小學奧數學問點及公式總匯（必背）

1.和差倍問題2

2.年齡問題的三個基本特征：

3.歸一問題的基本特點：

4.植樹問題

5.雞兔同籠問題

6.盈虧問題3

7.牛吃草問題

8.周期循環與數表規律

9.平均數

10.抽屜原理4

11.定義新運算

12.數列求和

13.二進制及其應用5

14.加法乘法原理和幾何計數

15.質數與合數6

16.約數與倍數

17.數的整除7

18.余數及其應用

19.余數、同余與周期

20.分數與百分數的應用8

21.分數大小的比較9

22.分數拆分

23.完全平方數

24.比和比例10

25.綜合行程

26.工程問題

27.邏輯推理11

28.幾何面積

29.立體圖形

30.時鐘問題一快慢表問題12

31.時鐘問題一鐘面追及

32.濃度與配比

33.經濟問題13

33.經濟問題

34.簡潔方程

35.不定方程

36.循環小數14

1.和差倍問題

和差問題和倍問題差倍問題

已知條件兒個數的和與差兒個數的和與倍數幾個數的差與倍數

公式適用范

已知兩個數的和，差，倍數關系

圍

①（和一差）+2二較小

數

較小數+差=較大數和+（倍數+1）=差+（倍數-1）=小

和一較小數二較大數小數數

公式

②（和+差）+2=較大小數X倍數二大數小數X倍數二大數

數和一小數二大數小數+差=大數

較大數一差二較小數

和一較大數二較小數

求出同一條件下的

關鍵問題

和與差和與倍數差與倍數

2.年齡問題的三個基本特征:

①兩個人的年齡差是不變的；

②兩個人的年齡是同時增加或者同時削減的；

③兩個人的年齡的倍數是發生變更的；

3.歸一問題的基本特點：

問題中有一個不變的量，一般是那個“單一量”，題目一般用“照這樣的速度”……等

詞語來表示。

關鍵問題：依據題目中的條件確定并求出單一量；

4.植樹問題

在直線或者不

在直線或者不封閉在直線或者不封閉的封閉曲

基本類封閉的曲線上

的曲線上植樹，兩端曲線上植樹，兩端都不線上植

型植樹，只有一端

都植樹植樹樹

植樹

基本公棵數二段數+1棵數二段數一1棵數二段數

式棵距X段數二總長棵距X段數二總長棵距X段數二總長

關鍵問

確定所屬類型，從而確定棵數與段數的關系

題

5.雞兔同籠問題

基本概念：雞兔同籠問題又稱為置換問題、假設問題，就是把假設錯的那部分置換出來;

基本思路：①假設，即假設某種現象存在（甲和乙一樣或者乙和甲一樣）：

②假設后，發生了和題目條件不同的差，找出這個差是多少；

③每個事物造成的差是固定的，從而找出出現這個差的緣由；

④再依據這兩個差作適當的調整，消去出現的差。

基本公式：

①把全部雞假設成兔子：雞數=（兔腳數X總頭數一總腳數）土（兔腳數一雞腳數）

②把全部兔子假設成雞：兔數=（總腳數一雞腳數X總頭數）土（兔腳數一雞腳數）

關鍵問題：找出總量的差與單位量的差。

6.盈虧問題

基本概念：確定量的對象，依據某種標準分組，產生一種結果：依據另一種標準分組，

又產生一種結果，由于

分組的標準不同，造成結果的差異，由它們的關系求對象分組的組數或對象的總量.

基本思路：先將兩種安排方案進行比較，分析由于標準的差異造成結果的變更，依據這

個關系求出參與安排的總份數，然后依據題意求出對象的總量.

基本題型：

①一次有余數，另一次不足；基本公式：總份數=（余數+不足數）+兩次每份數

的差

②當兩次都有余數；基本公式：總份數=（較大余數一較小余數）土兩次每份數的

差

③當兩次都不足；基本公式：總份數=（較大不足數一較小不足數）?兩次每份數

的差

基本特點：對象總量和總的組數是不變的。

關鍵問題：確定對象總量和總的組數。

7.牛吃草問題

基本思路：假設每頭牛吃草的速度為“1”份，依據兩次不同的吃法，求出其中的總草

量的差；再找出造成這種差異的緣由，即可確定草的生長速度和總草量。

基本特點：原草量和新草生長速度是不變的；

關鍵問題：確定兩個不變的量。

基本公式：

生長量二（較長時間x長時間牛頭數-較短時間x短時間牛頭數）+（長時間-短

時間）；

總草量二較長時間X長時間牛頭數-較長時間X生長量；

8.周期循環與數表規律

周期現象：事物在運動變更的過程中，某些特征有規律循環出現。

周期：我們把連續兩次出現所經過的時間叫周期。

關鍵問題：確定循環周期C

閏年：一年有366天；

①年份能被4整除；②假如年份能被100整除，則年份必需能被400整除；

平年：一年有365天。

①年份不能被4整除；②假如年份能被100整除，但不能被400整除；

9.平均數

基本公式：①平均數=總數量+總份數總數量二平均數X總份數總份數=總數量+平

均數

②平均數二基準數+每一個數與基準數差的和+總份數

基本算法：

①求出總數量以及總份數，利用基本公式①進行計算.

