/2.4線段、角的軸對稱性教材知識總結教材知識總結線段的軸對稱性1.線段是軸對稱圖形，線段的垂直平分線是它的對稱軸.2.線段垂直平分線的性質定理：線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等；

3.線段垂直平分線的性質定理的逆定理：到線段兩個端距離相等的點在線段的垂直平分線上．【點撥】線段的垂直平分線的性質是證明兩線段相等的常用方法之一.同時也給出了引輔助線的方法，那就是遇見線段的垂直平分線，畫出到線段兩個端點的距離，這樣就出現相等線段，直接或間接地為構造全等三角形創造條件.三角形三邊垂直平分線交于一點，該點到三角形三頂點的距離相等，這點是三角形外接圓的圓心——外心.角的軸對稱性1.角的軸對稱性（1）角是軸對稱圖形，角的平分線所在的直線是它的對稱軸.（2）角平分線上的點到角兩邊的距離相等.（3）角的內部到角兩邊距離相等的點在角的平分線上.【點撥】（1）用符號語言表示角平分線上的點到角兩邊的距離相等.

若CD平分∠ADB，點P是CD上一點，且PE⊥AD于點E，PF⊥BD于點F，則PE＝PF.用符號語言表示角的內部到角兩邊距離相等的點在角的平分線上.

若PE⊥AD于點E，PF⊥BD于點F，PE＝PF，則PD平分∠ADB2.角平分線的畫法（1）以O為圓心，適當長為半徑畫弧，交OA于D，交OB于E.

（2）分別以D、E為圓心，大于DE的長為半徑畫弧，兩弧在∠AOB內部交于點C.

（3）畫射線OC.射線OC即為所求.看例題，漲知識看例題，漲知識【例題1】如圖，已知直線l和，在直線l上找一點P，使P到的兩邊、的距離相等．（要求：尺規作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）【例題2】如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，E為CD的中點，連接AE、BE，BE⊥AE，延長AE交BC的延長線于點F．求證：(1)FC=AD；(2)AE平分∠BAD.課后習題鞏固一下課后習題鞏固一下一、單選題1．如圖，三條公路兩兩相交，現計劃在△ABC中內部修建一個探照燈，要求探照燈的位置到這三條公路的距離都相等，則探照燈位置是△ABC（

）的交點．A．三條角平分線 B．三條中線C．三條高的交點 D．三條垂直平分線2．近年來，高速鐵路的規劃與建設成為各地政府爭取的重要項目，如圖，A，B，C三地都想將高鐵站的修建項目落戶在當地．但是，國資委為了使A，B，C三地的民眾都能享受高鐵帶來的便利，決定將高鐵站修建在到A，B，C三地距離都相等的地方，則高鐵站應建在（

）A．AB，BC兩邊垂直平分線的交點處 B．AB，BC兩邊高線的交點處C．AB，BC兩邊中線的交點處 D．∠B，∠C兩內角的平分線的交點處3．如圖，在△ABC中，AB、AC的垂直平分線分別交BC于點E、F，若∠BAC＝114°，則∠EAF為（）A．40° B．44° C．48° D．52°4．如圖中，，AB的垂直平分線DE交AB于點D，交邊AC于點E，則的周長為（

）A．8 B．18 C．13 D．215．如圖，在中，，是的角平分線，若，，則的面積是（

）A．12 B．10 C．8 D．66．小明同學只用兩把完全相同的長方形直尺就可以作出一個角的平分線．如圖：一把直尺壓住射線，另一把直尺壓住射線并且與第一把直尺交于點，小明說：“射線就是的角平分線．”他這樣做的依據是（

