第5課時橢圓及其性質[考試要求]1.掌握橢圓的定義、幾何圖形、標準方程及簡單幾何性質(范圍、對稱性、頂點、離心率).2.掌握橢圓的簡單應用．1．橢圓的定義把平面內與兩個定點F1，F2的距離的和等于常數(大于|F1F2|)的點的軌跡叫做橢圓．兩個定點F1，F2叫做橢圓的焦點，兩焦點間的距離|F1F2|叫做橢圓的焦距，焦距的一半稱為半焦距．2．橢圓的標準方程和幾何性質標準方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)圖形性質范圍－a≤x≤a，－b≤y≤b－b≤x≤b，－a≤y≤a對稱性對稱軸：坐標軸；對稱中心：原點頂點A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0)軸長軸A1A2的長為2a；短軸B1B2的長為2b焦距|F1F2|＝2c離心率e＝eq\f(c,a)∈(0,1)a，b，c的關系c2＝a2－b2[常用結論]1．橢圓的焦點三角形橢圓上的點P(x0，y0)與兩焦點構成的△PF1F2叫做焦點三角形．如圖所示，當橢圓為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)時，設∠F1PF2＝θ.(1)|PF1|·|PF2|≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|PF1|＋|PF2|,2)))2＝a2.(2)當PF2⊥x軸時，點P的坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c，±\f(b2,a))).(3)|PF1|＝a＋ex0，|PF2|＝a－ex0.(4)|PF1|max＝a＋c，|PF1|min＝a－c.(5)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cosθ.(6)＝b2taneq\f(θ,2)＝c|y0|，當|y0|＝b，即點P的位置為短軸端點時，θ最大，S取最大值，最大值為bc.2．已知過焦點F1的弦AB，則△ABF2的周長為4a.一、易錯易混辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)平面內與兩個定點F1，F2的距離之和等于常數的點的軌跡是橢圓．(×)(2)橢圓的離心率e越大，橢圓就越圓．(×)(3)關于x，y的方程mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)表示的曲線是橢圓．(√)(4)eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)與eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)的焦距相同．(√)二、教材經典衍生1．(人教A版選擇性必修第一冊P109練習T1改編)若橢圓eq\f(x2,25)＋y2＝1上一點P到橢圓一個焦點的距離為7，則P到另一個焦點的距離為()A．3 B．4C．5 D．6A[橢圓eq\f(x2,25)＋y2＝1的長軸長2a＝10，而點P到橢圓一個焦點的距離為7，所以P到另一個焦點的距離為2a－7＝3.故選A.]2．(人教A版選擇性必修第一冊P112例4改編)已知橢圓C：16x2＋4y2＝1，則下列結論正確的是()A．長軸長為eq\f(1,2) B．焦距為eq\f(\r(3),4)C．短軸長為eq\f(1,4) D．離心率為eq\f(\r(3),2)D[把橢圓方程16x2＋4y2＝1化為標準方程可得eq\f(x2,\f(1,16))＋eq\f(y2,\f(1,4))＝1，所以a＝eq\f(1,2)，b＝eq\f(1,4)，c＝eq\f(\r(3),4)，則長軸長2a＝1，焦距2c＝eq\f(\r(3),2)，短軸長2b＝eq\f(1,2)，離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),2)，故選D.]3．(人教A版選擇性必修第一冊P109練習T3改編)橢圓C：eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1的左、右焦點分別為F1，F2，過F2的直線交橢圓C于A，B兩點，則△AF1B的周長為________.20[△AF1B的周長為4a＝4×5＝20.]4．(人教A版選擇性必修第一冊P112練習T4改編)已知橢圓的中心在坐標原點，長軸長是8，離心率是eq\f(3,4)，則此橢圓的標準方程是________________.eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,7)＝1或eq\f(y2,16)＋eq\f(x2,7)＝1[因為a＝4，e＝eq\f(3,4)，所以c＝3，所以b2＝a2－c2＝16－9＝7.因為焦點的位置不確定，所以橢圓的標準方程是eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,7)＝1或eq\f(y2,16)＋eq\f(x2,7)＝1.]考點一橢圓的定義及應用[典例1](1)已知兩圓C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，動圓在圓C1內部且和圓C1相內切，和圓C2相外切，則動圓圓心M的軌跡方程為()A．eq\f(x2,64)－eq\f(y2,48)＝1 B．eq\f(x2,48)＋eq\f(y2,64)＝1C．eq\f(x2,48)－eq\f(y2,64)＝1 D．eq\f(x2,64)＋eq\f(y2,48)＝1(2)已知點P是橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1上一點，橢圓的左、右焦點分別為F1，F2，且cos∠F1PF2＝eq\f(1,3)，則△PF1F2的面積為()A．6 B．12C．eq\f(9\r(2),2) D．2eq\r(2)(3)已知F是橢圓5x2＋9y2＝45的左焦點，P是橢圓上的動點，A(1,1)，則|PA|＋|PF|的最大值為，最小值為________.