PAGE1-課后限時集訓(三十九)(建議用時：60分鐘)A組基礎達標一、選擇題1．(2024·長沙模擬)已知m，n是兩條不同的直線，α，β，γ是三個不同的平面，則下列命題中正確的是()A．m∥α，n∥α，則m∥nB．m∥n，m∥α，則n∥αC．m⊥α，m⊥β，則α∥βD．α⊥γ，β⊥γ，則α∥βC[對于A，平行于同一平面的兩條直線可能相交，平行或異面，故A不正確；對于B，m∥n，m∥α，則n∥α或nα，故B不正確；對于C，利用垂直于同始終線的兩個平面平行，可知C正確；對于D，因為垂直于同一平面的兩個平面的位置關系是相交或平行，故D不正確．]2．下列四個正方體圖形中，A，B為正方體的兩個頂點，M，N，P分別為其所在棱的中點，能得出AB∥平面MNP的圖形的序號是()A．①③B．②③C．①④ D．②④C[對于圖形①，平面MNP與AB所在的對角面平行，即可得到AB∥平面MNP；對于圖形④，AB∥PN，即可得到AB∥平面MNP；圖形②③無論用定義還是判定定理都無法證明線面平行．]3．若m，n表示不同的直線，α，β表示不同的平面，則下列結論中正確的是()A．若m∥α，m∥n，則n∥αB．若mα，nβ，m∥β，n∥α，則α∥βC．若α⊥β，m∥α，n∥β，則m∥nD．若α∥β，m∥α，n∥m，neq\o(?,/)β，則n∥βD[在A中，若m∥α，m∥n，則n∥α或nα，故A錯誤．在B中，若mα，nβ，m∥β，n∥α，則α與β相交或平行，故B錯誤．在C中，若α⊥β，m∥α，n∥β，則m與n相交、平行或異面，故C錯誤．在D中，若α∥β，m∥α，n∥m，neq\o(?,/)β，則由線面平行的判定定理得n∥β，故D正確．]4．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分別是A1B1，B1C1，BB1的中點，給出下列四個推斷：①FG∥平面AA1D1D；②EF∥平面BC1D1；③FG∥平面BC1D1；④平面EFG∥平面BC1D1.其中推斷正確的序號是()A．①③ B．①④C．②③ D．②④A[因為在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分別是A1B1，B1C1，BB1的中點，所以FG∥BC1，因為BC1∥AD1，所以FG∥AD1，因為FGeq\o(?,/)平面AA1D1D，AD1平面AA1D1D，所以FG∥平面AA1D1D，故①正確；因為EF∥A1C1，A1C1與平面BC1D1相交，所以EF與平面BC1D1相交，故②錯誤；因為E，F，G分別是A1B1，B1C1，BB1的中點，所以FG∥BC1，因為FGeq\o(?,/)平面BC1D1，BC1平面BC1D1，所以FG∥平面BC1D1，故③正確；因為EF與平面BC1D1相交，所以平面EFG與平面BC1D1相交，故④錯誤，故選A．]5．(2024·黃山模擬)E是正方體ABCD-A1B1C1D1的棱C1D1上的一點(不與端點重合)，BD1∥平面B1CE，則()A．BD1∥CEB．AC1⊥BD1C．D1E＝2EC1D．D1E＝EC1D[如圖，設B1C∩BC1＝O，可得平面D1BC1∩平面B1CE＝EO，∵BD1∥平面B1CE，依據線面平行的性質可得D1B∥EO，∵O為B1C的中點，∴E為C1D1中點，∴D1E＝EC1，故選D.]二、填空題6．棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，M是棱AA1的中點，過C，M，D1作正方體的截面，則截面的面積是________．eq\f(9,2)[由面面平行的性質知截面與平面AB1的交線MN是△AA1B的中位線，所以截面是梯形CD1MN，易求其面積為eq\f(9,2).]7．