）A．在角的內部，到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上B．角平分線上的點到這個角兩邊的距離相等C．三角形的三條高交于一點D．三角形三邊的垂直平分線交于一點二、填空題7．如圖，，若，則到的距離為_________．8．如圖，在中，，的平分線與的外角平分線交于點，則的度數為___________.（用含的式子表示）9．如圖，在△ABC中，，，DE垂直平分BC，垂足為E，交AC于點D，則△ABD的周長是________．10．如圖，在等腰△ABC中，AB＝AC=8，BC=5，AB的垂直平分線DE交AB于點D，交AC于點E，則△BEC的周長為______．三、解答題11．如圖，電信部門要在S區修建一座發射塔P．按照設計要求，發射塔P到兩個城鎮A、B的距離必須相等，到兩條高速公路m和n的距離也必須相等，發射塔P應建在什么位置？在圖上標出它的位置．（尺規作圖：只保留作圖痕跡，不寫作圖過程）12．如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，E為CD的中點，連接AE并延長交BC的延長線于點F(1)求證：CF=AD；(2)若AD=3，AB=5，當BC的長為多少時，點B在線段AF的垂直平分線上？為什么？13．如圖，，，，．(1)求證：；(2)連接EC，AO，求證：AO垂直平分EC．14．已知是的平分線，點P是射線上一點，，點C、D分別在射線、上，連接、．(1)如圖①，當，時，則與的數量關系是___________．(2)如圖②，點C、D在射線、上滑動，且，當時與在（1）中的數量關系還成立嗎?說明理由．(3)在問題（2）中，則四邊形的面積S是否會發生變化?若不會發生變化，請直接寫出面積S的值，若發生變化，請說明理由/

2.4線段、角的軸對稱性教材知識總結教材知識總結線段的軸對稱性1.線段是軸對稱圖形，線段的垂直平分線是它的對稱軸.2.線段垂直平分線的性質定理：線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等；

3.線段垂直平分線的性質定理的逆定理：到線段兩個端距離相等的點在線段的垂直平分線上．【點撥】線段的垂直平分線的性質是證明兩線段相等的常用方法之一.同時也給出了引輔助線的方法，那就是遇見線段的垂直平分線，畫出到線段兩個端點的距離，這樣就出現相等線段，直接或間接地為構造全等三角形創造條件.三角形三邊垂直平分線交于一點，該點到三角形三頂點的距離相等，這點是三角形外接圓的圓心——外心.角的軸對稱性1.角的軸對稱性（1）角是軸對稱圖形，角的平分線所在的直線是它的對稱軸.（2）角平分線上的點到角兩邊的距離相等.（3）角的內部到角兩邊距離相等的點在角的平分線上.【點撥】（1）用符號語言表示角平分線上的點到角兩邊的距離相等.

若CD平分∠ADB，點P是CD上一點，且PE⊥AD于點E，PF⊥BD于點F，則PE＝PF.用符號語言表示角的內部到角兩邊距離相等的點在角的平分線上.

若PE⊥AD于點E，PF⊥BD于點F，PE＝PF，則PD平分∠ADB2.角平分線的畫法（1）以O為圓心，適當長為半徑畫弧，交OA于D，交OB于E.

（2）分別以D、E為圓心，大于DE的長為半徑畫弧，兩弧在∠AOB內部交于點C.

（3）畫射線OC.射線OC即為所求.看例題，漲知識看例題，漲知識【例題1】如圖，已知直線l和，在直線l上找一點P，使P到的兩邊、的距離相等．（要求：尺規作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）【答案】答案見解析【分析】作∠AOB的平分線與直線l兩條線的交點就是P點．【解析】解：作∠AOB的平分線與直線l兩條線的交點就是P點，點P即為所求．【點撥】本題考查了角的平分線的作圖，解題的關鍵是需要熟記作圖的方法．【例題2】如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，E為CD的中點，連接AE、BE，BE⊥AE，延長AE交BC的延長線于點F．求證：(1)FC=AD；(2)AE平分∠BAD.【答案】(1)見解析；(2)見解析【分析】（1）先根據平行線的性質可得∠F=∠DAE，∠ECF=∠D，再根據線段中點的定義可得CE=DE，然后根據三角形全等的判定定理與性質即可得證；（2）由（1）得△AEB≌△FEB，△AED≌△FEC，得∠BAE=∠F，∠DAE=∠F，那么∠BAE=∠DAE．【解析】(1)∵AD∥BC（已知）∴（兩直線平行，內錯角相等）又∵E為CD的中點（已知）∴在△ADE和△FCE中∵∴△ADE≌△FCE（AAS）∴FC=AD（全等三角形的性質）(2)∵△ADE≌△FCE（已證）∴AE=FE（全等三角形的性質）又∵BE⊥AE，（已知）∴，在△AEB和△FEB中，∵∴

