/第06講用一元二次方程解決問題（二）模塊一思維導圖串知識模塊二基礎知識全梳理模塊三核心考點舉一反三模塊四小試牛刀過關測1．引導學生經歷和體驗用一元二次方程解決實際問題的過程，進一步體會一元二次方程是刻畫現實世界數量關系的有效模型，增強學生的數學應用意識；2．會根據具體問題中的數量關系列出一元二次方程并求解，能檢驗所得的結果是否符合實際意義。1.解決應用題的一般步驟：步驟內容摘要注意事項1.審審題目，分清已知量、未知量、等量關系等等量關系往往體現在關鍵詞句中2.設設未知數，有時會用未知數表示相關的量一般要帶單位3.列根據題目中的等量關系，列出方程方程兩邊單位要統一4.解解方程，注意分式方程需檢驗，將所求量表示清晰一般不必寫出解方程的過程5.檢檢驗方程的解能否保證實際問題有意義一般兩個根中只有一個符合實際意義6.答寫出答案，切忌答非所問注意帶上單位圖形問題如圖，一農戶要建一個矩形豬舍，豬舍的一邊利用長為12m的住房墻，另外三邊用25m長的建筑材料圍成，為方便進出，在垂直于住房墻的一邊留一個1m寬的門，所圍矩形豬舍的長、寬分別為多少時，豬舍面積為80m2？各種規則圖形的面積、體積、周長公式，常涉及三角形的三邊關系、三角形全等、勾股定理等。列一元二次方程解應用題是把實際問題抽象為數學問題（列方程），然后由數學問題的解決而獲得對實際問題的解決.這是在解決實際問題時常用到的數學思想—方程思想銷售問題某商品現在的售價為每件60元，每星期可賣出300件．市場調查反映：每降價1元，每星期可多賣出20件．已知商品的進價為每件40元，在顧客得實惠的前提下，商家還想獲得6080元的利潤，應將銷售單價定位多少元？利潤=售價-進價(成本)

總利潤=每件的利潤×總件數

動點問題等腰中，，動點從點出發，沿向點移動，通過點引平行于、的直線與、分別交于點、，問：等于多少厘米時，平行四邊形的面積等于．以“靜”制“動”求解：①分析出動點的運行軌跡，用含有未知數的代數式把相應的線段表示出來是解決這類問題的關鍵；②結合題意，用“靜”的方法來處理“動”的問題，本題中的“靜”是指在某一時刻兩個三角形面積之間的關系。考點一：圖形問題例1．如圖，在長為，寬為的矩形耕地上，修筑同樣寬的三條道路（其中有兩條縱向和一條橫向，橫向與縱向道路互相垂直），把耕地分成六塊作為試驗田，要使試驗田總面積為，問道路應為多寬？若設道路寬為，則下列方程正確的是（

）A． B．C． D．【變式1-1】如圖，一張長寬比為的長方形紙板，剪去四個邊長為的正方形，用它做一個無蓋的長方體包裝盒．要使包裝盒的容積為（紙板的厚度略去不計），問這張長方形紙板的長與寬分別為多少厘米？若設這張矩形紙板的長為厘米，則由題意可列出的方程是（

）A． B．C． D．【變式1-2】如圖是一塊長方形菜地ABCD，，，面積為．現將邊AB增加，邊AD增加，若有且只有一個a的值，使得到的長方形面積為，則S的值是．

【變式1-3】現有可建60米長圍墻的建筑材料，如圖，利用該材料在某工地的直角墻角處圍成一個矩形堆物場地（靠墻面不需要建筑材料），中間用同樣的材料分隔為兩間，要使所圍成的矩形和矩形的面積分別是和，求BF的長（假設已有建筑材料恰好用完）考點二：銷售問題例2．某品牌店銷售一款進價為每件50元的男士短袖，若按每件80元出售，每月可銷售200件．值此父親節來臨之際，該店實行降價促銷．經調查發現，這款男士短袖的售價每下降1元，其銷售數量就增加20件．當每件男士短袖降價多少元時，該店銷售這款男士短袖的利潤為8000元？設每件男士短袖降價x元，可列出方程為（

）A． B．C． D．【變式2-1】直播購物逐漸走進了人們的生活．某電商在抖音上對一款成本價為40元的小商品進行直播銷售，如果按每件60元銷售，每天可賣出20件．通過市場調查發現每件小商品售價每降低1元，日銷售量增加2件．若日利潤保持不變．商家想盡快銷售完該款商品．每件售價應定為多少元（