(1)D(2)C(3)6＋eq\r(2)6－eq\r(2)[(1)設圓M的半徑為r，則|MC1|＋|MC2|＝(13－r)＋(3＋r)＝16>8＝|C1C2|，所以M的軌跡是以C1，C2為焦點的橢圓，且2a＝16,2c＝8，故所求的軌跡方程為eq\f(x2,64)＋eq\f(y2,48)＝1.故選D.(2)由橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1，得a＝5，b＝3，c＝4.設|PF1|＝m，|PF2|＝n，所以m＋n＝10，在△PF1F2中，由余弦定理可得(2c)2＝m2＋n2－2mn·cos∠F1PF2＝(m＋n)2－2mn－2mn·eq\f(1,3)，可得64＝100－eq\f(8,3)mn，得mn＝eq\f(27,2)，故＝eq\f(1,2)mn·sin∠F1PF2＝eq\f(1,2)×eq\f(27,2)×eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2)＝eq\f(9\r(2),2).故選C.(3)橢圓方程可化為eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,5)＝1.設F1是橢圓的右焦點，則F1(2,0)，連接AF1，PF1(圖略)，所以|AF1|＝eq\r(2)，易知|PA|＋|PF|＝|PA|－|PF1|＋6.又－|AF1|≤|PA|－|PF1|≤|AF1|(當P，A，F1三點共線時等號成立)，所以6－eq\r(2)≤|PA|＋|PF|≤6＋eq\r(2).所以|PA|＋|PF|的最大值為6＋eq\r(2)，最小值為6－eq\r(2).]橢圓定義的應用技巧(1)橢圓定義的應用主要有：求橢圓的標準方程、求焦點三角形的周長、面積及求弦長、最值和離心率等．(2)通常將定義和余弦定理結合使用求解關于焦點三角形的周長和面積問題．(3)可用定義法求軌跡方程，或利用定義實現距離轉化．[跟進訓練]1．(1)已知A(－1,0)，B是圓F：x2－2x＋y2－11＝0(F為圓心)上一動點，線段AB的垂直平分線交BF于P，則動點P的軌跡方程為()A．eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,11)＝1 B．eq\f(x2,36)－eq\f(y2,35)＝1C．eq\f(x2,3)－eq\f(y2,2)＝1 D．eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1(2)(2025·日照模擬)如圖，橢圓E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的離心率為eq\f(1,2)，左、右焦點分別為F1，F2，上頂點為A，過F1且垂直于AF2的直線與橢圓E交于B，C兩點，則△ABC的周長為()A．4a B．2aC．a D．a＋b(1)D(2)A[(1)由題意得圓F的半徑r＝2eq\r(3)，F(1，0)，且|PA|＝|PB|，所以|PA|＋|PF|＝|PB|＋|PF|＝r＝2eq\r(3)＞|AF|＝2，所以點P的軌跡是以A，F為焦點的橢圓，且a＝eq\r(3)，c＝1，所以b＝eq\r(2)，所以動點P的軌跡方程為eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1.故選D.(2)如圖，連接AF1，BF2，CF2，由題意可得|AF1|＝|AF2|＝eq\r(b2＋c2)＝a.因為橢圓E的離心率為eq\f(1,2)，所以eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，即a＝2c.又|F1F2|＝2c，所以|AF1|＝|AF2|＝|F1F2|，故△AF1F2為等邊三角形．由BC⊥AF2可得BC為線段AF2的垂直平分線，所以|AC|＝|CF2|，|AB|＝|BF2|，所以△ABC的周長為|AB|＋|AC|＋|BC|＝|BF2|＋|CF2|＋|BC|＝|BF1|＋|BF2|＋|CF1|＋|CF2|＝4a.故選A.]考點二橢圓的標準方程橢圓標準方程的特征[典例2](多選)若方程eq\f(x2,3－t)＋eq\f(y2,t－1)＝1所表示的曲線為C，則下面四個命題中正確的是()A．若C為橢圓，則1＜t＜3B．若C為雙曲線，則t＞3或t＜1C．曲線C可能是圓D．若C為橢圓，且長軸在y軸上，則1＜t＜2BC[若C為橢圓，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3－t＞0，,t－1＞0，,3－t≠t－1，))所以1＜t＜3且t≠2，A錯誤；若C為雙曲線，則(3－t)(t－1)＜0，所以t＞3或t＜1，B正確；若C為圓，則3－t＝t－1，所以t＝2，C正確；若C為橢圓，且長軸在y軸上，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3－t＞0，,t－1＞0，,t－1＞3－t，))所以2＜t＜3，D錯誤．故選BC.]橢圓標準方程的求法[典例3](1)已知橢圓的中心在原點，以坐標軸為對稱軸，且經過兩點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，\f(5,2)))，(eq\r(3)，eq\r(5))，則橢圓的標準方程為________.(2)過點(eq\r(3)，－eq\r(5))，且與橢圓eq\f(y2,25)＋eq\f(x2,9)＝1有相同焦點的橢圓的標準方程為________.(3)已知中心在坐標原點的橢圓過點A(－3,0)，且離心率e＝eq\f(\r(5),3)，則橢圓的標準方程為________________________________．(1)eq\f(y2,10)＋eq\f(x2,6)＝1(2)eq\f(y2,20)＋eq\f(x2,4)＝1(3)eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1或eq\f(y2,\f(81,4))＋eq\f(x2,9)＝1[(1)設橢圓方程為mx2＋ny2＝1(m，n＞0，m≠n)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))2m＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))2n＝1，,3m＋5n＝1，))解得m＝eq\f(1,6)，n＝eq\f(1,10).