/專題03整式的乘除（11大題型）題型一冪的混合運算題型二與冪有關的新定義問題題型三比較冪的大小題型四整式的混合運算題型五整式化簡問題題型六與整式乘法有關的不含/無關型問題題型七多項式乘多項式與圖形面積題型八多項式乘法中的規律性問題題型九用乘法公式簡便運算題型十平方差公式與幾何圖形的應用題型十一完全平方公式在幾何圖形中的應用題型一冪的混合運算1．（23-24七年級下·江蘇無錫·階段練習）計算：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】本題考查了冪的運算，掌握冪的運算法則是解題的關鍵．（1）先算冪的乘方，再算同底數冪的乘法；（2）先算冪的乘方，再合并同類項；（3）先算積的乘方和同底數冪的乘法，再合并同類項；（4）先算冪的乘方，再乘同底數冪的乘法，最后合并同類項．【詳解】（1）解：；（2）解：；（3）解：；（4）解：．2．（2022七年級下·江蘇·專題練習）計算：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)0(2)(3)【分析】（1）根據同底數冪的乘法和冪的乘方以及合并同類項的計算法則求解即可；（2）根據冪的乘方和同底數冪的除法計算法則求解即可；（3）根據同底數冪的乘除法計算法則求解即可．【詳解】（1）解：；（2）解：；（3）解：．【點睛】本題主要考查了冪的混合運算，熟知相關計算法則是解題的關鍵．3．（23-24七年級下·安徽亳州·期末）先化簡，再求值：，其中．【答案】，6【分析】本題考查了冪的混合運算，先根據冪的乘方、同底數冪相乘，零次冪法則進行化簡，再合并同類項，得出，然后把代入，進行計算，即可作答．【詳解】解：把代入，得題型二與冪有關的新定義問題4．（22-23七年級下·浙江金華·期末）規定：若實數x，y，z滿足，則記作．(1）根據題意，，則．(2）若記，，則a，b，c三者之間的關系式是．【答案】3【分析】本題主要考查同底數冪的乘法公式的應用，（1）根據定義可得，由即可得出．（2）由得，再用同底數冪的乘法公式可求得三者之間滿足的關系式．【詳解】解：（1）由定義可知即，∵，∴，（2）由定義可知：，，，∵，∴，∴，∴，故答案為3；．5．（23-24七年級下·浙江寧波·期末）對正整數，規定，記對正整數n，規定，記，若正整數使得為完全平方數，請寫出一個符合條件的k的值：【答案】12（答案不唯一）【分析】本題考查完全平方數的知識，積的乘方逆用法則，根據題意把S分解成的形式，再根據完全平方數的定義即可解答．【詳解】解：，，，，，，都為完全平方數，為完全平方數，的值可以是，故答案為：12（答案不唯一）．6．（20-21七年級下·浙江·期末）下列有四個結論:①若，則；②若，則的值為；③若規定:當時，，若，則；④若，則可表示為，⑤已知多項式是完全平方式，則常數．其中正確的是（填序號）【答案】③⑤【分析】①可以是零指數冪，可以是1的任何次冪，可以是-1的偶數次冪；②先求出ab的值，再求出a+b的值，最后代入代數式求值即可；③根據新定義列出方程求解即可；④把a，b先化成底數為2的式子，然后再求值；⑤根據完全平方公式判斷即可．【詳解】解：①可以分為三種情況：當時，；當時，；當，為偶數時，，但不是偶數，舍去；綜上所述，或0．①不符合題意；②，，，，，，，當時，原式；當時，原式，．②不符合題意；③根據定義得：，解得：，③符合題意；④，，，④不符合題意；⑤是完全平方式，，⑤符合題意，故答案為：③⑤．【點睛】本題主要考查了零指數冪，完全平方公式，冪的運算，綜合性比較強，解題時注意分類討論．題型三比較冪的大小7．（22-23七年級下·浙江金華·期中）冪的運算逆向思維可以得到；；等，在解題過程中，根據算式的結構特征，逆向運用冪的運算法則，?？梢曰睘楹?，化難為易，使問題巧妙獲解．(1)若，求m的值；(2)比較大小：若，，，則a，b，c的大小關系是什么？