從本章開始將討論三種熱量傳遞方式的基本規律。分析傳熱問題基本上是遵循經典力學的研究方法，即針對物理現象建立物理模型，而后從基本定律導的理論分析方法。采用這種理論方法，我們就能夠達到預測傳熱系統的溫度分熱傳導問題是傳熱學中最易于采用上述方法處理的熱傳遞方式。因此，在這一章中我們能夠針對熱傳導系統利用能量守恒定律和傅立葉定律建立起相應問題的關鍵之一是得到所討論對象的溫度場，由溫度場進而可以得到某一點的溫度場是個數量場，可以用一個數量函數來表示。一般說，溫度場是空間t=f(x,y,z,τ)(2-1)依照溫度分布是否隨時間而變，可將溫度場分為穩態溫度場和非穩態溫度場。穩態溫度場指穩態情況下的溫度場，這時物體中各點溫度不隨時間改變，t=f(x,y,z)非穩態溫度場是指變動工作條件下的溫度場，這時物體中各點溫度分布隨時間改變。非穩態溫度場中的導熱稱為非穩態導熱，其溫度對時間的偏導數不x同一瞬間溫度場中溫度相同的點連成的線或面稱為等溫線或等溫面。在三維情況下可以畫出物體中的等溫面，而等溫面上的任何一條線都是等溫線。在二維情況下等溫面則變為等溫曲線。x由于同一時刻物體中任一點不可能具有兩個溫度值，因此不同的等溫線或等溫面不可能相交。等溫線要么形成一個封閉的曲線，要么終止溫度的變化率沿不同的方向一般是不同的，如圖2-1所示。溫度沿某一的變化率在數學上可以用該方向上溫度對坐標的偏在各個不同方向的溫度變化率中，有一個方向的變化率是最大的，這個方向是等溫線或等溫面的法線方向。在數學上用矢量—梯度來表示這個方向的變溫度梯度是矢量,其方向為沿等溫面的法線指 其中分別為溫度對x,y,z方向的偏導數；i,j,k分別為x,y,z方▽(2-5)gradt=▽t由第一章可知，當物體內部存在溫度梯度時，能量就會通過熱傳導從溫度高的區域傳遞到溫度低的區域。熱流密度定義為單位時間通過單位面積的熱流度變化率成正比。熱流密度也是矢量，其方向指向溫度降低的方向，因而和溫由于熱流密度方向與等溫線的法線方向總是處在同一條直線上，故熱流線和等溫線是相互正交的。應該指出，如上形式的傅里葉定律只適用于各向同性材料，這時，不同方向上的導熱系數是相同的。而對各向異性材料，導熱系數隨選定的方向不同而不同。各向異性材料中的傅里葉定律導熱系數（即熱導率）是出現在傅里葉定律中的比例常數，它表示物質導絕大多數材料的導熱系數都是根據上式平板的熱流量與平板兩側溫度和平板厚度之Φt1t2δx若通過實驗測出了流過平板的熱流量、平板兩側溫度和平板厚度，則材料從微觀角度看，氣體導熱、固體導熱和液體導熱在機理上是不同的。按照熱力學的觀點，溫度是物體微觀粒子平均動能大小的標志，溫度愈高，微觀粒子的平均動能愈大。當物體內部或相互接觸的物體表面之間存在溫差時，高溫處的微觀粒子就會通過運動（位移、振動）或碰撞將熱量傳向低溫處。例如氣體中分子、原子的不規則熱運動或碰撞；金屬中自由電子的運動；非金屬中晶格的振動等等。所以，氣體導熱是分子不規則熱運動時相互碰撞的結果。固體導熱可分為導電固體和非導電固體兩種情況。對導電固體，自由電子在晶格之間像氣體分子那樣運動而傳遞能量。對于非導電固體，能量的傳遞依賴于晶格結構的振動，即原子、分子在平衡位置附近的振動。液體的導熱機理在定性上類似于氣體，但比氣體的情況要復雜得多，這時分子的距離更近，分子力場對碰撞引起的能量傳遞有強烈的影響。