/第08講圓的對稱性模塊一思維導圖串知識模塊二基礎知識全梳理模塊三核心考點舉一反三模塊四小試牛刀過關測1．經歷探索圓的對稱性的活動過程；2．運用圓心角、弧、弦之間的相等關系，垂徑定理等解決相關問題。中心對稱1.一個圓繞著它的圓心旋轉任意一個角度，還能與原來的圖形重合嗎？因此，圓是圖形，對稱中心為2.旋轉不變性：一個圓繞著它的圓心旋轉任意一個角度，都能與原來的圖形重合。3.在紙上畫半徑相等的圓O和圓O′，再畫相同的圓心角的∠AOB和∠A′OB′，連接AB、A′B′。在所畫圖中還有哪些相等的線段、相等的弧？因此，在同圓或等圓中，相等的所對的相等，所對的相等幾何語言：4.那么在同圓或等圓中，如果兩個圓心角所對的弧相等，那么它們所對的弦相等嗎？這兩個圓心角相等嗎？因此可得：在同圓或等圓中，如果兩個、兩條、兩條中有相等，那么它們所對應的另外兩組幾何語言：5.我們知道，將頂點在圓心的周角等分成360份，每一份圓心角是1°的角。因為同圓中相等的圓心角所對的弧相等，所以整個圓也被等分成360份。我們把1°的圓心角所對的弧叫做1°的弧。因此，一般地，n°的圓心角對著n°的弧，n°的弧對著n°的圓心角。實踐證明，。軸對稱1.在紙上畫圓O，把圓O剪下并折疊，使折痕兩旁的部分完全重合，你發現了什么？圓是圖形，都是它的對稱軸。有條對稱軸。2.畫圓O和圓的直徑AB，弦CD，使AB⊥CD，垂足為P，在所畫圖中有哪些相等的線段、相等的弧？證：連接OC,OD在▲OCD中，∵OC=0D，OP⊥CD∴PC=PD，∠BOC=∠BOD∴∠AOC=∠AOD∴弧BC=弧BD，弧AC=弧AD（在通遠中，相等的圓心角所對的弧相等）因此，。（垂徑定理）幾何語言：考點一：垂徑定理的推論例1．如圖，已知點A、B、C、D都在上，，下列說法錯誤的是（

）A． B．C． D．【變式1-1】下列四個命題中，真命題是（

）A．垂直于弦的直線平分弦 B．平分弧的直徑經過圓心C．平分弦的直線垂直于弦 D．垂直于半徑的弦過圓心【變式1-2】如圖，是的弦，根據下列條件填空：（1）如果是的直徑，且于點，那么有，，；（2）如果是的直徑，且，那么有，，；（3）如果，且，那么有，，．

【變式1-3】如圖，已知點，，均在上，請用無刻度的直尺作圖．(1)如圖1，若點是的中點，試畫出的平分線；(2)如圖2，若，試畫出的平分線．考點二：運用垂徑定理求值例2．日常生活中常見的裝飾盤由圓盤和支架組成（如圖1），它可以看作如圖2所示的幾何圖形．已知，于點，于點，，的半徑，則圓盤離桌面最近的距離是（

）A． B． C． D．【變式2-1】如圖，在中，直徑，弦，交于點C，連接．若，則的長為（

）A．5 B．4 C．8 D．6【變式2-2】溫州有很多歷史悠久的石拱橋，它們是圓弧的橋梁．如圖是溫州某地的石拱橋局部，其跨度為24米，拱高為4米，則這個弧形石拱橋設計的半徑為米．【變式2-3】如圖，以的邊上一點為圓心的圓，經過、兩點，且與邊交于點，為的下半圓弧的中點，連接交于，若．(1)連接，求證：；(2)若，，求的半徑．考點三：平行弦問題例3.已知在中兩條平行弦，，，的半徑是10，則AB與CD間的距離是（

）A．6或12 B．2或14 C．6或14 D．2或12【變式3-1】AB和CD是⊙O的兩條平行弦，AB＝6，CD＝8，⊙O的半徑為5，則AB與CD間的距離為（）A．1或7 B．7 C．1 D．3或4【變式3-2】已知AB、CD是⊙O的兩條平行弦，⊙O的半徑為17cm，，，則AB、CD間的距離為．【變式3-3】如圖，的兩條弦（不是直徑），點為中點，連接，．

(1)求證：直線；(2)求證：．考點四：同心圓問題例4．將一盛有不足半杯水的圓柱形玻璃水杯擰緊杯蓋后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如圖所示，已知水杯內徑（圖中小圓的直徑）是8cm，水的最大深度是2cm，則杯底有水面AB的寬度是（）cm.A．6 B． C． D．【變式4-1】如圖，在以O為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦AB與小圓相切于C點，AB=12cm，AO=8cm，則OC長為（）cmA．5 B．4 C． D．【變式4-2】如圖，兩個同心圓的半徑分別為2和4，矩形的邊和分別是兩圓的弦，則矩形面積的最大值是．【變式4-3】如圖，在兩個同心圓中，大圓的弦與小圓相交于C，D兩點．

