PAGEPAGE1專題27直線、平面垂直的判定和性質一、考綱要求：1.以立體幾何的定義、公理和定理為動身點，相識和理解空間中線面垂直的有關性質與判定定理.2.能運用公理、定理和已獲得的結論證明一些空間圖形的垂直關系的簡潔命題．二、概念駕馭及解題上的留意點：1.證明直線和平面垂直的常用方法1）利用判定定理.2）利用判定定理的推論a∥b，a⊥α?b⊥α.3）利用面面平行的性質a⊥α，α∥β?a⊥β.4）利用面面垂直的性質.當兩個平面垂直時，在一個平面內垂直于交線的直線垂直于另一個平面.5）重視平面幾何學問，特殊是勾股定理的應用.2.面面垂直的兩種證明方法(1)定義法：利用面面垂直的定義，即判定兩平面所成的二面角為直二面角，將證明面面垂直問題轉化為證明平面角為直角的問題．(2)定理法：利用面面垂直的判定定理，即證明其中一個平面經過另一個平面的一條垂線，把問題轉化成證明線線垂直加以解決．3．三種垂直關系的轉化eq\x(線線垂直)eq\o(,\s\up7(判定),\s\do10(性質))eq\x(線面垂直)eq\o(,\s\up7(判定),\s\do10(性質))eq\x(面面垂直)4.平行與垂直的綜合應用問題的主要數學思想和處理策略1）處理平行與垂直的綜合問題的主要數學思想是轉化，要嫻熟駕馭線線、線面、面面之間的平行與垂直的轉化.2）探究性問題一般是先依據條件揣測點的位置再給出證明，探究點的存在問題，點多為中點或三等分點中的某一個，也可以依據相像學問找點.三、高考考題題例分析：例1.（2024課標卷I節選）如圖，四邊形ABCD為正方形，E，F分別為AD，BC的中點，以DF為折痕把△DFC折起，使點C到達點P的位置，且PF⊥BF．（1）證明：平面PEF⊥平面ABFD；（【答案】見解析例2.（2024課標II節選）如圖，在三棱錐P﹣ABC中，AB=BC=2，PA=PB=PC=AC=4，O為AC的中點．（1）證明：PO⊥平面ABC；【答案】見解析【解析】：（1）證明：∵AB=BC=2，O是AC的中點，∴BO⊥AC，且BO=2，又PA=PC=PB=AC=2，∴PO⊥AC，PO=2，則PB2=PO2+BO2，則PO⊥OB，∵OB∩AC=O，∴PO⊥平面ABC；例3.（2024課標卷III節選）如圖，邊長為2的正方形ABCD所在的平面與半圓弧所在平面垂直，M是上異于C，D的點．（1）證明：平面AMD⊥平面BMC；【答案】見解析例4.（2024北京卷節選）如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，D，E，F，G分別為AA1，AC，A1C1，BB1的中點，AB=BC=，AC=AA1=2．（Ⅰ）求證：AC⊥平面BEF；【答案】見解析【解析】（I）證明：∵E，F分別是AC，A1C1的中點，∴EF∥CC1，∵CC1⊥平面ABC，∴EF⊥平面ABC，又AC?平面ABC，∴EF⊥AC，∵AB=BC，E是AC的中點，∴BE⊥AC，又BE∩EF=E，BE?平面BEF，EF?平面BEF，∴AC⊥平面BEF．3．已知在空間四邊形ABCD中，AD⊥BC，AD⊥BD，且△BCD是銳角三角形，則必有()A．平面ABD⊥平面ADC B．平面ABD⊥平面ABCC．平面ADC⊥平面BDC D．平面ABC⊥平面BDC4．設a，b是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，則能得出a⊥b的是()A．a⊥α，b∥β，α⊥β B．a⊥α，b⊥β，α∥βC．a?α，b⊥β，α∥β D．a?α，b∥β，α⊥β【答案】C【解析】：選C對于C項，由α∥β，a?α可得a∥β，又b⊥β，得a⊥b，故選C．5.如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，P為△ABC所在平面外一點，PA⊥平面ABC，則四面體P-ABC中直角三角形的個數為()A．4 B．3C．2 D．1【答案】A【解析】：選A由PA⊥平面ABC可得△PAC，△PAB是直角三角形，且PA⊥BC．又∠ABC＝90°，所以△ABC是直角三角形，且BC⊥平面PAB，所以BC⊥PB，即△PBC為直角三角形，故四面體P-ABC中共有4個直角三角形．6．