）A．45 B．50 C．55 D．60【變式2-2】某種花卉每盆的盈利與每盆的株數有一定的關系．每盆植3株時，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利減少元．要使每盆的盈利達到15元，則每盆應多植株．【變式2-3】士寶精品店以每件21元的價格購進一批商品，該商品可以自行定價，若每件商品售價為元，則可賣出件，但物價局限定每件商品的利潤不得超過(1)若商店計劃要盈利400元，需要進貨多少件？每件商品的售價應定為多少？(2)在（1）的條件下，在實際銷售的過程中，先將（1）中購進的商品賣出了部分后，決定將剩余商品打9折甩貨，則至少先賣出多少件商品后再甩貨才能保證利潤不低于300元？考點三：動點問題例3.如圖，在中，，，，動點P從點A開始沿邊向點B以的速度移動，動點Q從點B開始沿邊BC向點C以的速度移動，若P、Q兩點分別從A、B兩點同時出發，在運動過程中，的最大面積是（）

A． B． C． D．【變式3-1】如圖，在中，，點M從點A出發沿邊向點B以的速度移動，同時點N從點B出發沿邊向點C以的速度移動．當一個點先到達終點時，另一個點也停止運動．當的面積為時，運動時間為（

）A． B． C． D．【變式3-2】如圖所示，中，，，，點從點開始沿向點以的速度移動，點從點開始沿邊向點以的速度移動．如果、分別從、同時出發，那么秒后，線段將分成面積1：2的兩部分．

【變式3-3】如圖，中，，，．(1)如圖1，點從點開始沿邊向點以的速度移動（到達點即停止運動），點從點開始沿邊向點以的速度移動（到達點即停止運動）．如果點，分別從，兩點同時出發．①經過多少秒鐘，的面積等于；②線段能否將分成面積為的兩部分？若能，求出運動時間；若不能說明理由；(2)如圖2，若點沿射線方向從點出發以的速度移動，點沿射線方向從點出發以的速度移動，，同時出發，直接寫出幾秒后，的面積為．1．如圖，某小區計劃在一個長，寬的長方形場地上修建同樣寬的小路，使其中兩條與平行，另一條與平行，其余部分種草如果使草坪部分的總面積為，設小路的寬為，那么滿足的方程是（

）A． B．C． D．2．山西垣曲縣的菖蒲酒，遠在漢代就已名噪酒壇，為歷代帝王將相所喜愛，被列為歷代御膳香醪．菖蒲酒之所以珍貴，主要在于它采用了當地特產“九節菖蒲”這種名貴中藥材．近年來，受旅游業以及民眾養生意識的影響，菖蒲酒在市場上的銷量逐年增長．已知某代銷商2020年售出蒲酒500瓶，2022年售出菖蒲酒720瓶，若設這兩年菖蒲酒銷量的年平均增長率為，則可列方程為（

）A． B．C． D．3．如圖，中，，，，點P從點B出發向終點C以1個單位長度/s移動，點Q從點C出發向終點A以2個單位長度/s移動，P、Q兩點同時出發，一點先到達終點時P、Q兩點同時停止，則（）秒后，的面積等于4．A．1 B．2 C．4 D．1或44．2024年4月3日，太原廣播電視臺攜手柳州市融媒體中心推出《柳侯之風嘉惠雙城——柳州-太原清明節雙城聯動大型融媒體直播》節目，受到了社會各界的關注，在直播中，他們為觀眾準備了一批“驚喜盲盒”．如圖，制作該盲盒的矩形紙板的寬為，剪去兩個矩形和一個正方形（陰影部分）后，沿虛線折起即可制成一個有蓋的長方體紙盒．若矩形A的面積為，正方形B的邊長為，則根據題意可列方程為（）A． B．C． D．5．某漁具店銷售一種魚餌，每包成本價為元，經市場調研發現：售價為元時，每天可銷售包，售價每上漲元，銷量將減少包．如果想獲利元，設這種魚餌的售價上漲元，根據題意可列方程為（

）A． B．C． D．6．如圖，在矩形中，，，點從點出發沿以的速度向點移動，一直到達點為止;同時，點從點出發沿邊以的速度向點移動．設運動時間為，當時，（）

A． B．或4 C．或 D．7．如圖，在正方形中，為中點，連接，延長至點，使得，以為邊作正方形，在《幾何原本》中按此方法找到線段的黃金分割點．現連接并延長，分別交，于點，，若：的面積與的面積之差為，則線段的長為（