所以橢圓的標準方程為eq\f(y2,10)＋eq\f(x2,6)＝1.(2)法一(定義法)：橢圓eq\f(y2,25)＋eq\f(x2,9)＝1的焦點為(0，－4)，(0,4)，即c＝4.由橢圓的定義知，2a＝eq\r((\r(3)－0)2＋(－\r(5)＋4)2)＋eq\r((\r(3)－0)2＋(－\r(5)－4)2)，解得a＝2eq\r(5).由c2＝a2－b2可得b2＝4，所以所求橢圓的標準方程為eq\f(y2,20)＋eq\f(x2,4)＝1.法二(待定系數法)：因為所求橢圓與橢圓eq\f(y2,25)＋eq\f(x2,9)＝1的焦點相同，所以其焦點在y軸上，且c2＝25－9＝16.設它的標準方程為eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)．因為c2＝16，且c2＝a2－b2，故a2－b2＝16.①又點(eq\r(3)，－eq\r(5))在所求橢圓上，所以eq\f((－\r(5))2,a2)＋eq\f((\r(3))2,b2)＝1，則eq\f(5,a2)＋eq\f(3,b2)＝1.②由①②得b2＝4，a2＝20，所以所求橢圓的標準方程為eq\f(y2,20)＋eq\f(x2,4)＝1.(3)若焦點在x軸上，由題知a＝3，因為橢圓的離心率e＝eq\f(\r(5),3)，所以c＝eq\r(5)，b＝2，所以橢圓方程是eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1.若焦點在y軸上，則b＝3，a2－c2＝9，又離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(5),3)，解得a2＝eq\f(81,4)，所以橢圓方程是eq\f(y2,\f(81,4))＋eq\f(x2,9)＝1.綜上，所求橢圓的標準方程為eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1或eq\f(y2,\f(81,4))＋eq\f(x2,9)＝1.]1.利用定義法求橢圓方程，要注意條件2a>|F1F2|；利用待定系數法要先定形(焦點位置)，再定量，也可把橢圓方程設為mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)的形式．2．橢圓的標準方程的兩個應用(1)方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1與eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝λ(λ>0)有相同的離心率．(2)與橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)共焦點的橢圓系方程為eq\f(x2,a2＋k)＋eq\f(y2,b2＋k)＝1(a>b>0，k＋b2>0)，恰當運用橢圓系方程，可使運算簡便．[跟進訓練]2．(1)如圖，已知橢圓C的中心為原點O，F(－5,0)為橢圓C的左焦點，P為橢圓C上一點，滿足|OP|＝|OF|且|PF|＝6，則橢圓C的方程為()A．eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,16)＝1 B．eq\f(x2,40)＋eq\f(y2,15)＝1C．eq\f(x2,49)＋eq\f(y2,24)＝1 D．eq\f(x2,45)＋eq\f(y2,20)＝1(2)已知橢圓C的焦點為F1(0，－1)，F2(0,1)，過F2的直線與C交于P，Q兩點．若|PF2|＝3|F2Q|，|PQ|＝eq\f(4,5)|QF1|，則橢圓C的標準方程為()A．eq\f(y2,\f(3,5))＋eq\f(x2,\f(2,5))＝1 B．eq\f(y2,2)＋x2＝1C．eq\f(y2,3)＋eq\f(x2,2)＝1 D．eq\f(y2,5)＋eq\f(x2,4)＝1(3)已知橢圓E的中心為原點，焦點在x軸上，橢圓上一點到焦點的最小距離為2eq\r(2)－2，離心率為eq\f(\r(2),2)，則橢圓E的方程為________.(1)C(2)B(3)eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,4)＝1[(1)由題意可得c＝5，設右焦點為F′，連接PF′(圖略)，由|OP|＝|OF|＝|OF′|知，∠PFF′＝∠FPO，∠OF′P＝∠OPF′，所以∠PFF′＋∠OF′P＝∠FPO＋∠OPF′，所以∠FPO＋∠OPF′＝90°，即PF⊥PF′.在Rt△PFF′中，由勾股定理，得|PF′|＝eq\r(|FF′|2－|PF|2)＝eq\r(102－62)＝8.由橢圓的定義，得|PF|＋|PF′|＝2a＝6＋8＝14，則a＝7，a2＝49，所以b2＝a2－c2＝49－52＝24，所以橢圓C的方程為eq\f(x2,49)＋eq\f(y2,24)＝1.故選C.(2)由已知可設|F2Q|＝m，|PF2|＝3m，因為|PQ|＝eq\f(4,5)|QF1|，所以|QF1|＝5m.根據橢圓的定義|QF2|＋|QF1|＝2a，所以6m＝2a，所以a＝3m，|PF1|＝2a－|PF2|＝2a－a＝a＝3m.在△PF1Q中，由余弦定理的推論得cos∠F1PQ＝eq\f(|PQ|2＋|PF1|2－|QF1|2,2·|PQ|·|PF1|)＝eq\f(16m2＋9m2－25m2,2×4m×3m)＝0，所以∠F1PQ＝90°，所以|PF2|2＋|PF1|2＝|F1F2|2?9m2＋9m2＝4，所以m＝eq\f(\r(2),3)，a＝3m＝eq\r(2)，b＝1，故橢圓C的標準方程為eq\f(y2,2)＋x2＝1.故選B.(3)因為橢圓上一點到焦點的最小距離為a－c，所以a－c＝2eq\r(2)－2.因為離心率e＝eq\f(\r(2),2)，所以eq\f(c,a)＝eq\f(\r(2),2)，解得a＝2eq\r(2)，c＝2，則b2＝a2－c2＝4，所以橢圓E的方程為eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,4)＝1.]考點三橢圓的簡單幾何性質橢圓的長軸、短軸、焦距[典例4]如圖，“嫦娥五號”月球探測器飛行到月球附近時，首先在以月球球心F為圓心的圓形軌道Ⅰ上繞月球飛行，然后在P點處變軌進入以F為一個焦點的橢圓軌道Ⅱ繞月球飛行，最后在Q點處變軌進入以F為圓心的圓形軌道Ⅲ繞月球飛行．