD，連接EC，根據三角形的中線定義可得CD＝BD，然后利用SAS證明△ADB≌△△EDC，從而可得AB＝EC＝6，最后在△ACE中，利用三角形的三邊關系進行計算即可解答．【解答】解：延長AD到點E，使DE＝AD，連接EC，∵AD是邊BC上的中線，∴CD＝BD，∵∠ADB＝∠CDE，∴△ADB≌△△EDC（SAS），∴AB＝EC＝6，在△ACE中，AC﹣CE＜AE＜AC+CE，∴2＜2AD＜14，∴1＜AD＜7，故選：C．【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質，三角形的三邊關系，根據題目的已知條件并結合圖形添加適當的輔助線是解題的關鍵．2．（2020秋?江陰市校級月考）在△ABC中，AB＝5，AC＝7，則中線AD的取值范圍是（）A．1＜AD＜7 B．1＜AD＜8 C．1＜AD＜6 D．2＜AD＜5【分析】延長AD到E，使AD＝DE，連接BE，證△ADC≌△EDB，推出EB＝AC，根據三角形的三邊關系求出即可．【解答】解：延長AD到E，使AD＝DE，連接BE，∵AD是△ABC的中線，∴BD＝CD，在△ADC與△EDB中，，∴△ADC≌△EDB（SAS），∴EB＝AC，根據三角形的三邊關系得：BE﹣AB＜AE＜BE+AB，∴2＜AE＜12，∵AE＝2AD，∴1＜AD＜6，故選：C．【點評】本題主要考查對全等三角形的性質和判定，三角形的三邊關系定理等知識點的理解和掌握，能推出2＜2AD＜12是解此題的關鍵．二．填空題（共3小題）3．（2021秋?東港區校級期末）△ABC中，AB＝10，AC＝8，則BC邊上的中線AD的取值范圍是1＜AD＜9．【分析】延長AD至E，使DE＝AD，連接CE．根據SAS證明△ABD≌△ECD，得CE＝AB，再根據三角形的三邊關系即可求解．【解答】解：延長AD至E，使DE＝AD，連接CE．∵BD＝CD，∠ADB＝∠EDC，AD＝DE，∴△ABD≌△ECD，∴CE＝AB．在△ACE中，CE﹣AC＜AE＜CE+AC，即2＜2AD＜18，1＜AD＜9．故答案為1＜AD＜9．【點評】此題綜合運用了全等三角形的判定和性質、三角形的三邊關系．注意：倍長中線是常見的輔助線之一．4．（2022秋?江都區校級月考）在△ABC中，AB＝5，AC＝3，AD是BC邊上的中線，則AD的取值范圍是1＜AD＜4．【分析】延長AD到E，使DE＝AD，然后利用“邊角邊”證明△ABD和△ECD全等，根據全等三角形對應邊相等可得CE＝AB，然后根據三角形任意兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊求出AE的取值范圍，然后即可得解．【解答】解：如圖，延長AD到E，使DE＝AD，∵AD是BC邊上的中線，∴BD＝CD，在△ABD和△ECD中，，∴△ABD≌△ECD（SAS），∴CE＝AB，∵AB＝5，AC＝3，∴5﹣3＜AE＜5+3，即2＜AE＜8，1＜AD＜4．故答案為：1＜AD＜4．【點評】本題考查了三角形的三邊關系，全等三角形的判定與性質，遇中點加倍延，作輔助線構造出全等三角形是解題的關鍵．5．（2021秋?江陰市校級月考）在△ABC中，AB＝6，AC＝4，則BC邊上的中線AD的取值范圍是1＜AD＜5．【分析】延長AD到E，使AD＝DE，連接BE，證△ADC≌△EDB，推出AC＝BE＝8，在△ABE中，根據三角形三邊關系定理得出AB﹣BE＜AE＜AB+BE，代入求出即可．【解答】解：延長AD到E，使AD＝DE，連接BE，∵AD是BC邊上的中線，∴BD＝CD，在△ADC和△EDB中，，∴△ADC≌△EDB（SAS），∴AC＝BE＝4，在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE，∴6﹣4＜2AD＜6+4，∴1＜AD＜5，故答案為：1＜AD＜5．【點評】本題考查了全等三角形的性質和判定，三角形的三邊關系定理的應用，主要考查學生的推理能力．三．解答題（共5小題）6．（2022秋?鎮江月考）（1）方法呈現：如圖①：在△ABC中，若AB＝6，AC＝4，點D為BC邊的中點，求BC邊上的中線AD的取值范圍．