目標跟蹤的卡爾曼濾波算法分析案例 1 1 1 3 61.1.1系統模型用數學模型表達如下X(k+1)=F(k)X(k)+T(k)W(k)(2-1)Z(k+1)=Y(k)+V(k)=H(k+1)X(k+1)+V(k+1)(2-2)其中，X(k)是目標運動的一個狀態向量，k表示的是在第k個時刻的目標狀態；F(k)是n×n階的一個狀態轉移矩陣；I(k)表示為m×n階的一個過程噪聲矩陣；Z(k+1)是觀測方程，表示在第k+1時刻的其對應的觀測值；Y(k)表示系統輸出的狀態；H(k+1)是一個p×n階的觀測矩陣；W(k),V(k+1)表示具有均值為零的獨立隨機過程，即高斯白噪聲，且對Vk,j滿足cov[W(k),W(j)]=Q(k式中，Q為過噪聲方差；R為觀測噪聲方差；δ是狄拉克函數；從式(2-5)中可看出，W(k),V(j)是互不相關的。1.1.2濾波過程(1)狀態一步預測(2)預測的協方差矩陣P(k+1|k)=F(k)P(k|k)F(k)+TQrT(3)卡爾曼增益(4)狀態更新V(k+1)=Z(K+1)-HX(k+1|k)X(k+1|k+1)=X(k+1|k)+K(k+1)[Z(K+1)-HX(k+1|k)](2(5)誤差協方差矩陣更新P(k+1|k+1)=[1n-K(k+1)H]P(k+1|k)K(k+1)為最優濾波增益，X(k+1|k+1)為最佳濾波值，P(k+1|k+1)為平滑估計協方差矩陣，In是一個n×m的單位矩陣。上述遞推過程的具體過程可用圖錯差X(k+1|k+1)=X(k+1|k)+K(k+1)[Z(k+1-HX(k+1|k))]結束將X(k+1)代入圖錯誤!文檔中沒有指定樣式的文字。.1KF濾波算法流程框圖其觀測模型為速度為s(k),其加速度為a(k),則有在忽略目標自身的動力因素的情況下，a(k)即隨機加速度w(k),w(k)是由對應系統狀態模型式(2-1)和(2-2)可得假設目標在二維的坐標系的海面上運動，目標的初始位置為(10m,-100m),初始速度為(5m/s,-10m/s),采樣周期為T=1s,采樣頻率為f=80Hz,觀測噪聲為均值為零，方差為200;過程噪聲方差取wl=0.001,w2=0.1,w3=1三種情況。式中，目標真實位置為(x,y),目標觀測位置為(x,y),N為采樣次數。為w=0.001時目標跟蹤的效果圖，從圖中可看出卡爾曼濾波的軌跡接近真實軌跡，其觀測的點也大多分散在真實軌跡那條直線的周圍，驗證了KF算法的估計值與真實值的正確性。圖錯誤!文檔中沒有指定樣式的文字實軌跡漸漸彎曲；圖錯誤!文檔中沒有指定樣式的文字。.7是過程噪聲方差取wl=0.001,w2=0.1,w3=1時，其目標跟蹤的誤差對比圖，從圖中可看出過程噪1.1.4擴展卡爾曼濾波算法上一節對KF的目標跟蹤和影響其濾波的因素，這為EKF奠定了基礎。線性系統是KF的作用環境，對于非線性系統的濾波問題，后來學者們提出了擴展卡爾曼算法，EKF將非線性系統問題轉化為近似線性的問題。EKF濾波主要的余項忽略掉，那么剩下的一階的部分就可看似一個線性函數，然后用KF進行濾波。EKF和KF的濾波過程及其相似。EKF濾波主要處理的是過程噪聲為高斯白噪聲的非線性系統，假設離散非線性系統的動態方程表示為式(2-24)為狀態方程，(2-25)為觀測方程，X(k+1)表示目標的第k+1時V(k)是均值為零，方差為R(k)的觀測噪聲，這里Q(k)和R(k)相互獨立。將式(2-24)和(2-25)中的非線性函數f(·)和h(·)對X(k)進行一階Tayor展開得其中，是對非線性函數