設圓形軌道Ⅰ的半徑為R，圓形軌道Ⅲ的半徑為r，則下列結論中正確的是()①軌道Ⅱ的焦距為R－r；②若R不變，r越大，軌道Ⅱ的短軸長越小；③軌道Ⅱ的長軸長為R＋r；④若r不變，R越大，軌道Ⅱ的離心率越大．A．①②③ B．①②④C．①③④ D．②③④C[由橢圓的性質知，a＋c＝R，a－c＝r，解得2c＝R－r，故①正確；由①知a＝eq\f(R＋r,2)，c＝eq\f(R－r,2)，所以2b＝2eq\r(a2－c2)＝2eq\r(\f((R＋r)2,4)－\f((R－r)2,4))＝2eq\r(Rr)，若R不變，r越大，2b越大，軌道Ⅱ的短軸長越大，②錯誤；由①知2a＝R＋r，故軌道Ⅱ的長軸長為R＋r，③正確；因為e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\f(R－r,2),\f(R＋r,2))＝eq\f(R－r,R＋r)＝1－eq\f(2r,R＋r)＝1－eq\f(2,\f(R,r)＋1)，若r不變，R越大，則eq\f(2,\f(R,r)＋1)越小，所以e越大，軌道Ⅱ的離心率越大，④正確．故選C.]離心率問題[典例5](1)已知F1，F2是橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的兩個焦點，P為C上一點，且∠F1PF2＝60°，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF1\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(＝5))PF2))，則C的離心率為()A．eq\f(\r(21),6) B．eq\f(\r(2),2)C．eq\f(1,2) D．eq\f(2,3)(2)已知F1，F2分別是橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點．若橢圓上存在點P，使∠F1PF2＝90°，則橢圓的離心率e的取值范圍為()A．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2))) B．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1))C．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),2))) D．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，1))(1)A(2)B[(1)在橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)中，由橢圓的定義可得eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF1))＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF2))＝2a.因為eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF1\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(＝5))PF2))，所以eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF2))＝eq\f(a,3)，|PF1|＝eq\f(5a,3).在△PF1F2中，|F1F2|＝2c，由余弦定理得eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(F1F2))2＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF1))2＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF2))2－2eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF1))eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF2))cos∠F1PF2，即4c2＝eq\f(25a2,9)＋eq\f(a2,9)－eq\f(5a2,9)＝eq\f(7,3)a2，所以eq\f(c2,a2)＝eq\f(7,12)，所以C的離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(21),6).故選A.(2)若橢圓上存在點P，使得PF1⊥PF2，則以原點為圓心，F1F2為直徑的圓與橢圓必有交點，如圖，可得c≥b，即c2≥b2，所以2c2≥a2，即e2≥eq\f(1,2).又e<1，所以e∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1)).故選B.]與橢圓有關的最值(范圍)問題[典例6](1)設A，B是橢圓C：eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,m)＝1長軸的兩個端點，若C上存在點M滿足∠AMB＝120°，則m的取值范圍是()A．(0,1]∪[9，＋∞)B．(0，eq\r(3)]∪[9，＋∞)C．(0,1]∪[4，＋∞)D．(0，eq\r(3)]∪[4，＋∞)(2)(2021·全國乙卷)設B是橢圓C：eq\f(x2,5)＋y2＝1的上頂點，點P在C上，則|PB|的最大值為()A．eq\f(5,2) B．eq\r(6)C．eq\r(5) D．2(1)A(2)A[(1)由題意知，當M在短軸頂點時，∠AMB最大．①如圖1，當焦點在x軸，即0＜m＜3時，a＝eq\r(3)，b＝eq\r(m)，tanα＝eq\f(\r(3),\r(m))≥tan60°＝eq\r(3)，所以0＜m≤1.②如圖2，當焦點在y軸，即m＞3時，a＝eq\r(m)，b＝eq\r(3)，tanα＝eq\f(\r(m),\r(3))≥tan60°＝eq\r(3)，所以m≥9.綜上，m的取值范圍是(0,1]∪[9，＋∞)，故選A.