解決此問題可以用如下方法：延長AD到點E使DE＝AD，再連接BE，可證△ACD≌△EBD，從而把AB、AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三邊的關系即可判斷中線AD的取值范圍是（直接寫出范圍即可）．這種解決問題的方法我們稱為倍長中線法；（2）探究應用：如圖②，在△ABC中，點D是BC的中點，DE⊥DF于點D，DE交AB于點E，DF交AC于點F，連接EF，判斷BE+CF與EF的大小關系并證明；（3）問題拓展：如圖③，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AF與DC的延長線交于點F、點E是BC的中點，若AE是∠BAF的角平分線．試探究線段AB，AF，CF之間的數量關系，并加以證明．【分析】（1）由已知得出AB﹣BE＜AE＜AB+BE，即6﹣4＜AE＜6+4，AD為AE的一半，即可得出答案；（2）延長FD至點M，使DM＝DF，連接BM，EM，可得△BMD≌△CFD，得出BM＝CF，由線段垂直平分線的性質得出EM＝EF，在△BME中，由三角形的三邊關系得出BE+BM＞EM即可得出結論；（3）延長AE，DF交于點G，根據平行和角平分線可證AF＝FG，也可證得△ABE≌△GCE，從而可得AB＝CG，即可得到結論．【解答】解：（1）1＜AD＜5．∵AD是BC邊上的中線，∴BD＝CD，∴△BDE≌△CDA（SAS），∴BE＝AC＝4，在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE，∴6﹣4＜AE＜6+4，∴2＜AE＜10，∴1＜AD＜5．證明：（2）延長FD至點M，使DM＝DF，連接BM、EM，如圖②所示．同（1）得：△BMD≌△CFD（SAS），∴BM＝CF，∵DE⊥DF，DM＝DF，∴EM＝EF，在△BME中，由三角形的三邊關系得：BE+BM＞EM，∴BE+CF＞EF．（3）如圖③，延長AE，DF交于點G，∵AB∥CD，∴∠BAG＝∠G，在△ABE和△GCE中，CE＝BE，∠BAG＝∠G，∠AEB＝∠GEC，∴△ABE≌△GEC（AAS），∴CG＝AB，∵AE是∠BAF的平分線，∴∠BAG＝∠GAF，∴∠FAG＝∠G，∴AF＝GF，∵FG+CF＝CG，∴AF+CF＝AB．【點評】本題是三角形綜合題，主要考查了三角形的三邊關系，全等三角形的判定與性質，角的關系等知識點，所以本題的綜合性比較強，有一定的難度，通過作輔助線證明三角形全等是解題的關鍵．7．（2021秋?濱湖區校級月考）如圖，在△ABC中，已知：點D是BC中點，連接AD并延長到點E，連接BE．（1）請你添加一個條件使△ACD≌△EBD，并給出證明．（2）若AB＝5，AC＝3，求BC邊上的中線AD的取值范圍．【分析】（1）若要使△ACD≌△EBD，應添上條件：AC∥BE或AD＝DE；由AC∥BE，得到兩內錯角相等，再由D為BC的中點，得到BD＝CD，利用AAS可得出△ACD≌△EBD或△ACD≌△EBD（SAS）（2）根據△ACD≌△EBD得出AC＝BE＝3，根據三角形三邊關系定理得出5﹣3＜AE＜5+3，即可求出答案．【解答】（1）結論：若要使△ACD≌△EBD，應添上條件：AC∥BE或AD＝DE；證明：當AC∥BE時，∵AC∥BE，∴∠CAD＝∠E，∠ACD＝∠EBD，又∵D為BC的中點，∴BD＝CD，在△ACD和△EBD中，，∴△ACD≌△EBD（AAS）；當AD＝DE時，∵點D是BC中點，∴BD＝DC，在△ACD和△EBD中，，∴△ACD≌△EBD（SAS），（2）解：∵△ACD≌△EBD，∴AC＝BE＝3，在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE，即5﹣3＜2AD＜5+3，∴2＜2AD＜8，∴1＜AD＜4．【點評】本題考查了全等三角形的性質和判定，三角形三邊關系定理的應用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS以及HL（直角三角形判定全等的方法）；全等三角形的性質是：全等三角形的對應邊相等，對應角相等．8．（2022秋?句容市月考）（1）如圖1，AD是△ABC的中線，延長AD至點E，使ED＝AD，連接CE．