）

A． B． C． D．8．一件工藝品進價為100元，標價為135元售出，每天可售出100件，根據銷售統計，一件工藝品每降低1元出售，則每天可多售出4件，要使顧客盡量得到優惠，且每天獲得利潤為3596元，每件工藝品需降價（）A．4元 B．6元 C．4元或6元 D．5元9．某種服裝平均每天可銷售件，每件盈利元，在每件降價幅度不超過元的情況下，若每件降價元，則每天可多售件，如果每天要盈利元，每件降價多少元？設每件降價元，則可列方程為．10．一農戶家承包了一塊矩形荒地，修建了三個草莓種植大棚，其布局如圖所示．已知矩形荒地米，米，陰影部分為大棚，其余部分是等寬的通道，大棚的總面積為870平方米，則通道寬為米．11．如圖，在矩形中，，，點P從點A開始沿邊向終點B以的速度運動，與此同時，點Q從點B開始沿邊向終點C以的速度運動．若點P，Q同時出發，當點Q運動到點C時，兩點停止運動，設運動時間為．當五邊形的面積等于時，t的值為．

12．如圖，有一張長，寬的矩形紙板，將紙板四個角各剪去一個邊長為的正方形，然后將四周突出部分折起，可制成一個無蓋長方體紙盒，要使制成紙盒的底面積是原來矩形紙板面積的，則x的值為．13．在過去的年，直播電商一詞，我們并不陌生．原本以內容為主的視頻平臺在入局電商后，大力開拓直播帶貨模式，并實現高速增長．某電商在抖音上對一款成本價為元的小商品進行直播銷售，如果按每件元銷售，每天可賣出件．通過市場調查發現，每件小商品售價每降低元，日銷售量增加件．若日利潤保持不變，商家想盡快銷售完該款商品，每件售價應定為元．14．如圖，菱形中，，交于，，，動點從出發沿方向以每秒勻速直線運動到，動點從出發沿方向以每秒勻速直線運動到，若，同時出發，問出發后s時，的面積為菱形面積的？

15．如圖，要修建一個長方形雞場，雞場的一邊靠墻（墻長為18米），其余三邊用竹籬笆，籬笆的總長度為35米，圍成長方形雞場的四周不能有空隙．

(1)若要圍成雞場的面積為150平方米，則雞場的長和寬各應為多少米？(2)圍成雞場的面積能達到160平方米嗎？如果能，寫出計算過程，如果不能，說明理由．16．2024年3月中國新能源汽車在國家積極政策的鼓勵下，居民環保意識日漸增強，新能源汽車的市場非常火爆．某汽車企業下屬的一個專賣店經銷一款進價為15萬元/輛的新能源汽車，經銷一段時間后發現：當該款汽車售價定為25萬元/輛時，平均每周售出8輛；售價每降低0.5萬元，平均每周多售出1輛.若該店計劃下調售價使平均每周的銷售利潤為96萬元，并且盡量讓利于顧客，求下調后每輛汽車的售價？17．百貨商店服裝柜在銷售中知悉：某品牌童裝平均每天可售出20件，每件盈利40元．為了迎接“六一”國際兒童節，商場決定采取適當的降價措施，以擴大銷售量，增加盈利．經市場調查發現：如果每件童裝降價4元，那么平均每天就可多售出8件．(1)設每套童裝降價元，每天的銷售量為件，在保證不賠的前提下，求關于的函數關系式，并直接寫出自變量的取值范圍；(2)要平均每天銷售這種童裝盈利1200元，并盡快減少庫存，那么每件童裝應降價多少元？18．如圖，在四邊形中，，，，，點從開始沿邊向以每秒的速度移動，點從開始沿邊向以每秒的速度移動，如果點、分別從、同時出發，當其中一點到達終點時運動停止．設運動時間為秒．(1)求證：當時，四邊形是平行四邊形；(2)是否可能平分對角線？若能，求出當為何值時平分；若不能，請說明理由；(3)若是以為腰的等腰三角形，求的值．

