第第頁天津市河北區(qū)2023-2024學年高一下學期末質量檢測數(shù)學試題一、選擇題：本大題共10個小題，每小題4分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知復數(shù)z=a+3i，z=2+biA．-1 B．1 C．-5 D．52．拋擲兩枚質地均勻的硬幣，設事件A=“第一枚硬幣正面朝上”，事件B=“第二枚硬幣反面朝上”，則下列說法正確的是（）A．A與B互為對立事件 B．PC．A與B相等 D．A與B互斥3．一個總體中共有10個個體，用簡單隨機抽樣的方法從中抽取一個樣本容量為3的樣本，則某一個特定個體被抽到的概率為（）A．310 B．110 C．134．如圖，在正方體ABCD?A1B1CA．π2 B．π3 C．π45．用半徑為23A．12 B．3 C．9 D．36．如圖，已知AB=2BP，則A．12OA?C．12OA+7．設α，β是兩個不同的平面，m，n是兩條不同的直線，則下列命題中正確的是（）A．若m⊥n，m⊥α，n//βB．若m⊥n，m⊥α，n⊥β，則αC．若m//n，m⊥α，n⊥βD．若α//β，m?α，n?β8．若連續(xù)拋兩次骰子得到的點數(shù)分別是m，n，則點Pm,n在直線x+y=8A．112 B．19 C．5369．某市6月1日至14日的空氣質量指數(shù)變化趨勢如圖所示，空氣質量指數(shù)小于100表示空氣質量優(yōu)良，空氣質量指數(shù)大于200表示空氣重度污染，下列說法中不正確的是（）A．該市14天空氣質量指數(shù)的中位數(shù)為78.5B．該市14天空氣質量指數(shù)的第30百分位數(shù)為55C．該市14天空氣質量指數(shù)的平均值大于100D．計算連續(xù)3天空氣質量指數(shù)的方差，其中6日到8日的方差最大10．如圖，直三棱柱ABC?A1B1C1的體積為6，△AA．2 B．3 C．2 D．5二、填空題：本大題共5個小題，每小題4分，共20分，答案填在題中橫線上．11．i是虛數(shù)單位，復數(shù)5+10i3?412．某市有大型超市200家、中型超市400家、小型超市1400家．為掌握各類超市的營業(yè)情況，現(xiàn)按分層抽樣方法抽取一個容量為100的樣本，應抽取中型超市家．13．某校團委舉辦“強國復興有我”知識競賽，甲、乙兩位同學同時回答一道題目．已知甲同學答對的概率為34，乙同學答對的概率為23．若這兩位同學回答正確與否互不影響，則甲、乙兩位同學中至少1位同學答對這道題的概率為14．已知長方體的長、寬、高分別為3，2，1，且長方體的所有頂點都在同一個球面上，則這個球的表面積為．15．《易·系辭上》有“河出圖，洛出書”之說，河圖、洛書是中國古代流傳下來的兩幅神秘圖案，河圖的排列結構如圖所示，一與六共宗居下，二與七為朋居上，三與八同道居左，四與九為友居右，五與十相守居中，其中白圈為陽數(shù)，黑點為陰數(shù)，若從陽數(shù)和陰數(shù)中各取一數(shù)，則其差的絕對值為5的概率為．三、解答題：本大題共4個小題，共40分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．16．拋擲兩枚質地均勻的骰子（標記為一號和二號），觀察兩枚骰子分別可能出現(xiàn)的基本結果.（1）寫出這個試驗的樣本空間，并判斷這個試驗是否為古典概型；（2）求下列事件的概率；①A=“兩個點數(shù)之和是5”；②B=“一號骰子的點數(shù)比二號骰子的點數(shù)大”.17．已知△ABC的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，向量m=a,3b，（1）求角A的大小；（2）若a=7，b=2，求c的值和△ABC18．我國是世界上嚴重缺水的國家，某市為了制定合理的節(jié)水方案，對居民用水情況進行了調查．通過抽樣，獲得了某年100位居民每人的月均用水量（單位：噸），將數(shù)據(jù)按照0,0.5，0.5,1，…，4,4.5分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖．（1）求頻率分布直方圖中a的值；（2）已知該市有30萬居民，估計全市居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù)，說明理由；（3）估計居民月均用水量的眾數(shù)、中位數(shù)，說明理由．19．如圖，在三棱柱ABC?A1B1C1中，A1C與AC1交于點O，（1）證明：A1B//（2）證明：AD⊥平面BCC（3）求直線AC1與平面