①證明△ABD≌△ECD；②若AB＝5，AC＝3，設AD＝x，可得x的取值范圍是1＜x＜4；（2）如圖2，在△ABC中，D是BC邊上的中點，DE⊥DF，DE交AB于點E，DF交AC于點F，連接EF，求證：BE+CF＞EF．【分析】（1）①根據三角形的中線得出BD＝CD，再由對頂角相等得出∠ADB＝∠CDE，即可得出結論；②先由△ABD≌△ECD，得出CE＝5，再由ED＝AD，得出AE＝2AD＝2x，最后用三角形的三邊關系，即可求出答案；（2）先根據SAS判斷出△DEF≌△DEH，得出EH＝EF，再根據SAS判斷出△BDH≌△CDF，得出CF＝BH，即可求出答案．【解答】（1）①證明：∵AD是△ABC的中線，∴BD＝CD，在△ADB和△ECD中，，∴△ABD≌△ECD（SAS）；②解：由①知，△ABD≌△ECD，∴CE＝AB，∵AB＝5，∴CE＝5，∵ED＝AD，AD＝x，∴AE＝2AD＝2x，在△ACE中，AC＝3，根據三角形的三邊關系得，5﹣3＜2x＜5+3，∴1＜x＜4，故答案為：1＜x＜4；（2）證明：如圖2，延長FD，截取DH＝DF，連接BH，EH，∵DH＝DF，DE⊥DF，即∠EDF＝∠EDH＝90°，DE＝DE，∴△DEF≌△DEH（SAS），∴EH＝EF，∵AD是中線，∴BD＝CD，∵DH＝DF，∠BDH＝∠CDF，∴△BDH≌△CDF（SAS），∴CF＝BH，∵BE+BH＞EH，∴BE+CF＞EF．【點評】此題是三角形綜合題，主要考查了三角形中線的定義，全等三角形的判定和性質，三角形的三邊關系，用倍長中線法構造全等三角形是解本題的關鍵．9．（2020?徐州模擬）（1）閱讀理解：如圖①，在△ABC中，若AB＝8，AC＝5，求BC邊上的中線AD的取值范圍．可以用如下方法：將△ACD繞著點D逆時針旋轉180°得到△EBD，在△ABE中，利用三角形三邊的關系即可判斷中線AD的取值范圍是1.5＜AD＜6.5；（2）問題解決：如圖②，在△ABC中，D是BC邊上的中點，DE⊥DF于點D，DE交AB于點E，DF交AC于點F，連接EF，求證：BE+CF＞EF；（3）問題拓展：如圖③，在四邊形ABCD中，∠B+∠D＝180°，CB＝CD，∠BCD＝100°，以C為頂點作一個50°的角，角的兩邊分別交AB、AD于E、F兩點，連接EF，探索線段BE，DF，EF之間的數量關系，并說明理由．【分析】（1）將△ACD繞著點D逆時針旋轉180°得到△EBD，得到△ACD≌△EBD，根據全等三角形的性質得到BE＝AC，根據三角形的三邊關系求出AE的取值范圍，即可得出AD的取值范圍；（2）延長FD至點M，使DM＝DF，連接BM、EM，同（1）得△BMD≌△CFD，得出BM＝CF，由線段垂直平分線的性質得出EM＝EF，在△BME中，由三角形的三邊關系得出BE+BM＞EM即可得出結論；（3）延長AB至點H，使BH＝DF，連接CH，證出∠HBC＝∠D，證明△HBC≌△FDC，得出CH＝CF，∠HCB＝∠FCD，證出∠ECH＝50°＝∠ECF，再證明△HCE≌△FCE，得出EH＝EF，即可得出結論．【解答】（1）解：如圖①，將△ACD繞著點D逆時針旋轉180°得到△EBD，則△ACD≌△EBD，∴AD＝DE，BE＝AC＝5，在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE，即3＜AE＜13，故答案為：1.5＜AE＜6.5；（2）證明：如圖②，延長FD至N，使DN＝DF，連接BN、EN，在△FDC和△NDB中，，∴△FDC≌△NDB（SAS）∴BN＝FC，∵DF＝DN，DE⊥DF，∴EF＝EN，在△EBN中，BE+BN＞EN，∴BE+CF＞EF；（3）解：BE+DF＝EF，理由如下：如圖③，延長AB至點H，使BH＝DF，連接CH，∵∠ABC+∠D＝180°，∠HBC+∠ABC＝180°，∴∠HBC＝∠D，在△HBC和△FDC中，，∴△HBC≌△FDC（SAS）∴CH＝CF，∠HCB＝∠FCD，∵∠BCD＝100°，∠ECF＝50°，∴∠BCE+∠FCD＝50°，∴∠ECH＝50°＝∠ECF，在△HCE和△FCE中，，∴△HCE≌△FCE（SAS）∴EH＝EF，∴BE+DF＝EF．【點評】本題考查的是三角形的三邊關系、全等三角形的判定與性質，正確作出輔助線、掌握全等三角形的判定定理和性質定理是解決問題的關鍵．10．（2022秋?