第06講用一元二次方程解決問題（二）模塊一思維導圖串知識模塊二基礎知識全梳理模塊三核心考點舉一反三模塊四小試牛刀過關測1．引導學生經歷和體驗用一元二次方程解決實際問題的過程，進一步體會一元二次方程是刻畫現實世界數量關系的有效模型，增強學生的數學應用意識；2．會根據具體問題中的數量關系列出一元二次方程并求解，能檢驗所得的結果是否符合實際意義。1.解決應用題的一般步驟：步驟內容摘要注意事項1.審審題目，分清已知量、未知量、等量關系等等量關系往往體現在關鍵詞句中2.設設未知數，有時會用未知數表示相關的量一般要帶單位3.列根據題目中的等量關系，列出方程方程兩邊單位要統一4.解解方程，注意分式方程需檢驗，將所求量表示清晰一般不必寫出解方程的過程5.檢檢驗方程的解能否保證實際問題有意義一般兩個根中只有一個符合實際意義6.答寫出答案，切忌答非所問注意帶上單位圖形問題如圖，一農戶要建一個矩形豬舍，豬舍的一邊利用長為12m的住房墻，另外三邊用25m長的建筑材料圍成，為方便進出，在垂直于住房墻的一邊留一個1m寬的門，所圍矩形豬舍的長、寬分別為多少時，豬舍面積為80m2？解：設矩形豬舍垂直于住房墻一邊長為xm可以得出平行于墻的一邊的長為（25﹣2x+1）m，由題意得x（25﹣2x+1）=80，化簡，得x2﹣13x+40=0，解得：x1=5，x2=8，當x=5時，26﹣2x=16＞12（舍去），當x=8時，26﹣2x=10＜12，答：所圍矩形豬舍的長為10m、寬為8m．各種規則圖形的面積、體積、周長公式，常涉及三角形的三邊關系、三角形全等、勾股定理等。列一元二次方程解應用題是把實際問題抽象為數學問題（列方程），然后由數學問題的解決而獲得對實際問題的解決.這是在解決實際問題時常用到的數學思想—方程思想銷售問題某商品現在的售價為每件60元，每星期可賣出300件．市場調查反映：每降價1元，每星期可多賣出20件．已知商品的進價為每件40元，在顧客得實惠的前提下，商家還想獲得6080元的利潤，應將銷售單價定位多少元？解：降價x元，則售價為（60﹣x）元，銷售量為（300+20x）件，根據題意得，（60﹣x﹣40）（300+20x）=6080，解得x1=1，x2=4，又顧客得實惠，故取x=4，級定價為56元，答：應將銷售單價定位56元．利潤=售價-進價(成本)

總利潤=每件的利潤×總件數

動點問題等腰中，，動點從點出發，沿向點移動，通過點引平行于、的直線與、分別交于點、，問：等于多少厘米時，平行四邊形的面積等于．解：設，則，由題意可知和均為等腰直角三角形，的面積等于，依題意可得，解得：，即長為．故長為時，平行四邊形的面積等于．以“靜”制“動”求解：①分析出動點的運行軌跡，用含有未知數的代數式把相應的線段表示出來是解決這類問題的關鍵；②結合題意，用“靜”的方法來處理“動”的問題，本題中的“靜”是指在某一時刻兩個三角形面積之間的關系。考點一：圖形問題例1．如圖，在長為，寬為的矩形耕地上，修筑同樣寬的三條道路（其中有兩條縱向和一條橫向，橫向與縱向道路互相垂直），把耕地分成六塊作為試驗田，要使試驗田總面積為，問道路應為多寬？若設道路寬為，則下列方程正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】設道路寬為，分別表示出除去道路之后矩形的長和寬，然后根據試驗田總面積為，列方程即可．本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，解答本題的關鍵是看清圖形，讀懂題意，設出未知數，找出合適的等量關系，列方程．【詳解】解：由題意得，．故選：C．【變式1-1】如圖，一張長寬比為的長方形紙板，剪去四個邊長為的正方形，用它做一個無蓋的長方體包裝盒．要使包裝盒的容積為（紙板的厚度略去不計），問這張長方形紙板的長與寬分別為多少厘米？若設這張矩形紙板的長為厘米，則由題意可列出的方程是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】此題主要考查了一元二次方程的應用，根據題意正確表示出長方體的底面積是解題關鍵．根據題意設這張長方形紙板的長為，寬為，進而表示出長方體的底面積，即可表示出長方體體積，進而得出等式求出答案．【詳解】解：設這張長方形紙板的長為，寬為，根據題意可得：．故選：D．【變式1-2】如圖是一塊長方形菜地ABCD，，，面積為．現將邊AB增加，邊AD增加，若有且只有一個a的值，使得到的長方形面積為，則S的值是．

