第八章解析幾何第9課時圓錐曲線中的定點、定值、定直線問題典例精研·核心考點

考點一定點問題(1)求雙曲線C的方程．(2)若直線l：y＝kx＋m與雙曲線C交于不同的兩點A，B，設(shè)直線PA，PB的斜率分別為k1，k2，從下面兩個條件中選一個，證明：直線l過定點．①k1＋k2＝1；②k1k2＝1.當(dāng)m＝2k＋3時，y＝kx＋m＝kx＋2k＋3＝k(x＋2)＋3，則直線l過定點(－2,3)；當(dāng)m＝－4k＋3時，y＝kx＋m＝kx－4k＋3＝k(x－4)＋3，則直線l過定點P(4,3)，不合題意．綜上可得，直線l過定點(－2,3)．

求解直線或曲線過定點問題的基本思路(1)把直線或曲線方程中的變量x，y當(dāng)作常數(shù)看待，把方程一端化為零，既然是過定點，那么這個方程就要對任意參數(shù)都成立，這時參數(shù)的系數(shù)就要全部等于零，這樣就得到一個關(guān)于x，y的方程組，這個方程組的解所確定的點就是直線或曲線所過的定點．(2)由直線方程確定其過定點時，若得到了直線方程的點斜式y(tǒng)－y0＝k(x－x0)，則直線過定點(x0，y0)；若得到了直線方程的斜截式y(tǒng)＝kx＋m，則直線過定點(0，m)．(3)解析幾何大題中設(shè)直線方程一般有三種設(shè)法：y－y0＝k(x－x0)，x＝my＋n，y＝kx＋m.若設(shè)y＝kx＋m這種形式，研究定點，只需根據(jù)條件得到m與k的關(guān)系即可，如m＝3k.[跟進(jìn)訓(xùn)練]

考點二定值問題

圓錐曲線中的定值問題的常見類型及解題策略(1)證明代數(shù)式為定值：依題意設(shè)條件，得出與代數(shù)式參數(shù)有關(guān)的等式，代入代數(shù)式，化簡即可得出定值．(2)證明點到直線的距離為定值：利用點到直線的距離公式得出距離的解析式，再利用題設(shè)條件化簡、變形求得．(3)證明某線段長度為定值：利用長度公式求得解析式，再依據(jù)條件對解析式進(jìn)行化簡、變形即可求得．(4)定值問題可由特殊情況先尋求定值，再推廣到一般，這樣方向和目標(biāo)明確．[跟進(jìn)訓(xùn)練]2．已知直線l1：y＝2x和直線l2：y＝－2x，過動點E作平行于l2的直線交l1于點A，過動點E作平行于l1的直線交l2于點B，且四邊形OAEB(O為原點)的面積為4.(1)求動點E的軌跡方程；解：(1)設(shè)E(x0，y0)，過點E(x0，y0)且平行于l2的直線方程為y－y0＝－2(x－x0)．

考點三定直線問題(1)求C的方程；(2)記C的左、右頂點分別為A1，A2，過點(－4,0)的直線與C的左支交于M，N兩點，M在第二象限，直線MA1與NA2交于點P，證明：點P在定直線上．

定直線問題是指因圖形變化或點的移動而產(chǎn)生的動點在定直線上的問題．這類問題的核心在于確定定點的軌跡，主要方法如下．(1)設(shè)點法：設(shè)點的軌跡，通過已知點軌跡，消去參數(shù)，從而得到軌跡方程．(2)待定系數(shù)法：設(shè)出含參數(shù)的直線方程，代入已知條件求解出系數(shù)．(3)驗證法：通過特殊點位置求出直線方程，對一般位置再進(jìn)行驗證．[跟進(jìn)訓(xùn)練](1)求E的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)G為直線AD與BC的交點，證明：點G必在定直線上.橢圓中的等角定理逆定理雙曲線的等角定理逆定理注：定點在實軸上即可，不要求在雙曲線內(nèi)部，也不要求過定點的直線必須是和同一側(cè)曲線相交于兩點，包括如下三種情況，證明過程一致．證明：普通聯(lián)立法即可．拋物線的等角定理已知拋物線C：y2＝2px，直線l過定點(m,0)(m≠0)，同時直線l與拋物線C交于P，Q兩點，則x軸上存在點R(－m,0)，使得∠ORP＝∠ORQ.逆定理已知拋物線C：y2＝2px與x軸上定點R(m，0)(m≠0)，直線l與拋物線C交于P，Q兩點，若∠ORP＝∠ORQ，則直線恒過定點(－m,0)．注：定點在對稱軸上即可．證明：普通聯(lián)立法即可．(1)當(dāng)l與x軸垂直時，求直線AM的方程；(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點，證明：∠OMA＝∠OMB.點撥：解析幾何中與角有關(guān)的問題可以向斜率轉(zhuǎn)化．課時分層作業(yè)(六十)點擊頁面進(jìn)入