寶應縣校級月考）（1）閱讀理解：如圖①，在△ABC中，若AB＝10，AC＝6，求BC邊上的中線AD的取值范圍．解決此問題可以用如下方法：延長AD到點E使DE＝AD，再連接BE（或將△ACD繞著點D逆時針旋轉180°得到△EBD），把AB、AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三邊的關系即可判斷．中線AD的取值范圍是2＜AD＜8；（2）問題解決：如圖②，在△ABC中，D是BC邊上的中點，DE⊥DF于點D，DE交AB于點E，DF交AC于點F，連接EF，求證：BE+CF＞EF；（3）問題拓展：如圖③，在四邊形ABCD中，∠B+∠D＝180°，CB＝CD，∠BCD＝140°，以C為頂點作一個70°角，角的兩邊分別交AB，AD于E、F兩點，連接EF，探索線段BE，DF，EF之間的數量關系，并加以證明．【分析】（1）延長AD至E，使DE＝AD，由SAS證明△ACD≌△EBD，得出BE＝AC＝6，在△ABE中，由三角形的三邊關系求出AE的取值范圍，即可得出AD的取值范圍；（2）延長FD至點M，使DM＝DF，連接BM、EM，同（1）得△BMD≌△CFD，得出BM＝CF，由線段垂直平分線的性質得出EM＝EF，在△BME中，由三角形的三邊關系得出BE+BM＞EM即可得出結論；（3）延長AB至點N，使BN＝DF，連接CN，證出∠NBC＝∠D，由SAS證明△NBC≌△FDC，得出CN＝CF，∠NCB＝∠FCD，證出∠ECN＝70°＝∠ECF，再由SAS證明△NCE≌△FCE，得出EN＝EF，即可得出結論．【解答】（1）解：延長AD至E，使DE＝AD，連接BE，如圖①所示：∵AD是BC邊上的中線，∴BD＝CD，在△BDE和△CDA中，，∴△BDE≌△CDA（SAS），∴BE＝AC＝6，在△ABE中，由三角形的三邊關系得：AB﹣BE＜AE＜AB+BE，∴10﹣6＜AE＜10+6，即4＜AE＜16，∴2＜AD＜8；故答案為：2＜AD＜8；（2）證明：延長FD至點M，使DM＝DF，連接BM、EM，如圖②所示：同（1）得：△BMD≌△CFD（SAS），∴BM＝CF，∵DE⊥DF，DM＝DF，∴EM＝EF，在△BME中，由三角形的三邊關系得：BE+BM＞EM，∴BE+CF＞EF；（3）解：BE+DF＝EF；理由如下：延長AB至點N，使BN＝DF，連接CN，如圖3所示：∵∠ABC+∠D＝180°，∠NBC+∠ABC＝180°，∴∠NBC＝∠D，在△NBC和△FDC中，，∴△NBC≌△FDC（SAS），∴CN＝CF，∠NCB＝∠FCD，∵∠BCD＝140°，∠ECF＝70°，∴∠BCE+∠FCD＝70°，∴∠ECN＝70°＝∠ECF，在△NCE和△FCE中，，∴△NCE≌△FCE（SAS），∴EN＝EF，∵BE+BN＝EN，∴BE+DF＝EF．【點評】本題考查了三角形的三邊關系、全等三角形的判定與性質、角的關系等知識；本題綜合性強，有一定難度，通過作輔助線證明三角形全等是解決問題的關鍵．一、單選題1．（2022秋·江蘇連云港·八年級校考階段練習）在中，，中線，則邊的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】延長至，使，然后利用“邊角邊”證明和全等，根據全等三角形對應邊相等可得，再利用三角形的任意兩邊之和大于第三邊，三角形的任意兩邊之差小于第三邊求出的取值范圍，即為的取值范圍．【詳解】解：如圖，延長至，使，∵是的中線，∴，在和中，，∴，∴，∵，，∴，∴，即∴．故選：B．【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質，三角形的任意兩邊之和大于第三邊，三角形的任意兩邊之差小于第三邊．“遇中線，加倍延”構造全等三角形是解題的關鍵．2．（2022秋·八年級課時練習）在中，，中線，則邊的取值范圍（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】延長AD至E，使DE=AD，然后利用“邊角邊”證明△ABD和△ECD全等，根據全等三角形對應邊相等可得AB=CE，再利用三角形的任意兩邊之和大于第三邊，三角形的任意兩邊之差小于第三邊求出CE的取值范圍，即為AB的取值范圍．