第8課時拋物線[考試要求]1.掌握拋物線的定義、幾何圖形、標準方程.2.掌握拋物線的簡單幾何性質(范圍、對稱性、頂點、離心率).3.了解拋物線的簡單應用.4.理解數(shù)形結合的思想．1．拋物線的概念把平面內與一個定點F和一條定直線l(l不經(jīng)過點F)的距離相等的點的軌跡叫做拋物線，點F叫做拋物線的焦點，直線l叫做拋物線的準線.2．拋物線的標準方程與幾何性質標準方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)p的幾何意義：焦點F到準線l的距離圖形頂點O(0,0)對稱軸y＝0x＝0焦點Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))離心率e＝1準線方程x＝－eq\f(p,2)x＝eq\f(p,2)y＝－eq\f(p,2)y＝eq\f(p,2)范圍x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R[常用結論]1．與焦點弦有關的常用結論如圖，傾斜角為α的直線AB與拋物線y2＝2px(p>0)交于A，B兩點，F(xiàn)為拋物線的焦點，設A(x1，y1)，B(x2，y2)．則有(1)x1x2＝eq\f(p2,4)，y1y2＝－p2；(2)焦點弦長：|AB|＝x1＋x2＋p＝eq\f(2p,sin2α)(α為弦AB的傾斜角)；(3)通徑：過焦點與對稱軸垂直的弦長等于2p；(4)焦半徑：|AF|＝eq\f(p,1－cosα)，|BF|＝eq\f(p,1＋cosα)，特別地eq\f(1,|AF|)＋eq\f(1,|BF|)＝eq\f(2,p)；(5)以弦AB為直徑的圓與準線相切；(6)以AF或BF為直徑的圓與y軸相切；(7)過焦點弦的端點的切線互相垂直且交點在準線上；(8)焦點弦端點與頂點構成的三角形面積：S△AOB＝eq\f(p2,2sinα)＝eq\f(1,2)|OF|·|y1－y2|.2．若A，B為拋物線y2＝2px(p＞0)上異于原點O的兩點，則OA⊥OB是直線AB過定點(2p,0)的充要條件．一、易錯易混辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)平面內與一個定點F和一條定直線l的距離相等的點的軌跡一定是拋物線．(×)(2)若直線與拋物線只有一個交點，則直線與拋物線一定相切．(×)(3)方程y＝ax2(a≠0)表示的曲線是焦點在x軸上的拋物線，且其焦點坐標是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,4)，0))，準線方程是x＝－eq\f(a,4).(×)(4)拋物線既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形．(×)二、教材經(jīng)典衍生1．(人教A版選擇性必修第一冊P133練習T2改編)拋物線y＝eq\f(1,4)x2的準線方程是()A．y＝－1 B．y＝－2C．x＝－1 D．x＝－2A[因為y＝eq\f(1,4)x2，所以x2＝4y，所以準線方程為y＝－1.]2．(人教A版選擇性必修第一冊P133練習T3改編)若拋物線y＝4x2上的一點M到焦點的距離為1，則點M的縱坐標是()A．eq\f(17,16) B．eq\f(15,16)C．eq\f(7,8) D．0B[M到準線的距離等于M到焦點的距離，又準線方程為y＝－eq\f(1,16)，設M(x，y)，則y＋eq\f(1,16)＝1，所以y＝eq\f(15,16).]3．(人教A版選擇性必修第一冊P135例4改編)已知過拋物線y2＝4x的焦點的直線l交拋物線于P(x1，y1)，Q(x2，y2)兩點．如果x1＋x2＝6，那么|PQ|等于()A．9 B．8C．7 D．6B[拋物線y2＝4x的焦點為F(1,0)，準線方程為x＝－1.根據(jù)題意可得，|PQ|＝|PF|＋|QF|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝8.]4．(人教A版選擇性必修第一冊P134例3改編)已知拋物線的頂點是原點，對稱軸為坐標軸，并且經(jīng)過點P(－2，－4)，則該拋物線的標準方程為________.y2＝－8x或x2＝－y[設拋物線方程為y2＝2px(p≠0)或x2＝2py(p≠0)．將P(－2，－4)代入，分別得方程為y2＝－8x或x2＝－y.]考點一拋物線的定義及應用動點軌跡的判定[典例1](1)(2025·泰安模擬)在平面直角坐標系Oxy中，動點P(x，y)到直線x＝1的距離比它到定點(－2,0)的距離小1，則P的軌跡方程為()A．y2＝2x B．y2＝4xC．y2＝－4x D．y2＝－8x(2)動圓與定圓A：(x＋2)2＋y2＝1外切，且和直線x＝1相切，則動圓圓心的軌跡是()A．直線 B．橢圓C．雙曲線 D．拋物線(1)D(2)D[(1)由題意知動點P(x，y)到直線x＝2的距離與定點(－2,0)的距離相等，由拋物線的定義知，P的軌跡是以(－2,0)為焦點，x＝2為準線的拋物線，所以p＝4，軌跡方程為y2＝－8x.故選D.(2)設動圓的圓心為點C，半徑為r，則點C到定圓A：(x＋2)2＋y2＝1的圓心的距離等于r＋1.又動圓的圓心到直線x＝1的距離等于r，所以動圓的圓心到直線x＝2的距離為r＋1.根據(jù)拋物線的定義知，動圓圓心的軌跡為拋物線．故選D.]拋物線上的點到定點的距離及最值[典例2](1)(2023·北京高考)已知拋物線C：y2＝8x的焦點為F，點M在C上，若M到直線x＝－3的距離為5，則|MF|＝()A．7 B．6C．5 D．4(2)已知點M(20,40)不在拋物線C：y2＝2px(p>0)上，拋物線C的焦點為F.若對于拋物線上的一點P，|PM|＋|PF|的最小值為41，則p的值等于.