(2)法一(消元轉化法)：設點P(x，y)，則根據點P在橢圓eq\f(x2,5)＋y2＝1上可得x2＝5－5y2.易知點B(0,1)，所以根據兩點間的距離公式得|PB|2＝x2＋(y－1)2＝5－5y2＋(y－1)2＝－4y2－2y＋6＝eq\f(25,4)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2y＋\f(1,2)))2.當2y＋eq\f(1,2)＝0，即y＝－eq\f(1,4)(滿足|y|≤1)時，|PB|2取得最大值eq\f(25,4)，所以|PB|max＝eq\f(5,2).故選A.法二(利用橢圓的參數方程)：因為點P在橢圓eq\f(x2,5)＋y2＝1上，所以可設點P(eq\r(5)cosθ，sinθ)．易知點B(0,1)，所以根據兩點間的距離公式得|PB|2＝(eq\r(5)cosθ)2＋(sinθ－1)2＝－4sin2θ－2sinθ＋6＝eq\f(25,4)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2sinθ＋\f(1,2)))2.易知當2sinθ＋eq\f(1,2)＝0，即sinθ＝－eq\f(1,4)時，|PB|2取得最大值eq\f(25,4)，所以|PB|max＝eq\f(5,2).故選A.]1.求橢圓離心率或其范圍的方法解題的關鍵是借助圖形建立關于a，b，c的關系式(等式或不等式)，轉化為e的關系式，常用方法如下：(1)直接求出a，c.利用離心率公式e＝eq\f(c,a)求解．(2)由a與b的關系求離心率．利用變形公式e＝eq\r(1－\f(b2,a2))求解．(3)構造a，c的齊次式．離心率e的求解中可以不求出a，c的具體值，而是得出a與c的關系，從而求得e.2．利用橢圓幾何性質求值或范圍的思路(1)將所求問題用橢圓上點的坐標表示，利用坐標范圍構造函數或不等關系．(2)將所求范圍用a，b，c表示，利用a，b，c自身的范圍、關系求解．[跟進訓練]3．(1)(多選)已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦點分別為F1，F2，長軸長為4，點P(eq\r(2)，1)在橢圓C外，點Q在橢圓C上，則()A．橢圓C的離心率的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2)))B．當橢圓C的離心率為eq\f(\r(3),2)時，|QF1|的取值范圍是[2－eq\r(3)，2＋eq\r(3)]C．存在點Q使得·＝0D．eq\f(1,|QF1|)＋eq\f(1,|QF2|)的最小值為1(2)(2025·德州模擬)已知點P為橢圓C：eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1上任意一點，直線l過⊙M：x2＋y2－4x＋3＝0的圓心且與⊙M交于A，B兩點，則·的取值范圍是()A．[3,35] B．[2,34]C．[2,36] D．[4,36](1)BCD(2)A[(1)由題意得a＝2，又點P(eq\r(2)，1)在橢圓C外，則eq\f(2,4)＋eq\f(1,b2)＞1，解得b2＜2，所以橢圓C的離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(4－b2),2)＞eq\f(\r(2),2).又0＜e＜1，所以橢圓C的離心率的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1))，A錯誤；當e＝eq\f(\r(3),2)時，c＝eq\r(3)，b＝eq\r(a2－c2)＝1，所以|QF1|的取值范圍是[a－c，a＋c]，即[2－eq\r(3)，2＋eq\r(3)]，B正確；設橢圓的上頂點為A(0，b)，F1(－c,0)，F2(c,0)，由于·＝b2－c2＝2b2－a2＜0，所以存在點Q使得·＝0，C正確；(|QF1|＋|QF2|)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,|QF1|)＋\f(1,|QF2|)))＝2＋eq\f(|QF2|,|QF1|)＋eq\f(|QF1|,|QF2|)≥2＋2＝4，當且僅當|QF1|＝|QF2|＝2時，等號成立，又|QF1|＋|QF2|＝4，所以eq\f(1,|QF1|)＋eq\f(1,|QF2|)≥1，D正確．故選BCD.(2)⊙M：x2＋y2－4x＋3＝0，即(x－2)2＋y2＝1的圓心M(2,0)，半徑為1，在橢圓C：eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1中，a2＝16，b2＝12，c2＝a2－b2＝16－12＝4，即c＝2，則圓心M(2,0)為橢圓的右焦點，線段AB為⊙M的直徑．連接PM，如圖，因此·＝(＋)·(＋)＝(－)·(＋)＝||2－||2＝||2－1.因為點P為橢圓C：eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1上任意一點，則||min＝a－c＝2，||max＝a＋c＝6，即2≤||≤6，所以·＝||2－1∈[3,35]．故選A.]過橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)上任意不同兩點M，N作橢圓的切線，若兩切線垂直且相交于點P，則動點P的軌跡為圓O：x2＋y2＝a2＋b2，此圓即橢圓的蒙日圓．橢圓的蒙日圓有如下性質．性質1：PM⊥PN.性質2：PO平分切點弦MN.性質3：S△MON的最大值為eq\f(ab,2)，S△MON的最小值為eq\f(a2b2,a2＋b2).[典例](多選)法國數學家加斯帕爾·蒙日被稱為“畫法幾何創始人”“微分幾何之父”．他發現與橢圓相切的兩條互相垂直的切線的交點的軌跡是以該橢圓中心為圓心的圓，這個圓稱為該橢圓的蒙日圓．若橢圓Γ：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的蒙日圓為C：x2＋y2＝eq\f(3,2)a2，過C上的動點M作Γ的兩條切線，分別與C交于P，Q兩點，直線PQ交Γ于A，B兩點，則()A．橢圓Γ的離心率為eq\f(\r(2),2)B．△MPQ面積的最大值為eq\f(3,2)a2C．