課時分層作業(十)(本試卷共57分．單項選擇題每題5分，多項選擇題每題6分，填空題每題5分．)一、單項選擇題1．已知奇函數f(x)在R上是增函數，g(x)＝xf(x)．若a＝g(－log25.1)，b＝g(20.8)，c＝g(3)，則a，b，c的大小關系為()A．a＜b＜c B．c＜b＜aC．b＜a＜c D．b＜c＜aC[易知g(x)＝xf(x)在R上為偶函數，因為奇函數f(x)在R上是增函數，且f(0)＝0.所以g(x)在(0，＋∞)上是增函數．又3＞log25.1＞2＞20.8，且a＝g(－log25.1)＝g(log25.1)，所以g(3)＞g(log25.1)＞g(20.8)，則c＞a＞b.故選C．]2．已知函數f(x－1)(x∈R)是偶函數，且函數f(x)的圖象關于點(1,0)對稱，當x∈[－1,1]時，f(x)＝ax－1，則f(2024)＝()A．－1 B．－2C．0 D．2A[根據題意，函數f(x－1)(x∈R)是偶函數，則函數f(x)的對稱軸為直線x＝－1，則有f(x)＝f(－2－x)，又由函數f(x)的圖象關于點(1,0)成中心對稱，則f(x)＝－f(2－x)，則有f(－2－x)＝－f(2－x)，則f(x＋4)＝－f(x)，則有f(x＋8)＝－f(x＋4)＝f(x)，則函數f(x)是周期為8的周期函數，則f(2024)＝f(0＋253×8)＝f(0)＝－1.故選A．]3.（2025·湛江模擬）已知函數是定義在上的奇函數，且當時，，則不等式的解集為（）A.B.C.D.B[因為，所以在上單調遞增，且．因為是定義在上的奇函數，所以在上單調遞增，且．由，可得或，解得或．即的解集為.故選B.]4．已知定義在R上的偶函數f(x)，?x∈R，有f(x＋6)＝f(x)＋f(3)成立，則f(2025)＝()A．0 B．－2C．－4 D．2A[依題意?x∈R，有f(x＋6)＝f(x)＋f(3)成立，令x＝－3，則f(3)＝f(－3)＋f(3)＝2f(3)，所以f(3)＝0，故f(x＋6)＝f(x)，所以f(x)是周期為6的周期函數，故f(2025)＝f(6×337＋3)＝f(3)＝0.故選A．]5．在下列命題中，錯誤的是()A．函數f(x)＝x＋eq\f(a,x)(x>0)的最小值為2eq\r(a)B．已知定義在R上周期為4的函數f(x)滿足f(2－x)＝f(2＋x)，則f(x)一定為偶函數C．若定義在R上的函數f(x)既是奇函數又是以2為周期的周期函數，則f(1)＋f(4)＋f(7)＝0D．已知函數f(x)＝x3，若a＋b>0，則f(a)＋f(b)>0A[對于A選項，當a<0時，因為函數y＝x，y＝eq\f(a,x)均為(0，＋∞)上的增函數，所以函數f(x)在(0，＋∞)上為增函數，此時函數f(x)在(0，＋∞)上無最小值，A錯誤；對于B選項，由已知f(－x)＝f(4＋x)＝f(x)，又因為函數f(x)的定義域為R，所以函數f(x)為偶函數，B正確；對于C選項，由已知f(0)＝0，f(－1)＝f(1)且f(－1)＝－f(1)，故f(1)＝0，所以f(1)＋f(4)＋f(7)＝2f(1)＋f(0)＝0，C正確；對于D選項，因為函數f(x)＝x3為R上的增函數且為奇函數，a＋b>0，即a>－b，所以f(a)>f(－b)＝－f(b)，所以f(a)＋f(b)>0，D正確．故選A．]二、多項選擇題6．(2025·煙臺模擬)已知函數f(x)為R上的奇函數，g(x)＝f(x＋1)為偶函數，下列說法正確的有()A．f(x)的圖象關于直線x＝－1對稱B．g(2023)＝1C．g(x)的周期為4D．對任意x∈R，都有f(2－x)＝f(x)ACD[由題意可得f(x)的對稱中心為點(0,0)，對稱軸為直線x＝1，所以f(x)的圖象也關于直線x＝－1對稱，且f(x)＝f(2－x)，A，D正確；由A分析知，f(x)＝f(2－x)＝－f(－x)，故f(2＋x)＝－f(x)，所以f(4＋x)＝－f(2＋x)＝f(x)，所以f(x)的周期為4，則g(x)的周期為4，g(2023)＝f(2024)＝f(0)＝0，B不正確，C正確．故選ACD.]7．已知函數f(x)的定義域是R，函數f(x)是偶函數，f(2x－1)＋1是奇函數，則()A．f(0)＝－1B．f(1)＝－1C．4是函數f(x)的一個周期D．函數f(x)的圖象關于直線x＝9對稱BC[因為f(2x－1)＋1是R上的奇函數，所以f(－2x－1)＋1＝－[f(2x－1)＋1]，整理得，f(－2x－1)＋f(2x－1)＝－2.