【詳解】解：如圖，延長AD至E，使DE=AD，∵AD是△ABC的中線，∴BD=CD，在△ABD和△ECD中，，∴△ABD≌△ECD（SAS），∴AB=CE，∵AD=7，∴AE=7+7=14，∵14+5=19，14-5=9，∴9＜CE＜19，即9＜AB＜19．故選：C．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質，三角形的任意兩邊之和大于第三邊，三角形的任意兩邊之差小于第三邊，“遇中線，加倍延”構造出全等三角形是解題的關鍵．3．（2022秋·廣西欽州·八年級校考期中）如圖，已知AD是△ABC中BC邊上的中線，AB＝5，AC＝3，則AD的取值范圍是（）A．2＜AD＜8 B．1＜AD＜4 C．2＜AD＜5 D．4≤AD≤8【答案】B【分析】如圖所示，延長AD到E，使，連接CE，先證，得，再由三角形任意兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊求出AE的取值范圍．【詳解】如圖所示，延長AD到E，使，連接CE，AD是△ABC中BC邊上的中線，，在與中，，，，在中，由三角形三邊關系得：，，，，．【點睛】本題考查了三角形三邊的關系，全等三角形的判定與性質，做輔助線構造全等三角形是解題的關鍵．二、填空題4．（2023春·八年級課時練習）如圖，在△ABC中，點D是BC的中點，若AB＝5，AC＝13，AD＝6，則BC的長為______．【答案】【分析】延長AD到E，使DE=AD，連接BE．先運用SAS證明△ADC≌△EDB，得出BE=13．再由勾股定理的逆定理證明出∠BAE=90°，然后在△ABD中運用勾股定理求出BD的長，從而得出BC=2BD．【詳解】解：延長AD到E，使DE=AD，連接BE．在△ADC與△EDB中，，∴△ADC≌△EDB（SAS），∴AC=BE=13．在△ABE中，AB=5，AE=12，BE=13，∴AB2+AE2=BE2，∴∠BAE=90°．在△ABD中，∠BAD=90°，AB=5，AD=6，∴BD=，∴BC=．故答案為：．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質，勾股定理及其逆定理，綜合性較強，難度中等．題中延長中線的一倍是常用的輔助線的作法．5．（2023春·全國·七年級專題練習）如圖，在中，是邊上的中線，，，則的取值范圍是______．【答案】【分析】延長至，使，連接，證明，進而根據三角形三邊關系即可求解．【詳解】解：如圖，延長至，使，連接，為邊上的中線，，在和中，，，，，，，的取值范圍是：．故答案為：．【點睛】本題考查了倍長中線，全等三角形的性質與判定，三角形三邊關系，掌握全等三角形的性質與判定是解題的關鍵．6．（2023春·全國·七年級專題練習）如圖，在中，，，求邊上中線的范圍為_____．【答案】【分析】延長到E，使得，連接，利用全等三角形的判定與性質和三角形的三邊關系定理解答即可．【詳解】解：延長到E，使得，連接，如圖，在和中，，∴，∴．∵，∴，∴．故答案為：．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質，三角形的三邊關系，熟練運用全等三角形的判定是本題的關鍵．7．（2022秋·遼寧葫蘆島·八年級統考期中）在中，AB＝6，AC＝10，那么中線AD邊的取值范圍是___．【答案】【分析】延長到點，使，連接，得出，推出，再根據三角形三邊關系定理即可得出答案．【詳解】解：如圖，延長到點，使，連接，是中線，，在和中，，，，∵在中，，∴，，，故答案為：．【點睛】本題考查了三角形三邊關系定理，全等三角形的性質和判定的應用，主要考查學生的推理能力．三、解答題8．（2022秋·八年級課時練習）已知：多項式x2+4x+5可以寫成（x﹣1）2+a（x﹣1）+b的形式．(1)求a，b的值；(2)△ABC的兩邊BC，AC的長分別是a，b，求第三邊AB上的中線CD的取值范圍．【答案】(1)，(2)2<CD<8【分析】（1）把展開，然后根據多項式x2+4x+5可以寫成（x﹣1）2+a（x﹣1）+b的形式，可得，即可求解；（2）延長CD至點H，使CD=DH，連接AH，可得△CDB≌△HAD，從而得到BC=AH=a=6，再根據三角形的三邊關系，即可求解．