第02講空間向量的數量積運算目錄TOC\o"1-2"\h\u第02講空間向量的數量積運算 1一、空間向量的夾角與數量積 2基礎知識 2考點1計算空間向量數量積 3考點2計算空間向量的夾角 5考點3由空間向量的數量積求模 7考點4向量垂直的應用 9二、向量的投影 12基礎知識 12考點5求解投影向量 12考點6向量數量積的應用 14三、課后作業 18單選題 18多選題 22填空題 23解答題 24

一、空間向量的夾角與數量積基礎知識1．空間向量的夾角(1)定義：已知兩個非零向量a，b，在空間任取一點O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，則∠AOB叫做向量a，b的夾角，記作〈a，b〉．(2)范圍：0≤〈a，b〉≤π.特別地，當〈a，b〉＝eq\f(π,2)時，a⊥b.2．空間向量的數量積定義已知兩個非零向量a，b，則|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的數量積，記作a·b.即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．規定：零向量與任何向量的數量積都為0.性質①a⊥b?a·b＝0②a·a＝a2＝|a|2運算律①(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R.②a·b＝b·a(交換律)．③a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律).3．空間向量夾角的計算求兩個向量的夾角：利用公式＝求，進而確定．4．空間向量數量積的計算求空間向量數量積的步驟：(1)將各向量分解成已知模和夾角的向量的組合形式．(2)利用向量的運算律將數量積展開，轉化為已知模和夾角的向量的數量積．(3)代入求解．考點1計算空間向量數量積【例1.1】（23-24高二上·天津靜海·階段練習）已知向量a和b的夾角為120°，且a=2，b=5，則(2aA．12 B．8+13 C．4 【解題思路】根據空間數量積的運算性質求解．【解答過程】(2a故選：D．【例1.2】（23-24高二上·山東威海·階段練習）在正四面體P?ABC中，棱長為2，且E是棱AB中點，則PE?BC的值為（A．?1 B．1 C．3 D．7【解題思路】利用正四面體的性質，結合空間向量數量積的運算法則即可得解.【解答過程】將正四面體P?ABC放在正方體中，如圖，

因為在正四面體P?ABC中，棱長為2，PA,PB,所以PA?PC因為E是棱AB中點，所以PE=又BC=所以PE=1故選：A.【變式1.1】（23-24高二上·廣東河源·期末）如圖，在正三棱錐P?ABC中，高PO=6，AB=33，點E,F分別為PB,PC的中點，則OE?OFA．634 B．638 C．214【解題思路】根據題意，求得EF=332【解答過程】在等邊△ABC中，因為AB=33，可得△ABC的高為?=3所以OC=2在直角△POC中，可得PA=PB=PC=P又因為E,F分別為PB,PC的中點，可得EF=3在△OEF中，可得cos∠EOF=所以OE?故選：B.【變式1.2】（2024·江西贛州·二模）已知球O內切于正四棱錐P?ABCD，PA=AB=2，EF是球O的一條直徑，點Q為正四棱錐表面上的點，則QE?QF的取值范圍為（A．[0,2] B．[4?23,2] C．[0,4?3【解題思路】根據給定條件，利用體積法求出球O半徑，再利用向量數量積的運算律計算即得.【解答過程】令H是正四棱錐P?ABCD底面正方形中心，則PH⊥平面ABCD，而AH=2則PH=PA2?AH正四棱錐P?ABCD的表面積S=4×3顯然球O的球心O在線段PH上，設球半徑為r，則V=13Sr在△POA中，∠PAO<45°=∠APO，于是OA>OP，又EF因此QE?顯然OH≤QO≤AO，則(QE?QF所以QE?QF的取值范圍為故選：A.考點2計算空間向量的夾角【例2.1】（23-24高二上·山東煙臺·期中）已知空間向量a，b，c滿足a=2，b=3，c=7且a+b+A．30° B．60° C．120° D．150°【解題思路】由c=?(a+b)，利用向量數量積的運算律有c【解答過程】由題設c=?(a+所以cosa,b=?12，又故選：C.【例2.2】（23-24高二·全國·課后作業）已知空間向量a+b+c=A．12 B．13 C．?1【解題思路】由條件可知c=?a+【解答過程】因為a+b+c=所以c2=a所以cosa故選：D.【變式2.1】（23-24高二下·江蘇連云港·期中）已知平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，AAA．23 B．?23 C．3【解題思路】利用向量的線性運算法則和數量積的性質化簡條件可求AA【解答過程】因為A=所以AAcosA故選：B.【變式2.2】（23-24高二上·北京順義·階段練習）如圖，在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，AB=AD=AA