(1)求證：；(2)若，，大圓的半徑，求小圓的半徑r的值．考點五：求解弦、弧、圓心角例5．如圖，是⊙的弦，且，若，則的度數為（

）A． B． C． D．【變式5-1】如圖，弦直徑，連接，，則所對的圓心角的度數為（

）A． B． C． D．【變式5-2】如圖，是的直徑，，，則的大小為．【變式5-3】如圖，在中，D、E分別為半徑上的點，且．C為弧上一點，連接，且．求證：C為的中點．考點六：：求證弦、弧、圓心角例6.在中，，為兩條弦，下列說法：①若，則；②若，則；③若，則；④若，則，其中正確的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【變式6-1】下列命題：正確的是（）①在同圓或等圓中，相等的弦所對的弧相等．②在同圓或等圓中，平分弦的直徑平分弦所對的兩條?。勰軌蛲耆睾系膬蓷l圓弧是等?。荛L度相等的弧所對的弦相等．A．① B．② C．③ D．④【變式6-2】已知，是同圓的兩段弧，且，則弦與之間的數量關系為．（填“>”，“=”，“<”）【變式6-3】如圖，、是的兩條弦，與相交于點E，．(1)求證：；(2)連接作直線求證：．考點七：垂徑定理的應用例7．如圖①，是一個壁掛鐵藝盆栽，花盆外圍為圓形框架．圖②是其截面示意圖，為圓形框架的圓心，弦和所圍成的區域為種植區．已知，的半徑為17，則種植區的最大深度為（

）A．6 B．7 C．8 D．9【變式7-1】如圖，在墻壁中埋著一個未知半徑的圓柱形木材，現用鋸子去鋸這個木材，鋸口深，鋸道，已知，則這根圓柱形木材的半徑是（

）A．20 B．12 C．10 D．8【變式7-2】趙州橋是當今世界上建造最早，保存最完整的中國古代單孔敞肩石拱橋．如圖，主橋拱呈圓弧形，跨度約為，拱高約為7，則趙州橋主橋拱半徑約為（結果保留整數）【變式7-3】《九章算術》作為古代中國乃至東方的第一部自成體系的數學專著，與古希臘的《幾何原本》并稱現代數學的兩大源泉．在《九章算術》中記載有一類似問題“今有圓材埋在壁中，不知大?。凿忎徶?，深兩寸，鋸道長一尺二，問徑幾何?”小輝同學根據原文題意，畫出圓材截面圖如圖所示，已知：鋸口深為寸，鋸道尺（尺寸），求該圓材的直徑為多少寸1．如圖，是的直徑，弦于點E，，，則（

）A．6 B． C．9 D．122．如圖，在中，，，則的度數是（

）A． B． C． D．3．《九章算術》是人類科學史上應用數學的“算經之首”，書中記載了這樣一個問題：“今有圓材，埋在壁中，不知大小，以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺，問：徑幾何？”用現在的幾何語言表達即：如圖，為的直徑，弦于點E，寸，寸，則的長為（

）A．26寸 B．13寸 C．24寸 D．12寸4．如圖，已知的半徑為，的一條弦，若內的一點恰好在上，則線段的長度為整數的值有（

）A．個 B．個 C．個 D．個5．七巧板被西方人稱為“東方魔術”，如圖，小米同學運用數學知識設計徽標，將邊長為的正方形分割成的七巧板拼成了一個軸對稱圖形，取名為“火箭”，過該圖形的，，三個頂點作圓，則該圓的半徑長上（

）A． B． C． D．6．如圖，在半徑為5的中，弦與弦互相垂直，垂足為點E，如果，那么的長為（

）A． B．3 C．4 D．7．如圖，以為圓心，半徑為的圓與軸交于兩點，與軸交于兩點，點為上一動點，于，當點在的運動過程中，線段的長度的最小值為（

）A． B． C． D．8．如圖，在半圓O中，C是半圓上一點，將沿弦折疊交直徑于點D，點E是的中點，連結，若的最小值為，則的長為（

）A． B． C． D．9．如圖，的直徑為10，的直徑為13，的圓心恰好在的圓周上，連接兩圓交點所得弦的長為．10．如圖的直徑，CD是的弦，于點P，且，則的長是．11．一個圓柱形管件，其橫截面如圖所示，管內存有一些水（陰影部分），測得水面寬，水的最大深度，則此管件的直徑為．12．如圖，已知是半圓O的直徑，弦，，弦與之間的距離為3，則．13．如圖，古人在計算殘缺的不確定圓心的圓形物件的半徑時，會采用以下的方法：在圓上找兩點A，B，連接并確定的中點C，弧的中點D．若測得為20分米，為5分米，則半徑為分米．14．如圖，是的外接圓，交于點E，垂足為點D，，的延長線交于點F，若，，則的面積是．15．如圖，中，弦，相交于點，．(1)比較與的長度，并證明你的結論；(2)求證：．16．如圖，四邊形的四個頂點都在上，平分，連接，且．(1)求證：(2)若，，求的半徑．17．如圖，內接于，，，垂足為D．(1)請用無刻度的直尺在上找一點P，使得平分，保留作圖痕跡，并說明理由；(2)若，，求的長．18．如圖1，為的直徑，弦于點G，且B為弧的中點，交于點H，若，．