(1)D(2)42或22[(1)如圖所示，因為點M到直線x＝－3的距離|MR|＝5，所以點M到直線x＝－2的距離|MN|＝4.又拋物線上點M到準線x＝－2的距離和到焦點F的距離相等，故|MF|＝|MN|＝4.故選D.(2)當點M(20,40)位于拋物線內時，如圖1，過點P作拋物線準線的垂線，垂足為D，則|PF|＝|PD|，|PM|＋|PF|＝|PM|＋|PD|.當點M，P，D三點共線時，|PM|＋|PF|的值最小．由最小值為41，得20＋eq\f(p,2)＝41，解得p＝42.當點M(20,40)位于拋物線外時，如圖2，當點P，M，F(xiàn)三點共線時，|PM|＋|PF|的值最小．由最小值為41，得eq\r(402＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(20－\f(p,2)))2)＝41，解得p＝22或p＝58.當p＝58時，y2＝116x，點M(20,40)在拋物線內，故舍去．綜上，p＝42或p＝22.]拋物線定義的應用規(guī)律[跟進訓練]1．(1)已知拋物線x2＝4y的焦點為F，準線l與坐標軸交于點N，M是拋物線上一點．若|FN|＝|FM|，則△FMN的面積為()A．4 B．2eq\r(3)C．2eq\r(2) D．2(2)已知P為拋物線y2＝4x上的一個動點，Q為圓x2＋(y－4)2＝1上的一個動點，那么點P到點Q的距離與點P到拋物線準線的距離之和的最小值是.(1)D(2)eq\r(17)－1[(1)由x2＝4y，得p＝2，則|FN|＝|FM|＝2.根據(jù)拋物線的定義知|MF|＝y(tǒng)M＋eq\f(p,2)＝y(tǒng)M＋1＝2，解得yM＝1，代入x2＝4y，得xM＝±2，所以△FMN的面積為eq\f(1,2)×2×2＝2.故選D.(2)由題可知，拋物線y2＝4x的準線方程為x＝－1，焦點坐標為F(1,0)，圓x2＋(y－4)2＝1的圓心坐標為E(0,4)，半徑為R＝1.設點P到拋物線準線的距離為|PP′|，則|PP′|＝|PF|，故|PP′|＋|PQ|＝|PF|＋|PQ|，所以當動點Q，P位于線段EF上時，點P到點Q的距離與點P到拋物線準線的距離之和最小，此時|PP′|＋|PQ|＝|EF|－R＝eq\r(17)－1.]考點二拋物線的標準方程與幾何性質[典例3](1)(多選)過點(1，－2)的拋物線的標準方程可能是()A．y2＝4x B．y2＝－4xC．x2＝－eq\f(1,2)y D．x2＝eq\f(1,2)y(2)(2021·新高考Ⅰ卷)已知O為坐標原點，拋物線C：y2＝2px(p＞0)的焦點為F，P為C上一點，PF與x軸垂直，Q為x軸上一點，且PQ⊥OP.若|FQ|＝6，則C的準線方程為______.(1)AC(2)x＝－eq\f(3,2)[(1)點(1，－2)滿足y2＝4x，x2＝－eq\f(1,2)y，所以過點(1，－2)的拋物線的標準方程可能是y2＝4x，x2＝－eq\f(1,2)y.故選AC.(2)法一(解直角三角形法)：由題易得|OF|＝eq\f(p,2)，|PF|＝p，∠OPF＝∠PQF，所以tan∠OPF＝tan∠PQF，所以eq\f(|OF|,|PF|)＝eq\f(|PF|,|FQ|)，即eq\f(\f(p,2),p)＝eq\f(p,6)，解得p＝3，所以C的準線方程為x＝－eq\f(3,2).法二(應用射影定理法)：由題易得|OF|＝eq\f(p,2)，|PF|＝p，|PF|2＝|OF|·|FQ|，即p2＝eq\f(p,2)×6，解得p＝3或p＝0(舍去)，所以C的準線方程為x＝－eq\f(3,2).]1.求拋物線的標準方程的方法(1)定義法．(2)待定系數(shù)法：當焦點位置不確定時，為避免過多的討論，通常依據(jù)焦點所在的位置，將拋物線的標準方程設為y2＝ax(a≠0)或x2＝ay(a≠0)．2．拋物線性質的應用要樹立兩個意識(1)轉化意識：“見準線想焦點，見焦點想準線”．(2)圖形意識：借助平面圖形的性質簡化運算．[跟進訓練]2.(1)(2025·日照模擬)設拋物線y2＝6x的焦點為F，準線為l，P是拋物線上位于第一象限內的一點，過P作l的垂線，垂足為Q.若直線QF的傾斜角為120°，則|PF|＝()A．3 B．6C．9 D．12(2)如圖所示，過拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點F的直線依次交拋物線及準線于點A，B，C.若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝4，則拋物線的方程為()A．y2＝8x B．y2＝4xC．y2＝2x D．y2＝x(3)已知O為坐標原點，F(xiàn)為拋物線C：y2＝4x的焦點，P為C上一點．若|PF|＝4，則△POF的面積為________.(1)B(2)B(3)eq\r(3)[(1)設準線l與x軸交于點H(圖略)，依題意∠QFH＝60°，|HF|＝3，|QH|＝3eq\r(3)，|QF|＝6，又|PF|＝|QP|，∠PQF＝60°，則△PQF為等邊三角形，|PF|＝6.故選B.(2)如圖，分別過點A，B作準線的垂線，交準線于點E，D.設準線與x軸交于點G，設|BF|＝a，由已知得|BC|＝2a，由定義得|BD|＝a，故∠BCD＝30°.在Rt△ACE中，2|AE|＝|AC|，又|AF|＝4，所以|AC|＝4＋3a，|AE|＝4，所以4＋3a＝8，從而得a＝eq\f(4,3).因為AE∥FG，所以eq\f(FG,AE)＝eq\f(CF,AC)，即eq\f(p,4)＝eq\f(4,8)，p＝2，所以拋物線的方程為y2＝4x.故選B.(3)法一(通性通法)：由y2＝4x可得拋物線的焦點F(1,0)，準線方程為x＝－1，如圖，過點P作準線x＝－1的垂線，垂足為點M，根據(jù)拋物線的定義可知|PM|＝|PF|＝4.