【答案】【分析】本題主要考查了矩形的性質，一元二次方程的知識，根據已知條件，用a和S表示出矩形的面積，根據一元二次方程的解法解答即可．【詳解】解：根據題意，得起始矩形的面積，變化后矩形的面積為，∴，，∴，∴，∵有且只有一個a的值，∴，整理得：，解得：，（舍去），∴S的值是．故答案為：．【變式1-3】現有可建60米長圍墻的建筑材料，如圖，利用該材料在某工地的直角墻角處圍成一個矩形堆物場地（靠墻面不需要建筑材料），中間用同樣的材料分隔為兩間，要使所圍成的矩形和矩形的面積分別是和，求BF的長（假設已有建筑材料恰好用完）【答案】的長是【分析】本題考查了一元二次方程的應用，設的長為，則的長為，根據矩形的面積公式及矩形的面積為，即可得出關于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再利用矩形的面積公式結合矩形的面積為，即可求出的長．【詳解】解：設的長為，則的長為，依題意，得：，整理，得：，解得：，答：的長是考點二：銷售問題例2．某品牌店銷售一款進價為每件50元的男士短袖，若按每件80元出售，每月可銷售200件．值此父親節來臨之際，該店實行降價促銷．經調查發現，這款男士短袖的售價每下降1元，其銷售數量就增加20件．當每件男士短袖降價多少元時，該店銷售這款男士短袖的利潤為8000元？設每件男士短袖降價x元，可列出方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本題考查了一元二次方程的應用，解題的關鍵是了解銷售量，利潤之間的關系．設每件男士短袖降價x元，則銷售量為件，每件的利潤為元，根據每件的利潤銷售量總利潤即可建立方程．【詳解】解：設每件男士短袖降價x元，可列出方程為：，故選：D．【變式2-1】直播購物逐漸走進了人們的生活．某電商在抖音上對一款成本價為40元的小商品進行直播銷售，如果按每件60元銷售，每天可賣出20件．通過市場調查發現每件小商品售價每降低1元，日銷售量增加2件．若日利潤保持不變．商家想盡快銷售完該款商品．每件售價應定為多少元（

）A．45 B．50 C．55 D．60【答案】B【分析】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．設每件售價應定為x元，依據按每件60元銷售，每天可賣出20件．通過市場調查發現，每件小商品售價每降低1元，日銷售量增加2件列出等式解答即可．【詳解】解：設設每件售價應定為x元，根據題意，得解得：，，∵商家想盡快銷售完該款商品，∴，∴商家想盡快銷售完該款商品，每件售價應定為50元．故選：B．【變式2-2】某種花卉每盆的盈利與每盆的株數有一定的關系．每盆植3株時，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利減少元．要使每盆的盈利達到15元，則每盆應多植株．【答案】2或3【分析】本題考查了一元二次方程的應用，等量關系式：每盆花卉的株數每株花卉的盈利元，找出等量關系式是解題的關鍵．【詳解】解：設每盆應該多植x株，由題意得，解得：，．答：每盆應多植2株或3株，每盆的盈利15元，故答案為：2或3．【變式2-3】士寶精品店以每件21元的價格購進一批商品，該商品可以自行定價，若每件商品售價為元，則可賣出件，但物價局限定每件商品的利潤不得超過(1)若商店計劃要盈利400元，需要進貨多少件？每件商品的售價應定為多少？(2)在（1）的條件下，在實際銷售的過程中，先將（1）中購進的商品賣出了部分后，決定將剩余商品打9折甩貨，則至少先賣出多少件商品后再甩貨才能保證利潤不低于300元？【答案】(1)需要進貨100件，每件商品應定價25元(2)至少先賣出60件商品后再甩貨才能保證利潤不低于300元【分析】本題考查了一元二次方程的應用及一元一次不等式的應用，熟練掌握利潤的計算方法是解題的關鍵．（1）利潤=售價-進價，總利潤=單件利潤×總件數，注意限制條件的作用．（2）設先賣出m件商品后再甩貨才能保證利潤不低于300元，根據題意列出不等式解決即可．【詳解】（1）解：依題意，整理得，解得，．因為，所以不合題意，舍去．所以（件）．答：需要進貨100件，每件商品應定價25元．（2）設先賣出m件商品后再甩貨才能保證利潤不低于300元，由題意得：，解得：，至少先賣出60件商品后再甩貨才能保證利潤不低于300元．考點三：動點問題例3.如圖，在中，，，，動點P從點A開始沿邊向點B以的速度移動，動點Q從點B開始沿邊BC向點C以的速度移動，若P、Q兩點分別從A、B兩點同時出發，在運動過程中，的最大面積是（）

