/第5講 數形思想課--反比例函數與幾何綜合模塊一.反比例函數與全等及勾股定理利用全等、相似將線段關系轉化為坐標關系，實現“幾何問題坐標化”。例題精講 例題精講例1：如圖，點A是雙曲線y＝在第一象限上的一動點，連接AO并延長交另一分支于點B，以AB為斜邊作等腰Rt△ABC，隨著點A的運動，點C的位置也不斷地變化，但始終在一函數圖象上運動，則這個函數的解析式為。例2：(原創題)如圖，點A(2，4)，B均為雙曲線y＝在第一象限上的點，且∠AOB＝45°，求點B的坐標。

02.反比例函數與勾股定理02.反比例函數與勾股定理例題精講 例題精講例3：如圖，矩形ABCO的頂點B(10，8)，點A，C在坐標軸上，E是BC邊上一點，將△ABE沿AE折疊，點B剛好與OC邊上的點D重合，過點E的反比例函數y＝(k＞0)的圖象與邊AB交于點F，求點F的坐標。舉一反三 舉一反三1.如圖，A(2，3)是雙曲線y＝(x＞0)上的一點，P為x軸正半軸上一點，將點A繞點P順時針旋轉90°，恰好落在雙曲線上的另一點B，求點P的坐標。

2.如圖，直線y＝3x－3交坐標軸于A，B兩點，將△AOB沿AB翻折得到△ACB，點D在AC的延長線上.且CD＝4AC，反比例函數y＝的圖象經過點D，求k的值.模塊二.反比例函數與圖形變換圖形變換的本質是點的變換，解題的關鍵是根據變換規律，將變換后的關鍵點的坐標表示出來，再根據條件建立關系式.03.反比例函數與圖形變換03.反比例函數與圖形變換例題精講 例題精講【例1】平面直角坐標系中，點A(－2，0)，B(0，3)，點P為第二象限內一點，(1)如圖，將線段AB繞點P旋轉180*得線段CD，點A與點C對應，試畫出圖形；(2)若(1)中得到的點C，D恰好在同－－個反比例函數y＝R的圖象上，求直線BC的解析式；(3)若點Q(m，m)為第四象限的一點，將線段AB繞點Q順時針旋轉90°得到線段EF，其中點A與點E對應，若點E，F恰好在同一個反比例函數的圖象上，直接寫出m，n之間的關系式為。

舉一反三 舉一反三1.在平面直角坐標系中，點A(a，0)為x軸上一動點，點M的坐標為(1，－1)，點N的坐標為(3，－4)，連接AM，MN，點N關于直線AM的對稱點為點N'.(1)若a＝2，在圖1中畫出線段MN關于直線AM的對稱圖形MN'(保留作圖痕跡)，直接寫出點N'的坐標為；(2)若a＞0，連接AN，AN'，當點A運動到∠N'AN＝90°時，點N'恰好在雙曲線y＝上(如圖2)，求k的值；(3)點A在x軸上運動，若∠N'MN＝90°，此時a的值為。

模塊三.反比例函數與定值、最值通過采取解析法求定值，利用配方法或建立二次函數模型求最值.04.反比例函數與定值04.反比例函數與定值例題精講 例題精講【例1】如圖，點C(6，1)，D(1，6)在雙曲線y＝的圖象上，點T在雙曲線第－象限上(不同于C，D)，直線TC，TD分別交y軸于E，F，則OF－OE的值是.05.反比例函數與最值05.反比例函數與最值例題精講 例題精講【例2】如圖，雙曲線y＝的第一象限的分支上一動點P，點A(－2，－2)，B(2，2)，則PA－PB的值為。舉一反三 舉一反三1.如圖，已知矩形OABC的兩邊OA、OC分別落在x軸、y軸的正半軸上，頂點B的坐標是（6，4），反比例函數y=（x＞0）的圖象經過矩形對角線的交點E，且與BC邊交于點D．（1）①求反比例函數的解析式與點D的坐標；②直接寫出△ODE的面積；若P是OA上的動點，求使得”PD+PE之和最小”時的直線PE的解析式．課后鞏固 課后鞏固1.如圖，在平面直角坐標系中，OA⊥OB，AB⊥x軸于點C，點A（，1）在反比例函數y=的圖象上．（1）求反比例函數y=的表達式；（2）在x軸的負半軸上存在一點P，使得S△AOP=S△AOB，求點P的坐標；（3）若將△BOA繞點B按逆時針方向旋轉60°得到△BDE．直接寫出點E的坐標，并判斷點E是否在該反比例函數的圖象上，說明理由．

2.已知反比例函數和一次函數y=2x﹣1，其中一次函數的圖象經過（a，b），（a+k，b+k+2）兩點．（1）求反比例函數的解析式；（2）求反比例函數與一次函數兩個交點A、B的坐標：（3）根據函數圖象，求不等式＞2x﹣1的解集；（4）在（2）的條件下，x軸上是否存在點P，使△AOP為等腰三角形？若存在，把符合條件的P點坐標都求出來；若不存在，請說明理由．/