【答案】(1)1(2)【分析】本題考查了同底數冪的乘法，冪的乘方及其逆用，有理數大小比較，掌握相應的運算法則是解題的關鍵．（1）根據同底數冪的乘法，冪的乘方進行計算；（2）把、、換算成同指數冪，再按照有理數大小比較方法進行比較．【詳解】（1）解：，，，；（2）解：，，，，，．8．（21-22七年級下·江蘇鹽城·階段練習）閱讀：已知正整數a、b、c，顯然，當同底數時，指數大的冪也大，若對于同指數，不同底數的兩個冪和，當時，則有，根據上述材料，回答下列問題．(1)比較大小：（填寫>、<或=）；(2)比較與的大?。▽懗霰容^的具體過程）；(3)計算．【答案】(1)>(2)(3)4【分析】（1）根據所給的材料的方法進行求解即可；（2）把指數轉為相同，再比較底數即可；（3）利用積的乘方的法則的逆運用，進行運算即可．【詳解】（1）解：∵，∴，故答案為：>；（2）解：∵233=（23）11=811，322=（32）11=911，∴811＜911，即233＜322；（3）解：．【點睛】本題主要考查積的乘方法則，冪的大小的比較，有理數的混合運算，解答的關鍵是對相應的運算法則的掌握與運用．9．（21-22七年級下·江蘇泰州·階段練習）閱讀下面的材料：材料一：比較和的大小解：因為，且，所以，即」小結：指數相同的情況下，通過比較底數的大小，來確定兩個冪的大小，材料二：比較和的大?。猓阂驗?，且，所以，即，小結：底數相同的情況下，通過比較指數的大小，來確定兩個冪的大小解決下列問題：(1)比較、、的大小：(2)比較的大?。?3)比較與的大?。敬鸢浮?1)(2)(3)【分析】（1）根據，，，再比較底數的大小即可；（2）根據，，，再比較底數的大小即可；（3）根據，，再由，即可得出結論．【詳解】（1）解：∵，，，∵，∴，即；（2）解：∵，，，∵，∴，即；（3）解：∵，，又∵，∴．【點睛】本題考查冪的乘方與積的乘方、有理數大小比較，解答本題的關鍵是明確有理數大小的比較方法．題型四整式的混合運算10．（22-23七年級下·浙江·期末）計算題．(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）根據積的乘方和合并同類項的方法可以解答本題；（2）根據平方差公式將式子展開，然后合并同類項即可；（3）根據平方差公式和完全平方公式可以解答本題；（4）根據平方差公式和完全平方公式可以解答本題．【詳解】（1）；（2）；（3）；（4）．【點睛】本題考查整式的混合運算，熟練掌握運算法則是解答本題的關鍵．11．（21-22七年級下·浙江寧波·期末）計算：(1)；(2)【答案】(1)(2)【分析】此題考查了平方根、立方根、零次冪、負整指數冪以及整式的運算，解題的關鍵是熟練掌握相關運算法則．（1）根據零次冪以及負整指數冪、乘方的運算求解即可；（2）根據積的乘方以及整式的運算法則，求解即可．【詳解】（1）解：；（2）．12．（22-23八年級上·內蒙古烏?！るA段練習）計算：(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）先算乘方，再算乘法，再合并同類項即可得到答案；（2）先算乘方，再算乘法，最后再合并同類項即可得到答案．【詳解】（1）解：；（2）解：．【點睛】本題主要考查了整式的乘法，乘方，熟練掌握運算法則是解題的關鍵．13．（23-24七年級下·浙江杭州·期末）計算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了實數的混合運算、單項式乘多項式、多項式乘多項式，掌握以上知識是解答本題的關鍵．（1）先化簡各式，再進行加減計算即可；（2）先算多項式乘多項式、單項式乘單項式、去括號，再合并同類項即可．【詳解】（1）解：，，，；（2）解：，，，．題型五整式化簡問題14．（23-24七年級下·浙江金華·期末）（1）先化簡，再求值：，其中．