②基準數法：依據給出的數之間的關系，確定一個基準數；一般選與全部數比較接

近的數或者中間數為基準數；以基準數為標準，求全部給出數與基準數的差；再求出全

部差的和；再求出這些差的平均數；最終求這個差的平均數和基準數的和，就是所求的

平均數，詳細關系見基本公式②

10.抽屜原理

抽屜原則一：假如把（n+l）個物體放在n個抽屜里，那么必有一個抽屜中至少放有2

個物體。

例：把4個物體放在3個抽屜里，也就是把4分解成三個整數的和，那么就有以下四種

狀況：

①4=4+0+0②4=3+l+0③4=2+2+0④4=2+1+1

視察上面四種放物體的方式，我們會發覺一個共同特點：總有那么一個抽屜里有2個或

多于2個物體，也就是說必有一個抽屜中至少放有2個物體。

抽屜原則二：假如把n個物體放在m個抽屜里，其中n>m,那么必有一個抽屜至少有：

①k=[n/m]+1個物體：當n不能被m整除時。

②k=n/m個物體：當n能被m整除時。

理解學問點：[X]表示不超過X的最大整數。

例[4.351]=4；[0.321]=0；[2.9999]=2；

關鍵問題：構造物體和抽屜。也就是找到代表物體和抽屜的量，而后依據抽屜原則進行

運算。

11.定義新運算

基本概念：定義一種新的運算符號，這個新的運算符號包含有多種基本（混合）運算。

基本思路：嚴格依據新定義的運算規則，把己知的數代入，轉化為加減乘除的運算，然

后依據基本運算過程、規律進行運算。

關鍵問題：正確理解定義的運算符號的意義。

留意事項：①新的運算不韜定符合運算規律，特殊留意運算依次。

②每個新定義的運算符號只能在本題中運用。

12.

數列求和

等差數列：在一列數中，隨意相鄰兩個數的差是確定的，這樣的

一列數，就叫做等差數列。

基本概念：

首項：等差數列的第一個數，一般用al表示；

項數：等差數列的全部數的個數，一股用n表示；

公差：數列中隨意相鄰兩個數的差，一般用d表示；

通項：表示數列中每一個數的公式，一般用an表示；

數列的和：這一數列全部數字的和，一般用Sn表示.

基本思路：等差數列中涉及五個量：al,an,d,n,sn,,通項公

式中涉及四個量，假如己知其中三個，就可求出第四個；求和公式中

涉及四個量，假如己知其中三個，就可以求這第四個。

基本公式：

通項公式：an=ai+（n—1）d；

通項=首項+（項數一1）X公差；

數列和公式：Sn,=（ai+an）Xn+2；

數列和=（首項+末項）X項數+2；

項數公式：n=（an+dl）4-d+l；

項數=（末項-首項）+公差+1；

公差公式：d=（an-ai））+（n-1）；

公差二（末項一首項）+（項數-1）；

關鍵問題：確定已知量和未知量，確定運用的公式;

13.二進制及其應用

十進制：用0?9十個數字表示，逢10進1；不同數位上的數字表示不同的含義，十位

上的2表示20,百位上的2表示200。所以234=200+30+4=2X102+3X10+4。

=AnX10n_l+An_lX10n-2+An-2X10n-3+An-3X10n_4+An_4X10n-5+An-6X10n~7+...

+A3X102+A2X101+A1X100

留意：N0=l;N1=N(其中N是隨意自然數)