A．?33 B．63 C．?【解題思路】由線段的位置關系及向量加減的幾何意義有BD1=AD+AA【解答過程】由BD1=所以AC?又AB=AD=AA1=1所以AC?BD|=1+1+1+綜上，直線BD1與直線AC所成角的余弦值為故選：D.考點3由空間向量的數量積求模【例3.1】（23-24高二上·新疆和田·期中）已知a、b、c均為單位向量，a,b=b,c=A．4 B．2 C．2 D．3【解題思路】利用空間向量數量積的定義與運算性質可求得a?【解答過程】因為a、b、c均為單位向量，a,b=由空間向量數量積的定義可得a?b=所以，a?因此，a?故選：C.【例3.2】（23-24高二上·江蘇鹽城·期末）已知ABCD?A1B1C1D1是平行六面體，AB=AD=AAA．25 B．20 C．5 D．【解題思路】利用向量加法和數量積求解即可.【解答過程】由題意可得A=4+4+4+22×2×所以AC故選：A.【變式3.1】（23-24高二上·天津濱海新·期中）在平行六面體ABCD?A1B1C1DA．12 B．23 C．6 D．【解題思路】建基底，把BD1用基底表示，然后平方，即可求出【解答過程】根據條件，以BA，BC，BB因為BD所以BD即BD所以BD因為AB=BC=BB所以BD所以BD故選：D.【變式3.2】（23-24高二上·安徽·階段練習）在棱長為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中，A．6 B．26 C．3 D．【解題思路】應用向量加法法則得到GF+GH+2【解答過程】由題設，易知△EFH是邊長為2的正三角形，

所以GF=2+2×故選：A.考點4向量垂直的應用【例4.1】（23-24高二上·山西朔州·期末）如圖，PA⊥面ABCD,ABCD為矩形，連接AC、BD、PB、PC、PD，下面各組向量中，數量積不一定為零的是（

）

A．PC與BD B．PB與DAC．PD與AB D．PA與CD【解題思路】根據線線垂直、線面垂直的知識確定正確答案.【解答過程】由于PA⊥平面ABCD，AB,CD,AD?平面ABCD，所以PA⊥AB,PA⊥CD,PA⊥AD，則PA與CD垂直，D選項錯誤.由于AB⊥AD,PA∩AD=A,PA,AD?平面PAD，所以AB⊥平面PAD，由于PD?平面PAD，所以AB⊥PD，所以PD與AB垂直，C選項錯誤.由于AD⊥AB,AB∩PA=A,AB,PA?平面PAB，所以AD⊥平面PAB，由于PB?平面PAB，所以AD⊥PB，所以PB與DA垂直，B選項錯誤.由于BD與AC不一定垂直，AC是PC在平面ABCD內的射影，所以BD與PC不一定垂直，即PC與BD的數量積不一定為0，A選項正確.故選：A.【例4.2】（23-24高二上·全國·課后作業）已知a，b是異面直線，a⊥b，e1，e2分別為取自直線a，b上的單位向量，且m=2e1+3eA．?6 B．6 C．3 D．?3【解題思路】由m⊥n，可得m?n=0，再將m【解答過程】因為a，b是異面直線，a⊥b，e1，e2分別為取自直線所以e1⊥e因為m⊥n，所以m?所以2ke12?8e故選：B.【變式4.1】（23-24高二·全國·課后作業）已知空間向量a，b，a=1，b=2，且a?b與a垂直，則aA．60° B．30° C．135°【解題思路】根據已知可得a?b?【解答過程】因為a?b與a垂直，所以即a2所以cosa又0°≤a故選：D.【變式4.2】（23-24高二上·山東·階段練習）如圖，在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，AB=AD，

A．1 B．12 C．23 【解題思路】設AB=a,AD=b,AA1=【解答過程】設AB=a,因為∠BAD=∠BAA1=∠DA可得A1C=又因為A1C⊥BC1，可得即2n2?mn?3解得nm=32或nm故選：D.