A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查的是二次函數的應用，根據題意列出二次函數是解題的關鍵．設P、Q同時出發后經過，的面積為，則，，，進而得到S的表達式；由于S的表達式為二次函數的形式，將其化為頂點式，再結合t的取值范圍就能得出面積的最大值．【詳解】解：設P、Q同時出發后經過，的面積為Scm2．則，，，則．∵，，點P的運動速度為，點Q的運動速度為，∴，∴，∴時，S有最大值，最大值為9，即的最大面積為故選：C．【變式3-1】如圖，在中，，點M從點A出發沿邊向點B以的速度移動，同時點N從點B出發沿邊向點C以的速度移動．當一個點先到達終點時，另一個點也停止運動．當的面積為時，運動時間為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了一元二次方程的應用，在中，利用勾股定理可求出的長度，當運動時間為時，，，根據的面積為，即可得出關于的一元二次方程，解之即可得出結論．找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．【詳解】解：在中，，，，∴．當運動時間為時，，，，依題意得：，即，整理得：，解得：，∴點，的運動時間為．故選：A．【變式3-2】如圖所示，中，，，，點從點開始沿向點以的速度移動，點從點開始沿邊向點以的速度移動．如果、分別從、同時出發，那么秒后，線段將分成面積1：2的兩部分．

【答案】2或4【分析】考查了一元二次方程的應用，根據題意表示出、的長，再根據三角形的面積公式列方程即可．【詳解】解：根據題意，知，．線段將分成面積1：2的兩部分，則根據三角形的面積公式，得，整理得：．解得，即線段將分成面積1：2的兩部分，運動時間為2或4秒．故答案為：2或4．【變式3-3】如圖，中，，，．(1)如圖1，點從點開始沿邊向點以的速度移動（到達點即停止運動），點從點開始沿邊向點以的速度移動（到達點即停止運動）．如果點，分別從，兩點同時出發．①經過多少秒鐘，的面積等于；②線段能否將分成面積為的兩部分？若能，求出運動時間；若不能說明理由；(2)如圖2，若點沿射線方向從點出發以的速度移動，點沿射線方向從點出發以的速度移動，，同時出發，直接寫出幾秒后，的面積為．【答案】(1)①秒或秒；②秒(2)秒或秒或秒【分析】本題考查一元二次方程的應用，三角形的面積，（1）①由三角形的面積公式可求解；②分兩種情況討論，由題意列出方程可求出答案；（2）分三種情況：①點在線段上，點在線段上，②點在線段上，點在線段的延長線上時，③點在線段的延長線上，點在線段的延長線上時，由三角形面積公式可得出答案；運用分類討論的思想是解題的關鍵．【詳解】（1）解：①設經過秒鐘，的面積等于，由題意，，，∴，∴，解得：，，∴經過秒或秒鐘，的面積等于；②設經過秒，線段能將分成面積為的兩部分，由題意得：1），即：，∴，解得：（不合題意，舍去），；2），即：，∴，∵，此方程無實數根，即這種情況不存在；綜上所述，經過秒時，線段能將分成面積為的兩部分；（2）設經過秒，的面積為，可分三種情況：①點在線段上，點在線段上時，此時，，∴，∴，解得：（舍去），；②點在線段上，點在線段的延長線上時，此時，，∴，∴，解得：；③點在線段的延長線上，點在線段的延長線上時，此時，，∴，∴，解得：，（舍去）；綜上所述，經過秒或秒或秒后，的面積為．1．如圖，某小區計劃在一個長，寬的長方形場地上修建同樣寬的小路，使其中兩條與平行，另一條與平行，其余部分種草如果使草坪部分的總面積為，設小路的寬為，那么滿足的方程是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．由小路的寬為，可得出種草的部分可合成長為，寬為的長方形，結合草坪部分的總面積為，可得出關于的一元二次方程，整理后即可得出結論．【詳解】解：小路的寬為，種草的部分可合成長為，寬為的長方形．根據題意得：，整理得：．故選：C．2．山西垣曲縣的菖蒲酒，遠在漢代就已名噪酒壇，為歷代帝王將相所喜愛，被列為歷代御膳香醪．菖蒲酒之所以珍貴，主要在于它采用了當地特產“九節菖蒲”這種名貴中藥材．近年來，受旅游業以及民眾養生意識的影響，菖蒲酒在市場上的銷量逐年增長．已知某代銷商2020年售出蒲酒500瓶，2022年售出菖蒲酒720瓶，若設這兩年菖蒲酒銷量的年平均增長率為，則可列方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本題考查根據實際情況列一元二次方程，年平均增長率為，則2021年與2020年的銷量比為，2022年與2021年的銷量比為，由此可列方程，理解年平均增長率的意義是解題的關鍵．【詳解】解：由題意知，2021年銷量為，2022年銷量為，因此，故選D．3．如圖，中，，，，點P從點B出發向終點C以1個單位長度/s移動，點Q從點C出發向終點A以2個單位長度/s移動，P、Q兩點同時出發，一點先到達終點時P、Q兩點同時停止，則（）秒后，的面積等于4．A．1 B．2 C．4 D．1或4【答案】A【分析】本題考查了一元二次方程的幾何應用，動點的面積問題，根據題意表示出線段長度，由題意列出方程求解即可，熟練表示出對應線段的長度和準確列出方程是解題的關鍵．【詳解】解：設t秒后，的面積等于4由題意得：，，則整理得：解得：，（不合題意，舍去），即1秒后，的面積等于4，故選：A．4．2024年4月3日，太原廣播電視臺攜手柳州市融媒體中心推出《柳侯之風嘉惠雙城——柳州-太原清明節雙城聯動大型融媒體直播》節目，受到了社會各界的關注，在直播中，他們為觀眾準備了一批“驚喜盲盒”．如圖，制作該盲盒的矩形紙板的寬為，剪去兩個矩形和一個正方形（陰影部分）后，沿虛線折起即可制成一個有蓋的長方體紙盒．若矩形A的面積為，正方形B的邊長為，則根據題意可列方程為（）A． B．C． D．【答案】A【分析】本題考查一元二次方程的應用，根據圖示用含x的式子表示出矩形A的長與寬，進而表示出面積即可．【詳解】解：由題意知，矩形A的長為，寬為，故可列方程，故選A．5．某漁具店銷售一種魚餌，每包成本價為元，經市場調研發現：售價為元時，每天可銷售包，售價每上漲元，銷量將減少包．如果想獲利元，設這種魚餌的售價上漲元，根據題意可列方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本題考查了一元二次方程的應用，設這種魚餌的售價上漲元，根據題意，列出方程即可求解，根據題意，找到等量關系，列出方程是解題的關鍵．【詳解】解：設這種魚餌的售價上漲元，由題意可得，，故選：．6．如圖，在矩形中，，，點從點出發沿以的速度向點移動，一直到達點為止;同時，點從點出發沿邊以的速度向點移動．設運動時間為，當時，（）

