/2.5等腰三角形的軸對稱性教材知識總結(jié)教材知識總結(jié)等腰三角形的定義有兩條邊相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的兩條邊叫做腰，另一邊叫做底，兩腰所夾的角叫做頂角，底邊與腰的夾角叫做底角.如圖所示，在△ABC中，AB＝AC，則它叫等腰三角形，其中AB、AC為腰，BC為底邊,∠A是頂角，∠B、∠C是底角．AABC【點撥】等腰直角三角形的兩個底角相等，且都等于45°.等腰三角形的底角只能為銳角，不能為鈍角（或直角），但頂角可為鈍角（或直角）.∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝.等腰三角形的性質(zhì)1.等腰三角形的性質(zhì)性質(zhì)1：等腰三角形的兩個底角相等（簡稱“等邊對等角”）．性質(zhì)2：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的高、底邊上的中線互相重合（簡稱“三線合一”）．2.等腰三角形的性質(zhì)的作用性質(zhì)1證明同一個三角形中的兩角相等.是證明角相等的一個重要依據(jù)．性質(zhì)2用來證明線段相等，角相等，垂直關系等．3.等腰三角形是軸對稱圖形等腰三角形底邊上的高（頂角平分線或底邊上的中線）所在直線是它的對稱軸，通常情況只有一條對稱軸．等腰三角形的判定如果一個三角形中有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等（簡稱“等角對等邊”）.【點撥】等腰三角形的判定是證明兩條線段相等的重要定理，是將三角形中的角的相等關系轉(zhuǎn)化為邊的相等關系的重要依據(jù).等腰三角形的性質(zhì)定理和判定定理是互逆定理.看例題，漲知識看例題，漲知識【例題1】如圖所示，在△ABC中，DE是邊AB的垂直平分線，交AB于E，交AC于D，連接BD．(1)若∠ABC=∠C，∠A=50°，求∠DBC的度數(shù)．(2)若AB=AC，且△BCD的周長為18cm，△ABC的周長為28cm，求BE的長．【例題2】在△ABC中，點D是邊BC上一點，點E在邊AC上，且BD＝CE，∠BAD＝∠CDE，∠ADE＝∠C．(1)如圖①，求證：△ADE是等腰三角形；(2)如圖②，若DE平分∠ADC，在不添加輔助線的情況下，請直接寫出圖中所有與∠CDE相等的角（∠CDE除外）．【例題3】如圖，在中，．(1)點D是線段上一點（不與B，C重合），以為一邊在的右側(cè)作，使，，連接．①求證：；②若，則_______度；③猜想與之間的數(shù)量關系，并證明你的結(jié)論．(2)當點D在線段的反向延長線上運動時，（1）③中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，試加以證明；若不成立，請你給出正確的數(shù)量關系，并說明理由．課后習題鞏固一下課后習題鞏固一下一、單選題1．在含有30°角的直角三角形中，斜邊長為4，則30°角所對的直角邊長為（

）A．2 B． C．8 D．102．如圖，在△ABC中，AB=AD=DC，∠C=35°，則∠B的度數(shù)為（

）A． B． C． D．3．如圖，中，，，，則的長度為（

）A． B． C． D．4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD是AB邊上的中線，下列結(jié)論正確的是（）A．CD⊥AB B．CD＝BC C．BD＝CD D．∠ACD＝∠BCD5．如圖，△ABC是等邊三角形，且AD=BE=CF，則△DEF是（