（2）先化簡代數式，若是滿足的整數，從中選一個恰當的的值代入求出代數式的值．【答案】（1）；；（2）；當時，原式或當時，原式．（選其中一個作答即可）【分析】本題考查了整式的化簡求值，分式的化簡求值，熟練掌握運算法則是解答本題的關鍵．（1）先根據完全平方公式、平方差公式、多項式與單項式的乘法計算，然后去括號合并同類項，最后把代入求值即可；（2）先把括號內通分，根據完全平方公式和平方差公式化簡第二項，再進行除法計算，化簡后取一個使分式有意義的數代入計算即可．【詳解】解：（1）原式，即原式（2）原式是滿足的整數，，0當，時，分式無意義當時，原式或當時，原式．（選其中一個作答即可）15．（22-23七年級下·浙江寧波·期末）先化簡，再求值：，其中，．【答案】，2【分析】利用單項式乘多項式，冪的乘方和積的乘方以及單項式除以單項式法則計算，再將a，b代入計算即可．【詳解】解：原式當，時，原式．【點睛】本題考查了整式的化簡求值，能正確根據整式的運算法則進行計算是解此題的關鍵，注意運算順序．16．（22-23七年級下·浙江湖州·期末）先化簡，再求值：，其中．【答案】，【分析】先根據整式運算法則進行化簡，再代入數值計算即可．【詳解】解：，把代入得，原式．【點睛】本題考查了整式的混合運算－求值，解題關鍵是熟練運用整式運算法則和乘法公式進行化簡，代入數值后準確計算．題型六與整式乘法有關的不含/無關型問題17．（21-22七年級下·浙江杭州·期末）已知的結果中不含的一次項．(1)求的值；(2)化簡：，并在（1）的條件下求值．【答案】(1)(2)4a+5，17【分析】（1）根據多項式乘以多項式進行計算，然后結合結果中不含x的一次項可進行求解；（2）先對整式進行計算，然后再代值求解即可．【詳解】（1）解：，∵不含的一次項，∴；（2）解：==；∴當時，原式．【點睛】本題主要考查多項式乘以多項式及乘法公式，熟練掌握多項式乘以多項式及乘法公式是解題的關鍵．18．（23-24八年級上·湖北黃岡·期末）已知的展開式中不含的二次項，，求：(1)的值；(2)的值．【答案】(1)(2)【分析】本題考查多項式乘多項式不含某一項，因式分解，以及非負性．（1）根據多項式乘多項式的法則，進行化簡后，根據展開式中不含的二次項，得到的二次項的系數為0，求出的值，即可；（2）將等式的左邊進行因式分解后，利用非負性求出的值，再將的值代入代數式求值即可．【詳解】（1）解：，∵展開式不含的二次項，∴，∴；（2），∴，∴，∴，∴，∴，∴．19．（23-24七年級上·四川成都·期末）若的積中不含x項與項．(1)求p、q的值；(2)求代數式的值．【答案】(1)；(2)36．【分析】本題主要考查多項式乘以多項式的法則．（1）將原式根據多項式乘以多項式法則展開后合并同類項，由積中不含x項與項可知x項與項的系數均等于0，可得關于p、q的方程組，解方程組即可；（2）由（1）中p、q的值得，將原式整理變形成再將p、q、的值代入計算即可．【詳解】（1）解：，∵積中不含x項與項，∴，解得：，；（2）解：∵，∴，∴．20．（24-25八年級上·四川資陽·期末）如圖，某學校的廣場上有一塊長為米，寬為米的長方形地塊．中間有一塊邊長為米的正方形雕像，周圍剩余部分（陰影部分）種植了綠化，請回答以下問題：(1)綠化的面積是多少？(2)若，使代數式的值與的取值無關，求綠化面積的值．【答案】(1)（平方米）(2)【分析】本題考查了整式混合運算，熟練掌握運算法則是解題的關鍵．（1）用大長方形面積減去小正方形面積即可得到綠化的面積；（2）根據題意求出，再代入計算即可．【詳解】（1）解：（平方米）；（2）解：原式，代數式的值與的取值無關，，，，（平方米），綠化面積的值為．題型七多項式乘多項式與圖形面積21．（23-24七年級下·浙江金華·期末）一個長方形的長、寬分別為，如果將長方形的長和寬分別增加和．(1)新長方形的面積比原長方形的面積增加了多少？