答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】由于z=a+3i，z=a-3i=2+bi，

則a=2，b=-3，

因此a+b=2-3=-1，

故答案為：A。

【分析】共軛復數(shù)，兩個實部相等，虛部互為相反數(shù)的復數(shù)互為共軛復數(shù).2．【答案】B【解析】【解答】解：AD選項，事件A與B能同時發(fā)生，不是互斥事件，不是對立事件，故AD均錯誤；B選項，PAC選項，事件A與事件B不是同一個事件，故C錯誤．故選：B．

【分析】AD選項，根據(jù)互斥事件和對立事件的概念進行判斷；B選項，求出兩事件的概率；C選項，兩事件不是同一事件即可判斷C.3．【答案】A【解析】【解答】解：因為一個總體中共有10個個體，從中抽取一個樣本容量為3的樣本，

所以每個個體被抽到的概率均為310則某一個特定個體被抽到的概率為310.

故選：A

4．【答案】C【解析】【解答】解：因為AA所以∠AA1B即為異面直線B而∠AA所以異面直線BA1與DD故選：C.

【分析】根據(jù)AA1//DD1，由異面直線夾角的定義可得5．【答案】D【解析】【解答】解：設圓錐的底面半徑為r，高為h，母線為l，依題意可得l=23，2所以r=3，則h=故選：D

【分析】設圓錐的底面半徑為r，高為h，母線為l，依題意可得l、r，再由勾股定理（指直角三角形的兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方）計算可得.6．【答案】B【解析】【解答】解：因為OP=所以OP=?故選：B.

【分析】利用向量的加法和數(shù)乘運算法則，取OA,OB為基底，通過運算，即可得答案；向量的三角形加法法則：7．【答案】C【解析】【解答】解：對于選項A：若m⊥n，m⊥α，則n?α或n//α，又n//β，則α//對于選項B：若m⊥n，m⊥α，則n?α或n//若n//α，則在平面α內存在直線c，使得n//c，又n⊥β，則c⊥β，又若n?α，又n⊥β，所以α⊥β；綜上可得，由m⊥n，m⊥α，n⊥β，可得α⊥β，選項B錯誤；對于選項C：若m//n，m⊥α，則n⊥α，又n⊥β，α，β是兩個不同的平面，則對于選項D：若α//β，m?α，n?β，則m//n或故選：C．

【分析】根據(jù)空間中線線、線面、面面的位置關系逐項判斷即可.8．【答案】C【解析】【解答】解：若連續(xù)拋兩次骰子得到的點數(shù)分別是m，n，則點Pm,n有6×6=36其中滿足m+n=8,m,n∈1,2,3,4,5,6的數(shù)對有2,6所以點Pm,n在直線x+y=8上的概率是5故選：C.

【分析】先列出樣本點，再由古典概型概率計算公式求解即可.9．【答案】C【解析】【解答】解：對于選項A，將14天的空氣質量指數(shù)由小到大排列為：33,38,52,53,55,65,76,81,102,102,116,122,158,163，所以該市14天空氣質量指數(shù)的中位數(shù)為：76+對于選項B：因為14×30%=4.2，所以該市14天空氣質量指數(shù)的30百分位數(shù)為對于選項C：x=該市14天空氣質量指數(shù)的平均值小于100，故選項C錯誤；對于選項D：因為連續(xù)3天空氣質量指數(shù)，6日到8日的波動最大，所以方差最大，故選項D正確.故選：C.

【分析】由平均數(shù)、中位數(shù)、百分位數(shù)和方差的概念（平均數(shù)：?是所有數(shù)據(jù)之和除以數(shù)據(jù)的個數(shù)；中位數(shù)：?將一組數(shù)據(jù)按大小順序排列后，?如果數(shù)據(jù)個數(shù)是奇數(shù)，?則中位數(shù)是正中間的那個數(shù)；?如果數(shù)據(jù)個數(shù)是偶數(shù)，?則中位數(shù)是最中間兩個數(shù)的平均值；百分位數(shù)：?是將一組數(shù)據(jù)按照數(shù)值大小排序后，?位于某個百分比的數(shù)值位置；方差：?是一組數(shù)據(jù)中每個數(shù)據(jù)點與平均數(shù)之差的平方的平均值）即可得出答案.10．【答案】B【解析】【解答】解：因為直三棱柱ABC?A1B設A到平面A1BC的距離為d，因為所以13S△A1故A到平面A1BC的距離為故選：B.