(1)解：∵，根據題意得：x2+4x+5=（x﹣1）2+a（x﹣1）+b∴，解得：；(2)解：如圖，延長CD至點H，使CD=DH，連接AH，∵CD是AB邊上的中線，∴BD=AD，在△CDB和△HDA中，∵CD=DH，∠CDB=∠ADH，BD=DA，∴△CDB≌△HDA（SAS），∴BC=AH=a=6，在△ACH中，AC-AH<CH<AC+AH，∴10-6<2CD<10+6，∴2<CD<8．【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質，整式乘法和二元一次方程組的應用，三角形的三邊關系，熟練掌握全等三角形的判定和性質，整式乘法法則，三角形的三邊關系是解題的關鍵．9．（2022秋·全國·八年級專題練習）如圖，為中邊上的中線．（1）求證：；（2）若，，求的取值范圍．【答案】（1），（2）【分析】（1）延長至，使，連接，然后再證明，根據全等三角形的性質可得，再根據三角形的三邊關系可得，利用等量代換可得；（2）把，代入（1）的結論里，再解不等式即可．【詳解】（1）證明：如圖延長至，使，連接，∵為中邊上的中線，∴，在和中：，∴，∴（全等三角形的對應邊相等），在中，由三角形的三邊關系可得，即；（2）解：∵，，由（1）可得，∴，∴．【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質，三角形的三邊關系，利用倍長中線的方式構造全等三角形是解題關鍵．10．（2022秋·江蘇·八年級專題練習）【觀察發現】如圖①，△ABC中，AB＝7，AC＝5，點D為BC的中點，求AD的取值范圍．小明的解法如下：延長AD到點E，使DE＝AD，連接CE．在△ABD與△ECD中∴△ABD?△ECD（SAS）∴AB＝．又∵在△AEC中EC﹣AC＜AE＜EC+AC，而AB＝EC＝7，AC＝5，∴＜AE＜．又∵AE＝2AD．∴＜AD＜．【探索應用】如圖②，ABCD，AB＝25，CD＝8，點E為BC的中點，∠DFE＝∠BAE，求DF的長為．（直接寫答案）【應用拓展】如圖③，∠BAC＝60°，∠CDE＝120°，AB＝AC，DC＝DE，連接BE，P為BE的中點，求證：AP⊥DP．【答案】觀察發現：EC，2，12，1，6；探索應用：17；應用拓展：見解析【分析】觀察發現：由“SAS”可證△ABD≌△ECD，可得AB=EC，由三角形的三邊關系可求解；探索應用：由“SAS”可證△ABE≌△HCE，可得AB=CH=25，即可求解；應用拓展：由“SAS”可證△BPA≌△EPF，可得AB=FE，∠PBA=∠PEF，由“SAS”可證△ACD≌△FED，可得AD=FD，由等腰三角形的性質可得結論．【詳解】觀察發現解：如圖①，延長AD到點E，使DE=AD，連接CE，在△ABD與△ECD中，，∴△ABD≌△ECD（SAS），∴AB=EC，在△AEC中，EC-AC＜AE＜EC+AC，而AB=EC=7，AC=5，∴2＜AE＜12．又∵AE=2AD，∴1＜AD＜6，故答案為：EC，2，12，1，6；探索應用解：如圖2，延長AE，CD交于H，∵點E是BC的中點，∴BE=CE，∵CD∥AB，∴∠ABE=∠ECH，∠H=∠BAE，∴△ABE≌△HCE（AAS），∴AB=CH=25，∴DH=CH-CD=17，∵∠DFE=∠BAE，∴∠H=∠DFE，∴DF=DH=17，故答案為：17；應用拓展證明：如圖2，延長AP到點F，使PF=AP，連接DF，EF，AD，在△BPA與△EPF中，，∴△BPA≌△EPF（SAS），∴AB=FE，∠PBA=∠PEF，∵AC=BC，∴AC=FE，在四邊形BADE中，∠BAD+∠ADE+∠DEB+∠EBA=360°，∵∠BAC=60°，∠CDE=120°，∴∠CAD+∠ADC+∠DEB+∠EBA=180°．∵∠CAD+∠ADC+∠ACD=180°，∴∠ACD=∠DEB+∠EBA，∴∠ACD=∠FED，在△ACD與△FED中，，∴△ACD≌△FED（SAS），∴AD=FD，∵AP=FP，∴AP⊥DP．【點睛】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的性質、等腰三角形的性質等知識，作出恰當的輔助線，證得三角形全等是解答此題的關鍵．11．（2022春·陜西西安·八年級校考階段練習）如圖，在中，，，邊上的中線，求的長．