A． B．或4 C．或 D．【答案】C【點評】此題考查了一元二次方程的運用．利用作垂線，構造直角三角形，運用勾股定理列方程是解題關鍵．作，垂足為H，設運動時間為t秒，用t表示線段長，用勾股定理列方程求解．【詳解】解：設P，Q兩點從出發經過t秒時，點P，Q間的距離是,作，垂足為H，

則，，.，可得：，解得，．答：P，Q兩點從出發經過或秒時，點P，Q間的距離是.故答案為：C.7．如圖，在正方形中，為中點，連接，延長至點，使得，以為邊作正方形，在《幾何原本》中按此方法找到線段的黃金分割點．現連接并延長，分別交，于點，，若：的面積與的面積之差為，則線段的長為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了正方形的性質，黃金分割，三角形的面積．連接，設，根據線段的中點定義可得，再根據正方形的性質可得，，從而在中，利用勾股定理求出的長，進而求出的長，然后利用線段的和差關系求出的長，再利用正方形的性質可得，，從而可得，進而可得是等腰直角三角形，最后利用等腰直角三角形的性質可得，再根據已知的面積的面積，可得的面積的面積，從而利用三角形的面積公式進行計算，即可解答．【詳解】解：連接，

設，為中點，，四邊形是正方形，，，，，，，四邊形是正方形，，，，是等腰直角三角形，，的面積的面積，的面積的面積）的面積的面積），的面積的面積，，，解得：或（舍去），，故選：C．8．一件工藝品進價為100元，標價為135元售出，每天可售出100件，根據銷售統計，一件工藝品每降低1元出售，則每天可多售出4件，要使顧客盡量得到優惠，且每天獲得利潤為3596元，每件工藝品需降價（）A．4元 B．6元 C．4元或6元 D．5元【答案】B【分析】設每件工藝品需降價元，根據題意列出一元二次方程，解方程即可得到答案．【詳解】解：設每件工藝品需降價元，根據題意得：，整理得：，解得：，，要使顧客盡量得到優惠，，要使顧客盡量得到優惠，且每天獲得利潤為3596元，每件工藝品需降價6元，故選：B．【點睛】本題考查了一元二次方程的應用，理解題意，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．9．某種服裝平均每天可銷售件，每件盈利元，在每件降價幅度不超過元的情況下，若每件降價元，則每天可多售件，如果每天要盈利元，每件降價多少元？設每件降價元，則可列方程為．【答案】【分析】設每件降價元，表示出每件盈利元，平均每天可銷售件，根據總利潤與單件利潤的關系立方程即可．【詳解】解：設每件降價元，則每件盈利元，平均每天可銷售件，依題意得：，故答案為：．【點睛】本題考查了一元二次方程的實際問題——銷售問題；根據所設未知數表示出每件利潤和每天的銷售量是解題的關鍵．10．一農戶家承包了一塊矩形荒地，修建了三個草莓種植大棚，其布局如圖所示．已知矩形荒地米，米，陰影部分為大棚，其余部分是等寬的通道，大棚的總面積為870平方米，則通道寬為米．【答案】1【分析】本題考查了一元二次方程的應用，解題的關鍵是找準等量關系，正確列出一元二次方程，設通道的寬為米，根據矩形的面積公式列出方程并解答．【詳解】解：設通道的寬為米，根據題意得：，解得：（不合題意舍去）或，通道的寬為1米，故答案為：1．11．如圖，在矩形中，，，點P從點A開始沿邊向終點B以的速度運動，與此同時，點Q從點B開始沿邊向終點C以的速度運動．若點P，Q同時出發，當點Q運動到點C時，兩點停止運動，設運動時間為．當五邊形的面積等于時，t的值為．