(1)求的長；(2)如圖2，連接．求證：．

第08講圓的對稱性模塊一思維導圖串知識模塊二基礎知識全梳理模塊三核心考點舉一反三模塊四小試牛刀過關測1．經歷探索圓的對稱性的活動過程；2．運用圓心角、弧、弦之間的相等關系，垂徑定理等解決相關問題。中心對稱1.一個圓繞著它的圓心旋轉任意一個角度，還能與原來的圖形重合嗎？可以和原來圖形重合。因此，圓是中心對稱圖形，對稱中心為圓心。2.旋轉不變性：一個圓繞著它的圓心旋轉任意一個角度，都能與原來的圖形重合。3.在紙上畫半徑相等的圓O和圓O′，再畫相同的圓心角的∠AOB和∠A′OB′，連接AB、A′B′。在所畫圖中還有哪些相等的線段、相等的??？AB=A′B′弧AB=弧A′B′∵半徑OA∵半徑OA重合，，∴半徑OB與重合，∵點A與點重合，點B與點重合，∴與重合，弦AB與弦重合，∴=，AB=．因此，在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等幾何語言：∵，∴=，AB=4.那么在同圓或等圓中，如果兩個圓心角所對的弧相等，那么它們所對的弦相等嗎？這兩個圓心角相等嗎？因此可得：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應的其余各組量都分別相等。另外兩組幾何語言：∵=，∴AB=∵AB=，∴=5.我們知道，將頂點在圓心的周角等分成360份，每一份圓心角是1°的角。因為同圓中相等的圓心角所對的弧相等，所以整個圓也被等分成360份。我們把1°的圓心角所對的弧叫做1°的弧。因此，一般地，n°的圓心角對著n°的弧，n°的弧對著n°的圓心角。實踐證明，圓心角的度數與它所對的弧的度數相等。軸對稱1.在紙上畫圓O，把圓O剪下并折疊，使折痕兩旁的部分完全重合，你發現了什么？圓是軸對稱圖形，過圓心的任意一條直線都是它的對稱軸。有無數條對稱軸。2.畫圓O和圓的直徑AB，弦CD，使AB⊥CD，垂足為P，在所畫圖中有哪些相等的線段、相等的?。縋C=PD,弧AC=弧AD，弧BC=弧BD證：連接OC,OD在▲OCD中，∵OC=0D，OP⊥CD∴PC=PD，∠BOC=∠BOD∴∠AOC=∠AOD∴弧BC=弧BD，弧AC=弧AD（在通遠中，相等的圓心角所對的弧相等）因此，垂直于弦的直徑平分弦以及平分弦所對應的弧。（垂徑定理）幾何語言：∵OP⊥CD，P是直徑AB上的點∴PC=PD，弧BC=弧BD，弧AC=弧AD考點一：垂徑定理的推論例1．如圖，已知點A、B、C、D都在上，，下列說法錯誤的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】考查了圓周角定理、垂徑定理、圓心角、弧、弦的關系，解題關鍵是明確題意，利用數形結合的思想解答．根據題意和垂徑定理，可以得到，，，然后即可判斷各個小題中的結論是否正確，從而可以解答本題．【詳解】解：∵，∴，，故A正確；，∴，,∴，故B正確；,∴，故C錯誤；∵，∴，故D正確；故選：C．【變式1-1】下列四個命題中，真命題是（

）A．垂直于弦的直線平分弦 B．平分弧的直徑經過圓心C．平分弦的直線垂直于弦 D．垂直于半徑的弦過圓心【答案】B【分析】本題主要考查的命題的真假判斷，根據垂徑定理及其推論判斷即可．【詳解】解：A．垂直于弦的直徑平分弦，垂直于弦的直線不一定平分弦，故為假命題，故該選項不符合題意；B．平分弧的直徑經過圓心，是真命題，故該選項符合題意；C．平分弦的直線不一定垂直于弦，故原命題為假命題，故該選項不符合題意；D．垂直于半徑的弦不一定過圓心，故原命題為假命題，故該選項不符合題意；故選：B．【變式1-2】如圖，是的弦，根據下列條件填空：（1）如果是的直徑，且于點，那么有，，；（2）如果是的直徑，且，那么有，，；（3）如果，且，那么有，，．