【答案】【分析】延長到，使，連接，證，得，然后由勾股定理逆定理證是直角三角形，得，再用勾股定理求解即可．【詳解】解：如圖，延長到，使，連接，是邊上的中線，，在和中，，∴，，，，，，，是直角三角形，，，．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質、勾股定理的逆定理和勾股定理等知識；熟練掌握勾股定理和勾股定理的逆定理，證明三角形全等是解題的關鍵．12．（2023春·山東青島·七年級即墨市第二十八中學校考期中）（1）方法學習：數學興趣小組活動時，張老師提出了如下問題：如圖1，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，求BC邊上的中線AD的取值范圍．小明在組內經過合作交流，得到了如下的解決方法（如圖2），①延長AD到M，使得DM＝AD；②連接BM，通過三角形全等把AB、AC、2AD轉化在△ABM中；③利用三角形的三邊關系可得AM的取值范圍為AB﹣BM＜AM＜AB+BM，從而得到AD的取值范圍是；方法總結：上述方法我們稱為“倍長中線法”．“倍長中線法”多用于構造全等三角形和證明邊之間的關系．（2）請你寫出圖2中AC與BM的數量關系和位置關系，并加以證明．（3）深入思考：如圖3，AD是△ABC的中線，AB＝AE，AC＝AF，∠BAE＝∠CAF＝90°，請直接利用（2）的結論，試判斷線段AD與EF的數量關系，并加以證明．【答案】（1）1＜AD＜7；（2）AC∥BM，且AC＝BM，證明見解析；（3）EF＝2AD，證明見解析．【分析】（1）延長AD到M，使得DM＝AD，連接BM，根據題意證明△MDB≌△ADC，可知BM＝AC，在△ABM中，根據AB﹣BM＜AM＜AB+BM，即可；（2）由（1）知，△MDB≌△ADC，可知∠M＝∠CAD，AC＝BM，進而可知AC∥BM；（3）延長AD到M，使得DM＝AD，連接BM，由（1）（2）的結論以及已知條件證明△ABM≌△EAF，進而可得AM＝2AD，由AM＝EF，即可求得AD與EF的數量關系．【詳解】（1）如圖2，延長AD到M，使得DM＝AD，連接BM，∵AD是△ABC的中線，∴BD＝CD，在△MDB和△ADC中，，∴△MDB≌△ADC（SAS），∴BM＝AC＝6，在△ABM中，AB﹣BM＜AM＜AB+BM，∴8﹣6＜AM＜8+6，2＜AM＜14，∴1＜AD＜7，故答案為：1＜AD＜7；（2）AC∥BM，且AC＝BM，理由是：由（1）知，△MDB≌△ADC，∴∠M＝∠CAD，AC＝BM，∴AC∥BM；（3）EF＝2AD，理由：如圖2，延長AD到M，使得DM＝AD，連接BM，由（1）知，△BDM≌△CDA（SAS），∴BM＝AC，∵AC＝AF，∴BM＝AF，由（2）知：AC∥BM，∴∠BAC+∠ABM＝180°，∵∠BAE＝∠FAC＝90°，∴∠BAC+∠EAF＝180°，∴∠ABM＝∠EAF，在△ABM和△EAF中，，∴△ABM≌△EAF（SAS），∴AM＝EF，∵AD＝DM，∴AM＝2AD，∵AM＝EF，∴EF＝2AD，即：EF＝2AD．【點睛】本題考查了三角形三邊關系，三角形全等的性質與判定，利用倍長中線輔助線方法是解題的關鍵．13．（2022秋·八年級課時練習）問題背景：課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：如圖1，△ABC中，若AB＝4，AC＝3，求BC邊上的中線AD的取值范圍．小明在組內經過合作交流，得到了如下的解決方法：延長AD到點E，使DE＝AD，則得到△ADC≌△EDB，小明證明△BED≌△CAD用到的判定定理是：（用字母表示）；問題解決：小明發現：解題時，條件中若出現“中點”“中線”字樣，可以考慮延長中線構造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結論集合到同一個三角形中．請寫出小明解決問題的完整過程；拓展應用：以△ABC的邊AB，AC為邊向外作△ABE和△ACD，AB＝AE，AC＝AD，∠BAE＝∠CAD＝90°，M是BC中點，連接AM，DE．當AM＝3時，求DE的長．【答案】問題背景：SAS；問題解決：完整過程見解析；拓展應用：DE＝6．