也有的觀點認為液體導熱的機理類似于非導熱系數是物質的固有特性之一。影響導熱系數因素主要有物質的種類， 物質所處的溫度和壓力，與材料的幾何形狀沒有關系。在—般工程應用的壓力4]，工程上常用材料在特定溫度下的熱導系數見書后附錄。特殊材料或者特殊一般說來，金屬材料的導熱系數比非金屬的導熱系數要大得多。導電性能的導熱系數大于其合金的導熱系數。這主要是由于合金中的雜質(或其它金屬)破壞了晶格的結構,并且阻礙自由電子的運動；例如，純銅在20℃溫度下的導圖2-3所示是一些物質的導材料的導熱系數對溫度的依變關式中λ0為材料在0℃下的導導熱系數小于某一界定值的材料稱為保溫材料或絕熱材料或時導熱系數小于0.12W/(m由前面的分析可知，若知道了溫度梯度，就可以由傅里葉定律求出熱流密度。故獲得溫度場是求解導熱問題的關鍵。導熱微分方程是用數學方法描述導熱溫度場的一般性規律的方程，很多問題都可以通過求解微分方程而得到有效將熱力學基本定律—能量守恒定律和導熱基本定律—傅里葉定律應用于微元控制體，可建立導熱微分方程。為了使分析簡化,內熱源強度（即單位時間、單位.體積的生成熱）記作Φ,單位為參考圖2-4所示的微元平行dΦin+dQ=dΦout+dU(2-1dΦin=dΦx+dΦy+dΦzdΦout=dΦx+dx+dΦy+dy+dΦz+dz(2-14) 這是導熱微分方程的一般形式。等號左邊是單位時間內微元體熱力學能的增量，通常稱為非穩態項；右邊的前三項是擴散項，是由導熱引起，最后一項a值可由較大的λ值或較小的ρc值得到。λ越大，單位溫度梯度導入的熱量就▽(2-23)式中,▽2是拉普拉斯算子,在直角坐標系中z)比較方便,如圖2-5所示。采用和直角坐標系相同的方法, zt(r,?,z)xyxx?r?zrrθyy??上面導出的導熱微分方程是描寫物體的溫度隨空間坐標及時間變化的一般性關系式，它是在一定的假設條件下根據微元體在導熱過程中的能量守恒和傅了導熱微分方程之外,還必須說明導熱過程的具體特點,即給出導熱微分方程的單值性條件或定解條件，使導熱微分方程具有唯一解。如必須給出所討論對象的幾何形狀和尺寸，物性參數等條件。更重要的是，定解條件必須給出時間條件和邊界條件。導熱微分方程與定解條件一起構成了具體導熱過程的數學描時間條件用來說明導熱過程進行的時間上的特點,例如是穩態導熱還是非穩態導熱。對于非穩態導熱過程，必須給出過程開始時物體內部的溫度分布規T?τ=0=f(x,y,z)(2-30)邊界條件用來說明導熱物體邊界上的熱狀態以及與周圍環境之間的相互作用,例如,邊界上的溫度、熱流密度分布以及物體通過邊界與周圍環境之間的熱tw=f(x,y,z,τ)(2-31)tw=f(x,y,z,τ)(2-32)應該等于從邊界面傳給周圍流體的熱流密度，于是由傅里葉定律和牛頓冷卻公該式建立了物體內部溫度在邊界處的變化率與邊界處表面對流傳熱 從第三類邊界條件表達式可以看出,在一定的情況下,第三類邊界條件將已知的流體溫度，tw≈tf,這時第三類邊界條邊界處除了對流換熱還存在與周圍環境之間的輻射換熱,則由物體邊界面的熱界面和周圍環境溫度的四次方有關，此外，還與物體邊界面與周圍環境的輻射特性有關，所以上式是溫度的復雜函數。這種對流換熱與輻射換熱疊加的復合換熱邊界條件是非線性的邊界條件。本書主要討論具有線性邊界條件的導熱問綜上所述，對一個具體導熱過程完整的數學描述，應該包括導熱微分方程和定解條件兩個方面。