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數學十四章題目及答案一、選擇題1.若函數f(x)在區間[a,b]上連續，則下列說法正確的是（）。A.f(x)在[a,b]上必有最大值和最小值B.f(x)在[a,b]上必有最大值，但不一定有最小值C.f(x)在[a,b]上必有最小值，但不一定有最大值D.f(x)在[a,b]上不一定有最大值和最小值答案：A2.函數y=x^3-3x+1的極值點是（）。A.x=1B.x=-1C.x=0D.x=2答案：A3.函數y=x^2+2x+1在區間[-3,1]上的最小值是（）。A.0B.1C.2D.3答案：B二、填空題4.函數y=x^2-4x+3在區間[1,3]上的最大值是_________。答案：35.函數y=x^3-6x^2+9x+1的極值點為_________。答案：x=1,x=36.函數y=x^4-4x^3+4x^2+1在區間[0,2]上的最小值是_________。答案：1三、解答題7.證明：函數f(x)=x^3-3x在區間(-∞,+∞)上是增函數。證明：首先求導數：f'(x)=3x^2-3。當x>1或x<-1時，f'(x)>0，說明f(x)在區間(-∞,-1)和(1,+∞)上是增函數。當-1<x<1時，f'(x)<0，說明f(x)在區間(-1,1)上是減函數。綜上，函數f(x)=x^3-3x在區間(-∞,+∞)上是增函數。8.求函數y=x^2-4x+3在區間[0,3]上的最大值和最小值。解：首先求導數：y'=2x-4。令y'=0，解得x=2，即極值點為x=2。當x=0時，y=3；當x=2時，y=-1；當x=3時，y=0。所以函數y=x^2-4x+3在區間[0,3]上的最大值為3，最小值為-1。9.求函數y=x^3-6x^2+9x+1的極值點和極值。解：首先求導數：y'=3x^2-12x+9。令y'=0，解得x=1,x=3，即極值點為x=1和x=3。當x=1時，y=-3；當x=3時，y=1。所以函數y=x^3-6x^2+9x+1的極大值為1，極小值為-3。四、應用題10.某工廠生產一種產品，其成本函數為C(x)=0.5x^2+10x+100，其中x為產量。求該工廠生產該產品的最大利潤。解：設利潤函數為P(x)=R(x)-C(x)，其中R(x)為收入函數。假設每件產品售價為20元，則R(x)=20x。所以P(x)=20x-(0.5x^2+10x+100)=-0.5x^2+10x-100。求導數：P'(x)=-x+10。令P'(x)=0，解得x=10。當x=10時，P(x)取得最大值，最大利潤為P(10)=50元。以上就是數學第十四章的題目及答案，包括選擇題、填空題、解答題和應用

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