第六章數列第3課時等比數列[考試要求]

1.理解等比數列的概念.2.掌握等比數列的通項公式與前n項和公式.3.了解等比數列與指數函數的關系．鏈接教材·夯基固本1．等比數列的有關概念(1)定義：一般地，如果一個數列從第___項起，每一項與它的前一項的比都等于_______________，那么這個數列叫做等比數列．這個常數叫做等比數列的______，通常用字母q表示，定義的表達式為______＝q(n∈N*，q為非零常數)．(2)等比中項：如果在a與b中間插入一個數G，使a，G，b成等比數列，那么______叫做a與b的等比中項，此時，G2＝ab.2同一個常數公比G提醒：①“G2＝ab”是“a，G，b成等比數列”的必要不充分條件．②在等比數列中，奇數項同號，偶數項同號．2．等比數列的有關公式(1)通項公式：an＝________＝amqn－m.(2)前n項和公式：提醒：求等比數列前n項和時，若公比q不明確，需分類討論．a1qn－1na13．等比數列的性質ap·aq[常用結論]1．等比數列的單調性當q＞1，a1＞0或0＜q＜1，a1＜0時，{an}是遞增數列；當q＞1，a1＜0或0＜q＜1，a1＞0時，{an}是遞減數列；當q＝1時，{an}是常數列．2．等比數列{an}的前n項和Sn可以寫成Sn＝Aqn－A(A≠0，q≠1且q≠0)．一、易錯易混辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)若等比數列{an}的公比q>1，則該數列單調遞增．(

)(2)滿足an＋1＝qan(n∈N*，q為常數)的數列{an}為等比數列．(

)(3)如果正項數列{an}為等比數列，那么數列{lnan}是等差數列．(

)(5)若數列{an}為等比數列，Sn是其前n項和，則S4，S8－S4，S12－S8成等比數列．(

)××√××二、教材經典衍生√2．(人教A版選擇性必修第二冊P37例9改編)設等比數列{an}的前n項和為Sn.若S2＝3，S4＝15，則S6等于(

)A．31 B．32C．63 D．64C

[根據題意知，等比數列{an}的公比不是－1.由等比數列前n項和的性質，得(S4－S2)2＝S2·(S6－S4)，即122＝3×(S6－15)，解得S6＝63.]√3．(人教A版選擇性必修第二冊P34練習T1改編)在1和9之間插入三個數，使這五個數組成正項等比數列，則中間三個數的積等于_______.4．(人教A版選擇性必修第二冊P37練習T4改編)已知三個數成等比數列，若它們的和等于13，積等于27，則這三個數為________.A．30

B．±30

C．40

D．±40(2)(2023·全國甲卷)記Sn為等比數列{an}的前n項和．若8S6＝7S3，則{an}的公比為____________.典例精研·核心考點

考點一等比數列基本量的運算√(2)若q＝1，則由8S6＝7S3得8×6a1＝7×3a1，則a1＝0，不合題意，所以q≠1.當q≠1時，因為8S6＝7S3，

等比數列基本量的運算的解題策略(1)等比數列中有五個量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通過列方程(組)可使問題迎刃而解．(2)解方程組時常常利用“作商”消元法．提醒：運用等比數列的前n項和公式時，一定要注意對公比q的討論(q＝1或q≠1)，否則會漏解或增解．A．256 B．254C．128 D．126[跟進訓練]√(2)(2024·北京高考)漢代劉歆設計的“銅嘉量”是龠、合、升、斗、斛五量合一的標準量器，其中升量器、斗量器、斛量器的形狀均可視為圓柱．若升、斗、斛量器的容積是公比為10的等比數列，底面直徑依次為65mm,325mm,325mm，且斛量器的高為230mm，則斗量器的高為____________mm，升量器的高為_________mm.(不計量器的厚度)

考點二等比數列的判定與證明[典例2]已知數列{an}的各項均為正數，記Sn為{an}的前n項和，從下面①②③中選取兩個作為條件，證明剩下的一個成立．①數列{an}是等比數列；②數列{Sn＋a1}是等比數列；③a2＝2a1.證明：選①②作為條件證明③：設Sn＋a1＝Aqn－1(A≠0)，則Sn＝Aqn－1－a1，當n＝1時，a1＝S1＝A－a1，所以A＝2a1；當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝Aqn－2(q－1)．選②③作為條件證明①：設Sn＋a1＝Aqn－1(A≠0)，則Sn＝Aqn－1－a1，當n＝1時，a1＝S1＝A－a1，所以A＝2a1；當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝Aqn－2(q－1)．

判定一個數列為等比數列的常見方法1．解答題的證明常用：2．僅判斷數列{an}是否為等比數列時：(1)通項公式法：若an＝Aqn(A，q是不為零的常數)，則數列{an}是等比數列．(2)前n項和公式法．[跟進訓練]2．已知Sn為等比數列{an}的前n項和，a4＝9a2，S3＝13，且公比q>0.(1)求an及Sn.(2)是否存在常數λ，使得數列{Sn＋λ}是等比數列？若存在，求出λ的值；若不存在，請說明理由．

考點三等比數列性質的應用[典例3]

(1)已知數列{an}為遞減的等比數列，n∈N*，且a2a7＝32，a3＋a6＝18，則{an}的公比為(

)√

應用等比數列性質的兩個關注點[跟進訓練]3．(1)在等比數列{an}中，若a1＋a2＝16，a3＋a4＝24，則a7＋a8等于(

)A．40

B．36C．54

D．81(2)(2023·全國乙卷)已知{an}為等比數列，a2a4a5＝a3a6，a9a10＝－8，則a7＝____________.(3)(2025·淄博模擬)已知等比數列{an}共有(2n＋1)項，a1＝1，所有奇數項的和為85，所有偶數項的和為42，則公比q＝________.√(1)C

(2)－2

(3)2

[(1)在等比數列{an}中，a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6，a7＋a8成等比數列，因為a1＋a2＝16，a3＋a4＝24，法二：設數列{an}的公比為q.因為a4a5＝a3a6≠0，所以a2＝1.又a9a10＝a2q7·a2q8＝q15＝－8，于是q5＝－2，所以a7＝a2q5＝－2.(3)依題意，a1＋a3＋a5＋…＋a2n＋1＝85，a1＝1，即a2q