第二章函數的概念與性質第7課時指數與指數函數[考試要求]

1.掌握根式與分數指數冪的互化，掌握指數冪的運算性質.2.通過實例，了解指數函數的實際意義，會畫指數函數的圖象.3.理解指數函數的單調性、特殊點等性質，并能簡單應用．鏈接教材·夯基固本1．根式(1)如果xn＝a，那么___叫做a的n次方根，其中n＞1，且n∈N*.x根式aa0的正分數指數冪等于____,0的負分數指數冪沒有意義．3．指數冪的運算性質aras＝_______；(ar)s＝____；(ab)r＝_____(a>0，b>0，r，s∈Q)．0ar＋sarsarbr4．指數函數及其性質(1)概念：函數y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指數函數，其中_______是自變量，定義域是R，___是底數．(2)形如y＝kax，y＝ax＋k(k∈R，且k≠0，如果是y＝kax，那么k還應滿足k≠1；a＞0且a≠1)的函數叫做指數型函數，不是指數函數．指數xa(3)指數函數的圖象與性質項目a>10<a<1圖象定義域R值域____________(0，＋∞)項目a>10<a<1性質過定點_________，即x＝0時，y＝___當x>0時，_______；當x<0時，___________當x<0時，_______；當x>0時，____________在(－∞，＋∞)上是___函數在(－∞，＋∞)上是___函數(0,1)1y>10<y<1y>10<y<1增減[常用結論]指數函數圖象的特點(2)函數y＝a－x是R上的增函數．(

)(3)若am＜an(a＞0，且a≠1)，則m＜n.(

)×××√√3．(多選)(人教A版必修第一冊P117例3改編)下列各式比較大小正確的是(

)√√√典例精研·核心考點

考點一指數冪的運算[典例1]

(1)(多選)已知a＋a－1＝3，則下列結論正確的是(

)A．a2＋a－2＝7

B．a3＋a－3＝18√√√

指數冪運算的一般原則(1)將根式、分數指數冪統一為分數指數冪，以便利用法則計算．(2)先乘除后加減，負指數冪化成正指數冪的倒數．(3)底數是小數，先化成分數；底數是帶分數，先化成假分數．(4)運算結果不能同時含有根號和分數指數，也不能既有分母又含有負指數，形式要求統一．√考點二指數函數的圖象及應用[典例2]

(1)(多選)已知實數a，b滿足等式2022a＝2023b，則下列式子可以成立的是(

)A．a＝b＝0 B．a<b<0C．0<a<b D．0<b<a√√√√(1)ABD

(2)C

[(1)如圖，觀察易知，a<b<0或0<b<a或a＝b＝0.故選ABD.得a＋b＝0.又該函數圖象無限接近于直線y＝2，且不與該直線相交，所以b＝2，則a＝－2，所以ab＝－4.故選C．][跟進訓練]2．(1)指數函數y＝ax(a＞0，且a≠1)的圖象如圖所示，則y＝ax2＋x圖象頂點的橫坐標的取值范圍是(

)√(2)若曲線|y|＝2x＋1與直線y＝b沒有公共點，則實數b的取值范圍是________.(1)A

(2)

[－1,1]

[(1)由圖象知函數為減函數，則0＜a＜1，(2)曲線|y|＝2x＋1與直線y＝b的圖象如圖所示，由圖象可得，如果曲線|y|＝2x＋1與直線y＝b沒有公共點，則b應滿足的條件是b∈[－1,1]．]√

考點三指數函數的性質及應用

比較指數式的大小[典例3]

(1)(2023·天津高考)若a＝1.010.5，b＝1.010.6，c＝0.60.5，則a，b，c的大小關系為(

)A．c＞a＞b B．c＞b＞aC．a＞b＞c D．b＞a＞c(2)若2x＋5y≤2－y＋5－x，則有(

)A．x＋y≥0 B．x＋y≤0C．x－y≤0 D．x－y≥0√(1)D

(2)B

[(1)由y＝1.01x在R上單調遞增，則a＝1.010.5＜b＝1.010.6，由y＝x0.5在[0，＋∞)上單調遞增，則a＝1.010.5＞c＝0.60.5.所以b＞a＞c.故選D.(2)設函數f(x)＝2x－5－x，易知f(x)為增函數．又f(－y)＝2－y－5y，由已知得f(x)≤f(－y)，所以x≤－y，所以x＋y≤0.故選B.]

解簡單的指數方程或不等式

指數函數性質的綜合應用[典例5]

(1)(2023·新高考Ⅰ卷)設函數f(x)＝2x(x－a)在區間(0,1)上單調遞減，則a的取值范圍是(

)A．(－∞，－2] B．[－2,0)C．(0,2] D．[2，＋∞)A．－2

B．－1C．1

D．2(3)若不等式4x－2x＋1＋a>0對任意x∈R都成立，則實數a的取值范圍是________.√√(1)D

(2)D

(3)(1，＋∞)(3)原不等式可化為a>－4x＋2x＋1對x∈R恒成立，令t＝2x，則t>0，所以y＝－4x＋2x＋1＝－t2＋2t＝－(t－1)2＋1≤1，當t＝1，即x＝0時，ymax＝1，所以a>1.]

(1)利用指數函數的性質比較大小或解方程、不等式，最重要的是“同底”原則，比較大小還可以借助中間量．(2)求解與指數函數有關的復合函數問題，要明確復合函數的構成，涉及值域、單調區間、最值等問題時，都要借助“同增異減”這一性質分析判斷．√A．aa＜ab＜ba B．aa＜ba＜abC．ab＜aa＜ba D．ab＜ba＜aaA．f(x)的定義域為(－∞，0)∪(0，＋∞)B．f(x)的值域為RC．當a＝1時，f(x)為奇函數

D．當a＝2時，f(－x)＋f(x)＝2√√√所以0＜a＜b＜1.當0＜a＜1時，指數函數y＝ax在R上是減函數，所以ab＜aa.當0＜a＜1時，冪函數y＝xa在[0，＋∞