PAGEPAGE1專題04函數基本性質考綱要求：理解函數的單調性、最大（小）值及其幾何意義；了解函數奇偶性的含義；會運用基本初等函數的圖像分析函數的性質。概念駕馭和解題上留意點：函數單調性是函數在其定義域上某區間上的局部性質，而函數奇偶性是函數在其定義域上的整體性質；求函數單調性，應先求定義域，在定義域上求單調區間；如有多個單調增（減）區間應分別寫，不能用“∪”聯結；易錯警示：若函數在區間a,b上單調，則函數在此區間的隨意子區間上也是單調的；分段函數的單調性，除留意各段的單調性外，還要留意連接點的取值；函數奇偶性常用結論：（1）、若奇函數f(x)在x=0處有定義，則f(0)=0.（2）、假如函數f(x)是偶函數，則f(x)=f(x).（3）、奇函數在兩個對稱的區間上具有相同的單調性；偶函數在兩個對稱的區間上具有相反的單調性.（4）、y=f(x+a)是奇函數，則f(-x+a)=-f(x+a)；f(x+a)是偶函數，則f(-x+a)=f(x+a)三、高考考題題例分析例1.（2024課標Ⅱ，10）若f（x）=cosx﹣sinx在[﹣a，a]是減函數，則a的最大值是（）A． B． C． D．π【解答】解：f（x）=cosx﹣sinx=﹣（sinx﹣cosx）=，由，k∈Z，得，k∈Z，取k=0，得f（x）的一個減區間為[，]，由f（x）在[﹣a，a]是減函數，得，∴．則a的最大值是．故選：A．例2.（2024課標Ⅱ，11）已知f（x）是定義域為（﹣∞，+∞）的奇函數，滿意f（1﹣x）=f（1+x），若f（1）=2，則f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）=（）A．﹣50 B．0 C．2 D．50例3（2024天津，13）已知a，b∈R，且a﹣3b+6=0，則2a+的最小值為．【答案】解：a，b∈R，且a﹣3b+6=0，可得：3b=a+6，則2a+==≥2=，當且僅當2a=．即a=﹣3時取等號．函數的最小值為：．故答案為：．例4.【2024天津，理6】已知奇函數在R上是增函數，.若，，，則a，b，c的大小關系為（）（A） （B） （C） （D）【答案】C【考點】指數、對數、函數的單調性例5【2024年高考北京理數】已知，，且，則（）A.B.C.D.【答案】C【解析】：A：由，得，即，A不正確；B：由及正弦函數的單調性，可知不肯定成立；C：由，，得，故，C正確；D：由，得，不肯定大于1，故不肯定成立，故選C.考點：函數單調性調性。 例6．【2024高考山東理數】已知函數f(x)的定義域為R.當x<0時，；當時，；當時，.則f(6)=（）（A）?2 （B）?1 （C）0 （D）2【答案】D考點：1.函數的奇偶性與周期性；2.分段函數.函數基本性質練習（時間90分鐘，滿分100分）一、選擇題（每題5分，共60分）1．下列函數中，定義域是R且為增函數的是()A．y＝3－x B．y=xC．y＝log3x D．y＝－eq\f(1,x)B解析：由題知，只有y＝3－x與y＝x3的定義域為R，且只有y＝x在R2．函數f(x)＝|x－2|x的單調遞減區間是()A．[1,2] B．[－1,0]C．[0,2] D．[2，＋∞)A解析：f(x)＝|x－2|x＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－2x，x≥2，,－x2＋2x，x＜2.))其圖象如圖，由圖象可知函數的單調遞減區間是[1,2]．3．已知函數f(x)＝|x-a|在(－∞，－1)上是單調函數，則a的取值范圍是()A．(－∞，1] B．(－∞，－1]C．[－1，＋∞) D．[1，＋∞)D.解析：因為函數f(x)在(－∞，－1)上是單調函數，所以a≥1.4．下列函數中，值域為[0,1]的是()A．y＝x2 B．y＝cosC．y＝eq\f(1,x2＋1) D．y＝eq\r(1－x2)D解析：A中，x2≥0；B中，－1≤cosx≤1；C中，0＜eq\f(1,x2＋1)≤1；D中，0≤eq\r(1－x2)≤1，故選D.5．已知f(x)為定義在R上的奇函數，當x≥0時，f(x)＝2x＋m，則f(－3)＝()A．－8 B．－7C．78 D．6．已知f(x)是定義在R上的偶函數，且f(x＋2)＝f(x)對x∈R恒成立，當x∈[0,1]時，f(x)＝2x，則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(9,2)))＝()A．eq\f(1,2) B．eq\r(2)C．eq\f(\r(2),2) D．1B解析：由題意得feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(9,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4＋\f(1,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝2×eq\f(1,2)＝eq\r(2)，故選B.7．