M到Γ的左焦點的距離的最小值為(2－eq\r(2))aD．若動點D在Γ上，將直線DA，DB的斜率分別記為k1，k2，則k1k2＝－eq\f(1,2)ABD[依題意，過橢圓Γ的上頂點作y軸的垂線，過橢圓Γ的右頂點作x軸的垂線，則這兩條垂線的交點在圓C上，所以a2＋b2＝eq\f(3,2)a2，得a2＝2b2，所以橢圓Γ的離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1－\f(b2,a2))＝eq\f(\r(2),2)，A正確；因為點M，P，Q都在圓C上，且∠PMQ＝90°，所以PQ為圓C的直徑，所以eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PQ))＝2×eq\r(\f(3,2)a2)＝eq\r(6)a，所以△MPQ面積的最大值為eq\f(1,2)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PQ))×eq\r(\f(3,2)a2)＝eq\f(\r(6)a,2)×eq\r(\f(3,2)a2)＝eq\f(3,2)a2，B正確；設M(x0，y0)，Γ的左焦點為F(－c,0)，連接MF(圖略)，因為c2＝a2－b2＝eq\f(1,2)a2，所以eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(MF))2＝(x0＋c)2＋yeq\o\al(2,0)＝xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＋2x0c＋c2＝eq\f(3,2)a2＋2x0×eq\f(\r(2),2)a＋eq\f(1,2)a2＝2a2＋eq\r(2)ax0，又－eq\f(\r(6),2)a≤x0≤eq\f(\r(6),2)a，所以eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(MF))2≥(2－eq\r(3))a2，則M到Γ的左焦點的距離的最小值為eq\f((\r(6)－\r(2))a,2)，C錯誤；由直線PQ經過坐標原點，易得點A，B關于原點對稱，設A(x1，y1)，D(x2，y2)，則B(－x1，－y1)，k1＝eq\f(y1－y2,x1－x2)，k2＝eq\f(y1＋y2,x1＋x2)，又eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x\o\al(2,1),2b2)＋\f(y\o\al(2,1),b2)＝1，,\f(x\o\al(2,2),2b2)＋\f(y\o\al(2,2),b2)＝1，))所以eq\f(x\o\al(2,1)－x\o\al(2,2),2b2)＋eq\f(y\o\al(2,1)－y\o\al(2,2),b2)＝0，所以eq\f(y\o\al(2,1)－y\o\al(2,2),x\o\al(2,1)－x\o\al(2,2))＝eq\f(y1－y2,x1－x2)·eq\f(y1＋y2,x1＋x2)＝－eq\f(1,2)，所以k1k2＝－eq\f(1,2)，D正確．故選ABD.]課時分層作業(五十四)(本試卷共87分．單項選擇題每題5分，多項選擇題每題6分，填空題每題5分．)一、單項選擇題1．已知動點A(x，y)滿足等式eq\r(x＋32＋y2)＝8－eq\r(x－32＋y2)，則點A的軌跡方程是()A．eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,9)＝1 B．eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,3)＝1C．eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,9)＝1 D．eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,7)＝1D[因為動點A(x，y)滿足等式eq\r(x＋32＋y2)＝8－eq\r(x－32＋y2)，表示點A到點F1(－3,0)和F2(3,0)的距離之和為8，且|F1F2|<8，所以點A的軌跡是以F1(－3,0)，F2(3,0)為焦點的橢圓，其中a＝4，c＝3，b2＝7，所以點A的軌跡方程是eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,7)＝1.故選D.]2．(2023·新高考Ⅰ卷)設橢圓C1：eq\f(x2,a2)＋y2＝1(a＞1)，C2：eq\f(x2,4)＋y2＝1的離心率分別為e1，e2，若e2＝eq\r(3)e1，則a＝()A．eq\f(2\r(3),3) B．eq\r(2)C．eq\r(3) D．eq\r(6)A[由已知得e1＝eq\f(\r(a2－1),a)，e2＝eq\f(\r(4－1),2)＝eq\f(\r(3),2)，因為e2＝eq\r(3)e1，所以eq\f(\r(3),2)＝eq\r(3)·eq\f(\r(a2－1),a)，解得a＝eq\f(2\r(3),3).故選A.]3．曲線eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1與曲線eq\f(x2,9－k)＋eq\f(y2,25－k)＝1(k＜9且k≠0)的()A．長軸長相等 B．短軸長相等C．焦距相等 D．離心率相等C[曲線eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1表示焦點在x軸上，長軸長為10，短軸長為6，離心率為eq\f(4,5)，焦距為8的橢圓．曲線eq\f(x2,9－k)＋eq\f(y2,25－k)＝1(k＜9且k≠0)表示焦點在y軸上，長軸長為2eq\r(25－k)，短軸長為2eq\r(9－k)，焦距為2eq\r(25－k－9－k)＝8，離心率為eq\f(4,\r(25－k))的橢圓．故選C.]4．已知F1，F2是橢圓C：eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1的兩個焦點，點M，N在C上，若|MF2|＋|NF2|＝6，則|MF1|·|NF1|的最大值為()A．9 B．20C．25 D．