二、向量的投影基礎知識1．向量的投影(1)如圖(1)，在空間，向量a向向量b投影，由于它們是自由向量，因此可以先將它們平移到同一個平面α內，進而利用平面上向量的投影，得到與向量b共線的向量c，c＝|a|cos〈a，b〉eq\f(b,|b|)，向量c稱為向量a在向量b上的投影向量．類似地，可以將向量a向直線l投影(如圖(2))．(2)如圖(3)，向量a向平面β投影，就是分別由向量a的起點A和終點B作平面β的垂線，垂足分別為A′，B′，得到eq\o(A′B′,\s\up6(———→))，向量eq\o(A′B′,\s\up6(———→))稱為向量a在平面β上的投影向量．這時，向量a，eq\o(A′B′,\s\up6(———→))的夾角就是向量a所在直線與平面β所成的角．考點5求解投影向量【例1.1】（23-24高二上·河北唐山·期中）在空間四邊形ABCD中，∠ABD=∠BDC=90°,AC=2BD，則BD在AC上的投影向量為（

）A．12AC B．14AC C．【解題思路】在四面體中，用向量加法法則表示AC，再結合投影向量的計算方法求解.【解答過程】在四面體中，因為∠ABD=∠BDC=90°,AC=2BD，設AC=2,BD=1，且AB?BD=則AC?BD在AC上的投影向量為BD?故選：B.【例1.2】（23-24高二上·遼寧營口·期末）已知a=4，空間向量e為單位向量，a,e=2π3，則空間向量A．2 B．?2 C．?12 【解題思路】由空間向量a在向量e方向上的投影為a?【解答過程】由題意，|a|=4，|e則空間向量a在向量e方向上的投影為a?故選：B.【變式1.1】（22-23高二下·安徽合肥·開學考試）已知空間向量a=13，b=5，且a與b夾角的余弦值為?91365，則A．?91313b B．91313【解題思路】根據題意和投影向量的概念計算即可求解.【解答過程】∵a=13，b=5，a與b∴a在b上的投影向量為a?故選：D．【變式1.2】（23-24高二上·安徽合肥·期中）若空間向量e1，e2滿足e1A．3 B．0 C．?332【解題思路】設向量e1,e2的夾角為θ，根據題意，求得cosθ=?e2【解答過程】因為e1=2e1所以e22+4解得cosθ=?所以e1在e2=?22716=?33所以e1在e2方向上的投影的最大值為故選：C.考點6向量數量積的應用【例2.1】（23-24高二上·江西·期末）已知A，B，C，P為空間內不共線的四點，G為△ABC的重心．(1)證明：PA+(2)若向量PA，PB，PC的模長均為2，且兩兩夾角為π3，求PG【解題思路】（1）利用三角形重心的向量表示及向量運算可證結論；（2）利用向量模長的公式可求答案.【解答過程】（1）證明：因為G是△ABC的重心，所以GA+則GP+即PA+（2）由（1）得PG=所以PG2=22×3+2×3×2×2×【例2.2】（23-24高二上·重慶長壽·期末）如圖，在平行六面體ABCD?A′B′C′D′中，底面ABCD是邊長為(1)AC(2)直線BD′與【解題思路】（1）根據空間向量的運算，表示出AC（2）選定基底表示BD′,AC，求出向量BD′,【解答過程】（1）由題意得AC所以A===2（2）B所以B==2AC=AB+B=?1故cos?由于異面直線所成角的范圍為大于0°小于等于90所以直線BD′與AC所成角的余弦值為【變式2.1】（23-24高二上·浙江杭州·期中）已知a,b,c是空間中的三個單位向量,且a⊥b,a,(1)求MB;(2)求MB和OA夾角的余弦值.【解題思路】利用空間向量的數量積公式計算即可.【解答過程】（1）由已知可得MB=所以MB=（2）由OA=所以MB和OA夾角的余弦值為cosMB【變式2.2】（2023高二·全國·專題練習）如圖，正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長是(1)求CD(2)判斷AO與CD【解題思路】（1）根據數量積的定義直接計算即可；（2）計算AO與CD【解答過程】（1）正方體ABCD?A1B故CD（2）由題意，AB?AO?CD故AO與CD

三、課后作業單選題1．（23-24高二下·江蘇·課前預習）已知a=3p?2q,A．1 B．2C．3 D．4【解題思路】根據空間向量數量積公式計算出答案.【解答過程】p,q是相互垂直的單位向量，故故a?故選：A.2．（23-24高二下·四川涼山·期中）對于任意空間向量a，b，c，下列說法正確的是（

）A．若a//b且b//c，則C．若a?b=a?c，且【解題思路】根據數量積的運算律即可判斷BCD，根據向量共線的性質即可求解A.【解答過程】對于A，若b=0，則a//b且對于B，a?對于C，若a?b=a?c，且a≠對于D，a?bc表示與c共線的向量，而ab?c表示與故選：B.3．（23-24高二下·江蘇·課前預習）如圖，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AC=AB=AA1