【分析】問題背景：先判斷出BD=CD，由對頂角相等∠BDE=∠CDA，進而得出△ADC≌△EDB（SAS）；問題解決：先證明△ADC≌△EDB（SAS），得出BE=AC=3，最后用三角形三邊關系即可得出結論；拓展應用：如圖2，延長AM到N，使得MN=AM，連接BN，同（1）的方法得出△BMN≌△CMA（SAS），則BN=AC，進而判斷出∠ABN=∠EAD，進而判斷出△ABN≌△EAD，得出AN=ED，即可求解．【詳解】問題背景：如圖1，延長AD到點E，使DE＝AD，連接BE，∵AD是△ABC的中線，∴BD＝CD，在△ADC和△EDB中，，∴△ADC≌△EDB（SAS），故答案為：SAS；問題解決：如圖1，延長AD到點E，使DE＝AD，連接BE，∵AD是△ABC的中線，∴BD＝CD，在△ADC≌△EDB中，，∴△ADC≌△EDB（SAS），∴BE＝AC，在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE，∵AB＝4，AC＝3，∴4﹣3＜AE＜4+3，即1＜AE＜7，∵DE＝AD，∴AD＝AE，∴＜AD＜；拓展應用：如圖2，延長AM到N，使得MN＝AM，連接BN，由問題背景知，△BMN≌△CMA（SAS），∴BN＝AC，∠CAM＝∠BNM，∴AC//BN，∵AC＝AD，∴BN＝AD，∵AC//BN，∴∠BAC+∠ABN＝180°，∵∠BAE＝∠CAD＝90°，∴∠BAC+∠EAD＝180°，∴∠ABN＝∠EAD，在△ABN和△EAD中，，∴△ABN≌△EAD（SAS），∴AN＝DE，∵MN＝AM，∴DE＝AN＝2AM，∵AM＝3，∴DE＝6．【點睛】此題考查了全等三角形的判定和性質，平行線的判定與性質，補角的性質，掌握倍長中線法，構造全等三角形是解本題的關鍵．14．（2020秋·遼寧大連·八年級大連市第三十四中學校考階段練習）課堂上，老師出示了這樣一個問題：如圖1，點是邊的中點，，，求的取值范圍．（1）小明的想法是，過點作交的延長線于點，如圖2，從而通過構造全等解決問題，請你按照小明的想法解決此問題；（2）請按照上述提示，解決下面問題：在等腰中，，，點邊延長線上一點，連接，過點作于點，過點作，且，連接交于點，連接，求證．【答案】（1）；（2）見解析【分析】（1）根據已知證明，進而求得，根據三角形三邊關系即可求得的取值范圍；（2）過點作交的延長線于，證明，得，再證明，進而證明，即可證明【詳解】（1），即（2）如圖，過點作交的延長線于，,,,,即，又,【點睛】本題考查了三角形全等的性質與判定，三角形三邊關系，等腰三角形的性質，掌握三角形全等的性質與判定是解題的關鍵．15．（2022秋·江蘇·八年級專題練習）（1）如圖1，已知中，AD是中線，求證：；（2）如圖2，在中，D，E是BC的三等分點，求證：；（3）如圖3，在中，D，E在邊BC上，且．求證：．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析【分析】（1）利用“倍長中線”法，延長AD，然后通過全等以及三角形的三邊關系證明即可；（2）取DE中點H，連接AH并延長至Q點，使得AH=QH，連接QE和QC，通過“倍長中線”思想全等證明，進而得到AB=CQ，AD=EQ，然后結合三角形的三邊關系建立不等式證明即可得出結論；（3）同（2）處理方式一樣，取DE中點M，連接AM并延長至N點，使得AM=NM，連接NE，CE，結合“倍長中線”思想證明全等后，結合三角形的三邊關系建立不等式證明即可得出結論．【詳解】證：（1）如圖所示，延長AD至P點，使得AD=PD，連接CP，∵AD是△ABC的中線，∴D為BC的中點，BD=CD，在△ABD與△PCD中，∴△ABD≌△PCD(SAS)，∴AB=CP，在△APC中，由三邊關系可得AC+PC＞AP，∴；（2）如圖所示，取DE中點H，連接AH并延長至Q點，使得AH=QH，連接QE和QC，∵H為DE中點，D、E為BC三等分點，∴DH=EH，BD=DE=CE，∴DH=CH，在△ABH和△QCH中，∴△ABH≌△QCH(SAS)，同理可得：△ADH≌△QEH，∴AB=CQ，AD=EQ，此時，延長AE，交CQ于K點，∵AC+CQ=AC+CK+QK，AC+CK＞AK，∴AC+CQ＞AK+QK，又∵AK+QK=AE+EK+QK，EK+QK＞QE，∴