在建立數學模型的過程中，應該根據導熱過程的特點，進行合理的簡化，力求能夠比較真實地描述所研究的導熱問題。對數學模型進行求解,就可以得到物體的溫度場,進而根據傅里葉定律就可以確定相應的熱數值解法和實驗方法，這也是求解所有傳熱學問題的三種基本方法。本章主要現在討論第一類邊界條件下通過大平壁的導熱問題。當平壁的邊長比厚度大很多時，平壁的導熱可以近似地作為一維穩態導熱處理。已知平平壁的溫度分布和通過平壁的熱流密度。假設導t1δxc2=t1由此可知，平壁中的溫度分布是線性的，溫度梯度為常數，表明熱流密度)只要任意知道三個就可以求出第四個。由此可設計穩態法測量導熱系數的實驗。在穩態情況下采用平壁法測量導熱系數時，對于已知截面積A和厚度δ的平壁，需量這一溫差Δt和通過平壁的熱流量Φ,由式(2-38)可得出材料的導熱系數為： 在日常生活與工程上,經常遇到由幾層不同材料組成的多層平壁,例如,房用于隔熱的夾氣層或保溫層以及普通磚砌的外墻構成,大型鍋爐還外包一層鋼板。當這種多層平壁的表面溫度均勻不變時，其導熱也是一維穩態導熱。有了熱阻概念，就可以很方便地計算多層平壁的導熱，每一層可當作一個熱阻，若t1t2t3t1t2t3t4t1上面的討論假定導熱系數是常數。若導熱系數是溫度的線性函數，即 上面在分析多層平壁的導熱時，都假設層與層之間接觸非常緊密，相互接觸的表面具有相同的溫度。實際上，無論固體表面看上去多么光滑，都不是一個理想的平整表面，總存在一定的粗糙度。實際的兩個固體表面之間不可能完全接觸，只能是局部的、甚至存在點接觸，如圖2-由于氣體的熱導率遠遠小于固體,就會對兩個固體間的導熱過程產生附加熱阻Rc，稱之為接觸熱阻。由于接觸熱阻的存在，使導熱過程中兩個接觸表面之間Δt=ΦR就愈大。對于高熱流密度場合，接觸熱阻的影響不容忽視，例如大功率可控硅元件，熱流密阻產生較大的溫差，影響可控硅元件的散熱，(1)相互接觸的物體表面的粗糙度：粗糙(2)相互接觸的物體表面的硬度：在其它條件相同的情況下，兩個都比較堅硬的表面之間接觸面積較小，因此接觸熱阻較大，而兩個硬度較小或者一個(3)相互接觸的物體表面之間的壓力：顯然，加大壓力會使兩個物體直接在工程上，為了減小接觸熱阻，除了盡可能拋光接觸表面、加大接觸壓力之外，有時在接觸表面之間加一層熱導率數大、硬度又很小的純銅箔或銀箔，由于接觸熱阻的影響因素非常復雜，至今仍無統一的規律可循，只能通過溫度t1=500℃,外壁溫度t2=50℃,求爐墻單位面積、單位時間的熱損失。W/(m.K)。如果測得冬季室內外玻璃表面溫度分別為15℃和5℃,試求玻璃窗的散熱損失，現在討論第一類邊界條件下通過圓筒壁的導熱問題。當圓筒的長度比半徑大很多時，圓筒壁的導熱也可以近似地作為沿半徑方向一維穩態導熱處理。參圓筒壁的熱流密度。采用圓柱坐標系，假設導熱系數λ為常數，由式(2-27)，穩 r=r2：t=t2由于不同半徑處圓筒有不同的截面積，從而通過圓筒壁的熱流密度在不同λW/(m.K)，管內壁面溫度為tw1=300℃,保溫層外壁面溫度為tw3=50℃。試求單位管長的散定律直接積分也可以得到相同的結一維問題的一個重要特點是熱流量x1x2x1x2x 或是所考慮溫度區間導熱系數的平均值。故最終得通過這一變截面物體的熱流量性函數時，可用平均溫度下的λ值作為平均值。若λ=λ0(1+bt)時：前面討論的都是無內熱源的一維穩態導熱問題。