(2)若，求長方形增加的面積．(3)如果新長方形的面積是原長方形面積的2倍，求的值．【答案】(1)；(2)；(3)12．【分析】本題考查的是多項式的乘法與圖形面積，求解代數式的值；（1）先分別計算新的長方形與原長方形的面積，再作差即可；（2）把代入（1）中的代數式，再計算即可；（3）由條件可得，再計算，最后整體代入即可；【詳解】（1）解：依據面積公式得，新長方形的面積為；原長方形的面積為所以；（2）解：當時，∴；（3）解：∵，∴，∴；22．（23-24七年級下·浙江金華·期末）根據素材，完成任務．利用現有木板制作長方體木箱問題素材1如圖長方體木箱的長、寬、高分別是厘米、厘米、b厘米．素材2現有甲、乙、丙三塊木板，甲塊木板鋸成兩塊剛好能做箱底和一個長側面，乙木板鋸成兩塊剛好能做一個長側面和一個短側面，丙塊木板鋸成兩塊剛好能做成箱蓋和剩下的一個短側面（厚度忽略不計）．問題解決任務1請用含a，b的代數式表示這三塊木板的面積．任務2若長方體長側面周長和短側面周長差為3厘米，長側面周長和短側面周長之和為23厘米，則甲、乙、丙三塊木板的面積和是多少？任務3若甲木板面積是乙木板面積的3倍，求箱子側面積與表面積的比值．【答案】任務一：甲木板面積：平方厘米，乙木板面積：平方厘米，丙木板面積：平方厘米；任務二：；任務三：【分析】任務一：根據題意結合長方形的面積公式列式整理即可；任務二：由長方體長側面周長和短側面周長差為3厘米，長側面周長和短側面周長之和為23厘米，再建立方程組求解的值，再列式計算即可．任務三：由題意可得：，可得，再列式計算比值即可；【詳解】任務一：解：由題意得：甲木板面積：平方厘米，乙木板面積：平方厘米，丙木板面積：平方厘米；任務二：由題意可得：，解得：，∴甲、乙、丙三塊木板的面積和為；任務三：由題意可得：，整理得：，∴，∵，∴，∴；箱子側面積為：，箱子表面積為：；∴箱子側面積與表面積的比值為；【點睛】本題考查了整式混合運算的實際應用，因式分解的應用，二元一次方程組的應用，根據題意列出甲、乙、丙三塊木板面積的式子是解題的關鍵．23．（23-24七年級下·浙江紹興·期末）如圖，將一張長方形紙片按如圖所示分割成6塊，其中有兩塊是邊長為的正方形，一塊是邊長為的正方形（）．(1)觀察圖形，代數式可因式分解為______；(2)圖中陰影部分面積之和記作，非陰影部分面積之和記作．①用含的代數式表示；②若，求的值．【答案】(1)(2)①；②1【分析】本題主要考查了整式的乘法運算與圖形，完全平方公式的應用，分式的約分：（1）根據題意可得長方形紙片的面積為，或者表示為，即可求解；（2）①直接觀察圖形，即可求解；②根據，可得，從而得到，再代入，即可求解．【詳解】（1）解：觀察圖形得：長方形紙片分為2塊是邊長為的正方形，1塊是邊長為的正方形，3塊是長為y，寬為的長方形，所以長方形紙片的面積為，∵長方形紙片的長為，寬為，∴長方形紙片的面積為，∴，即代數式可因式分解為；故答案為：（2）解：①根據題意得：；②∵，∴，整理得：，∴，∴，即，∴24．（22-23七年級下·浙江湖州·期末）如圖為某社區的一塊方形空地，由四塊長為，究為的長方形空地與一塊小正方形水池拼接而成，為創建生態社區、小明為空地設計了甲、乙兩種綠化方案，其中陰影部分都用于綠化，已知分別表示圖甲、乙中綠化的面積．