）A．等邊三角形 B．等腰三角形 C．鈍角三角形 D．直角三角形6．如圖，是等腰的頂角平分線，，則等于（

）A．6 B．5 C．4 D．3二、填空題7．等腰三角形的一個外角是100°，則其底角是___________.8．等腰三角形中，一個角為50°，則這個等腰三角形的頂角的度數(shù)為_____．9．如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD是中線，若∠C＝55°，則∠CAD＝______．10．如圖，在中，，，AB的垂直平分線DE分別交AB、BC于點D、E，則______．三、解答題11．如圖，D為BC的中點，DE⊥AB于點E，DF⊥AC于點F，且DE=DF．試問：AB與AC有什么關系？12．如圖，在△ABC中，，點為的中點，邊的垂直平分線交、、于點、、，連接OA、OB．(1)求證：△OBC為等腰三角形；(2)若∠ACF=23°，求的度數(shù)．13．如圖，已知AD是△ABC的角平分線，DE，DF分別是△ABD和△ACD的高，AD與EF相交于點M．(1)求證：△ADE≌△ADF；(2)求證：AD垂直平分EF．14．如圖，在中，，，點在線段上運動（不與重合），連接，作，與交于．(1)當時，_______°，_________°；當點從向運動時，逐漸變________（填“大”或“小”）；(2)在點的運動過程中，的形狀可以是等腰三角形嗎？若可以，請直接寫出的度數(shù)；若不可以，請說明理由．15．如圖，在和中，點E在BC邊上，，，，EF與AC交于點G．(1)求證：；(2)若，，求的度數(shù)．16．如圖所示，等腰△ABC，BA＝BC，AD⊥BC．(1)過點B作∠ABD的平分線交AD于點E（要求：保留作圖痕跡，不寫作法）；(2)在（1）的條件下，已知AD＝BD，求證BE＝AC．/

