5.1.2

導數的概念及其幾何意義5.1導數的概念及其意義復習回顧函數y＝f(x)從x0到x0＋?x的平均變化率函數y＝f(x)在x＝x0處的導數(也稱為瞬時變化率)導數就是平均變化率的極限.1、平均變化率2、導數的定義復習回顧3、求函數y＝f(x)在x＝x0處導數的步驟簡單的說導數就是差商的極限.注意：這里的增量不是一般意義上的增量，它可正也可負.自變量的增量Δx的形式是多樣的，但不論Δx選擇哪種形式，Δy也必須選擇與之相對應的形式.(2)求平均變化率：(3)取極限，得導數：(1)求函數的增量：Δy=f(x0+Δx)-f(x0)；探究新知

我們知道，導數f′(x0)表示y＝f(x)在x＝x0處的瞬時變化率，反映了函數y＝f(x)在x＝x0附近的變化情況．那么導數f′(x0)的幾何意義是什么？思考：觀察函數y＝f(x)的圖象，平均變化率

表示什么？瞬時變化率

表示什么？容易發現，平均變化率

表示割線PP0的斜率．xyx0x0+?xf(x0)f(x0+?x)y=f(x)OP?P0T?f(x0+?x)-f(x0)探究新知1、切線的定義如圖，在曲線y＝f(x)上任取一點P(x，f(x))，如果當點P(x，f(x))沿著曲線y＝f(x)無限趨近于點P0(x0，f(x0))時，割線P0P無限趨近于一個確定的位置，這個確定的位置的直線P0T稱為曲線y＝f(x)在點P0

處的切線.xyOy＝f(x)f(x0)x0TP0P割線切線探究新知xyOl1A思考：此處的切線定義與初中學過的圓的切線定義有什么不同？這里曲線的切線是用曲線上的動點趨近于一個定點時，割線趨近的一個固定位置，是以逼近的方式對切線作出的定義．初中學過的圓的切線是從直線和圓的公共點個數的角度定義的．Cl2圓的切線定義并不適用于一般的曲線．通過逼近的方法，將割線趨于的確定位置的直線定義為切線適用于各種曲線.所以，這種定義才真正反映了切線的直觀本質．B要注意，曲線在某點處的切線：(1)與該點的位置有關；(2)要根據割線是否有極限位置來判斷與求解．如有極限，則在此點有切線，且切線是唯一的；如不存在，則在此點處無切線；(3)曲線的切線，并不一定與曲線只有一個交點，可以有多個，甚至可以無窮多個.探究新知2、導數的幾何意義與問題2中拋物線的割線和切線之間關系類似，容易知道，割線P0P的斜率記?x=x-x0，當點P沿著曲線y＝f(x)無限趨近于點P0時，即當?x→0時，k無限趨近于函數y＝f(x)在x＝x0處的導數．因此，函數y＝f(x)在x＝x0處的導數f

′(x0)就是切線P0T的斜率k0，即這就是導數的幾何意義．P0Poxyy=f(x)割線切線T①提供了求曲線上某點切線的斜率的一種方法;②切線斜率的本質——函數在x=x0處的導數.探究新知

繼續觀察下圖，可以發現P0點的切線比任何一條割線更貼近點P0附近的曲線.進一步地，利用信息技術工具將點附近的曲線不斷放大(如圖圖)，可以發現點P0附近的曲線越來越接近于直線．因此，在點P0附近，曲線y＝f(x)可以用點P0處的切線P0T近似代替．?P0Poxyy=f(x)割線切線T?數學上常用簡單的對象刻畫復雜的對象，例如，用有理數3.1416近似代替無理數π，這里，我們用曲線上某點處的切線近似代替這一點附近的曲線，這是微積分中重要的思想方法——以直代曲．典型例題1、如圖是跳水運動中運動員的重心相對于水面的高度隨時間變化的函數h(t)=-4.9t2+2.8t+11的圖象.根據圖象，請描述、比較曲線h(t)在t=t0，t1，t2附近的變化情況.t1ht0O??t2?tl2l1l0解：(1)當t=t0時，曲線h(t)在t=t0處的切線l0平行于t軸，h'(t0)=0.這時，在t=t0附近曲線比較平坦，幾乎沒有升降.(2)當t=t1時，曲線h(t)在t=t1處的切線l1的斜率h'(1)<0.這時，在t=t1附近曲線下降，即函數h(t)在t=t1附近單調遞減.(3)當t=t2時，曲線h(t)在t=t2處的切線l2的斜率h′(t2)<0.這時，在t=t2附近曲線下降，即函數h(t)在t=t2附近也單調遞減.從圖中可以看出，直線l1的傾斜程度小于直線l2的傾斜程度，這說明曲線h(t)在t=t1附近比在t=t2附近下降得緩慢.