(2024·株洲模擬)如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H分別是棱CC1、C1D1、D1D、CD的中點，N是BC的中點，點M在四邊形EFGH及其內部運動，則M滿意________時，有MN∥平面B1BDD1.M∈FH[∵HN∥DB，FH∥D1D，∴平面FHN∥平面B1BDD1.∵點M在四邊形EFGH上及其內部運動，故M∈FH.]8．如圖，透亮塑料制成的長方體容器ABCD-A1B1C1D1內灌進一些水，固定容器底面一邊BC于地面上，再將容器傾斜，隨著傾斜度的不同，有下面四個命題：①沒有水的部分始終呈棱柱形；②水面EFGH所在四邊形的面積為定值；③棱A1D1始終與水面所在平面平行；④當容器傾斜如圖所示時，BE·BF是定值．其中正確的命題是________．①③④[由題圖，明顯①是正確的，②是錯誤的；對于③，因為A1D1∥BC，BC∥FG，所以A1D1∥FG且A1D1eq\o(?,/)平面EFGH，所以A1D1∥平面EFGH(水面)．所以③是正確的；對于④，因為水是定量的(定體積V)，所以S△BEF·BC＝V，即eq\f(1,2)BE·BF·BC＝V.所以BE·BF＝eq\f(2V,BC)(定值)，即④是正確的．]三、解答題9．(2024·合肥模擬)如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD是正方形，BF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，BF＝DE，M為棱AE的中點．(1)求證：平面BDM∥平面EFC；(2)若AB＝1，BF＝2，求三棱錐A-CEF的體積．[解](1)證明：如圖，設AC與BD交于點N，則N為AC的中點，連接MN，又M為棱AE的中點，∴MN∥EC．∵MNeq\o(?,/)平面EFC，EC平面EFC，∴MN∥平面EFC．∵BF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，且BF＝DE，∴BFeq\o(\s\do3(═),\s\up2(∥))DE，∴四邊形BDEF為平行四邊形，∴BD∥EF.∵BDeq\o(?,/)平面EFC，EF平面EFC，∴BD∥平面EFC．又MN∩BD＝N，∴平面BDM∥平面EFC．(2)連接EN，FN.在正方形ABCD中，AC⊥BD，又BF⊥平面ABCD，∴BF⊥AC．又BF∩BD＝B，∴AC⊥平面BDEF，又N是AC的中點，∴V三棱錐A-NEF＝V三棱錐C-NEF，∴V三棱錐A-CEF＝2V三棱錐A-NEF＝2×eq\f(1,3)×AN×S△NEF＝2×eq\f(1,3)×eq\f(\r(2),2)×eq\f(1,2)×eq\r(2)×2＝eq\f(2,3)，∴三棱錐A-CEF的體積為eq\f(2,3).10．在如圖所示的多面體中，四邊形ABB1A1和四邊形ACC1A1都為矩形．設D，E分別是線段BC，CC1的中點，在線段AB上是否存在一點M，使DE∥平面A1MC？請證明你的結論．[解]存在點M為線段AB的中點，使直線DE∥平面A1MC，證明如下：如圖，取線段AB的中點M，連接A1M，MC，A1C，AC1，設O為A1C與AC1的交點．由已知，O為AC1的中點．連接MD，OE，則MD，OE分別為△ABC，△ACC1的中位線，所以MDeq\o(\s\do3(═),\s\up2(∥))eq\f(1,2)AC，OEeq\o(\s\do3(═),\s\up2(∥))eq\f(1,2)AC，因此MDeq\o(\s\do3(═),\s\up2(∥))OE.連接OM，從而四邊形MDEO為平行四邊形，則DE∥MO.因為DEeq\o(?,/)平面A1MC，MO平面A1MC，所以DE∥平面A1MC．即線段AB上存在一點M(線段AB的中點)，使DE∥平面A1MC．B組實力提升1.在四面體ABCD中，截面PQMN是正方形，則在下列結論中，錯誤的是()A．AC⊥BDB．AC∥截面PQMNC．AC＝BDD．