令x＝0，得2f(－1)＝－2，解得f(－1)＝－1，又f(x)為偶函數，所以f(1)＝f(－1)＝－1，B正確；將2x替換為x＋1，得f(－x－1－1)＋f(x＋1－1)＝－2，即f(－x－2)＋f(x)＝－2①，又因為f(x)是偶函數，所以f(－x)＝f(x)，將x替換為x＋2，得f(－x－2)＝f(x＋2)②，由①②得f(x＋2)＋f(x)＝－2③，則f(x＋4)＋f(x＋2)＝－2④，③－④得f(x＋4)＝f(x)，故4是函數f(x)的一個周期，C正確；因為f(x＋2)＋f(x)＝－2，所以f(x＋2)＋f(－x)＝－2，故f(x)關于點(1，－1)中心對稱，又因為4是函數f(x)的一個周期，所以f(9)＝f(2×4＋1)＝f(1)＝－1，故f(x)關于點(9，－1)中心對稱，D錯誤；因為f(x)關于點(1，－1)中心對稱，故點(0，f(0))與點(2，f(2))關于點(1，－1)中心對稱，無法得到f(0)＝－1，A錯誤．故選BC．]三、填空題8．(2025·菏澤模擬)已知定義在R上的函數f(x)滿足f(－x)＝－f(x)，f(3－x)＝f(x)，則f(2025)＝________.0[因為f(－x)＝－f(x)，令x＝0，得f(0)＝0.用－x替代x，得到f(x＋3)＝f(－x)＝－f(x)，所以T＝6，所以f(2025)＝f(337×6＋3)＝f(3)．因為f(3－x)＝f(x)，所以f(3)＝f(0)＝0.所以f(2025)＝0.]9．若函數f(x)稱為“準奇函數”，則必存在常數a，b，使得對定義域內的任意x值，均有f(x)＋f(2a－x)＝2b，則a＝2，b＝2的一個“準奇函數”為________________.(填寫解析式)f(x)＝eq\f(2x－3,x－2)(x≠2)(答案不唯一)[由f(x)＋f(2a－x)＝2b，知“準奇函數”f(x)的圖象關于點(a，b)對稱，若a＝2，b＝2，即f(x)圖象關于點(2,2)對稱，如y＝eq\f(1,x)向右平移2個單位長度，向上平移2個單位長度，得到f(x)＝2＋eq\f(1,x－2)＝eq\f(2x－3,x－2)，故其圖象就關于點(2,2)對稱．]10．(2022·全國乙卷)已知函數f(x)，g(x)的定義域均為R，且f(x)＋g(2－x)＝5，g(x)－f(x－4)＝7.若y＝g(x)的圖象關于直線x＝2對稱，g(2)＝4，則(k)＝()A．－21 B．－22C．－23 D．－24D[因為y＝g(x)的圖象關于直線x＝2對稱，所以g(2－x)＝g(x＋2)．因為g(x)－f(x－4)＝7，所以g(x＋2)－f(x－2)＝7，即g(x＋2)＝7＋f(x－2)．因為f(x)＋g(2－x)＝5，所以f(x)＋g(x＋2)＝5，代入得f(x)＋[7＋f(x－2)]＝5，即f(x)＋f(x－2)＝－2，所以f(3)＋f(5)＋…＋f(21)＝(－2)×5＝－10，f(4)＋f(6)＋…＋f(22)＝(－2)×5＝－10.因為f(x)＋g(2－x)＝5，所以f(0)＋g(2)＝5，即f(0)＝1，所以f(2)＝－2－f(0)＝－3.因為g(x)－f(x－4)＝7，所以g(x＋4)－f(x)＝7.又因為f(x)＋g(2－x)＝5，聯立得，g(2－x)＋g(x＋4)＝12，所以y＝g(x)的圖象關于點(3,6)中心對稱．因為函數g(x)的定義域為R，所以g(3)＝6.因為f(x)＋g(x＋2)＝5，所以f(1)＝5－g(3)＝－1.所以(k)＝f(1)＋f(2)＋[f(3)＋f(5)＋…＋f(21)]＋[f(4)＋f(6)＋…＋f(22)]＝－1－3－10－10＝－24.故選D.]11．已知函數f(x)＝lneq\f(1－x,1＋x)＋2，則關于x的不等式f(2x－1)＋f(2x)>4的解集為__________.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,4)))[根據題意，函數f(x)＝lneq\f(1－x,1＋x)＋2，設g(x)＝lneq\f(1－x,1＋x)，則有eq\f(1－x,1＋x)>0，解得－1<x<1，即函數f(x)的定義域為(－1,1)，關于原點對稱．又由g(－x)＝lneq\f(1＋x,1－x)＝－lneq\f(1－x,1＋x)＝－g(x)，得函數g(x)為奇函數．設t＝eq\f(1－x,1＋x)，則y＝lnt，t＝eq\f(1－x,1＋x)＝eq\f(2,x＋1)－1在(－1,1)上單調遞減，而y＝lnt在(0，＋∞)上單調遞增，故g(x)＝lneq\f(1－x,1＋x)在區間