設P(x，y)，則x－(－1)＝4，解得x＝3.將x＝3代入y2＝4x，可得y＝±2eq\r(3)，所以△POF的面積為eq\f(1,2)|y|·|OF|＝eq\f(1,2)×2eq\r(3)×1＝eq\r(3).法二(巧用結論)：設∠PFx＝θ，則|PF|＝eq\f(p,1－cosθ)＝eq\f(2,1－cosθ)＝4，所以cosθ＝eq\f(1,2)，即θ＝60°.設P(x，y)，則|y|＝|PF|sinθ＝4×eq\f(\r(3),2)＝2eq\r(3)，所以S△POF＝eq\f(1,2)×|OF|×|y|＝eq\f(1,2)×1×2eq\r(3)＝eq\r(3).]考點三直線與拋物線的位置關系[典例4](1)(多選)(2023·新高考Ⅱ卷)設O為坐標原點，直線y＝－eq\r(3)(x－1)過拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點，且與C交于M，N兩點，l為C的準線，則()A．p＝2B．|MN|＝eq\f(8,3)C．以MN為直徑的圓與l相切D．△OMN為等腰三角形(2)若拋物線E：y2＝2x上存在兩點關于直線y＝k(x－2)對稱，則k的取值范圍是________.(1)AC(2)(－eq\r(2)，eq\r(2))[(1)由題意，易知直線y＝－eq\r(3)(x－1)過點(1,0)．因為直線經(jīng)過拋物線C的焦點，所以易知焦點坐標為(1,0)，所以eq\f(p,2)＝1，即p＝2，A正確．不妨設M(x1，y1)，N(x2，y2)，x1<x2，聯(lián)立方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝－\r(3)x－1，,y2＝4x，))消去y并整理得3x2－10x＋3＝0，解得x1＝eq\f(1,3)，x2＝3，所以Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(2\r(3),3)))，N(3，－2eq\r(3))．由拋物線的定義得，|MN|＝x1＋x2＋p＝eq\f(10,3)＋2＝eq\f(16,3)，B錯誤．準線l的方程為x＝－1，以MN為直徑的圓的圓心坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)，－\f(2\r(3),3)))，半徑r＝eq\f(1,2)|MN|＝eq\f(8,3)＝eq\f(5,3)＋1，所以以MN為直徑的圓與l相切，C正確．由兩點間距離公式可得|OM|＝eq\f(\r(13),3)，|ON|＝eq\r(21)，又|MN|＝eq\f(16,3)，D錯誤．故選AC.(2)當k＝0時，顯然符合題意．當k≠0時，設兩對稱點為B(x1，y1)，C(x2，y2)，BC的中點為M(x0，y0)．由yeq\o\al(2,1)＝2x1，yeq\o\al(2,2)＝2x2，兩式相減得(y1＋y2)·(y1－y2)＝2(x1－x2)，則直線BC的斜率kBC＝eq\f(y1－y2,x1－x2)＝eq\f(2,y1＋y2)＝eq\f(2,2y0)＝eq\f(1,y0).由對稱性知kBC＝－eq\f(1,k)，點M在直線y＝k(x－2)上，所以y0＝－k，y0＝k(x0－2)，所以x0＝1.由點M在拋物線內，得yeq\o\al(2,0)<2x0，即(－k)2<2，所以－eq\r(2)<k<eq\r(2)，且k≠0.綜上，k的取值范圍為(－eq\r(2)，eq\r(2))．]解決直線與拋物線位置關系問題的方法(1)有關直線與拋物線的弦長問題，要注意直線是否過拋物線的焦點．若過拋物線的焦點，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p；若不過焦點，則必須用一般弦長公式．(2)涉及拋物線的弦長、中點、距離等相關問題時，一般利用根與系數(shù)的關系，采用“設而不求”“整體代入”等解法．提醒：涉及弦的中點、斜率時，一般用“點差法”求解．(3)重視常用結論在選擇、填空題中的靈活應用．[跟進訓練]3．(1)已知F為拋物線C：y2＝4x的焦點，直線l：y＝k(x＋1)與C交于A，B兩點(A在B的左邊)，則4|AF|＋|BF|的最小值是()A．10 B．9C．8 D．5(2)(多選)(2022·新高考Ⅰ卷)已知O為坐標原點，點A(1,1)在拋物線C：x2＝2py(p＞0)上，過點B(0，－1)的直線交C于P，Q兩點，則()A．C的準線為y＝－1B．直線AB與C相切C．|OP|·|OQ|＞|OA|2D．|BP|·|BQ|＞|BA|2(1)B(2)BCD[(1)由題知C的焦點F(1,0)，準線為x＝－1，如圖，作AM⊥準線，BN⊥準線，l：y＝k(x＋1)過定點(－1,0)．設A(x1，y1)，B(x2，y2)，聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝4x，,y＝kx＋1，))得k2(x2＋2x＋1)－4x＝0，即k2x2＋(2k2－4)x＋k2＝0，所以x1x2＝eq\f(k2,k2)＝1.又因為|AF|＝|AM|＝x1＋1，|BF|＝|BN|＝x2＋1，所以4|AF|＋|BF|＝4x1＋4＋x2＋1＝4x1＋x2＋5≥2eq\r(4x1x2)＋5＝2×2＋5＝9，當且僅當4x1＝x2時取等號．故選B.(2)將點A的坐標代入拋物線方程得1＝2p，所以拋物線方程為x2＝y(tǒng)，故準線方程為y＝－eq\f(1,4)，A錯誤．kAB＝eq\f(1－－1,1－0)＝2，所以直線AB的方程為y＝2x－1，聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝2x－1，,x2＝y(tǒng)，))可得x2－2x＋1＝0，解得x＝1，即直線AB與C相切于點A，故B正確．