【答案】3或5/5或3【分析】根據題意，知，則可求出，再由面積為，列出方程，解方程即可．【詳解】解：根據題意，知，，∵五邊形的面積等于，∴，矩形，，，，∴3秒或5秒后五邊形的面積等于．故答案為：3或5．【點睛】此題考查了一元二次方程的應用．利用長方形的性質與三角形面積，找出等量關系并正確列出一元二次方程是解題的關鍵．12．如圖，有一張長，寬的矩形紙板，將紙板四個角各剪去一個邊長為的正方形，然后將四周突出部分折起，可制成一個無蓋長方體紙盒，要使制成紙盒的底面積是原來矩形紙板面積的，則x的值為．【答案】5【分析】本題考查了一元二次方程的應用，根據題意，根據面積公式得出，再運用因式分解法解出（不合題意，舍去），即可作答．【詳解】解：由題意可知，無蓋紙盒的長為，寬為，∴，整理得，解得（不合題意，舍去），故x的值為5．故答案為：513．在過去的年，直播電商一詞，我們并不陌生．原本以內容為主的視頻平臺在入局電商后，大力開拓直播帶貨模式，并實現高速增長．某電商在抖音上對一款成本價為元的小商品進行直播銷售，如果按每件元銷售，每天可賣出件．通過市場調查發現，每件小商品售價每降低元，日銷售量增加件．若日利潤保持不變，商家想盡快銷售完該款商品，每件售價應定為元．【答案】【分析】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．設售價應定為元，按每件元銷售，每天可賣出件，每件小商品售價每降低元，日銷售量增加件列出等式解答即可．【詳解】解：設售價應定為元，則每件的利潤為元，日銷售量為件，依題意，得：，整理，得：，解得：，．故商家想盡快銷售完該款商品，售價應定為元．故答案為：．14．如圖，菱形中，，交于，，，動點從出發沿方向以每秒勻速直線運動到，動點從出發沿方向以每秒勻速直線運動到，若，同時出發，問出發后s時，的面積為菱形面積的？

【答案】1或4【分析】本題考查了菱形的性質，一元二次方程的應用及分類討論的數學思想，解題的關鍵是根據出發后時間的多少確定列方程的方法．根據點、運動過程中與點的位置關系，分當時，點在線段上，點在線段上、當時，點在線段上，點在線段上和當時，點在線段上，點在線段上三種情況分別討論．【詳解】解：設出發后秒時，．四邊形是菱形，，，，，，，，當時，點在線段上，點在線段上．此時，，則；解得，（舍去）當時，點在線段上，點在線段上，此時，則；化簡為，此時方程，原方程無實數解；當時，點在線段上，點在線段上，此時，，則；解得（舍去），綜上所述，出發后或時，．故答案為：1或4．15．如圖，要修建一個長方形雞場，雞場的一邊靠墻（墻長為18米），其余三邊用竹籬笆，籬笆的總長度為35米，圍成長方形雞場的四周不能有空隙．

(1)若要圍成雞場的面積為150平方米，則雞場的長和寬各應為多少米？(2)圍成雞場的面積能達到160平方米嗎？如果能，寫出計算過程，如果不能，說明理由．【答案】(1)雞場的長為15米，寬為10米(2)不能【分析】此題考查了一元二次方程的應用，讀懂題目的意思，根據題目給出的條件，找出合適的等量關系，列出方程是解題的關鍵，注意寬的取值范圍．（1）先設養雞場的寬為，得出長方形的長，再根據面積公