2.5等腰三角形的軸對稱性教材知識總結(jié)教材知識總結(jié)等腰三角形的定義有兩條邊相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的兩條邊叫做腰，另一邊叫做底，兩腰所夾的角叫做頂角，底邊與腰的夾角叫做底角.如圖所示，在△ABC中，AB＝AC，則它叫等腰三角形，其中AB、AC為腰，BC為底邊,∠A是頂角，∠B、∠C是底角．AABC【點撥】等腰直角三角形的兩個底角相等，且都等于45°.等腰三角形的底角只能為銳角，不能為鈍角（或直角），但頂角可為鈍角（或直角）.∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝.等腰三角形的性質(zhì)1.等腰三角形的性質(zhì)性質(zhì)1：等腰三角形的兩個底角相等（簡稱“等邊對等角”）．性質(zhì)2：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的高、底邊上的中線互相重合（簡稱“三線合一”）．2.等腰三角形的性質(zhì)的作用性質(zhì)1證明同一個三角形中的兩角相等.是證明角相等的一個重要依據(jù)．性質(zhì)2用來證明線段相等，角相等，垂直關系等．3.等腰三角形是軸對稱圖形等腰三角形底邊上的高（頂角平分線或底邊上的中線）所在直線是它的對稱軸，通常情況只有一條對稱軸．等腰三角形的判定如果一個三角形中有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等（簡稱“等角對等邊”）.【點撥】等腰三角形的判定是證明兩條線段相等的重要定理，是將三角形中的角的相等關系轉(zhuǎn)化為邊的相等關系的重要依據(jù).等腰三角形的性質(zhì)定理和判定定理是互逆定理.看例題，漲知識看例題，漲知識【例題1】如圖所示，在△ABC中，DE是邊AB的垂直平分線，交AB于E，交AC于D，連接BD．(1)若∠ABC=∠C，∠A=50°，求∠DBC的度數(shù)．(2)若AB=AC，且△BCD的周長為18cm，△ABC的周長為28cm，求BE的長．【答案】(1)；(2)【分析】（1）已知∠A=50°，易求∠ABC的度數(shù)．又因為DE垂直平分AB根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)易求出∠DBC的度數(shù)．（2）同樣利用線段垂直平分線的性質(zhì)：垂直平分線上任意一點，和線段兩端點的距離相等可解．【解析】(1)解：∵∠A=50°，∴∠ABC=∠C=65°，又∵DE垂直平分AB，∴∠A=∠ABD=50°，∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=15°；(2)解：∵DE是AB的垂直平分線，∴AD=BD，AE=BE，∴△BCD的周長=BC+CD+BD=BC+CD+AD=BC+AC=18cm．∵△ABC的周長=28cm，∴AB=28-18=10(cm)，∴BE=AE=5cm．【點撥】本題考查的是線段垂直平分線的性質(zhì)（垂直平分線上任意一點，和線段兩端點的距離相等）有關知識．【例題2】在△ABC中，點D是邊BC上一點，點E在邊AC上，且BD＝CE，∠BAD＝∠CDE，∠ADE＝∠C．(1)如圖①，求證：△ADE是等腰三角形；(2)如圖②，若DE平分∠ADC，在不添加輔助線的情況下，請直接寫出圖中所有與∠CDE相等的角（∠CDE除外）．【答案】(1)見解析(2)圖中所有與∠CDE相等的角有∠B，∠C，∠ADE和∠BAD【分析】（1）根據(jù)三角形外角性質(zhì)即可得出，根據(jù)三角形全等的性質(zhì)即可得出答案．（2）根據(jù)角平分線性質(zhì)得到,利用等量代換即可得出答案．【解析】(1)證明：是的一個外角，又，，在和中，，，是等腰三角形．(2)解：由（1）得，，，DE平分∠ADC，，又∠BAD＝∠CDE，，，，所以圖中與∠CDE相等的角有∠B，∠C，∠ADE和∠BAD．【點撥】本題考查了等腰三角形的判定及性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，解題關鍵在于熟練掌握其相關證明的判定及性質(zhì)．【例題3】如圖，在中，．(1)點D是線段上一點（不與B，C重合），以為一邊在的右側(cè)作，使，，連接．①求證：；②若，則_______度；③猜想與之間的數(shù)量關系，并證明你的結(jié)論．