A．30° B．45°C．60° D．90°【解題思路】由線面垂直推導出線線垂直，再利用向量運算及夾角公式運算求解.【解答過程】∵A1A⊥平面ABC，AB?平面ABC，AC?平面∴A1∵AC=AB=2，BC=2，∴A又BC=2AE=2，∴E為BC的中點，∴AE=∵AC=AA1=∵AE∴cosAE,A又0°≤AE故選：C.4．（23-24高二上·廣東茂名·期末）如圖，正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為1，設AB=

A．1 B．?1 C．0 D．2【解題思路】根據垂直關系結合空間向量的數量積分析求解.【解答過程】由題意可知：a=所以a+故選：A.5．（23-24高二上·江西萍鄉·期末）已知a，b，c是空間中兩兩垂直的單位向量，則3a+bA．14 B．14 C．2 D．2【解題思路】利用空間向量數量積的性質即可求解.【解答過程】依題意得，a=b=所以3a故選：A.6．（23-24高二上·湖南益陽·期末）已知空間向量a+b+c=A．3 B．13 C．21 D．21【解題思路】由題意結合空間向量的模長公式、數量積公式運算即可得解.【解答過程】由題意c=?a+所以c=故選：C.7．（23-24高二上·甘肅隴南·期末）已知a=2i?2j+λk，b=4i?j+5k（A．?1 B．1 C．?2 D．2【解題思路】利用向量的數量積的運算得到方程，解方程即可.【解答過程】a?b∵i，j，k為兩兩互相垂直的單位向量，∴i2=1，j2=1，k2=1，∴a?∵a⊥b，∴a?解得λ=?2，故選：C.8．（23-24高三下·北京·開學考試）正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為1，動點M在線段CC1上，動點P在平面A．1,2 B．62,3 C．【解題思路】根據題意，建立空間直角坐標系，結合空間向量的坐標運算，代入計算，即可得到結果.【解答過程】以D為坐標原點，以DA,DC,建立如圖所示的空間直角坐標系，設Pa,b,1，M則A1,0,0,B1,1,0因為AP⊥平面MBD1，所以即AP?BD所以AP=t,1?t,1，所以又0≤t≤1，所以當t=12時，即M是CC1的中點時，當t=0或1，即M與點C或C1重合時，AP取得最大值2所以線段AP長度的取值范圍為62故選：C.多選題9．（23-24高二下·江蘇常州·階段練習）在正方體ABCD－A1A．AB．AC．AD．正方體ABCD?A1【解題思路】根據空間向量運算、夾角、體積等知識對選項進行分析，從而確定正確答案.【解答過程】設正方體的棱長為a，A選項，A=3aB選項，A==ABC選項，由于三角形AB1DD選項，AB?故選：ABC.10．（23-24高二上·河北滄州·期末）在棱長為2的正四面體A-BCD中，E，F分別是AD，BC的中點，G是△BCD的重心，則下列結論正確的是（

）A．AB?CD=0C．EF在AB上的投影向量為13AB 【解題思路】取DC的中點M，根據CD⊥平面ABM判斷A；取BD的中點H，AB?【解答過程】如圖，取DC的中點M，連接AM，BM，∵AM⊥CD，BM⊥CD，AM∩BM=M,AM,BM?平面ABM，∴CD⊥平面ABM，AB?平面ABM，∴CD⊥AB，故A正確；取BD的中點H，連接HE，HF，則HE//AB,HE=12AB∴HE⊥FH，即∠FHE=90°，又HE=FH=1，∴∠HEF=45°，EF=2∴AB?EF=2由B知，EF在AB上的投影向量為EH=EG=EA+故選：AB．填空題11．（23-24高二下·云南保山·開學考試）已知a,b是兩個空間向量，若|a|=2,|b|=2，|a【解題思路】將|a?b【解答過程】由題意得|a|=2,|b則|a?b|則cos?故答案為：1812．（23-24高二下·上海·期中）如圖，圓柱O1O2的底面半徑為2，高為5,A,B分別是上、下底面圓周上的兩個點，若O1A⊥O【解題思路】由AB=【解答過程】解：因為O1所以O1又因為圓柱O1O2且AB=所以AB2=A=2所以AB=故答案為：33.解答題13．（23-24高二下·江蘇·課前預習）已知正四面體O