第5講數形思想課--反比例函數與幾何綜合模塊一.反比例函數與全等及勾股定理利用全等、相似將線段關系轉化為坐標關系，實現“幾何問題坐標化”。01.反比例函數與全等三角形01.反比例函數與全等三角形例題精講 例題精講例1：如圖，點A是雙曲線y＝在第一象限上的一動點，連接AO并延長交另一分支于點B，以AB為斜邊作等腰Rt△ABC，隨著點A的運動，點C的位置也不斷地變化，但始終在一函數圖象上運動，則這個函數的解析式為。答案：y＝－(x＜0)解析：連接OC，過點A，C分別作x軸的垂線構造三垂直全等。例2：(原創題)如圖，點A(2，4)，B均為雙曲線y＝在第一象限上的點，且∠AOB＝45°，求點B的坐標。答案：過點A作AD⊥OA交OB延長線于點D，作AE⊥y軸于點E，DF⊥AE于點F，則△ADF≌△QAE，∴AF＝OE＝4，DF＝AE＝2，∴D(6，2)，∴lOD：y＝x，∵A(2，4)，∴y＝，聯立，得B(2，)。02.反比例函數與勾股定理02.反比例函數與勾股定理例題精講 例題精講例3：如圖，矩形ABCO的頂點B(10，8)，點A，C在坐標軸上，E是BC邊上一點，將△ABE沿AE折疊，點B剛好與OC邊上的點D重合，過點E的反比例函數y＝(k＞0)的圖象與邊AB交于點F，求點F的坐標。答案：由題意知，AD＝AB＝10，AO＝8，由勾股定理可求OD＝6，則CD＝4，設CE＝x，則DE＝BE＝8－x，在Rt△DCE中，CD2＋CE2＝DE2，即x2＋42＝(8－x)2，解得x＝3，∴E(10，3)，設F(a，8)，則10×3＝8a，∴a＝，∴F(，8)。舉一反三 舉一反三1.如圖，A(2，3)是雙曲線y＝(x＞0)上的一點，P為x軸正半軸上一點，將點A繞點P順時針旋轉90°，恰好落在雙曲線上的另一點B，求點P的坐標。答案：設P(t，0)，過點A作AM⊥x軸于點M，過B作BN⊥x軸于點N，則△APM≌△PBN，∴PN＝AM＝3，BN＝PM＝t－2，∴B(t＋3，t－2)，又∵點A，B在y＝上，∴(t＋3)(t－2)＝6，∴t1＝－4，t2＝3，∵t＞0，t＝3，∴P(3，0)2.如圖，直線y＝3x－3交坐標軸于A，B兩點，將△AOB沿AB翻折得到△ACB，點D在AC的延長線上.且CD＝4AC，反比例函數y＝的圖象經過點D，求k的值.解：過點B作BE//AC，交工軸于點E，則∠EBA＝∠BAC＝∠EAB，∴EA＝EB，易求OA＝1，OB＝3，設EA＝EB＝x，則x2＝(x－1)2＋32，解得x＝5，由題意，AC＝AO＝1，∵CD＝4AC，∴AD＝5AC＝5，∴AD＝EB，∴將線段EB向右平移5個單位得線段AD，∴D(5，－3)，∴k＝5X(－3)＝－15.模塊二.反比例函數與圖形變換圖形變換的本質是點的變換，解題的關鍵是根據變換規律，將變換后的關鍵點的坐標表示出來，再根據條件建立關系式.03.反比例函數與圖形變換03.反比例函數與圖形變換例題精講 例題精講【例1】平面直角坐標系中，點A(－2，0)，B(0，3)，點P為第二象限內一點，(1)如圖，將線段AB繞點P旋轉180*得線段CD，點A與點C對應，試畫出圖形；(2)若(1)中得到的點C，D恰好在同－－個反比例函數y＝R的圖象上，求直線BC的解析式；(3)若點Q(m，m)為第四象限的一點，將線段AB繞點Q順時針旋轉90°得到線段EF，其中點A與點E對應，若點E，F恰好在同一個反比例函數的圖象上，直接寫出m，n之間的關系式為。【解析】(1)略；(2)設P(m，n)，則C(2＋2m，2n)，D(2m，2n－3)，∵點C，D恰好在同一個反比例函數y＝的圖象上，∴2n(2＋2m)＝2m(2n－3)，得2n＝－3m，設直線BC的解析式為y＝tx＋3，將C(2＋2m，－3m)代入y＝tx＋3中，得(2＋2m)t＋3＝－3m，解得t＝－，∴y＝－x＋3.(3)由三垂直得，E(m－n，m＋n＋2)，F(m＋3－n，n＋m)，∴(m－n)(m＋n＋2)＝(m＋3－n)(n＋m)，整理得m＝－5n.舉一反三 舉一反三1.在平面直角坐標系中，點A(a，0)為x軸上一動點，點M的坐標為(1，－1)，點N的坐標為(3，－4)，連接AM，MN，點N關于直線AM的對稱點為點N'.