(2)當點D在線段的反向延長線上運動時，（1）③中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，試加以證明；若不成立，請你給出正確的數(shù)量關系，并說明理由．【答案】(1)①見解析；②132；③．證明見解析(2)當點D在線段的反向延長線上運動時，（1）③中的結(jié)論不成立，此時有．理由見解析【分析】（1）①由可得，根據(jù)SAS即可判定；②根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求得，由全等三角形的性質(zhì)可得，即可求解；③根據(jù)全等三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和的性質(zhì)，即可求解；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)以及三角形外角的性質(zhì)，即可判定．【解析】(1)①∵，∴．又，，∴．②132．∵，，∴，∵E，∴．∴．③．證明如下∶．∵，∴．∵，∴，∴．(2)當點D在線段的反向延長線上運動時，（1）③中的結(jié)論不成立，此時有．理由如下：如圖，由（1）同理可得，∴．由三角形外角的性質(zhì)得，而，∴．【點撥】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和和外角的性質(zhì)，解題的關鍵是熟練掌握并靈活運用相關性質(zhì)進行求解．課后習題鞏固一下課后習題鞏固一下一、單選題1．在含有30°角的直角三角形中，斜邊長為4，則30°角所對的直角邊長為（

）A．2 B． C．8 D．10【答案】A【分析】根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)即可求解．【解析】解：在含有30°角的直角三角形中，斜邊長為4，∴30°角所對的直角邊長為×4=2．故選：A．【點撥】本題考查了含30度角的直角三角形的性質(zhì)，掌握在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半是解題的關鍵．2．如圖，在△ABC中，AB=AD=DC，∠C=35°，則∠B的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先利用等腰三角形的性質(zhì)求得∠DAC的度數(shù)，然后求得∠BDA的度數(shù)，最后利用等腰三角形的性質(zhì)求得∠B的度數(shù)．【解析】解：∵AD=DC，∴∠DAC=∠C，∵∠C=35°，∴∠DAC=35°，∴∠BDA=∠C+∠DAC=70°，∵AB=AD，∴∠BDA=∠B=70°．故選：C．【點撥】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)：等腰三角形兩底角相等．3．如圖，中，，，，則的長度為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半；即可解答；【解析】解：Rt△ABC中，∠A=30°，∠C=90°，BC=3cm，則AB=6cm，故選：B．【點撥】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題關鍵．4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD是AB邊上的中線，下列結(jié)論正確的是（）A．CD⊥AB B．CD＝BC C．BD＝CD D．∠ACD＝∠BCD【答案】C【分析】根據(jù)題意，作出相應圖形，然后利用直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)即可得出結(jié)果．【解析】解：如圖所示：A、不一定得到CD⊥AB，選項錯誤；B、不一定得到CD=BC，選項錯誤；C、根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得：，選項正確；D、不一定得出∠ACD=∠BCD，選項錯誤；故選：C．【點撥】題目主要考查直角三角形中中線的性質(zhì)，深刻理解直角三角形斜邊上的中線上斜邊的一半是解題關鍵．5．如圖，△ABC是等邊三角形，且AD=BE=CF，則△DEF是（