△AEB≌△FEB（SAS）∴

（全等三角形的性質）又∵（已證）∴（等量代換），∴AE平分∠BAD．【點撥】本題考查了平行線的性質、三角形全等的判定定理與性質、線段垂直平分線的判定與性質等知識點，熟練掌握三角形全等的判定定理與性質是解題關鍵．課后習題鞏固一下課后習題鞏固一下一、單選題1．如圖，三條公路兩兩相交，現計劃在△ABC中內部修建一個探照燈，要求探照燈的位置到這三條公路的距離都相等，則探照燈位置是△ABC（

）的交點．A．三條角平分線 B．三條中線C．三條高的交點 D．三條垂直平分線【答案】A【分析】根據角平分線的性質即可得到探照燈的位置在角平分線的交點處，即可得到結論．【解析】解：∵探照燈的位置到這三條公路的距離都相等，∴探照燈位置是△ABC的三條角平分線上，故選：A．【點撥】此題考查了角平分線的性質，數據角平分線的性質定理是解題的關鍵．2．近年來，高速鐵路的規劃與建設成為各地政府爭取的重要項目，如圖，A，B，C三地都想將高鐵站的修建項目落戶在當地．但是，國資委為了使A，B，C三地的民眾都能享受高鐵帶來的便利，決定將高鐵站修建在到A，B，C三地距離都相等的地方，則高鐵站應建在（

）A．AB，BC兩邊垂直平分線的交點處 B．AB，BC兩邊高線的交點處C．AB，BC兩邊中線的交點處 D．∠B，∠C兩內角的平分線的交點處【答案】A【分析】根據線段垂直平分線的性質可直接進行求解．【解析】解：因為決定將高鐵站修建在到A，B，C三地距離都相等的地方，所以高鐵站應建在AB，BC兩邊垂直平分線的交點處，理由是線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等；故選A．【點撥】本題主要考查線段垂直平分線的性質，熟練掌握線段垂直平分線的性質是解題的關鍵．3．如圖，在△ABC中，AB、AC的垂直平分線分別交BC于點E、F，若∠BAC＝114°，則∠EAF為（）A．40° B．44° C．48° D．52°【答案】C【分析】根據三角形內角和定理求出∠B+∠C，根據線段垂直平分線的性質得到EA＝EB，根據等腰三角形的性質得到∠EAB＝∠B，結合圖形計算即可．【解析】解：在△ABC中，∠BAC＝114°，則∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝180°﹣114°＝66°，∵EG是AB的垂直平分線，∴EA＝EB，∴∠EAB＝∠B，同理：∠FAC＝∠C，∴∠EAB+∠FAC＝∠B+∠C＝66°，∴∠EAF＝∠BAC﹣（∠EAB+∠FAC）＝114°﹣66°＝48°，故選：C．【點撥】本題考查的是線段垂直平分線的性質，掌握線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等是解題的關鍵．4．如圖中，，AB的垂直平分線DE交AB于點D，交邊AC于點E，則的周長為（

）A．8 B．18 C．13 D．21【答案】C【分析】根據垂直平分線的性質，得出，進而可知，代值求解即可得出結論．【解析】解：AB的垂直平分線是DE，，，，，故選：C．【點撥】本題考查三角形周長的求解，準確把握垂直平分線的性質運用是解決問題的關鍵．5．如圖，在中，，是的角平分線，若，，則的面積是（

）A．12 B．10 C．8 D．6【答案】A【分析】過點D作DE⊥AB于E，根據角平分線上的點到角的兩邊的距離相等可得DE=CD=2，然后根據三角形的面積公式求解即可．【解析】解：如圖，過點D作DE⊥AB于E，∵AD是∠BAC的角平分線,CD=3，∴DE=CD=3，∵AB=8，∴△ABD的面積故選A.【點撥】本題主要考查角了平分線的性質，掌握角平分線上的點到角兩邊的距離相等是解答本題的關鍵.6．小明同學只用兩把完全相同的長方形直尺就可以作出一個角的平分線．如圖：一把直尺壓住射線，另一把直尺壓住射線并且與第一把直尺交于點，小明說：“射線就是的角平分線．”他這樣做的依據是（