設過B的直線為l，若直線l與y軸重合，則直線l與拋物線C只有一個交點，所以直線l的斜率存在，設其方程為y＝kx－1，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx－1，,x2＝y(tǒng)，))得x2－kx＋1＝0，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＝k2－4＞0，,x1＋x2＝k，,x1x2＝1，))所以k＞2或k＜－2，y1y2＝(x1x2)2＝1.又|OP|＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))＝eq\r(y1＋y\o\al(2,1))，|OQ|＝eq\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2))＝eq\r(y2＋y\o\al(2,2))，所以|OP|·|OQ|＝eq\r(y1y21＋y11＋y2)＝eq\r(kx1·kx2)＝|k|＞2＝|OA|2，故C正確．因為|BP|＝eq\r(1＋k2)|x1|，|BQ|＝eq\r(1＋k2)|x2|，所以|BP|·|BQ|＝(1＋k2)|x1x2|＝1＋k2＞5，而|BA|2＝5，故D正確．故選BCD.]如圖，假設拋物線方程為x2＝2py(p＞0),過拋物線準線y＝－eq\f(p,2)上一點P(x0，y0)向拋物線引兩條切線，切點分別記為A，B，其坐標為(x1，y1)，(x2，y2)，則以點P和兩切點A，B圍成的△PAB中，有如下的常見結論：(1)拋物線在A處的切線方程：x1x＝p(y＋y1)，拋物線在B處的切線方程：x2x＝p(y＋y2)，直線AB的方程：x0x＝2peq\f(y0＋y,2)＝p(y0＋y)；(2)直線AB過拋物線的焦點；(3)過F的直線與拋物線交于A，B兩點，以A，B分別為切點作兩條切線，則這兩條切線的交點P(x0，y0)的軌跡即為拋物線的準線；(4)PF⊥AB；(5)AP⊥PB；(6)若直線AB的中點為M，則PM平行于拋物線的對稱軸．[典例1](多選)阿基米德是古希臘的物理學家、數(shù)學家、天文學家．若拋物線上任意兩點A，B處的切線交于點P，則稱△PAB為“阿基米德三角形”．已知拋物線x2＝8y的焦點為F，過拋物線上兩點A，B的直線的方程為x－y＋2＝0，弦AB的中點為C，則關于“阿基米德三角形”PAB，下列結論正確的是()A．點P(eq\r(3)，－2) B．PC⊥x軸C．PA⊥PB D．PF⊥ABBCD[由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＝8y，,y＝x＋2，))消去y可得x2－8x－16＝0.令A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝8，x1x2＝－16.因為y＝eq\f(x2,8)，所以y′＝eq\f(x,4)，kPA＝eq\f(x1,4)，所以PA：y＝eq\f(x1,4)(x－x1)＋eq\f(x\o\al(2,1),8)＝eq\f(x1,4)x－eq\f(x\o\al(2,1),8)，PB：y＝eq\f(x2,4)x－eq\f(x\o\al(2,2),8)，聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\f(x1,4)x－\f(x\o\al(2,1),8)，,y＝\f(x2,4)x－\f(x\o\al(2,2),8)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(x1＋x2,2)＝4，,y＝\f(x1x2,8)＝－2，))即P(4，－2)，A錯誤；xC＝eq\f(x1＋x2,2)＝4，所以PC⊥x軸，B正確；kPF＝eq\f(－2－2,4－0)＝－1，kAB＝1，kPF·kAB＝－1，所以PF⊥AB，D正確；kPA·kPB＝eq\f(x1x2,16)＝－1，所以PA⊥PB，C正確．故選BCD.][典例2](2021·全國乙卷)已知拋物線C：x2＝2py(p＞0)的焦點為F，且F與圓M：x2＋(y＋4)2＝1上點的距離的最小值為4.(1)求p的值；(2)若點P在圓M上，PA，PB是拋物線C的兩條切線，A，B是切點，求△PAB面積的最大值．解：(1)由題意知M(0，－4)，F(xiàn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))，圓M的半徑r＝1，所以|MF|－r＝4，即eq\f(p,2)＋4－1＝4，解得p＝2.(2)由(1)知，拋物線方程為x2＝4y，由題意可知直線AB的斜率存在，設Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1，\f(x\o\al(2,1),4)))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2，\f(x\o\al(2,2),4)))，直線AB的方程為y＝kx＋b，聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋b，,x2＝4y，))消去y得x2－4kx－4b＝0，則Δ＝16k2＋16b＞0，①x1＋x2＝4k，x1x2＝－4b，所以|AB|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(1＋k2)·eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝4eq\r(1＋k2)·eq\r(k2＋b).