【分析】先求出VA1?ABC11．【答案】-1+2【解析】【解答】解：5+10i故填：-1+2i

12．【答案】20【解析】【解答】解：∵大型超市200家、中型超市400家、小型超市1400家，∴共有超市200+400+1400=2000，∵按分層抽樣方法抽取一個容量為100的樣本，∴每個個體被抽到的概率是1002000∴中型超市要抽取400×120故答案為20。

【分析】利用已知條件結合分層抽樣的方法，從而求出應抽取中型超市的家數(shù)。13．【答案】11【解析】【解答】解：因為兩位同學回答正確與否互不影響，即兩位同學相互獨立，

所以根據(jù)獨立事件的概率公式，可得所求概率為34故填：1112.

14．【答案】14【解析】【解答】解：因為長方體的長、寬、高分別為3，2，1，且長方體的所有頂點都在同一個球面上，

所以長方體的體對角線長為32因為長方體外接球的直徑即為長方體的體對角線，設外接球的半徑為R，所以2R=14，即所以外接球的表面積S=4πR2=14π.

故填：15．【答案】1【解析】【解答】解：因為所有的基本事件為(i,j)，其中i=1,3,5,7,9，j=2,4,6,8,10，共25個基本事件.目標事件為(1,6)，(7,2)，(3,8)，(9,4)，(5,10)，共5個基本事件.所以P=5故填：15.

16．【答案】（1）解：拋擲一枚骰子有6種等可能的結果，一號骰子的每一個結果都與二號骰子的任意一個結果配對，組成擲兩枚骰子試驗的一個結果，用數(shù)字m(m∈{1,2,3,4,5,6})表示一號骰子出現(xiàn)的點數(shù)m，用數(shù)字n(n∈{1,2,3,4,5,6})表示二號骰子出現(xiàn)的點數(shù)n，則數(shù)組(m,n)表示這個試驗的一個樣本點，所以這個試驗的樣本空間為：Ω={(m,n)|m,n∈{1,2,3,4,5,6}}樣本空間Ω共有36個樣本點，由于骰子的質地均勻，因此各個樣本點出現(xiàn)的可能性相等，所以這個試驗是古典概型.（2）解：由（1）知，因為事件A所含樣本點為：(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)，共4個，所以P(A)=4因為事件B所含樣本點為：(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5)，共15個，所以P(B)=15【解析】【分析】（1）確定試驗的每個樣本點的構成，寫出樣本空間，再判斷樣本空間的樣本點個數(shù)及是否等可能作答.（2）用列舉法分別寫出事件A，B所含樣本點，再由古典概率公式（事件A的概率等于事件A包含的基本事件數(shù)除以樣本空間的基本事件總數(shù)）計算作答.17．【答案】（1）解：因為向量m=a,3b所以asinB=3又B∈0,π,sinB≠0則tanA=3，又A∈0,（2）解：由余弦定理得cosA=整理得c2?2c?3=0，解得c=3或所以△ABC的面積S△ABC【解析】【分析】（1）利用平行向量的坐標關系（如果向量a→和向量b→平行，?那么它們的數(shù)量積（?點積）?為零）得asin（2）根據(jù)余弦定理cosA=b218．【答案】（1）解：因為由頻率分布直方圖知，0.08+0.16+a+0.42+0.50+a+0.12+0.08+0.04×0.5=1，解得a=0.30所以直方圖中a的值為a=0.30；（2）解：因為由圖得月均用水量不低于3噸的頻率為0.5×0.12+0.08+0.04所以估計全市居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù)為300000×0.12=36000（人）；（3）解：（3）由圖可知，眾數(shù)是2+2.52因為0.08+0.16+0.30+0.42×0.5=0.48<0.50.08+0.16+0.30+0.42+0.50×0.5=0.73>0.5所以中位數(shù)在區(qū)間2,2.5內，設為x，則0.48+0.50x?2=0.5，解得即中位數(shù)為2.04.【解析】【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖的性質（頻率之和為1，即所有長方形面積之和為1）即可得解；（2）求出月均用水量不低于3噸的頻率，進而可得出答案；（3）根據(jù)頻率分布直方圖中眾數(shù)和中位數(shù)的求法（眾數(shù)的求法：?找到頻率最高的數(shù)據(jù)組，?然后取這個小長方形底邊中點的橫坐標作為眾數(shù)；中位數(shù)的求法：?在頻率分布直方圖中，?中位數(shù)可以通過找到一個分界線，?這個分界線能夠將直方圖劃分為兩個面積相等的部分）計算即可.19．【答案】（1）證明：因為在三棱柱ABC?A1B1C1中，所以O為A1C的中點，又D是BC的中點，所以又A1B?平面AC1D，OD?平面A（2）證明：因為AB=BC=AC=AA1，D是BC的中點，所以又因為AA1⊥平面ABC，AA1//CC1所以CC又BC∩CC1=C，BC,CC1?平面（3）解：取B1C1的中點E，連接A1E則DE//BB1