(1)_______________，_______________（用的代數式表示）；(2)當時，求的值．【答案】(1)；(2)．【分析】（1）為四個直角三角形的面積和；為大正方形的面積減四個小直角三角形的面積減小正方形的面積；（2）根據已知以及（1）的結論求得，代入計算即可求解．【詳解】（1）解：；，故答案為：；；（2）解：∵，∴，解得（負值已舍），∴．【點睛】本題考查了整式運算的應用，分式的約分化簡，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題．題型八多項式乘法中的規律性問題25．（23-24七年級下·浙江金華·期末）材料閱讀：若一個整數能表示成（是整數）的形式，則稱這個數為“完美數”．例如：因為，所以13是“完美數”；再如：因為（是整數），所以是“完美數”．根據上面的材料，解決下列問題：(1)請直接寫出一個不大于5的“完美數”，這個“完美數”是______．(2)試判斷（是整數）是否為“完美數”，并說明理由．(3)已知（是整數，為常數），要使為“完美數”，試求出符合條件的值，并說明理由．【答案】(1)2（答案不唯一）(2)是完美數，理由見解析(3)，理由見解析【分析】本題考查了因式分解的應用，熟練掌握完全平方公式是解題的關鍵．（1）根據新定義，判斷，并寫出一個小于10的“完美數”即可求解；（2）根據新定義根據多項式乘以單項式進行計算，然后因式分解成兩個平方和的形式即可求解；（3）先運用完全平方公式將進行化簡，再根據“完美數”的定義計算即可．【詳解】（1）解：，是“完美數”，故答案為：2（答案不唯一）．（2）解：，是“完美數”．（3）解：，為“完美數”，，．26．（22-23七年級下·浙江湖州·期末）七年級數學興趣小組成員在研究我國數學發展的時候查閱到了一位杰出的數學家，他們決定對其的發現展開微項目探索，請你跟隨探索腳步，根據素材，完成【任務規劃】和【項目成效】．【驅動問題】探索楊輝三角和多項式乘法計算結果中各項系數間的奧秘【核心概念】：素材1：楊輝是我國南宋時期杰出的數學家，在其所著的《詳解九章算法》中有記載了如圖1，源于北宋時期數學家賈憲的“開方作法本源圖”，我們把這個表叫做“楊輝三角”．素材2：我們知道，．利用多項式的乘法運算，還可以得到：．當時，將計算結果中多項式（以a降次排序）各項的系數排列成表，可得到如圖2：

【任務規劃】（1）任務1：請根據素材1和素材2直接寫出的計算結果；（2）任務2：將（其中）的計算結果以a降次排序后，請推導出第三項的系數m（用含n的代數式表示）．【項目成效】（3）成果展示：請計算中含的項的系數是多少．【答案】（1）；（2）；（3）系數為80【分析】本題考查了圖形的數字規律：（1）根據每一行兩端的系數都為1，中間部分系數分別為上一行相鄰兩系數的和計算求值即可；（2）求出n取2，3，4，5時計算結果中第三項的系數，由此得出規律，即可求解；（3）由（2）得：中含的項的系數即為計算結果中第三項的系數，即可求解．【詳解】解：（1）；（2），第三項的系數為；，第三項的系數為；，第三項的系數為，，第三項的系數為，……，，第三項的系數為；（3）由（2）得：中含的項的系數是．27．（20-21七年級下·浙江·期末）回答下列問題：（1）填空：________；________；_________．（2）猜想：____________．（其中為正整數，且）；（3）利用（2）猜想的結論計算：（結果保留乘方）①；②．【答案】（1）a2-b2；a3-b3；a4-b4；（2）an-bn；（3）①211-2；②【分析】（1）利用多項式乘以多項式法則計算即可得到結果；（2）歸納總結得到一般性規律，寫出即可；（3）利用得出的規律將原式變形，計算即可求出值．【詳解】解：（1）（a-b）（a+b）=a2-b2；（a-b）（a2+ab+b2）=a3-b3；（a-b）（a3+a2b+ab2+b3）=a4-b4；（2）猜想：（a-b）（an-1+an-2b+…+abn-2+bn-1）=an-bn；（3）①原式=210+29+28+…+23+22+2=（2-1）?（210+29?1+28?12+…+23?16+22?18+2?19+110）-110=211-111-1=211-2；②=====【點睛】此題考查了數字的規律和多項式乘以多項式，弄清題中的規律是解本題的關鍵．.28．（21-22七年級下·江蘇泰州·階段練習）你能求的值嗎？