因為x2＝4y，即y＝eq\f(x2,4)，所以y′＝eq\f(x,2)，則拋物線在點A處的切線斜率為eq\f(x1,2)，在點A處的切線方程為y－eq\f(x\o\al(2,1),4)＝eq\f(x1,2)(x－x1)，即y＝eq\f(x1,2)x－eq\f(x\o\al(2,1),4)，同理得拋物線在點B處的切線方程為y＝eq\f(x2,2)x－eq\f(x\o\al(2,2),4)，聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\f(x1,2)x－\f(x\o\al(2,1),4)，,y＝\f(x2,2)x－\f(x\o\al(2,2),4)，))則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(x1＋x2,2)＝2k，,y＝\f(x1x2,4)＝－b，))即P(2k，－b)．因為點P在圓M上，所以4k2＋(4－b)2＝1，②且－1≤2k≤1，－5≤－b≤－3，即－eq\f(1,2)≤k≤eq\f(1,2)，3≤b≤5，滿足①.設點P到直線AB的距離為d，則d＝eq\f(|2k2＋2b|,\r(1＋k2))，所以S△PAB＝eq\f(1,2)|AB|·d＝4eq\r(k2＋b3).由②得，k2＝eq\f(1－4－b2,4)＝eq\f(－b2＋8b－15,4)，令t＝k2＋b，則t＝eq\f(－b2＋12b－15,4)，且3≤b≤5.因為t＝eq\f(－b2＋12b－15,4)在[3,5]上單調遞增，所以當b＝5時，t取得最大值，tmax＝5，此時k＝0，所以△PAB面積的最大值為20eq\r(5).課時分層作業(yè)(五十八)(本試卷共99分．單項選擇題每題5分，多項選擇題每題6分，填空題每題5分．)一、單項選擇題1．拋物線y＝－eq\f(1,2)x2的焦點坐標為()A．(－1,0) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0))C．(0，－1) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(1,2)))D[拋物線的標準方程為x2＝－2y，所以焦點坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(1,2))).故選D.]2．已知拋物線y2＝2px(p＞0)上任意一點到焦點F的距離比到y(tǒng)軸的距離大1，則拋物線的標準方程為()A．y2＝x B．y2＝2xC．y2＝4x D．y2＝8xC[根據(jù)題意，拋物線y2＝2px(p＞0)的準線方程為x＝－eq\f(p,2)，與y軸平行，若拋物線y2＝2px(p＞0)上任意一點到焦點F的距離比到y(tǒng)軸的距離大1，則該拋物線上任意一點到準線的距離比到y(tǒng)軸的距離大1，故eq\f(p,2)＝1，解得p＝2.故拋物線的標準方程為y2＝4x.故選C.]3．“米”是象形字．數(shù)學探究課上，某同學用拋物線C1：y2＝－2px(p＞0)和C2：y2＝2px(p＞0)構造了一個類似“米”字形的圖案，如圖所示．若拋物線C1，C2的焦點分別為F1，F(xiàn)2，點P在拋物線C1上，過點P作x軸的平行線交拋物線C2于點Q，若|PF1|＝2|PQ|＝4，則p＝()A．2 B．3C．4 D．6D[因為2|PQ|＝4，所以|PQ|＝2.由拋物線的對稱性知xP＝－1，由拋物線的定義可知，|PF1|＝eq\f(p,2)－xP，即4＝eq\f(p,2)－(－1)，解得p＝6.故選D.]4．過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點F作直線l，交拋物線于A，B兩點，若|FA|＝3|FB|，則直線l的傾斜角等于()A．30°或150° B．45°或135°C．60°或120° D．與p值有關C[如圖所示，拋物線y2＝2px(p>0)的焦點為F，準線方程為x＝－eq\f(p,2)，分別過點A，B作準線的垂線，垂足為A′，B′，直線l交準線于點C，作BM⊥AA′，垂足為M，則eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(AA′))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(AF))，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(BB′))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(BF)).又|FA|＝3|FB|，所以eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(AM))＝2eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(BF))，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(AB))＝4eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(BF))，所以∠ABM＝30°，即直線l的傾斜角等于∠AFx＝60°.同理可得直線l的傾斜角為鈍角時即為120°.故選C.]5．(2025·菏澤模擬)已知點P為拋物線x2＝4y上任意一點，點A是圓x2＋(y－6)2＝5上任意一點，則|PA|的最小值為()A．eq\r(5) B．2eq\r(5)C．3eq\r(5) D．6－eq\r(5)A[圓x2＋(y－6)2＝5的圓心為C(0,6)，半徑r＝eq\r(5).設Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0，\f(x\o\al(2,0),4)))，則|PC|2＝xeq\o\al(2,0)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x\o\al(2,0),4)－6))2＝eq\f(1,16)xeq\o\al(4,0)－2xeq\o\al(2,0)＋36＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)x\o\al(2,0)－4))2＋20，當xeq\o\al(2,0)＝16時，|PC|2有最小值20.數(shù)形結合可知|PA|min＝|PC|min－eq\r(5)＝2eq\r(5)－eq\r(5)＝eq\r(5).]6．如圖，點F是拋物線y2＝8x的焦點，點A，B分別在拋物線y2＝8x及圓(x－2)2＋y2＝16的實線部分上運動，且AB總是平行于x軸，則△FAB的周長的取值范圍是()A．(6,10) B．(8,12)C．[6,8] D．[8,12]B[拋物線y2＝8x的準線方程l：x＝－2，焦點F(2，0)，由拋物線的定義可得|AF|＝xA＋2，圓(x－2)2＋y2＝16的圓心(2,0)，半徑R＝4，所以△FAB的周長為|AF|＋|AB|＋|BF|＝xA＋2＋(xB－xA)＋4＝6＋xB.聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝8x，,x2＋y2－4x－12＝0，))消去y，得x2＋4x－12＝0，解得x＝2(x＝－6舍去)，即交點的橫坐標為2，所以xB∈(2,6)，所以6＋xB∈(8,12)，所以△FAB的周長的取值范圍是(8,12)．故選B.]7．(2025·泰安模擬)設拋物線E：y2＝8x的焦點為F，過點M(4,0)的直線與E相交于A，B兩點，與E的準線相交于點C，點B在線段AC上，|BF|＝3，則△BCF與△ACF的面積之比eq\f(S△BCF,S△ACF)＝()A．eq\f(1,4) B．eq\f(1,5)C．eq\f(1,6) D．eq\f(1,7)C[如圖，過點B作BD垂直準線x＝－2于點D，則由拋物線定義可知，|BF|＝|BD|＝3.設直線AB的方程為x＝my＋4，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(－2，yC)，不妨設m＞0，則y1＞0，y2＜0，所以x2＋2＝3，解得x2＝1.又yeq\o\al(2,2)＝8x2＝8，解得y2＝－2eq\r(2)，則B(1，－2eq\r(2))，所以－2eq\r(2)m＋4＝1，解得m＝eq\f(3\r(2),4).故直線AB的方程為x＝eq\f(3\r(2),4)y＋4，所以當x＝－2時，即eq\f(3\r(2),4)y＋4＝－2，解得yC＝－4eq\r(2)，則C(－2，－4eq\r(2))．聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(3\r(2),4)y＋4，,y2＝8x，))消去x，得y2－6eq\r(2)y－32＝0，則y1y2＝－32，所以y1＝8eq\r(2).因此eq\f(S△BCF,S△ACF)＝eq\f(BC,AC)＝eq\f(y2－yC,y1－yC)＝eq\f(2\r(2),12\r(2))＝eq\f(1,6).故選C.]8．已知F為拋物線C：y2＝4x的焦點，過點F作兩條互相垂直的直線l1，l2，直線l1與C交于A，B兩點，直線l2與C交于D，E兩點，則|AB|＋|DE|的最小值為()A．16 B．14C．12 D．10A[由題意知，拋物線C：y2＝4x的焦點為F(1,0)，l1，l2的斜率存在且不為0.不妨設直線l1的斜率為k，則直線l2的斜率為－eq\f(1,k)，故l1：y＝k(x－1),l2：y＝－eq\f(1,k)(x－1)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝4x，,y＝kx－1，))消去y，得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.設A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以x1＋x2＝eq\f(2k2＋4,k2)＝2＋eq\f(4,k2).由拋物線的定義可知，|AB|＝x1＋x2＋2＝4＋eq\f(4,k2).同理得|DE|＝4＋4k2，所以|AB|＋|DE|＝8＋4k2＋eq\f(4,k2)≥8＋2eq\r(16)＝16，當且僅當eq\f(1,k2)＝k2，即k＝±1時取等號．故|AB|＋|DE|的最小值為16.]二、多項選擇題9．已知拋物線C：y2＝2x的焦點為F，過點F的直線與拋物線交于P，Q兩點，M為線段PQ的中點，O為坐標原點，則下列結論中正確的有()A．點M的坐標可能為(1,2)B．坐標原點在以PQ為直徑的圓內C．OP與OQ的斜率之積為定值D．線段PQ的最小值為4BC[拋物線C：y2＝2x的焦點為Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))，設過焦點F的直線方程為x＝my＋eq\f(1,2)，與拋物線方程聯(lián)立可得y2－2my－1＝0，Δ＝4m2＋4>0.