30C[根據橢圓的定義可得|MF1|＋|MF2|＝2a＝8，|NF1|＋|NF2|＝8，因為|MF2|＋|NF2|＝6，所以8－|MF1|＋8－|NF1|＝6，即|MF1|＋|NF1|＝10≥2eq\r(|MF1|·|NF1|)，當且僅當|MF1|＝|NF1|＝5時，等號成立，所以|MF1|·|NF1|≤25，故|MF1||NF1|的最大值為25.故選C.]5．(2025·濟南模擬)已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左頂點為A，點M，N是橢圓C上關于y軸對稱的兩點．若直線AM，AN的斜率之積為eq\f(2,3)，則C的離心率為()A．eq\f(\r(3),2) B．eq\f(\r(2),2)C．eq\f(1,2) D．eq\f(\r(3),3)D[由題意，橢圓C的左頂點為A(－a,0)，如圖，因為點M，N是橢圓C上關于y軸對稱的兩點，可設M(x0，y0)，則N(－x0，y0)，所以kAM＝eq\f(y0,x0＋a)，kAN＝eq\f(y0,a－x0)，可得kAMkAN＝eq\f(y0,x0＋a)·eq\f(y0,a－x0)＝eq\f(y\o\al(2,0),a2－x\o\al(2,0))＝eq\f(2,3).又因為eq\f(x\o\al(2,0),a2)＋eq\f(y\o\al(2,0),b2)＝1，即yeq\o\al(2,0)＝eq\f(b2a2－x\o\al(2,0),a2)，代入可得eq\f(b2,a2)＝eq\f(2,3)，所以離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1－\f(b2,a2))＝eq\r(1－\f(2,3))＝eq\f(\r(3),3).故選D.]6．加斯帕爾·蒙日是法國著名的幾何學家．如圖，他在研究圓錐曲線時發現：橢圓的任意兩條互相垂直的切線的交點都在同一個圓上，其圓心是橢圓的中心，這個圓被稱為“蒙日圓”．若長方形G的四邊均與橢圓M：eq\f(x2,6)＋eq\f(y2,4)＝1相切，則下列說法錯誤的是()A．橢圓M的離心率為eq\f(\r(3),3)B．橢圓M的蒙日圓方程為x2＋y2＝10C．若G為正方形，則G的邊長為2eq\r(5)D．長方形G的面積的最大值為18D[由橢圓方程知a＝eq\r(6)，b＝2，則c＝eq\r(6－4)＝eq\r(2)，離心率為e＝eq\f(\r(2),\r(6))＝eq\f(\r(3),3)，A正確；當長方形G的邊與橢圓的軸平行時，長方形的邊長分別為2eq\r(6)和4，其對角線長為eq\r(24＋16)＝2eq\r(10)，因此蒙日圓的半徑為eq\r(10)，圓的方程為x2＋y2＝10，B正確；設長方形的邊長分別為m，n，因此m2＋n2＝40≥2mn，即mn≤20，當且僅當m＝n時取等號，所以長方形G的面積的最大值是20，此時該長方形G為正方形，邊長為2eq\r(5)，C正確，D錯誤．故選D.]7．(2022·全國甲卷)已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的離心率為eq\f(1,3)，A1，A2分別為C的左、右頂點，B為C的上頂點．若eq\o(BA1,\s\up6(→))·eq\o(BA2,\s\up6(→))＝－1，則C的方程為()A．eq\f(x2,18)＋eq\f(y2,16)＝1 B．eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,8)＝1C．eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1 D．eq\f(x2,2)＋y2＝1B[由離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1－\f(b2,a2))＝eq\f(1,3)，解得eq\f(b2,a2)＝eq\f(8,9)，b2＝eq\f(8,9)a2，A1，A2分別為C的左、右頂點，則A1(－a,0)，A2(a,0)，B為上頂點，所以B(0，b)，所以eq\o(BA1,\s\up6(→))＝(－a，－b)，eq\o(BA2,\s\up6(→))＝(a，－b)．因為eq\o(BA1,\s\up6(→))·eq\o(BA2,\s\up6(→))＝－1，所以－a2＋b2＝－1.將b2＝eq\f(8,9)a2代入，解得a2＝9，b2＝8，故橢圓C的方程為eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,8)＝1.故選B.]8．已知橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦點分別為F1，F2，半焦距為c.若在橢圓上存在點P使得eq\f(a,sin∠PF1F2)＝eq\f(c,sin∠PF2F1)，則橢圓離心率的取值范圍是()A．[eq\r(2)－1,1) B．(eq\r(2)－1,1)C．(0，eq\r(2)－1) D．(0，eq\r(2)－1]B[由eq\f(a,sin∠PF1F2)＝eq\f(c,sin∠PF2F1)，得eq\f(c,a)＝eq\f(sin∠PF2F1,sin∠PF1F2)＝eq\f(|PF1|,|PF2|)＝eq\f(|PF1|,2a－|PF1|)，所以|PF1|＝eq\f(2ac,a＋c).又|PF1|∈(a－c，a＋c)，則a－c＜eq\f(2ac,a＋c)＜a＋c，所以a2－c2＜2ac＜(a＋c)2，即e2＋2e－1＞0.又e∈(0,1)，所以e∈(eq\r(2)－1,1)．故選B.]二、多項選擇題9．(2025·德州模擬)已知方程eq\f(x2,12－m)＋eq\f(y2,m－4)＝1表示橢圓，下列說法正確的是()A．m的取值范圍為(4,12)B．若該橢圓的焦點在y軸上，則m∈(8,12)C．若m＝6，則該橢圓的焦距為4D．若m＝10，則該橢圓經過點(1，eq\r(2))BC[因為方程eq\f(x2,12－m)＋eq\f(y2,m－4)＝1表示橢圓，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(12－m＞0，,m－4＞0，,12－m≠m－4，))解得4＜m＜12，且m≠8，A錯誤；因為橢圓eq\f(x2,12－m)＋eq\f(y2,m－4)＝1的焦點在y軸上，所以m－4＞12－m＞0，解得8＜m＜12，B正確；若m＝6，則橢圓方程為eq\f(x2,6)＋eq\f(y2,2)＝1，所以c2＝a2－b2＝6－2＝4，從而2c＝4，C正確；若m＝10，則橢圓方程為eq\f(x2,2)＋eq\f(y2,6)＝1，點(1，eq\r(2))的坐標不滿足方程，即該橢圓不經過點(1，eq\r(2))，D錯誤．