在工程應用中，也經常遇到有內熱源的導熱問題，如電流通過導體時的發熱、化工過程中的放熱和吸熱反應、反應堆中燃料元件的核反應熱等等。在有內熱源時，即使是一維穩態導熱，熱流量沿傳熱方向也是不斷變化的，微分方程中必hfhf.Φδδδxo將x=0的邊界條件代入上式可得c1=0。再將c1=由結果可知，具有均勻內熱源的平壁溫度分布為拋物線，上面我們分析的是第三類邊界條件下的結果，當h→∞時，tf→tw，這時第三類邊界條件變為第一類邊界條件。在式(2-54)中令h→∞和tf=tw可得 .r=R,t=tw.1r=r2,t=t2I2R=Φ=hπdL(tw-t∞) 如第一章所述，傳熱工程包含串聯著的三個環節常遇到其中一個對流環節熱阻較大，強化這個環節的加整個傳熱過程的傳熱量非常重要。由牛頓冷卻公式肋片是依附于基礎表面上的擴展表面。肋片能夠強化傳熱有兩個原因，一是擴展表面增加了傳熱面積，二是擴展表面的存在破壞了對流邊界層，增加了子整體軋制或纏繞、嵌套金屬薄片并經加工制成，加工的方法有焊接、浸鍍或肋片導熱和平壁及圓筒壁的導熱有很大的區別，其基本特征是在肋片伸展的方向上有表面的對流換熱及輻射換熱，因而熱流量沿傳遞方向不斷變化。另外，肋片表面的所傳遞的熱量都來自（或進入）肋片根部，即肋片與基礎表面的相交面。我們分析肋片導熱的目的是要得到肋片的溫度分布和通過肋片的熱 θ=c1emx+c2e?mx?t∞另一邊界條件取決于肋片端部x=H處的條件，有如下三種可能：θ=θ0e-mx(2-68)相比之下，第三情況假定肋片端部絕熱的結果最實用，得出的結果相對簡單。由于肋片端部面積較小，這一假定所帶來的誤差不大。先由邊界條件確定x=H：θ=c1emH-c2e-mH現在來計算肋片表面的傳熱量，從肋片的結構可知，由肋片表面散入外界 為了表征肋片散熱的有效程度，經常要用到肋效率的概念。肋效率ηf定義ηf= P=2+2δ≈2在上面的分析中假設肋端面的散熱量為零，這對于工程中采用的大多數薄而高的肋片來說，用上述公式進行計算已足夠精確。如果必須考慮肋端面的散想肋高H′=H+δ/2代替實際肋高H。 鋼板中心處x=l=L/2：故鋼板中心溫度為：t=22.39+20端點鑲嵌在套管的端部，如圖2-18所示。套管長材料的導熱系數λ=45W/(m.K)。已知熱電偶的指示溫度為200℃,套管根部的溫度t0=50℃,套管外表面與空氣之間對流換熱的表面傳熱系數為h=40W/(m2.K)。[解]由于熱電偶是鑲嵌在套管的端部，所以熱電偶指示不等于空氣的溫度，測溫誤差就是套管端部的過余溫度θH=tH?t∞。套管截面面積A=πdδ,套管換熱周長P=πt∞=216.9℃tH?t∞=?16.9℃熱系數。由于cosh(x)是增函數，mH越大，則測溫誤差越小。因此，要減小測溫誤前面一節我們分析了簡單的一維穩態導熱問題，對于多維穩態導熱問題，分析解法要困難得多，只有對少數幾何形狀、邊界條件簡單情況，才能獲得分析解，得出溫度分布和熱流密度等。對于多維導熱問題，有三種可能的求解方法，即分析解法、數值解法和形狀因子法。當無法得出分析解時，可采用數值解法，借助計算機求得問題的解。第三種方法是形狀因子法。本節我們先簡單介紹二維穩態導熱問題的分析解，然后介紹求解多維穩態導熱的形狀因子法。 yt=f(x)ybt1bt11t11axy=0:t=t1;y=b:t=t1+x=0:x=a:y=0:θ(x,y)=X(x)Y(y)