【答案】是的直徑【分析】（）根據垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧求解即可；（）根據垂徑定理的推論：平分弦（非直徑）的直徑垂直于這條弦，并且平分這條弦所對的兩條弧求解即可；（）根據垂徑定理的推論：弦的垂直平分線經過圓心，并且平分這條弦所對的兩條弧求解即可．【詳解】解：（）∵是的直徑，且于點，∴，，；（）∵是的直徑，且，∴，，；（）∵，且，∴是的直徑，，．【點睛】此題考查了垂徑定理和垂徑定理的推論，解題的關鍵在于能夠熟練掌握相關知識進行求解．【變式1-3】如圖，已知點，，均在上，請用無刻度的直尺作圖．(1)如圖1，若點是的中點，試畫出的平分線；(2)如圖2，若，試畫出的平分線．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】本題考查了垂徑定理，角平分線的定義；（1）連接并延長，交于點，連接，即可求解；（2）連接交于點，連接并延長交于點，連接，則即即為所求．【詳解】（1）如圖所示，連接并延長，交于點，連接，則即為所求；∵點是的中點，∴∴∴；（2）解：如圖所示，連接交于點，連接并延長交于點，連接，則即即為所求∵∴∴∴，連接，∴垂直平分∴∴考點二：運用垂徑定理求值例2．日常生活中常見的裝飾盤由圓盤和支架組成（如圖1），它可以看作如圖2所示的幾何圖形．已知，于點，于點，，的半徑，則圓盤離桌面最近的距離是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了垂徑定理、矩形的判定與性質、勾股定理等知識，正確作出輔助線是解題關鍵．連接、，過點作，交于點，交于點，交于點，易得四邊形、四邊形均為矩形，由垂徑定理可得，在中，由勾股定理可解得的長度，進而可計算的長度，然后計算圓盤離桌面最近的距離即可．【詳解】解：連接、，過點作，交于點，交于點，交于點，∵，，∴，∵，∴四邊形為平行四邊形，又∵，∴，∴四邊形為矩形，∴，，，∵，∴，∴，由∵，∴在中，，∵，∴，∴四邊形為矩形，∴，∴，∴，即圓盤離桌面最近的距離是．故選：C．【變式2-1】如圖，在中，直徑，弦，交于點C，連接．若，則的長為（

）A．5 B．4 C．8 D．6【答案】B【分析】本題考查的是垂徑定理、勾股定理的應用，根據垂徑定理得到，利用勾股定理求得，即可得到的值，掌握垂直于弦的直徑平分這條弦是解題的關鍵．【詳解】解：弦，，直徑，，，，，故選：B．【變式2-2】溫州有很多歷史悠久的石拱橋，它們是圓弧的橋梁．如圖是溫州某地的石拱橋局部，其跨度為24米，拱高為4米，則這個弧形石拱橋設計的半徑為米．【答案】20【分析】本題考查了垂徑定理、勾股定理，找出石拱橋圓弧形的圓心，連接，設半徑為米，則米，由垂徑定理可得米，再由勾股定理計算即可得出答案．【詳解】解：如圖，找出石拱橋圓弧形的圓心，連接，，設半徑為米，則米，∵跨度為24米，，∴米，由勾股定理得：，∴，解得：，∴這個弧形石拱橋設計的半徑為米，故答案為：．【變式2-3】如圖，以的邊上一點為圓心的圓，經過、兩點，且與邊交于點，為的下半圓弧的中點，連接交于，若．(1)連接，求證：；(2)若，，求的半徑．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題考查了垂徑定理，圓的相關性質，等腰三角形的性質，解題的關鍵是靈活運用這些性質．（1）連接，由圓的性質可得，根據，可得，由垂徑定理可得，然后借助角關系轉化可得結論；（2）在由勾股定理可求解．【詳解】（1）解：連接，，，，，為的下半圓弧的中點，，，，；（2）在中，，，（不合題意舍去）或，的半徑為．考點三：平行弦問題例3.已知在中兩條平行弦，，，的半徑是10，則AB與CD間的距離是（

）A．6或12 B．2或14 C．6或14 D．2或12【答案】B【分析】由勾股定理，垂徑定理，分兩種情況討論：①當和位于圓心同側時和②當和位于圓心異側時，即可求解．【詳解】解：分類討論：①當和位于圓心同側時，如圖，連接，過點O作于點E，交于點F．