故選BC.]10．已知橢圓C：eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1，F1，F2分別為它的左、右焦點，A，B分別為它的左、右頂點，點P是橢圓上的一個動點，下列結論中正確的有()A．存在點P使得∠F1PF2＝eq\f(π,2)B．cos∠F1PF2的最小值為－eq\f(7,25)C．若PF1⊥PF2，則△F1PF2的面積為9D．直線PA與直線PB的斜率乘積為定值eq\f(9,25)ABC[設橢圓C的上、下頂點分別為D，E，由題知橢圓C：eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1中，a＝5，b＝3，c＝4，所以F1(－4，0)，F2(4,0)，A(－5,0)，B(5,0)，D(0,3)，E(0，－3)．由于eq\o(DF1,\s\up6(→))＝(－4，－3)，eq\o(DF2,\s\up6(→))＝(4，－3)，則eq\o(DF1,\s\up6(→))·eq\o(DF2,\s\up6(→))＝－16＋9＝－7＜0，所以∠F1PF2的最大角為鈍角，故存在點P使得∠F1PF2＝eq\f(π,2)，A正確；記|PF1|＝m，|PF2|＝n，則m＋n＝10，在△F1PF2中，由余弦定理的推論，得cos∠F1PF2＝eq\f(m2＋n2－64,2mn)＝eq\f(m＋n2－2mn－64,2mn)＝eq\f(36－2mn,2mn)＝eq\f(18,mn)－1≥eq\f(18,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m＋n,2)))2)－1＝－eq\f(7,25)，當且僅當|PF1|＝|PF2|時，等號成立，B正確；由PF1⊥PF2，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋n＝10，,m2＋n2＝64，))則mn＝eq\f(1,2)[(m＋n)2－(m2＋n2)]＝18，所以＝eq\f(1,2)mn＝9，C正確；設P(x，y)(x≠±5)，因為A(－5,0)，B(5,0)，eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1，則kPA＝eq\f(y,x＋5)，kPB＝eq\f(y,x－5)，所以kPA·kPB＝eq\f(y,x＋5)·eq\f(y,x－5)＝eq\f(y2,x2－25)＝eq\f(9\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(x2,25))),x2－25)＝－eq\f(9,25)，D錯誤．故選ABC.]三、填空題11．(2021·全國甲卷)已知F1，F2為橢圓C：eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,4)＝1的兩個焦點，P，Q為C上關于坐標原點對稱的兩點，且|PQ|＝|F1F2|，則四邊形PF1QF2的面積為________.8[根據橢圓的對稱性及|PQ|＝|F1F2|，可以得到四邊形PF1QF2為對角線相等的平行四邊形，所以四邊形PF1QF2為矩形．設|PF1|＝m，則|PF2|＝2a－|PF1|＝8－m，則|PF1|2＋|PF2|2＝m2＋(8－m)2＝2m2＋64－16m＝|F1F2|2＝4c2＝4(a2－b2)＝48，得m(8－m)＝8，所以四邊形PF1QF2的面積為|PF1|·|PF2|＝m(8－m)＝8.]12．古希臘數學家阿波羅尼奧斯在研究圓錐曲線時發現了橢圓的光學性質：從橢圓的一個焦點射出的光線，經橢圓反射，其反射光線必經過橢圓的另一焦點．如圖，設橢圓方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，F1，F2為其左、右焦點，若從右焦點F2發出的光線經橢圓上的點A和點B反射后，滿足AB⊥AD，cos∠ABC＝eq\f(4,5)，則該橢圓的離心率為________.eq\f(\r(2),2)[由題意，可作圖如下：則cos∠ABF1＝eq\f(4,5)＝eq\f(|AB|,|BF1|)，sin∠ABF1＝eq\r(1－cos2∠ABF1)＝eq\f(3,5)＝eq\f(|AF1|,|BF1|)，即|AB|∶|AF1|∶|BF1|＝4∶3∶5，可設|AB|＝4k，|AF1|＝3k，|BF1|＝5k.由|AB|＋|AF1|＋|BF1|＝|AF2|＋|BF2|＋|AF1|＋|BF1|＝4a，則4k＋3k＋5k＝4a，即3k＝a，|AF2|＝2a－|AF1|＝3k.在Rt△AF1F2中，|F1F2|＝eq\r(|AF1|2＋|AF2|2)＝3eq\r(2)k＝2c，則e＝eq\f(2c,2a)＝eq\f(3\r(2)k,6k)＝eq\f(\r(2),2).]四、解答題13．(15分)(2024·北京高考)已知橢圓E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，以橢圓E的焦點和短軸端點為頂點的四邊形是邊長為2的正方形．過點(0，t)(t>eq\r(2))且斜率存在的直線與橢圓E交于不同的兩點A，B，過點A和C(0,1)的直線AC與橢圓E的另一個交點為D.(1)求橢圓E的方程及離心率；(2)若直線BD的斜率為0，求t的值．解：(1)由題意可知b＝eq\r(2)，c＝eq\r(2)，所以a＝eq\r(b2＋c2)＝2，故橢圓E的方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1，離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(2),2).(2)設A(x1，y1)，B(x2，y2)，直線AB的方程為y＝kx＋t(k≠0)，聯立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x2,4)＋\f(y2,2)＝1，,y＝kx＋t，))得(1＋2k2)x2＋4ktx＋2t2－4＝0，所以Δ＝(4