已知函數f(x)是奇函數，在(0，＋∞)上是減函數，且在區間[a，b](a＜b＜0)上的值域為[－4,5]，則在區間[－b，－a]上()A．有最大值5 B．有最小值－5C．有最大值－4 D．有最小值－4B解析：當x∈[－b，－a]時，－x∈[a，b]，由題意得f(b)≤f(－x)≤f(a)，即－4≤－f(x)≤5，∴－5≤f(x)≤4，即在區間[－b，－a]上f(x)min＝－5，f(x)max＝4，故選B.8．已知f(x)是偶函數，且在[0，＋∞)上是減函數，若f(lgx)＞f(3)，則x的取值范圍是()A．11000,1 B．C．11000,1000 D．(0,1)∪(1C解析：由偶函數的定義可知，f(x)＝f(－x)＝f(|x|)，故不等式f(lgx)＞f(3)可化為|lgx|＜3，即－3＜lgx＜3，解得11000＜x＜10009．定義在[－2,2]上的函數f(x)滿意(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0，x1≠x2，且f(a2－a)＞f(2a－2)，則實數a的取值范圍為()A．[－1,2) B．[0,2)C．[0,1) D．[－1,1)10．已知函數f(x)x2+4x,x≥0x2-4x,x<0,若f(－a)＋f(aA．[－1,0) B．[0,1]C．[－1,1] D．[－2,2]C解析：因為函數f(x)是偶函數，故f(－a)＝f(a)，原不等式等價于f(a)≤f(1)，即f(|a|)≤f(1)，而函數在[0，＋∞)上單調遞增，故|a|≤1，解得－1≤a≤1.11．已知f(x)＝atanx＋beq\r(3,x)＋6，若f(lg3)＝2，則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(lg\f(1,3)))＝()A．eq\f(1,3) B．－eq\f(1,3)C．10 D．12C解析：因為f(x)＋f(－x)＝12，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(lg\f(1,3)))＝f(－lg3)，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(lg\f(1,3)))＝12－f(lg3)＝10，故選C.12．已知f(x)是定義在R上的以3為周期的偶函數，若f(1)＜1，f(8)＝eq\f(2a－3,a＋1)，則實數a的取值范圍為()A．(－1,4) B．(－2,0)C．(－1,0) D．(－1,2)A解析：[∵f(x)是定義在R上的周期為3的偶函數，∴f(8)＝f(8－9)＝f(－1)＝f(1)，∵f(1)＜1，f(5)＝eq\f(2a－3,a＋1)，∴eq\f(2a－3,a＋1)＜1，即eq\f(a－4,a＋1)＜0，解得－1＜a＜4.二、填空題（每題5分，共20分）13．函數f(x)＝log2(x2－4)的單調遞減區間為________．14．已知函數f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函數，當x∈[0,2)時，f(x)＝x2，若對于隨意x∈R，都有f(x＋4)＝f(x)，則f(2)－f(3)的值為________.1解析：由題意得f(2)＝f(－2＋4)＝f(－2)＝－f(2)，∴f(2)＝0.∵f(3)＝f(－1＋4)＝f(－1)＝－f(1)＝－1，∴f(2)－f(3)＝1.15．函數y＝2x+kx-3與y＝log3(x－2)在(3，＋∞)上具有相同的單調性，則實數k(－∞，－6)解析：由于y＝log3(x－2)在(3，＋∞)上為增函數，故函數y＝2x+kx-3＝2x-3+6+kx-3＝2＋6+kx-3在(3，＋∞)上也是增函數，則有6＋k16．已知f(x)，g(x)分別是定義在R上的奇函數和偶函數，且f(x)－g(x)＝13x則f(1)，g(0)，gg(0)＞f(1)＞g(－1)三、解答題（每題10分，共20分）17．已知定義在區間(0，＋∞)上的函數f(x)滿意feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1,x2)))＝f(x1)－f(x2)，且當x>1時，f(x)<0.(1)求f(1)的值；(2)證明：f(x)為單調遞減函數；(3)若f(3)＝－1，求f(x)在[2,27]上的最小值.[解](1)令x1＝x2>0，代入得f(1)＝f(x1)－f(x1)＝0，故f(1)＝0.(2)證明：任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1>x2，則eq\f(x1,x2)>1，當x>1時，f(x)<0，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1,x2)))<0，即f(x1)－f(x2)<0，因此f(x1)<f(x2)，∴函數f(x)在區間(0，＋∞)上是單調遞減函數．(3)∵f(x)在(0，＋∞)上是單調遞減函數，∴f(x)在[2,9]上的最小值為f(27)．由feq\b\lc\