如圖，O為正方體ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD的中心，則下列直線中與B1O垂直的是()A．A1DB．AA1C．A1D1D．A1C1【答案】D【解析】易知AC⊥平面BB1D1D．∵A1C1∥AC，∴A1C1⊥平面BB1D1D．又B1O?平面BB1D1D，∴A1C1⊥B1O，故選D．7．設α，β為兩個不同的平面，直線l?α，則“l⊥β”是“α⊥β”成立的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件【答案】A8．已知m和n是兩條不同的直線，α和β是兩個不重合的平面，下面給出的條件中肯定能推出m⊥β的是()A．α⊥β且m?α B．α⊥β且m∥αC．m∥n且n⊥β D．m⊥n且n∥β【答案】C【解析】對于選項A，α⊥β且m?α，可得m∥β或m與β相交或m?β，故A不成立；對于選項B，α⊥β且m∥α，可得m?β或m∥β或m與β相交，故B不成立；對于選項C，m∥n且n⊥β，則m⊥β，故C正確；對于選項D，由m⊥n且n∥β，可得m∥β或m與β相交或m?β，故D不成立，故選C．9．設a，b是夾角為30°的異面直線，則滿意條件“a?α，b?β，且α⊥β”的平面α，β()A．不存在 B．有且只有一對C．有且只有兩對 D．有多數對【答案】D10．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為棱CD的中點，則()A．A1E⊥DC1 B．A1E⊥BDC．A1E⊥BC1 D．A1E⊥AC【答案】C【解析】如圖，∵A1E在平面ABCD上的投影為AE，而AE不與AC，BD垂直，∴B，D錯；∵A1E在平面BCC1B1上的投影為B1C，且B1C⊥BC1，∴A1E⊥BC1，故C正確；(證明：由條件易知，BC1⊥B1C，BC1⊥CE，又CE∩B1C＝C，∴BC1⊥平面CEA1B1.又A1E?平面CEA1B1，∴A1E⊥BC1)∵A1E在平面DCC1D1上的投影為D1E，而D1E不與DC1垂直，故A錯．故選C．11．如圖，在正方形ABCD中，E、F分別是BC、CD的中點，G是EF的中點，現在沿AE、AF及EF把這個正方形折成一個空間圖形，使B、C、D三點重合，重合后的點記為H，那么，在這個空間圖形中必有()A．AG⊥平面EFH B．AH⊥平面EFHC．HF⊥平面AEF D．HG⊥平面AEF【答案】B12．如圖，在正方形ABCD中，E，F分別是BC，CD的中點，沿AE，AF，EF把正方形折成一個四面體，使B，C，D三點重合，重合后的點記為P，P點在△AEF內的射影為O，則下列說法正確的是()A．O是△AEF的垂心B．O是△AEF的內心C．O是△AEF的外心D．O是△AEF的重心【答案】A【解析】由題意可知PA，PE，PF兩兩垂直，所以PA⊥平面PEF，從而PA⊥EF，而PO⊥平面AEF，則PO⊥EF，因為PO∩PA＝P，所以EF⊥平面PAO，所以EF⊥AO，同理可知AE⊥FO，AF⊥EO，所以O為△AEF的垂心．二、填空題13．如圖，∠BAC＝90°，PC⊥平面ABC，則在△ABC，△PAC的邊所在的直線中，與PC垂直的直線是________；與AP垂直的直線是________．【答案】AB，BC，AC；AB【解析】∵PC⊥平面ABC，∴PC垂直于直線AB，BC，AC．∵AB⊥AC，AB⊥PC，AC∩PC＝C，∴AB⊥平面PAC，∴AB⊥AP，故與AP垂直的直線是AB.22.如圖，高為1的等腰梯形ABCD中，AM＝CD＝eq\f(1,3)AB＝1，M為AB的三等分點．現將△AMD沿MD折起，使平面AMD⊥平面MBCD，連接AB，AC．(1)在AB邊上是否存在點P，使AD∥平面MPC，請說明理由；(2)當點P為AB邊中點時，求點B到平面MPC的距離．【答案】見解析在△MPC中，MP＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(\r(5),2)，MC＝eq\r(2)，PC＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋12)＝eq\f(\r(5),2)，∴S△MPC＝eq\f(1,2)×eq\r(2)×eq\r(\b\lc\(