遇到這樣的問題，我們可以先思考一下，從簡單的情形入手，先分別計算下列各式的值．①②③…(1)由此我們可以得到：=．(2)請你利用上面的結論，再完成下面兩題：①若，求的值；②計算：．【答案】(1)(2)①-1；②【分析】（1）觀察已知等式得到一般性規律，寫出即可；（2）①原式變形后，利用得出的規律化簡，計算即可求出值；②式子轉化為-(-4-1)×[]，再計算即可．【詳解】（1）解：由此我們可以得到：=；故答案為：；（2）解：①∵，=0，∴=1，則x=±1，∵=0，∴x＜0，∴x=-1，∴=-1；②原式=-(-4-1)×[]=-[-1]=．【點睛】此題考查了平方差公式和數字的變化規律，弄清題中的規律是解本題的關鍵．題型九用乘法公式簡便運算29．（21-22八年級上·河北保定·期末）計算：利用平方差公式可以進行簡便計算：例如：請你參考上述算法，運用平方差公式簡便計算：【答案】【分析】本題主要考查了平方差公式的應用，把第一個括號內提，然后利用平方差公式計算．【詳解】解：．30．（23-24六年級下·山東東營·期末）（1）先化簡，再求值：，其中，；（2）用乘法公式簡便計算：．【答案】（1），；（2）【分析】本題考查了整式的化簡求值，乘法公式，熟練掌握完全平方公式和平方差公式是解題關鍵．（1）括號內根據完全平方公式，單項式乘以多項式，平方差公式展開化簡，再計算除法，然后將、的值代入計算即可；（2）利用平方差公式簡便計算即可．【詳解】（1）解：，當，時，原式．（2）解：．31．（23-24七年級下·廣東揭陽·期末）從邊長為a的正方形中減掉一個邊長為b的正方形（如圖1），然后將剩余部分拼成一個長方形（如圖2）．(1)上述操作能驗證的等式是；（請選擇正確的一個）A．

B．

C．(2)應用你從（1）選出的等式，完成下列各題：①已知求的值；②簡便計算：．【答案】(1)B(2)①3②【分析】（1）根據題意，得剪去小正方形后余下圖形的面積為；重新拼圖后得到一個長為，寬為得長方形，根據面積不變性質，建立等式解答即可．（2）①根據，結合已知求的值即可．②根據題意，得，解答即可．本題考查了平方差公式的幾何意義，及其應用，正確理解意義，靈活應用是解題的關鍵．【詳解】（1）解：根據題意，得剪去小正方形后余下圖形的面積為；重新拼圖后得到一個長為，寬為得長方形，根據面積不變性質，建立等式得．故選B．（2）①根據，且故．②根據題意，得．32．（22-23八年級下·山東棗莊·期末）（1）已知：，，求的值.（2）用簡便方法計算：①；②.【答案】（1）30；（2）①10000；②33000【分析】（1）由，相加減可得，，即可求解；（2）①利用完全平方公式進行計算即可；②利用乘法分配律及平方差公式計算即可．【詳解】解：（1）∵，，∴，即：，，即：，∴；（2）①；②．【點睛】本題考查平方差公式及完全平方公式，熟記平方差公式及完全平方公式是解決問題的關鍵．題型十平方差公式與幾何圖形的應用33．（22-23七年級下·浙江湖州·期末）若圖1正方形框中陰影部分（由邊長為a和b的正方形圍成）的面積與圖2平行四邊形的面積相等，求平行四邊形的高h（結果用含，b的代數式表示）．【答案】【分析】此題考查了平方差公式幾何背景問題的解決能力，關鍵是能根據圖形準確列式．由題意得，圖①中陰影部分面積為：，圖②平行四邊形的面積是，進而列出等式即可解決問題．【詳解】解：∵

∴∴34．（20-21七年級下·浙江·期末）邊長為的正方形剪掉一個邊長為的正方形（如圖1），然后將剩余部分拼成一個長方形（如圖2）．（1）上述操作能驗證的等式是_________（請選擇正確的一個）；A．

B．