∵，∴，∴，．∵，∴，，∴，即此時AB與CD間的距離是2；②當和位于圓心異側時，如圖，連接，過點O作于點P，延長交于點Q．

∵，∴，∴，．∵，∴，，∴，即此時AB與CD間的距離是14．綜上可知AB與CD間的距離是2或14．故選B．【點睛】本題考查垂徑定理，勾股定理，解題關鍵是分兩種情況討論，作輔助線構造直角三角形．【變式3-1】AB和CD是⊙O的兩條平行弦，AB＝6，CD＝8，⊙O的半徑為5，則AB與CD間的距離為（）A．1或7 B．7 C．1 D．3或4【答案】A【分析】分兩種情況：①當AB、CD在圓心兩側時；②當AB、CD在圓心同側時；利用垂徑定理及勾股定理求出答案.【詳解】解：①當AB、CD在圓心兩側時；過O作OE⊥CD交CD于E點，過O作OF⊥AB交AB于F點，連接OA、OC，如圖所示：∵半徑r＝5，弦AB∥CD，且AB＝6，CD＝8，∴OA＝OC＝5，CE＝DE＝4，AF＝FB＝3，E、F、O在一條直線上，∴EF為AB、CD之間的距離在Rt△OEC中，由勾股定理可得：OE2＝OC2﹣CE2∴OE3，在Rt△OFA中，由勾股定理可得：OF2＝OA2﹣AF2∴OF4，∴EF＝OE+OF＝3+4＝7，AB與CD的距離為7；②當AB、CD在圓心同側時；同①可得：OE＝3，OF＝4；則AB與CD的距離為：OF﹣OE＝1；綜上所述：AB與CD間的距離為1或7．故選：A.【點睛】此題考查圓的垂徑定理、直角三角形的勾股定理，解題中注意運用分類討論的思想避免漏解.【變式3-2】已知AB、CD是⊙O的兩條平行弦，⊙O的半徑為17cm，，，則AB、CD間的距離為．【答案】7或【分析】過圓心作兩條平行線的垂線，根據垂徑定理分別在直角三角形中計算即可．【詳解】如圖，當兩條弦在圓心兩側時：AB、CD是⊙O的兩條平行弦，過圓心作MN分別垂直于AB、CD，則根據垂徑定理可得：，，在中，；同理在中，；則，同理可得：當兩條弦位于圓心同側時，，故答案為：7或．【點睛】本題考查了垂徑定理及勾股定理解直角三角形，熟練掌握垂徑定理并仔細計算是解題關鍵．【變式3-3】如圖，的兩條弦（不是直徑），點為中點，連接，．

(1)求證：直線；(2)求證：．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）依據垂徑定理的推論平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦可得結論；（2）證明，由垂徑定理可得結論．【詳解】（1）證明：如圖，連接，

過點，為的中點，．（2）證明：延長交于．

，，．過點，，垂直平分，．【點睛】本題考查了垂徑定理，靈活利用垂徑定理及其推論是解題的關鍵．考點四：同心圓問題例4．將一盛有不足半杯水的圓柱形玻璃水杯擰緊杯蓋后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如圖所示，已知水杯內徑（圖中小圓的直徑）是8cm，水的最大深度是2cm，則杯底有水面AB的寬度是（）cm.A．6 B． C． D．【答案】C【分析】作OD⊥AB于C，交小圓于D，可得CD=2，AC=BC，由AO、BO為半徑，則OA=OD=4；然后運用勾股定理即可求得AC的長，即可求得AB的長.【詳解】解：作OD⊥AB于C，交小圓于D，則CD=2，AC=BC，∵OA=OD=4，CD=2，∴OC=2，∴AC=，∴AB=2AC=.故答案為C.【點睛】本題考查的是垂徑定理的應用及勾股定理，作出輔助線、構造出直角三角形是解答本題的關鍵.【變式4-1】如圖，在以O為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦AB與小圓相切于C點，AB=12cm，AO=8cm，則OC長為（）cmA．5 B．4 C． D．【答案】D【詳解】解：O為圓心的兩個同心圓的圓心，大圓的弦AB與小圓相切于C點，C點是AB的中點，即AC=BC==6；并且OC⊥AB，在中，由勾股定理得，所以；AO=8cm，所以，所以OC=故選：【點睛】本題考查弦心距，勾股定理，解答本題要求考生掌握弦心距的概念和性質，熟悉勾股定理的內容.【變式4-2】如圖，兩個同心圓的半徑分別為2和4，矩形的邊和分別是兩圓的弦，則矩形面積的最大值是．【答案】16【分析】過點O作OP⊥AB于P并反向延長交CD于N，作OM⊥AD于點M，連接OA、OD，根據面積之間的關系得出S△AOD=S矩形APND=S矩形ABCD，從而得出S矩形ABCD最大時，S△AOD也最大，過點D作AO邊上的高h，根據垂線段最短可得h≤OD，利用三角形的面積公式即可求出S△AOD的最大值，從而求出結論．【詳解】解：過點O作OP⊥AB于P并反向延長交CD于N，作OM⊥AD于點M，連接OA、OD∴AO=2，OD=4，四邊形APND和四邊形PBCN為矩形，PN⊥CD，∴OM=AP根據垂徑定理可得：點P和點N分別為AB和CD的中點，∴S矩形APND=S矩形ABCD∵△AOD的高OM等于矩形APND的寬，△AOD的底為矩形APND的長∴S△AOD=S矩形APND=S矩形ABCD∴S矩形ABCD最大時，S△AOD也最大過點D作AO邊上的高h，根據垂線段最短可得h≤OD（當且僅當OD⊥OA時，取等號）∴S△AOD=AO·h≤AO·OD=×2×4=4故S△AOD的最大值為4∴S矩形ABCD的最大值為4÷=16故答案為：16．【點睛】此題考查的是垂徑定理、各圖形面積的關系和三角形面積的最值問題，掌握垂徑定理、利用邊的關系推導面積關系和垂線段最短是解決此題的關鍵．【變式4-3】如圖，在兩個同心圓中，大圓的弦與小圓相交于C，D兩點．

