第二章函數的概念與性質第1課時函數的概念及其表示[考試要求]

1.了解構成函數的要素，會求簡單函數的定義域和值域.2.在實際情景中，會根據不同的需要選擇恰當的方法(如圖象法、列表法、解析法)表示函數.3.了解簡單的分段函數，并能簡單應用.鏈接教材·夯基固本1．函數的概念概念一般地，設A，B是非空的_________，如果對于集合A中的____________，按照某種確定的對應關系f，在集合B中都有______確定的數y和它對應，那么就稱f：

A→B為從集合A到集合B的一個函數三要素對應關系y＝f(x)，x∈A定義域___的取值范圍值域與x的值相對應的y的值的集合____________實數集任意一個數x唯一x{f(x)|x∈A}2．同一個函數如果兩個函數的_________相同，并且____________完全一致，即相同的自變量對應的函數值也相同，那么這兩個函數為同一個函數．3．函數的表示法表示函數的常用方法：_________、_________、_________.提醒：與x軸垂直的直線和一個函數的圖象至多有1個交點．定義域對應關系解析法圖象法列表法4．分段函數(1)若函數在其定義域的不同子集上，因對應關系不同而分別用幾個不同的式子來表示，這種函數稱為分段函數．分段函數表示的是一個函數．(2)分段函數的定義域等于各段函數的定義域的并集，其值域等于各段函數的值域的______.并集[常用結論]1．注意以下幾個特殊函數的定義域：(1)分式型函數，分母不為零的實數集合．(2)偶次方根型函數，被開方式非負的實數集合．(3)f(x)的解析式為對數式時，函數的定義域是真數為正數、底數為正數且不為1的實數集合．(4)若f(x)＝x0，則f(x)的定義域為{x|x≠0}．2．基本初等函數的值域(1)y＝kx＋b(k≠0)的值域是R.(4)y＝ax(a>0且a≠1)的值域是(0，＋∞)．(5)y＝logax(a>0且a≠1)的值域是R.一、易錯易混辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)函數y＝1與y＝x0是同一個函數．(

)(2)對于函數f：A→B，其值域是集合B.(

)(3)函數y＝f(x)的圖象可以是一條封閉曲線．(

)(4)若兩個函數的定義域與值域相同，則這兩個函數是同一個函數．(

)××××A．16

B．4

C．5

D．－4A

[f(f(－1))＝f(2)＝16.故選A．]√2．(人教A版必修第一冊P69練習T2改編)函數f(x)＝|x－1|的圖象是(

)√3．(多選)(人教A版必修第一冊P72習題3.1T2改編)下列各組函數是同一個函數的是(

)A．f(x)＝x2－2x－1與g(s)＝s2－2s－1√√(－∞，0)∪(0，＋∞)

1

[要使函數f(x)有意義，必須使x≠0，故f(x)的定義域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．典例精研·核心考點考點一求函數的定義域√A．(1,5]

B．(1,2)∪(2,5)C．(1,2)∪(2,3] D．(1,3]

求函數的定義域的策略(1)求給定函數的定義域：由函數解析式列出使解析式有意義的不等式(組)，求解．(2)求抽象函數的定義域：①若f(x)的定義域為[m，n]，則在f(g(x))中，由m≤g(x)≤n解得x的取值范圍即為f(g(x))的定義域．②若f(g(x))的定義域為[m，n]，則由m≤x≤n得到g(x)的取值范圍，即為f(x)的定義域．[跟進訓練]1．(1)已知函數y＝f(x＋1)的定義域是[－2,3]，則y＝f(2x－1)的定義域是(

)√√(1)A

(2)D

[(1)因為函數y＝f(x＋1)的定義域為[－2,3]，所以x∈[－2,3]，則x＋1∈[－1,4]，即函數f(x)的定義域為[－1,4]，(2)由題意知，ax2－4ax＋2＞0的解集為R.當a＝0時，2＞0恒成立，滿足題意；考點二求函數的解析式[典例2]求下列函數的解析式：(1)已知f(1－sinx)＝cos2x，求f(x)的解析式；(3)已知f(x)是二次函數且f(0)＝2，f(x＋1)－f(x)＝x－1，求f(x)的解析式；(4)已知f(x)滿足2f(x)＋f(－x)＝3x，求f(x)的解析式．解：(1)(換元法)設1－sinx＝t，t∈[0,2]，則sinx＝1－t.因為f(1－sinx)＝cos2x＝1－sin2x，所以f(t)＝1－(1－t)2＝2t－t2，t∈[0,2]．即f(x)＝2x－x2，x∈[0,2]．當且僅當x＝－1時取等號，所以f(t)＝t2－2，t∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)，所以f(x)＝x2－2,x∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)．(3)(待定系數法)設f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由f(0)＝2，得c＝2，f(x＋1)－f(x)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋2－ax2－bx－2＝x－1，即2ax＋a＋b＝x－1，(4)(解方程組法)因為2f(x)＋f(－x)＝3x，①所以將x用－x替換，得2f(－x)＋f(x)＝－3x，②由①②解得f(x)＝3x.

求函數解析式的常用方法(1)待定系數法：若已知函數的類型，可用待定系數法．(2)換元法：已知復合函數f(g(x))的解析式，可用換元法，此時要注意新元的取值范圍．(3)配湊法：由已知條件f(g(x))＝f(x)，可將f(x)改寫成關于g(x)的表達式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的解析式，注意g(x)的取值范圍．(3)設函數f(x)是單調遞增的一次函數，滿足f(f(x))＝16x＋5，則f(x)＝________.代入原式有f(t)＝(t－1)2－2(t－1)＝t2－4t＋3，所以f(x)＝x2－4x＋3(x≥1)．√考點三分段函數

求值問題(1)A

(2)2

[(1)由分段函數可知，當x≤0時，周期T＝1，所以f(－4)＝f(－4＋5)＝f(1)＝1－3－4＝－6，所以f(f(－4))＝f(－6)＝f(－6＋7)＝f(1)＝－6.故選A．

√

解方程或不等式

分段函數的幾類題型及解決方法(1)若分段函數中含有參數，則直接根據條件選擇相應區間上的解析式代入求參．(2)若是求自變量的值，則需要結合分段區間的范圍對自變量進行分類討論，再求值．(3)涉及與分段函數有關的不等式問題，主要表現為解不等式，當自變量取值不確定時，往往要分類討論求解；當自變量取值確定，但分段函數中含有參數時，只需依據自變量的情況，直接代入相應解析式求解．√(1)D

(2)－2或5

[－3，－1)∪[4，＋∞)[(1)令f(a)＝t，則f(t)＝2，可得t＝0或t＝1，當t＝0，即f(a)＝0時，顯然a≤0，因此a＋2＝0?a＝－2