異面直線PM與BD所成的角為45°C[因為截面PQMN是正方形，所以MN∥PQ，則MN∥平面ABC，由線面平行的性質知MN∥AC，則AC∥截面PQMN，同理可得MQ∥BD，又MN⊥QM，則AC⊥BD，故A，B正確．又因為BD∥MQ，所以異面直線PM與BD所成的角等于PM與QM所成的角，即為45°，故D正確．]2．在如圖所示的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F分別為棱AB和棱AA1的中點，點M，N分別為線段D1E，C1F上的點，則與平面ABCD平行的直線MN有()A．多數條 B．2條C．1條 D．0條A[法一：取BB1的中點H，連接FH，則FH∥C1D1，連接HE，D1H，在D1E上任取一點M，取D1E的中點O，連接OH，在平面D1HE中，作MG平行于HO，交D1H于G，連接DE，取DE的中點K，連接KB，OK，則易證得OH∥KB.過G作GN∥FH，交C1F于點N，連接MN，由于GM∥HO，HO∥KB，KB平面ABCD，GMeq\o(?,/)平面ABCD，所以GM∥平面ABCD，同理，NG∥平面ABCD，又GM∩NG＝G，由面面平行的判定定理得，平面MNG∥平面ABCD，則MN∥平面ABCD.由于M為D1E上隨意一點，故與平面ABCD平行的直線MN有多數條．故選A．法二：因為直線D1E，C1F與平面ABCD都相交，所以只須要把平面ABCD向上平移，與線段D1E的交點為M，與線段C1F的交點為N，由面面平行的性質定理知MN∥平面ABCD，故有多數條直線MN∥平面ABCD，故選A．]3．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N，Q分別是棱D1C1，A1D1，BC的中點，點P在BD1上且BP＝eq\f(2,3)BD1.則以下四個說法：(1)MN∥平面APC；(2)C1Q∥平面APC；(3)A，P，M三點共線；(4)平面MNQ∥平面APC．其中說法正確的是________．(填序號)(2)(3)[(1)連接MN，AC，則MN∥AC，連接AM，CN，易得AM，CN交于點P，即MN平面PAC，所以MN∥平面APC是錯誤的；(2)由(1)知M，N在平面APC上，由題易知AN∥C1Q，所以C1Q∥平面APC是正確的；(3)由(1)知A，P，M三點共線是正確的；(4)由(1)知MN平面PAC，又MN平面MNQ，所以平面MNQ∥平面APC是錯誤的．]4．(2024·長沙模擬)如圖，在多面體ABCA1B1C1中，四邊形ABB1A1是正方形，△A1CB是等邊三角形，AC＝AB＝1，B1C1∥BC，BC＝2B1C1.(1)求證：AB1∥平面A1C1C；(2)求多面體ABCA1B1C1的體積．[解](1)證明：如圖，取BC的中點D，連接AD，B1D，C1D，∵B1C1∥BC，BC＝2B1C1，∴BD∥B1C1，BD＝B1C1，CD∥B1C1，CD＝B1C1，∴四邊形BDC1B1，CDB1C1是平行四邊形，∴C1D∥B1B，C1D＝B1B，CC1∥B1D，又B1Deq\o(?,/)平面A1C1C，C1C平面A1C1C，∴B1D∥平面A1C1C．在正方形ABB1A1中，BB1∥AA1，BB1＝AA1，∴C1D∥AA1，C1D＝AA1，∴四邊形ADC1A1為平行四邊形，∴AD∥A1C1.又ADeq\o(?,/)平面A1C1C，A1C1平面A1C1C，∴AD∥平面A1C1C，∵B1D∩AD＝D，∴平面ADB1∥平面A1C1C，又AB1平面ADB1，∴AB1∥平面A1C1C．(2)在正方形ABB1A1中，A1B＝eq\r(2)，∵△A1BC是等邊三角形，∴A1C＝BC＝eq\r(2)，∴AC2＋AAeq\o\al(2,1)＝A1C2，AB2＋AC2＝BC2，∴AA1⊥AC，AC⊥AB.又AA1⊥AB，∴AA1⊥平面ABC，∴AA1⊥CD，易得CD⊥AD，AD∩AA1＝A，∴CD⊥平面ADC1A1.易