斜率的正負：增減趨勢斜率的大小：增減快慢鞏固練習1、根據圖象，描述曲線h(t)在t=t3，t4附近增(減)以及增(減)快慢的情況.t4ht3O??t?l3l4(2)當t=t4時，曲線h(t)在t=t4處的切線l4的斜率h′(t4)>0.這時，在t=t4附近曲線上升，即函數h(t)在t=t2附近也單調遞增.解：(1)當t=t3時，曲線h(t)在t=t3處的切線l3的斜率h′(t3)>0.這時，曲線在t=t3附近上升，即函數h(t)在t=t1附近單調遞增.從圖中可以看出，直線l3的傾斜程度大于直線l4的傾斜程度，這說明曲線h(t)在t=t3附近比在t=t4附近遞增快.鞏固練習2、我市某家電制造集團為盡快實現家電下鄉提出四種運輸方案，據預測，這四種方案均能在規定時間T內完成預期的運輸任務Q0，各種方案的運輸總量Q與時間t的函數關系如圖所示．在這四種方案中，運輸效率(單位時間內的運輸量)逐步提高的是(

)解析：從函數圖象上看，要求圖象在[0，T]上越來越陡峭，在各選項中，只有B選項中圖象的切線斜率在不斷增大，即運輸效率(單位時間內的運輸量)逐步提高．B感悟提升函數f(x)在x=x0處求導數反映了函數在點(x0，y0)附近的變化規律:(1)|f′(x0)|越大，則f(x)在(x0，y0)附近就越“陡”.(2)|f′(x0)|越小，則f(x)在(x0，y0)附近就越“平緩”.切線斜率的本質——函數在x=x0處的導數典型例題2、下圖中是人體血管中藥物濃度c=f(t)(單位：mg/mL)隨時間t(單位:min)變化的函數圖象.根據圖象，估計t=0.2，0.4，0.6，0.8min時，血管中藥物濃度的瞬時變化率(精確到0.1).解：血管中藥物濃度的瞬時變化率，就是藥物濃度.函數f(t)在此時刻的導數，從圖象上看，它表示曲線f(t)在該點處的切線的斜率.數形結合以直代曲如圖，畫出曲線上某點處的切線，利用網格估計這條切線的斜率，可以得到此時刻藥物濃度瞬時變化率的近似值．作t=0.8處的切線，并在切線上取兩點，如(0.7，0.91)，(1.0，0.48)，則該切線的斜率ctO0.10.20.50.30.40.60.70.80.91.01.10.10.20.50.30.40.60.70.80.91.01.1同理可得f

′(0.2)≈0.4，f

′(0.4)≈0，f

′(0.6)≈-0.7.以簡單對象刻畫復雜的對象探究新知3、導函數的定義

從求函數y=f(x)在x=x0處導數的過程可以看到，當x=x0時，f′(x0)是一個唯一確定的數.這樣，當x變化時，y=f′(x)就是x的函數，我們稱它為y=f(x)的導函數(derivedfunction)(簡稱導數).

y=f(x)的導函數有時也記作y′，即典型例題3、已知

，求y′.歸納總結如何求函數y=f(x)的導數?(2)求函數的增量與自變量的增量的比值：(3)求極限，得導函數：(1)求函數的增量：Δy=f(x+Δx)-f(x)；鞏固練習3、求函數

在x=2處的導數.解：方法一(導數定義法)：鞏固練習3、求函數

在x=2處的導數.解：方法二(導函數的函數值法)：感悟提升在不致發生混淆時，導函數也簡稱導數．由函數f(x)在x=x0處求導數的過程可以看到，當時，函數f′(x0)是一個確定的數.那么，當x變化時，f′(x)便是x的一個函數，我們叫它為f(x)的導函數.即：f(x)在x=x0處的導數f(x)的導函數x=x0時的函數值關系f(x)=3x2f′(x)=6xf′(x0)=6x0延伸拓展“函數f(x)在點x0處的導數”“導函數”“導數”三者之間的區別與聯系(1)“函數f(x)在點x0處的導數”，就是在該點的函數值的改變量與自變量的改變量的比的極限，它是一個數值，不是變數．(2)“導函數”：如果對于函數f(x)在開區間(a，b)內每一個確定的值x0，都對應著一個導數f′(x0)，這樣就在開區間(a，b)內構成一個新的函數，我們把這一新函數叫做f(x)在開區間(a，b)內的導函數，記作f′(x)或y′.延伸拓展“函數f(x)在點x0處的導數”“導函數”“導數”三者之間的區別與聯系

(3)導函數也簡稱導數，所以(4)函數y＝f(x)在點x0處的導數f′(x0)就是導函數f′(x)在x＝x0處的函數值，即“導數”f(x)在點x0處的導數導函數個別與一般典型例題4、已知曲線方程y＝x2.(1)求點A(2，4)處與曲線相切的直線方程；(2)求過點B(3，5)且與曲線相切的直線方程．解：(1)∵A(2，4)在y＝x2上，由y＝x2，得∴切線方程為y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.∴f′(2)＝4.典型例題4、已知曲線方程y＝x2.(1)求點A(2，4)處與曲線相切的直線方程；(2)求過點B(3，5)且與曲線相切的直線方程．解：(2)設切點坐標為(x0，x02)．由(1)得y′＝2x，∴f′(x0)＝2x0.∴切線方程為y－x02＝2x0(x－x0)．∵點(3，5)在切線上，∴5－x02＝2x0(3－x0)，即x02－6x0＋5＝0.解得x0＝1或x0＝5，∴切線方程為2x－y－1＝0或10x－y－25＝0.感悟提升利用導數的幾何意義求切線方程的分類(1)當已知的點在曲線上且切于該點時，直接利用導數求切線的斜率，寫出直線方程．(2)當已知點不在曲線上，設出切點，利用導數表示出切線斜率，寫出切線方程，代入點的坐標，求出切點坐標，寫出直線方程．鞏固練習4、已知曲線C：f(x