(1)若a＝2，在圖1中畫出線段MN關于直線AM的對稱圖形MN'(保留作圖痕跡)，直接寫出點N'的坐標為；(2)若a＞0，連接AN，AN'，當點A運動到∠N'AN＝90°時，點N'恰好在雙曲線y＝上(如圖2)，求k的值；(3)點A在x軸上運動，若∠N'MN＝90°，此時a的值為。解：(1)N'(－2，1)。提示：取點B(3，1)。則BN⊥x軸，M、A、B三點在同一條直線上，(2)由AN，AN'垂直且相等。可構建三垂直全等得N'(a－4，a－3)，∴k＝(a－4)(a－3)＝a2－7a＋12，∴MN＝MN'，由勾股定理得(a－5)2＋(a－2)2＝13，∴a2－7a＋8＝0，∴12－k＝8，∴k＝4；(3)－4或.由∠NMN＝90°，構建三垂直全等得N(4，1)或N’(－2，－3)。∵直線AM過NN’的中點C，且點C的坐標為（，－）或（，），∴直線AM的解析式為y＝－x－或y＝5x－6，令y＝0，分別求得A(－4，0)或A(，0)。模塊三.反比例函數與定值、最值通過采取解析法求定值，利用配方法或建立二次函數模型求最值.04.反比例函數與定值04.反比例函數與定值例題精講 例題精講【例1】如圖，點C(6，1)，D(1，6)在雙曲線y＝的圖象上，點T在雙曲線第－象限上(不同于C，D)，直線TC，TD分別交y軸于E，F，則OF－OE的值是.【解析】OF－OE＝5.理由如下：設點T(m，)，由D(1，6)得直線TD的解析式：y＝－x＋＋6，∴OF＝＋6.由C(6，1)得直線TC的解析式：y＝－x＋＋1，∴OE＝＋1，∴OF－OE＝5.05.反比例函數與最值05.反比例函數與最值例題精講 例題精講【例2】如圖，雙曲線y＝的第一象限的分支上一動點P，點A(－2，－2)，B(2，2)，則PA－PB的值為。【解析】方法1：設點P(m，)，則PA＝＝m＋＋2，同理PB＝m＋－2，∴PA－PB＝4.方法2：特殊位置法.舉一反三 舉一反三1.如圖，已知矩形OABC的兩邊OA、OC分別落在x軸、y軸的正半軸上，頂點B的坐標是（6，4），反比例函數y=（x＞0）的圖象經過矩形對角線的交點E，且與BC邊交于點D．（1）①求反比例函數的解析式與點D的坐標；②直接寫出△ODE的面積；（2）若P是OA上的動點，求使得PD+PE之和最小”時的直線PE的解析式．【解析】（1）①連接OB，則O、E、B三點共線．∵B的坐標是（6，4），E是矩形對角線的交點，∴E的坐標是（3，2），∴k=3×2=6，則函數的解析式是y=．當y=4時，x=1.5，即D的坐標是（1.5，4）；②S△OBC=BC?OC=×6×4=12，S△OCD=OC?CD=×4×1.5=3，S△BDE=×（6﹣1.5）×2=4.5，則S△ODE=S△OBC﹣S△OCD﹣S△BDE=12﹣3﹣3﹣4.5=4.5；（2）作E關于OA軸的對稱點E'，則E'的坐標是（3，﹣2）．連接E'D，與x軸交點是P，此時PO+PE最小．設y=mx+n，把E'和D的坐標代入得：，解得：，則直線PE的解析式是y=﹣4x+10．課后鞏固 課后鞏固1.如圖，在平面直角坐標系中，OA⊥OB，AB⊥x軸于點C，點A（，1）在反比例函數y=的圖象上．（1）求反比例函數y=的表達式；（2）在x軸的負半軸上存在一點P，使得S△AOP=S△AOB，求點P的坐標；（3）若將△BOA繞點B按逆時針方向旋轉60°得到△BDE．直接寫出點E的坐標，并判斷點E是否在該反比例函數的圖象上，說明理由．【解析】（1）k=×1=，∴反比例函數的表達式為y=；（2）∵A（，1），AB⊥x軸于點C，∴OC=，AC=1，由射影定理得OC2=AC?BC，可得BC=3，B（，﹣3），S△AOB=××4=2．∴S△AOP=S△AOB=．設點P的坐標為（m，0），∴×|m|×1=，∴|m|=2，∵P是x軸的負半軸上的點，∴m=﹣2，∴P（﹣2，0）；（3）點E在該反比例函數的圖象上，理由如下：∵OA⊥OB，OA=2，OB=2，AB=4，∴==，∴∠ABO=30°，∵將△BOA繞點B按逆