設P(x1，y1)，Q(x2，y2)，若點M的坐標為(1,2)，則x1＋x2＝2，y1＋y2＝4，而eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y1＋y2＝2m，,y1y2＝－1，,x1＋x2＝2m2＋1，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2m＝4，,2m2＋1＝2，))方程組無解，故A錯誤；又eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(OQ,\s\up6(→))＝x1x2＋y1y2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(my1＋\f(1,2)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(my2＋\f(1,2)))＋y1y2＝(m2＋1)y1y2＋eq\f(1,2)m(y1＋y2)＋eq\f(1,4)＝－(m2＋1)＋m2＋eq\f(1,4)＝－eq\f(3,4)<0，即eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(OQ,\s\up6(→))<0，所以坐標原點在以PQ為直徑的圓內，故B正確；kOP·kOQ＝eq\f(y1y2,x1x2)＝eq\f(y1y2,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(my1＋\f(1,2)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(my2＋\f(1,2))))＝eq\f(y1y2,m2y1y2＋\f(1,2)my1＋y2＋\f(1,4))＝eq\f(－1,－m2＋\f(1,2)m×2m＋\f(1,4))＝－4，故C正確；拋物線的通徑為2p＝2，所以線段PQ的長度的最小值為2，故D錯誤．故選BC.]10．已知拋物線C：y2＝4x的焦點為F，直線l繞點P(－2，1)旋轉，點Q為C上的動點(O為坐標原點)，則()A．以Q為圓心，|QF|為半徑的圓與直線x＝－1相切B．若直線l與拋物線有且只有一個公共點，則這樣的直線l有兩條C．線段PF的垂直平分線方程為3x－y＋2＝0D．過點F的直線交C于A，B兩點，若|AB|＝4，則這樣的直線有2條AC[由拋物線C：y2＝4x可知，C的焦點為F(1,0)，準線方程為x＝－1.由拋物線的定義可知以Q為圓心，|QF|為半徑的圓與直線x＝－1相切，A正確；當過點P(－2,1)的直線l的斜率不存在時，直線l與拋物線無公共點，當直線l的斜率存在時，設斜率為k，則過點P(－2，1)的直線方程為l：y＝k(x＋2)＋1，當k＝0時，直線l：y＝1與拋物線有且只有一個公共點，當k≠0時，聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋2＋1，,y2＝4x，))整理可得k2x2＋(4k2＋2k－4)x＋4k2＋4k＋1＝0，所以Δ＝(4k2＋2k－4)2－4k2(4k2＋4k＋1)＝0，化簡得2k2＋k－1＝0，解得k＝－1或k＝eq\f(1,2)，綜上，與拋物線有且只有一個公共點的直線l有3條，B錯誤；線段PF的中點為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)))，又kPF＝eq\f(1－0,－2－1)＝－eq\f(1,3)，所以線段PF的中垂線方程為y－eq\f(1,2)＝3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))，即3x－y＋2＝0，C正確；因為|AB|＝4＝2p，此時線段AB為拋物線的通徑，所以這樣的直線只有一條，D錯誤．故選AC.]11．(2025·八省適應性測試)已知F(2,0)是拋物線C：y2＝2px的焦點，M是C上的點，O為坐標原點，則()A．p＝4B．|MF|≥|OF|C．以點M為圓心且過點F的圓與C的準線相切D．當∠OFM＝120°時，△OFM的面積為2eq\r(3)ABC[由題意得eq\f(p,2)＝2，所以p＝4，故A正確；設M(x0，y0)，則|MF|＝x0＋eq\f(p,2)＝x0＋2，|OF|＝2，因為x0≥0，所以|MF|≥|OF|，故B正確；由拋物線的定義知，點M到點F的距離與點M到準線的距離相等，故以點M為圓心且過點F的圓與C的準線相切，故C正確；當∠OFM＝120°時，過點M作MN⊥x軸于點N(圖略)，則∠NFM＝60°，因為|MF|＝x0＋2，所以(x0＋2)cos60°＋2＝x0，解得x0＝6，所以|MN|＝4eq\r(3)，所以S△OFM＝eq\f(1,2)×2×4eq\r(3)＝4eq\r(3)，故D錯誤．故選ABC.]12．已知F為拋物線y2＝4x的焦點，點P在拋物線上，過點F的直線l與拋物線交于B，C兩點，O為坐標原點，拋物線的準線與x軸的交點為M，則下列說法正確的是()A．∠OMB的最大值為eq\f(π,4)B．若點A(4,2)，則|PA|＋|PF|的最小值為6C．無論過點F的直線l在什么位置，總有∠OMB＝∠OMCD．若點C在拋物線準線上的射影為D，則B，O，D三點共線ACD[設直線MB的方程為x＝－1＋my，與拋物線的方程y2＝4x聯(lián)立，可得y2－4my＋4＝0，當且僅當MB與拋物線相切時，∠OMB取得最大值，由Δ＝16m2－16＝0，得m＝±1，直線MB的斜率為±1，此時∠OMB取得最大值eq\f(π,4)，故A正確；設點A在準線x＝－1上的射影為A′(－1，2)，設點P到準線的距離為d，則|PA|＋|PF|＝|PA|＋d≥|AA′|＝5，當且僅當A，P，A′三點共線時，等號成立，故B錯誤；M(－1,0)，設直線BC的方程為x＝ny＋1，代入拋物線的方程y2＝4x，可得y2－4ny－4＝0，設Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y\o\al(2,1),4)，y1))，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y\o\al(2,2),4)，y2))，可得y1＋y2＝4n，y1y2＝－4，則kMB＋kMC＝eq\f(y1,\f(y\o\al(2,1),4)＋1)＋eq\f(y2,\f(y\o\al(2,2),4)＋1)＝eq\f(y1＋y2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y1y2,4)＋1)),\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y\o\al(2,1),4)＋1))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y\o\al(2,2),4)＋1)))＝0，故MB，MC的傾斜角互補，所以∠OMB＝∠OMC，故C正確；由C的分析可知D(－1，y2)，kOB＝eq\f(y1,\f(y\o\al(2,1),4))＝eq\f(4,y1)，kOD＝－y2，由于y1y2＝－4，則kOB＝kOD，可得B，O，D三點在同一條直線上，故D正確．故選ACD.]三、填空題13．(2025·德州模擬)在水平地面豎直定向爆破時，在爆破點炸開的每塊碎片的運動軌跡均可近似看作是拋物線的一部分．這些碎片能達到的區(qū)域的邊界和該區(qū)域軸截面的交線是拋物線的一部分(如圖中虛線所示)，稱該條拋物線為安全拋物線．若某次定向爆破中碎片達到的最大高度為40m，碎片距離爆炸中心的最遠水平距離為80m，則這次爆破中，安全拋物線的焦點到其準線的距離為________m.80[如圖，以拋物線最高點為坐標原點，平行于地面為x軸，建立平面直角坐標系，設拋物線方程為x2＝－2py(p＞0)，由題意得A(80，－40)，將其代入拋物線方程得6400＝80p，解得p＝80，故安全拋物線的焦點到其準線的距離為80米．]14．(2024·天津高考)圓(x－1)2＋y2＝25的圓心與拋物線y2＝2px(p>0)的焦點F重合，A為兩曲線的交點，則原點到直線AF的距離為________.eq\f(4,5)[由題意知，圓(x－1)2＋y2＝25的圓心坐標為F(1,0)，故eq\f(p,2)＝1，即p＝2，所以拋物線方程為y2＝4x.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－12＋y2＝25，,y2＝4x，))可得x2＋2x－24＝0，解得x＝4或x＝－6(舍去)，所以A(4,4)或A(4，－4)．故直線AF的方程為y＝eq\f(4,3)(x－1)或y＝－eq\f(4,3)(x－1)，即4x－3y－4＝0或4x＋3y－4＝0，故原點到直線AF的距離為d＝eq\f(4,5).]15．設F為拋物線y2＝2x的焦點，A，B，C為拋物線上三點，若F為△ABC的重心，則|eq\o(FA,\s\up6(→))|＋|eq\o(FB,\s\up6(→))|＋|eq\o(FC,\s\up6(→))|＝________.3[由題意可知，點F的坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))，又F為△ABC的重心，故eq\f(xA＋xB＋xC,3)＝eq\f(1,2)，即xA＋xB＋xC＝eq\f(3,2).又由拋物線的定義可知|eq\o(FA,\s\up6(→))|＋|eq\o(FB,\s\up6(→))|＋|eq\o(FC,\s\up6(→))|＝xA＋xB＋xC＋eq\f(3,2)＝eq\f(3,2)＋eq\f(3,2)＝3.]16．已知M(1,2)為拋物線C：y2＝2px(p＞0)上一點，過點T(0,1)的直線與拋物線C交于A，B兩點，且直線MA與MB的傾斜角互補，則|TA|·|TB|＝________.2[由點M(1,2)在拋物線C：y2＝2px上得22＝2p，即p＝2，所以拋物線C的方程為y2＝4x.由題意知，直線AB的斜率存在，且不為0.設直線AB的方程為y＝kx＋1(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由直線MA與MB的傾斜角互補得kMA＋kMB＝0，即eq\f(y1－2,x1－1)＋eq\f(y2－2,x2－1)＝eq\f(y1－2,\f(y\o\al(2,1),4)－1)＋eq\f(y2－2,\f(y\o\al(2,2),4)－1)＝eq\f(4y1＋y2＋4,y1＋2y2＋2)＝0，所以y1＋y2＝－4.聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋1，,y2＝4x，))得ky2－4y＋4＝0，所以y1＋y2＝eq\f(4,k)，y1y2＝eq\f(4,k).所以eq\f(4,k)＝－4，即k＝－1，所以y1y2＝－4，所以|TA|·|TB|＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y1－12)·eq\r(x\o\al(2,2)＋y2－12)＝eq\r(x\o\al(2,1)＋kx12)·eq\r(x\o\al(2,2)＋kx22)＝(1＋k2)x1x2＝(1＋k2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y1y2,4)))2＝2.]四、解答題17．(15分)已知拋物線C：y2＝3x的焦點為F，斜率為eq\f(3,2)的直線l與C的交點為A，B，與x軸的交點為P.(1)若|AF|＋|BF|＝4，求l的方程；(2)若eq\o(AP,\s\up6(→))＝3eq\o(PB,\s\up6(→))，求|AB|.解：設直線l：y＝eq\f(3,2)x＋t，A(x1，y1)，B(x2，y2)．(1)由題設得Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，0))，故|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋eq\f(3,2)＝4，所以x1