C．（2）若，求的值；（3）計算：【答案】（1）B；（2）3；（3）【分析】（1）結合圖1和圖2陰影部分面積相等建立等式即可．（2）利用平方差公式計算即可．（3）利用平方差公式展開計算化簡，最后求值．【詳解】解：（1）邊長為的正方形面積是，邊長為的正方形面積是，剩余部分面積為；圖（2）長方形面積為；驗證的等式是，故答案為：B．（2），且，；（3）【點睛】本題主要考查平方差公式的幾何背景，熟練掌握平方差公式是解題的關鍵．35．（24-25八年級上·浙江·期末）通常情況下，用兩種不同的方法計算一個圖形的面積，可以得到一個數學等式．如圖1，在①中邊長為的正方形中剪掉一個邊長為的小正方形，再將陰影部分沿虛線剪開，可拼成②中的長方形．（1）寫出圖1所表示的數學等式：__________；如圖2，大正方形的面積有兩種表示方法，由此可以說明__________（填公式）【問題探究】（2）①已知，則的值為__________；②如圖2，若，則__________．【拓展計算】（3）．【答案】（1），；（2）①12②74；（3）【分析】本題考查乘法公式與幾何圖形的面積，熟練掌握數形結合的思想，是解題的關鍵：（1）利用兩種方法表示出陰影部分的面積，寫出圖1的等式，利用正方形的面積公式以及分割法求圖形的面積，表示出數學公式即可；（2）①利用平方差公式進行計算即可；②利用完全平方公式的變形進行求解即可；（3）利用平方差公式進行展開，再進行約分化簡即可．【詳解】解：（1）陰影部分的面積可以用：，也可以用來表示，∴圖1所表示的數學等式為：；大正方形的面積可以用：，也可以用表示，∴可以說明；（2）①∵，∴；故答案為：12；②∵，∵，∴；故答案為：74；（3）原式．題型十一完全平方公式在幾何圖形中的應用36．（23-24七年級下·浙江湖州·期末）某小區要修建一個長為米，寬為米的長方形休閑場所．長方形內建一個正方形活動區和連結活動區到長方形四邊的四條筆直小路（如下圖），正方形活動區的邊長為米，小路的寬均為米．活動區與小路鋪設鵝卵石，其他地方鋪設草坪．(1)求四條小路的面積；（用含a，b的代數式表示）(2)求鋪設草坪的面積．（用含a，b的代數式表示）【答案】(1)平方米(2)平方米【分析】本題考查列代數式，整式運算的實際應用：（1）長方形的長減去正方形的邊長，乘以小路的寬，加上長方形的寬減去正方形的邊長，乘以小路的寬，即可；（2）用長方形的面積減去正方形的面積再減去小路的面積即可．【詳解】（1）解：四條小路的面積為平方米．（2）鋪設草坪的面積為平方米．37．（23-24七年級下·浙江杭州·期末）【綜合與實踐】制作靠墊面子．材料準備：兩塊完全相同的長方形布料（），其它若干布料．【操作1】小江把長方形布料裁成形狀、大小都相同的四塊（如圖①），拼成如圖②的大正方形靠墊面子，其中，正中部分從其它布料處裁得．求從其它布料處裁得的正中部分的小正方形布料的面積．（裁剪、接縫處布料忽略不計，結果用a，b表示）【操作2】小濱把長方形布料裁成如圖③形狀的四塊，每一塊形狀、大小都相同，拼成如圖④的大正方形靠墊面子，其中，正中部分從其它布料處裁得（裁剪、接縫處布料忽略不計）．若原長方形布料的面積為90平方分米，圖②中的大正方形靠墊面子的面積為106平方分米，試求圖④中的大正方形靠墊面子的面積．【答案】操作1：小正方形布料的面積為，詳見解析；操作2：圖④中的大正方形靠墊面子的面積為平方分米，詳見解析【分析】本題主要考查了代數式的應用，勾股定理，完全平方公式應用等知識點，操作1：根據圖形和數據求出大正方形的面積和四個直角三角形的面積，再作差即可；操作2：根據長方形布料的面積為90平方分米，圖②中的大正方形靠墊面子的面積為106平方分米列出方程組，求出的值，再根據圖④求正方形的面積；關鍵是掌握矩形的面積、正方形的面積和直角三角形的面積公式．【詳解】操作1：∵圖②大正方形的邊長為，∴圖②大正方形的面積為，∴圖②中間小正方形的面積為；操作2：根據題意得：，得：，解得（負值已舍去），∴③，把③代入①得：，解得或，當時，；當時，，∵，∴，，∴圖④大正方形面積為（平方分米）．38．（23-24七年級下·江西撫州·階段練習）數形結合是解決數學問題的一種重要的