(1)求證：；(2)若，，大圓的半徑，求小圓的半徑r的值．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題考查垂徑定理和勾股定理，利用垂徑定理構造直角三角形從而利用勾股定理求解是解題的關鍵．（1）過O作于點E，由垂徑定理可得，，再用等式的性質即可得證；（2）連接、，利用垂徑定理求出，在中，由勾股定理求出，然后在中，利用勾股定理即可求出．【詳解】（1）證明：過O作于點E，如圖，由垂徑定理可得，，∴，∴；（2）解：連接、，如圖，

∵，，∴，∴，∴，∴在中，，∴在中，，∴，即小圓的半徑r為考點五：求解弦、弧、圓心角例5．如圖，是⊙的弦，且，若，則的度數為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據圓心角、弧、弦的關系求出，再根據等腰三角形的性質求解即可．此題考查了圓心角、弧的關系，熟練掌握圓心角、弧的關系是解題的關鍵．【詳解】解：如圖，連接，，，，，，，，故選：D【變式5-1】如圖，弦直徑，連接，，則所對的圓心角的度數為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查平行線性質、圓心角概念、等腰三角形性質，連接，根據平行線性質得到，利用等腰三角形性質得到，再次利用平行線性質得到，即可解題．【詳解】解：連接，弦直徑，，，，，．則所對的圓心角的度數為．故選：A．【變式5-2】如圖，是的直徑，，，則的大小為．【答案】/度【分析】本題主要考查了弧與圓心角之間的關系，根據同圓中等弧所對的圓心角相等得到，再由平角的定義即可得到答案．【詳解】解：∵是的直徑，，，∴，∴，故答案為：．【變式5-3】如圖，在中，D、E分別為半徑上的點，且．C為弧上一點，連接，且．求證：C為的中點．【答案】見解析【分析】本題考查的是圓心角，弧，弦的關系、全等三角形的判定與性質；證明三角形全等是解決問題的關鍵．由證明，得出對應角相等，由圓心角，弧，弦的關系即可得出結論．【詳解】證明：∵，∴，在和中，，∴，∴，∴，即C為的中點．考點六：：求證弦、弧、圓心角例6.在中，，為兩條弦，下列說法：①若，則；②若，則；③若，則；④若，則，其中正確的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】本題考查了圓心角、弧、弦的關系，以及垂徑定理，根據“在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等那么它們所對應的其余各組量都分別相等”可對①②進行分析判斷；由只能說明弧所對的圓心角是弧所對的圓心角的2倍，不能判斷，據此可對③進行分析；接下來根據圓心角與弧的關系對④進行分析．【詳解】解：根據圓心角、弧、弦的關系可知：①，則，①正確，符合題意；②，則，②正確，符合題意；③如上圖所示，若，則點為的中點，連接，交于點，，，，即，，故③錯誤，不符合題意；④如上圖所示，若，，，，故④正確，符合題意．故選：C．【變式6-1】下列命題：正確的是（）①在同圓或等圓中，相等的弦所對的弧相等．②在同圓或等圓中，平分弦的直徑平分弦所對的兩條?。勰軌蛲耆睾系膬蓷l圓弧是等弧．④長度相等的弧所對的弦相等．A．① B．② C．③ D．④【答案】C【分析】本題考查了命題和定理，圓的有關概念，逐項判斷即可．【詳解】解：A．①在同圓或等圓中，相等的弦所對的弧不一定相等，因為非直徑的弦對的弧有優弧和劣弧之分，本選項不符合題意；B．②平分弦（不是直徑）的直徑平分弦所對的兩條弧，本選項不符合題意；C．③能夠完全重合的兩條圓弧是等弧，本選項符合題意；D．④長度相等的弧所對的弦不一定相等，本選項不符合題意；故選：C．【變式6-2】已知，是同圓的兩段弧，且，則弦與之間的數量關系為．（填“>”，“=”，“<”）【答案】<【分析】本題主要考查了圓弧與弦的關系，三角形三邊的關系．熟練掌握同圓中等弧對等弦，三角形任意兩邊的和大于第三邊，是解決問題的關鍵．畫圖，取的中點E，連接，，根據，，得到，得到，根據，即得．【詳解】如圖，取的中點E，連接，，則，∴，，∵，∴，∴，∵，∴．故答案為：<．【變式6-3】如圖，、是的兩條弦，與相交于點E，．(1)求證：；(2)連接作直線求證：．【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析．【分析】本題考查了垂直平分線的判定與性質，利用弧、弦、圓心角的關系求證，正確掌握相關性質內容是解題的關鍵．（1）根據利用弧、弦、圓心角的關系得出，則；（2）因為所以，即結合，得出E、O都在的垂直平分線上，即可作答．【詳解】（1）證明：∵，∴∴，即．∴．（2）證明：連接