）A．在角的內部，到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上B．角平分線上的點到這個角兩邊的距離相等C．三角形的三條高交于一點D．三角形三邊的垂直平分線交于一點【答案】A【分析】過兩把直尺的交點P作PF⊥BO與點F，由題意得PE⊥AO，因為是兩把完全相同的長方形直尺，可得PE=PF，再根據角的內部到角的兩邊的距離相等的點在這個角的平分線上可得OP平分∠AOB【解析】如圖所示：過兩把直尺的交點P作PF⊥BO與點F，由題意得PE⊥AO，∵兩把完全相同的長方形直尺，∴PE=PF，∴OP平分∠AOB（角的內部到角的兩邊的距離相等的點在這個角的平分線上），故選A．【點撥】本題主要考查了基本作圖，關鍵是掌握角的內部到角的兩邊的距離相等的點在這個角的平分線上這一判定定理．二、填空題7．如圖，，若，則到的距離為_________．【答案】4【分析】過P點作PE⊥OB于E，根據角平分線的性質定理可得PE=PD，即可求解．【解析】解：如圖，過P點作PE⊥OB于E，∵，PE⊥OB，∴PE=PD=4，即P到OB的距離是4，故答案為：4．【點撥】本題考查了角平分線的性質，熟練掌握角平分線的性質定理是解題的關鍵．8．如圖，在中，，的平分線與的外角平分線交于點，則的度數為___________.（用含的式子表示）【答案】【分析】如圖，過點E作三邊的垂線，垂足分別為D，F，G，先根據角平分線的性質證得EF=DE，然后根據角平分線的判定證得，再根據三角形外角的性質和角平分線的性質求得∠EBA=，∠BAE=，最后根據三角形內角和求解．【解析】解：過點E作于點D，于點F，于點G，∵CE平分∠ACB，BE平分∠ABC的外角，∴，∴AE也是∠BAC外角的平分線，∴∠EBA=，∠BAE=，∴∠EBA+∠BAE==，∴∠AEB==．故答案為：．【點撥】本題是三角形的綜合題，考查了三角形的內角和定理，三角形外角的性質，角平分線的性質和判定，正確理解三角形的有關性質是解本題的關鍵．9．如圖，在△ABC中，，，DE垂直平分BC，垂足為E，交AC于點D，則△ABD的周長是________．【答案】13【分析】根據線段垂直平分線的性質得到DB=DC，即可得到答案．【解析】解：∵DE垂直平分BC，∴DB=DC，∵，，∴△ABD的周長是AB+BD+AD=AB+CD+AD=AB+AC=5+8=13,故答案為：13．【點撥】此題考查了線段垂直平分線的性質：線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等．10．如圖，在等腰△ABC中，AB＝AC=8，BC=5，AB的垂直平分線DE交AB于點D，交AC于點E，則△BEC的周長為______．【答案】13【分析】由垂直平分線的性質可得BE+EC=AC，再根據三角形周長的意義即可得到解答．【解析】解：∵DE為AB的垂直平分線，∴AE=BE，∴BE+EC=AE+EC=AC=8，∴△BEC的周長=BE+EC+BC=8+5=13，故答案為13．【點撥】本題考查垂直平分線的應用，熟練掌握垂直平分線的性質是解題關鍵．三、解答題11．如圖，電信部門要在S區修建一座發射塔P．按照設計要求，發射塔P到兩個城鎮A、B的距離必須相等，到兩條高速公路m和n的距離也必須相等，發射塔P應建在什么位置？在圖上標出它的位置．（尺規作圖：只保留作圖痕跡，不寫作圖過程）【答案】見解析【分析】根據角平分線性質：角平分線上的點到角兩邊距離相等；線段垂直平分線性質：線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等，據此作圖即可得答案．【解析】解：連接AB，作線段AB的垂直平分線l，作∠MON的平分線OQ，OQ交直線l于P，P點即為所求．【點撥】本題考查了角平分線、線段垂直平分線的尺規作圖方法，掌握這兩種尺規作圖方法是解題關鍵．12．如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，E為CD的中點，連接AE并延長交BC的延長線于點F(1)求證：CF=AD；(2)若AD=3，AB=5，當BC的長為多少時，點B在線段AF的垂直平分線上？為什么？【答案】(1)證明見解析(2)2，理由見解析【分析】（1）根據證明與全等即可；（2）根據線段垂直平分線的性質可得，由（1）可知，即可求解．【解析】(1)，，，為的中點，，在與中，，，；(2)當點B在線段AF的垂直平分線上時，，∵，∴，∴．【點撥】本題考查全等三角形的判定與性質、線段垂直平分線的性質．線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等．13．如圖，，，，．(1)求證：；(2)連接EC，AO，求證：AO垂直平分EC