）A．等邊三角形 B．等腰三角形 C．鈍角三角形 D．直角三角形【答案】A【分析】由題意可知，可知DE=DF=EF，所以為等邊三角形．【解析】解：∵是等邊三角形，∴AB=AC=BC，∵AD=BE=CF，∴AB-AD=AC-CF=BC-BE，∴BD=AF=CE，在和中，∴（SAS），同理，則，∴DE=DF=EF，∴為等邊三角形．故選：A．【點撥】本題考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，解題的關鍵是證明．6．如圖，是等腰的頂角平分線，，則等于（

）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】B【分析】根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)確定AD是中線，即可求出CD的長度．【解析】解：∵AD是等腰△ABC的頂角平分線，∴AD是等腰△ABC的中線．∵BC=10，∴．故選：B．【點撥】本題考查了等腰三角形三線合一的性質(zhì)，熟練掌握該知識點是解題的關鍵．二、填空題7．等腰三角形的一個外角是100°，則其底角是___________.【答案】80°或50°【分析】等腰三角形的一個外角等于100°，則等腰三角形的一個內(nèi)角為80°，但已知沒有明確此角是頂角還是底角，所以應分兩種情況進行分類討論．【解析】解：∵等腰三角形的一個外角等于100°，∴等腰三角形的一個內(nèi)角為80°，①當80°為頂角時，其他兩角都為50°、50°，②當80°為底角時，其他兩角為80°、20°，所以等腰三角形的底角可以是80°或50°，故答案為：80°或50°．【點撥】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理；在解決與等腰三角形有關的問題時，由于等腰三角形所具有的特殊性質(zhì)，很多題目在已知不明確的情況下，要進行分類討論，才能正確解題，因此，解決和等腰三角形有關的邊角問題時，要仔細認真，避免出錯．8．等腰三角形中，一個角為50°，則這個等腰三角形的頂角的度數(shù)為_____．【答案】50°或80°【分析】根據(jù)題意，分類討論：①等腰三角形的頂角為50°，②等腰三角形的底角為50°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求出頂角，即可得．【解析】解：①等腰三角形的頂角為50°，②等腰三角形的底角為50°，則等腰三角形的頂角為：，故答案為：50°或80°．【點撥】本題考查了等腰三角形，解題的關鍵是分類討論．9．如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD是中線，若∠C＝55°，則∠CAD＝______．【答案】35°【分析】根據(jù)等腰三角形的三線合一得到∠ADC=90°，根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出答案．【解析】解：∵AB＝AC，AD是中線，∴AD⊥BC，∴∠ADC=90°，∵∠C＝55°，∴∠CAD＝90°-∠C=35°，故答案為：35°．【點撥】此題考查了等腰三角形的三線合一的性質(zhì)，直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)，熟記等腰三角形的性質(zhì)是解題的關鍵．10．如圖，在中，，，AB的垂直平分線DE分別交AB、BC于點D、E，則______．【答案】100°【分析】先根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)求出∠B=∠BAE=40°，然后根據(jù)AB=AC，得到∠C=∠B=40°，則∠BAC=180°-∠B-∠C=100°．【解析】解：∵DE是AB的垂直平分線，∴AE=BE，∴∠B=∠BAE=40°，∵AB=AC，∴∠C=∠B=40°，∴∠BAC=180°-∠B-∠C=100°，故答案為：100°．【點撥】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟知線段垂直平分線和等腰三角形的性質(zhì)是解題的關鍵．三、解答題11．如圖，D為BC的中點，DE⊥AB于點E，DF⊥AC于點F，且DE=DF．試問：AB與AC有什么關系？【答案】【分析】證明，得到∠B=∠C，由等角對等邊可得AB=AC．【解析】解：，∵D為BC的中點，∴BD=CD，∵DE⊥AB于點E，DF⊥AC于點F，∴∠BED=∠CFD=90°，∵在Rt△BED和Rt△CFD中，，∴，∴∠B=∠C，∴AB=AC．【點撥】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等角對等邊，通過證明直角三角形全等得到∠B=∠C是本題的關鍵．12．如圖，在△ABC中，，點為的中點，邊的垂直平分線交、、于點、、，連接OA、OB．(1)求證：△OBC為等腰三角形；(2)若∠ACF=23°，求的度數(shù)．【答案】(1)證明見解析；(2)【分析】（1）根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)即可證明；（2）根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)即可解答.【解析】(1)證明；：∵AC=BC，點F為AB的中點，∴CF⊥AB，∴CF垂直平分AB，∴OA=OB，∵DE垂直平分AC，∴OA=OC，∴OB=OC，∴△OBC為等腰三角形；(2)解：∵CA=CB，CF⊥AB，∴CF平分∠ACB，∴∠BCF=∠ACF=23°，∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB=23°，∵∠EDC=90°，∴∠DEC=180°-90°-∠DCE=90°-23°-23°=44°，∵∠OEC=∠OBE+∠BOE，∴∠BOE=44°-23°=21°.【點撥】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)等知識；掌握相關性質(zhì)和定理是解題關鍵．13．如圖，已知AD是△ABC的角平分線，DE，DF分別是△ABD和△ACD的高，AD與EF相交于點M．(1)求證：△ADE≌△ADF；(2)求證：AD垂直平分EF．【答案】(1)見解析；(2)見解析【分析】（1）由角平分線的性質(zhì)定理可得DE＝DF，然后根據(jù)“HL”可進行求證；（2）由（1）可得AE＝AF，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可求證．【解析】(1)證明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF．∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠AED＝∠AFD＝90°，∴在Rt△ADE和Rt△ADF中，，∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL）；(2)證明：∵Rt△ADE≌Rt△ADF∴AE＝AF又∵AD是△ABC的角平分線∴AD是線段EF的垂直平分線．【點撥】本題主要考查角平分線的性質(zhì)定理、“HL”及等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握角平分線的性質(zhì)定理、“HL”及等腰三角形的性質(zhì)是解題的關鍵．14．如圖，在中，，，點在線段上運動（不與重合），連接，作，與交于．(1)當時，_______°，_________°；當點從向運動時，逐漸變________（填“大”或“小”）；(2)在點的運動過程中，的形狀可以是等腰三角形嗎？若可以，請直接寫出的度數(shù)；若不可以，請說明理由．【答案】(1)25，115，小(2)當?shù)亩葦?shù)為110°或80°時，的形狀是等腰三角形，理由見解析【分析】（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理和等腰三角形的性質(zhì)，可得，從而得到，即可求解；（2）分三種情況討論：當時，當時，當時，即可求解．【解析】(1)解：∵，∴，∵，∴，∴，當點從向運動時，逐漸變小，故答案為：25，115，小；(2)解：當?shù)亩葦?shù)為110°或80°時，的形狀是等腰三角形，理由如下：當時，則，∵，∴，∵，∠ADB=∠DAC+∠C，∴；當時，，∵，∠ADB=∠DAC+∠C，∴；當時，∠AED=∠ADE=40°（不合題意）；綜上所述，當?shù)亩葦?shù)為110°或80°時，是等腰三角形．【點撥】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，熟練掌握相關知識點，并利用分類討論思想解答是解題的關鍵．15．如圖，在