∵∴∴∴∵∴E、O都在的垂直平分線上．∴考點七：垂徑定理的應用例7．如圖①，是一個壁掛鐵藝盆栽，花盆外圍為圓形框架．圖②是其截面示意圖，為圓形框架的圓心，弦和所圍成的區域為種植區．已知，的半徑為17，則種植區的最大深度為（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】D【分析】本題考查了圓的相關知識以及垂徑定理，如圖，作交于點，交于點，連接，然后利用勾股定理求出，最終可求得的長，根據垂徑定理正確的利用輔助線構造出直角三角形解決問題是關鍵．【詳解】解：如圖，作交于點，交于點，連接在中，則種植區的最大深度為9故選：．【變式7-1】如圖，在墻壁中埋著一個未知半徑的圓柱形木材，現用鋸子去鋸這個木材，鋸口深，鋸道，已知，則這根圓柱形木材的半徑是（

）A．20 B．12 C．10 D．8【答案】C【分析】本題主要考查了垂徑定理的應用，勾股定理的應用，熟練掌握垂徑定理，由勾股定理得出方程是解題的關鍵．連接，由垂徑定理得，設圓的半徑為x，再利用勾股定理即可求解．【詳解】解：連接，如圖，∵∴設圓的半徑為x，則∴由勾股定理得，即解得：故選：C．【變式7-2】趙州橋是當今世界上建造最早，保存最完整的中國古代單孔敞肩石拱橋．如圖，主橋拱呈圓弧形，跨度約為，拱高約為7，則趙州橋主橋拱半徑約為（結果保留整數）【答案】【分析】本題考查了垂徑定理，勾股定理，由題意可知，，，主橋拱半徑R，根據垂徑定理，得到，再利用勾股定理列方程求解，即可得到答案．【詳解】解：如圖，由題意可知，，，主橋拱半徑R，，是半徑，且，，在中，，，解得：，故答案為：．【變式7-3】《九章算術》作為古代中國乃至東方的第一部自成體系的數學專著，與古希臘的《幾何原本》并稱現代數學的兩大源泉．在《九章算術》中記載有一類似問題“今有圓材埋在壁中，不知大?。凿忎徶?，深兩寸，鋸道長一尺二，問徑幾何?”小輝同學根據原文題意，畫出圓材截面圖如圖所示，已知：鋸口深為寸，鋸道尺（尺寸），求該圓材的直徑為多少寸【答案】該圓材的直徑為20寸【分析】本題考查垂徑定理和勾股定理，過點作于點，交于點，連接，設半徑為，則，由勾股定理建立方程即可求得，從而求得圓的直徑．【詳解】解：設該圓材的半徑為寸．如圖所示，過點作于點，交于點，連接，則寸，設寸，尺寸，所以寸．在中，即解得，則，即該圓材的直徑為寸．1．如圖，是的直徑，弦于點E，，，則（

）A．6 B． C．9 D．12【答案】C【分析】本題考查了垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條?。部疾榱斯垂啥ɡ恚雀鶕箯蕉ɡ淼玫?，然后利用勾股定理可計算出的長．【詳解】解：，，在中，．故選：C．2．如圖，在中，，，則的度數是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查圓心角，弧，弦的關系，在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應的其余各組量都分別相等，由此即可得到答案．【詳解】解：，，．故選：D．3．《九章算術》是人類科學史上應用數學的“算經之首”，書中記載了這樣一個問題：“今有圓材，埋在壁中，不知大小，以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺，問：徑幾何？”用現在的幾何語言表達即：如圖，為的直徑，弦于點E，寸，寸，則的長為（

）A．26寸 B．13寸 C．24寸 D．12寸【答案】A【分析】此題考查了學生對垂徑定理的運用與掌握，注意利用圓的半徑，弦的一半及弦心距所構成的直角三角形來解決實際問題，連接構成直角三角形，先根據垂徑定理，由垂直得到點E為的中點，由可求出的長，再設出設圓O的半徑的長為x，表示出，根據勾股定理建立關于x的方程，求出方程的解即可得到x的值，即為圓的半徑，把求出的半徑代入即可得到答案．【詳解】解：連接，∵∴，設圓O的半徑的長為x，則，∵，∴，在直角三角形中，根據勾股定理得：，化簡得：，即，解得：，∴（寸）．故選：A．4．如圖，已知的半徑為，的一條弦，若內的一點恰好在上，則線段的長度為整數的值有（

）A．個 B．個 C．個 D．個【答案】C【分析】本題考查垂徑定理、勾股定理，掌握定理內容是解題關鍵．過作交于，連接，則為中點，，用勾股定理求，確定的長度范圍，取相應整數即可．【詳解】解∶過作交于，連接如圖：則，為中點，，，在中，，又長度為整數，長可為，故選∶C．5．七巧板被西方人稱為“東方魔術”，如圖，小米同學運用數學知識設計徽標，將邊長為的正方形分割成的七巧板拼成了一個軸對稱圖形，取名為“火箭”，過該圖形的，，三個頂點作圓，則該圓的半徑長上（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了七巧板，正方形的性質，確定圓的條件以及三角形的外接圓與外心，先求得，，利用垂徑定理求得的長，在中，由勾股定理求解即可，解題的關鍵是作出適當的輔助線，構造直角三角形．【詳解】解：∵將邊長為的正方形分割成的七巧板拼成了一個軸對稱圖形，如圖，連接，∴，，∴，設該圓的半徑長是，則，，在中，由勾股定理得，解得，∴該圓的半徑長是，故選：．6．如圖，在半徑為5的中，弦與弦互相垂直，垂足為點E，如果，那么的長為（

）A． B．3 C．4 D．【答案】A【分析】本題考查的是正方形的判定與性質，垂徑定理的應用，勾股定理的應用，熟練的應用垂徑定理求值是解本題的關鍵．如圖，連接過作于過作于再利用垂徑定理求解再證明四邊形是正方形，再利用勾股定理可得答案．【詳解】解：如圖，連接過作于過作于四邊形是正方形，故選A．7．如圖，以為圓心，半徑為的圓與軸交于兩點，與軸交于兩點，點為上一動點，于，當點在的運動過程中，線段的長度的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查垂徑定理、直角三角形30度角的判定和性質、勾股定理等知識連接，作，連接，可知點在以為直徑的圓上移動，當點在的延長線上時，的長最小，根據含的直角三角形的性質和勾股定理求出，即可求解，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造直角三角形解決問題．【詳解】連接，作，連接，，∴，∵為圓心，半徑為，∴，，在中，，∴，∴，，∵，∴，∴∴，∴，，∴，∵，∴點在以為直徑的圓上移動，當點在的延長線上時，的長最小，最小值為，故選：．8．如圖，在半圓O中，C是半圓上一點，將沿弦折疊交直徑于點D，點E是的中點，連結，若的最小值為，則的長為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了圓的相關知識點的應用，圖形折疊及三角形三邊關系的性質是解題關鍵．連接，，由三角形任意兩邊之差小于第三邊得，當、、共線時最小，設的弧度為，求出的弧度為，再設半徑為r，列方程求解即可．【詳解】解：連接，，

由三角形任意兩邊之差小于第三邊得，當、、共線時最小，即，設的弧度為，的弧度為：，，的弧度為：，由折疊得，的弧度為，的弧度為：，點為弧中點，的弧度為：，的弧度為：，即所對圓心角為，設半圓的半徑為r，，，解得：半徑為2，故選：C．9．如圖，的直徑為10，的直徑為13，的圓心恰好在的圓周上，連接兩圓交點所得弦的長為．【答案】/【分析】本題考查了勾股定理和垂徑定理的應用，關鍵是利用兩個直角三角形表達出同一條邊列出方程解答即可．連接相交于點，在和中，表示出的長度，列方程求解即可．【詳解】解：連接相交于點，，，為，的共同弦，，設，則，在中，，，在中，，，解得：，，或（舍去）．故答案為：．10．如圖的直徑，CD是的弦，于點P，且，則的長是．【答案】8【分析】本題考查的是垂徑定理及勾股定理，根據題意作出輔助線，構造出直角三角形是解答此題的關鍵．連接，先根據的直徑求出的長，再根據垂徑定理由得出的長，根據勾股定理求出的長，即可得出結論．【詳解】解：連接，是的直徑，弦于，，，，，，在中，，，故答案為：8．11．一個圓柱形管件，其橫截面如圖所示，管內存有一些水（陰影部分），測得水面寬，水的最大深度，則此管件的直徑為．【答案】10【分析】本題考查了垂徑定理、勾股定理等知識，根據題意作出輔助線，構造出直角三角形是解答此題的關鍵．連接，先由垂徑定理求出的長，再根據勾股定理求出的長，即可得到答案．【詳解】解：連接，如圖所示：

由題