二進制：用0?1兩個數字表示，逢2進1；不同數位上的數字表示不同的含義。

(2)—AnX2n-l+An-1X2n-2+An-2X2n-3+An-3X2n-4+An—4X2n-5+An-6X2n-7

+...+A3X22+A2X21+A1X20

留意：An不是0就是1。

十進制化成二進制：

①依據二進制滿2進1的特點，用2連續去除這個數，直到商為0,然后把每次所得的

余數按自下而上依次寫出即可。

②先找出不大于該數的2的n次方，再求它們的差，再找不大于這個差的2的n次方，

依此方法始終找到差為0,依據二進制綻開式特點即可寫出。

14.加法乘法原理和幾何計數

加法原理：假如完成一件任務有n類方法，在第一類方法中有ml種不同方法，在其次

類方法中有m2種不同方法……，在第n類方法中有mn種不同方法，那么完成這件任務

共有：ml+m2......+mn種不同的方法。

關鍵問題：確定工作的分類方法。

基本特征：每?種方法都可完成任務。

乘法原理：假如完成一件任務須要分成n個步驟進行，做第1步有ml種方法，不管第1

步用哪一種方法，第2步總有m2種方法……不管前面n-1步用哪種方法，第n步總有

mn種方法，那么完成這件任務共有：mlXm2......Xmn種不同的方法。

關鍵問題：確定工作的完成步驟。

基本特征：每一步只能完成任務的一部分。

直線：一點在直線或空間沿確定方向或相反方向運動，形成的軌跡。

直線特點：沒有端點，沒有長度。

線段：直線上隨意兩點間的距離。這兩點叫端點。

線段特點：有兩個端點，有長度。

射線：把直線的一端無限延長。

射線特點：只有一個端點；沒有長度。

①數線段規律：總數=1+2+3+…+(點數—1)；

②數角規律=1+2+3+…+(射線數一1)；

③數長方形規律：個數=長的線段數X寬的線段數：

④數長方形規律：個數=1X1+2X2+3X3+…+行數X列數

15.質數與合數

質數：一個數除了1和它本身之外，沒有別的約數，這個數叫做質數，也叫做素數。

合數：一個數除了1和它本身之外，還有別的約數，這個數叫做合數。

質因數：假如某個質數是某個數的約數，那么這個質數叫做這個數的質因數。

分解質因數：把一個數用質數相乘的形式表示出來，叫做分解質因數。通常用短除法分

解質因數。任何一個合數分解質因數的結果是唯一的。

分解質因數的標準表示形式：N=,其中al、a2、a3……an都是合數N的質因數，且

al<a2<a3<...<an0

求約數個數的公式：P=(rl+1)X(r2+l)X(r3+l)X……X(rn+1)

互質數：假如兩個數的最大公約數是1,這兩個數叫做互質數。

16.約數與倍數

約數和倍數：若整數a能夠被b整除，a叫做b的倍數，b就叫做a的約數。

公約數：幾個數公有的約數，叫做這幾個數的公約數；其中最大的一個，叫做這幾個數

的最大公約數。

最大公約數的性質：

1、幾個數都除以它們的最大公約數，所得的幾個商是互質數。

2、幾個數的最大公約數都是這幾個數的約數。

3、幾個數的公約數，都是這幾個數的最大公約數的約數。

4、幾個數都乘以一個自然數m,所得的積的最大公約數等于這幾個數的最大公約數乘以

m。

例如:12的約數有1、2、3、4、6、12；

18的約數有：1、2、3、6、9、18；

那么12和18的公約數有：1、2、3、6；

那么12和18最大的公約數是：6,記作(12,18)=6；

求最大公約數基本方法：

1、分解質因數法：先分解質因數，然后把相同的因數連乘起來。

2、短除法：先找公有的約數，然后相乘。

3、輾轉相除法：每一次都用除數和余數相除，能夠整除的那個余數，就是所求的最大

公約數。

公倍數：幾個數公有的倍數，叫做這幾個數的公倍數；其中最小的一個，叫做這幾個數

的最小公倍數。

12的倍數有：12、24、36、48……；

18的倍數有:18、36、54、72……；

那么12和18的公倍數有:36、72、108……；

那么12和18最小的公倍數是36,記作[12,18]=36；

最小公倍數的性質：

1、兩個數的隨意公倍數都是它們最小公倍數的倍數，

2、兩個數最大公約數與最小公倍數的乘積等于這兩個數的乘積。

求最小公倍數基本方法：1、短除法求最小公倍數；2、分解質因數的方法

17,數的整除

一、基本概念和符號：

1、整除：假如一個整數a,除以一個自然數b,得到一個整數商c,而且沒有余數，那

么叫做a能被b整除或b能整除a,記作b|a。

2、常用符號：整除符號“”，不能整除符號""；因為符號“???”，所以的符號“???”；

二、整除推斷方法：

1.能被2、5整除：末位上的數字能被2、5整除。

2.能被4、25整除：末兩位的數字所組成的數能被4、25整除。

3.能被8、125整除：末三位的數字所組成的數能被8、125整除。

4.能被3、9整除：各個數位上數字的和能被3、9整除。

5.能被7整除：

①末三位上數字所組成的數與末三位以前的數字所組成數之差能被7整除。

②逐次去掉最終一位數字并減去末位數字的2倍后能被7整除。

6.能被11整除：

①末三位上數字所組成的數與末三位以前的數字所組成的數之差能被11整除。

②奇數位上的數字和與偶數位數的數字和的差能被11整除。

③逐次去掉最終一位數字并減去末位數字后能被11整除。

7.能被13整除:

①末三位上數字所組成的數與末三位以前的數字所組成的數之差能被13整除。

②逐次去掉最終一位數字并減去末位數字的9倍后能被13整除。

三、整除的性質：

1.假如a、b能被c整除，那么(a+b)與(a-b)乜能被c整除。

2.假如a能被b整除，c是整數，那么a乘以c也能被b整除。

3.假如a能被b整除，b又能被c整除，那么a也能被c整除。

4.假如a能被b、c整除，那么a也能被b和c的最小公倍數整除。

18.余數及其應用

基本概念：對隨意自然數a、b、q、r,假如使得a+b=q……r,且(Kr〈b,那么r叫做a

除以b的余數，q叫做a除以b的不完全商。

余數的性質：

①余數小于除數。

②若a、b除以c的余數相同,則c|a-b或c|b-a。

③a與b的和除以c的余數等于a除以c的余數加上b除以c的余數的和除以c的余數。

④a與b的積除以c的余數等于a除以c的余數與b除以c的余數的積除以c的余數。

19.余數、同余與周期

一、同余的定義：

①若兩個整數a、b除以m的余數相同，則稱a、b對于模m同余。

②已知三個整數a、b、m,假如m|a-b,就稱a、b對于模m同余，記作a三b(mod

m),讀作a同余于b模m。

二、同余的性質：

①自身性：a=a(modm)；

②對稱性：若a=b(modm),則b三a(modm)；

③傳遞性：若a三b(modm),b=c(modm),則a三c(modm)；

④和差性：若a三b(modm),c=d(modm),貝ija+c=b+d(modm),a-c=b-d(modm)；

⑤相乘性：若a=b(modm),c=d(modm),則aXc三bXd(modm)；

⑥乘方性：若a三b(modm),則an三bn(modm)；

⑦同倍性：若a三b(modm),整數c,則aXc三bXc(modmXc)；

三、關于乘方的預備學問：

①若A=aXb,則MA=MaXb=(Ma)b

②若B:c+d則MB=Mc+c=McXMd

四、被3、9、11除后的余數特征：

①一個自然數M,n表示M的各個數位上數字的和，則M三n(mod9)或(moc3)；

②一個自然數M,X表示M的各個奇數位上數字的和，Y表示M的各個偶數數位上數

字的和，則M三Y-X或M三11-(X-Y)(mod11)；

五、費爾馬小定理：

假如P是質數(素數)，a是自然數，且a不能被p整除，則apT三l(modp)o

20.分數與百分數的應用

基本概念與性質：

分數：把單位“1”平均分成幾份，表示這樣的一份或幾份的數。

分數的性質：分數的分子和分母同時乘以或除以相同的數（0除外），分數的大小不變。

分數單位：把單位“1”平均分成幾份，表示這樣一份的數。

百分數：表示一個數是另一個數百分之兒的數。

常用方法：

①逆向思維方法：從題目供應條件的反方向（或結果）進行思索。

②對應思維方法：找出題目中詳細的量與它所占的率的干脆對應關系。

③轉化思維方法：把一類應用題轉化成另一類應用題進行解答。最常見的是轉換

成比例和轉換成倍數關系；把不同的標準（在分數中一般指的是一倍量）下的分率轉化

成同一條件下的分率。常見的處理方法是確定不同的標準為一倍量。

④假設思維方法：為了解題的便利，可以把題目中不相等的量假設成相等或者假

設某種狀況成立，計算出相應的結果，然后再進行調整，求出最終結果。

⑤量不變思維方法：在變更的各個量當中，總有一個量是不變的，不論其他量如

何變更，而這個量是始終固定不變的。有以下三種狀況：A、重量發生變更，總量不變。

B、總量發生變更，但其中有的重量不變。C、總量和重量都發生變更，但重量之間的差

量不變更。

⑥替換思維方法：用一種量代替另一種量，從而使數量關系單一化、量率關系明

朗化。

⑦同倍率法：總量和重量之間依據同分率變更的規律進行處理。

⑧濃度配比法：一般應用于總量和重量都發生變更的狀況。

21.分數大小的比較

基本方法：

①通分分子法：使全部分數的分子相同，依據同分子分數大小和分母的關系比較。

②通分分母法：使全部分數的分母相同，依據同分母分數大小和分子的關系比較。

③基準數法：確定一個標準，使全部的分數都和它進行比較。

④分子和分母大小比較法：當分子和分母的差確定時，分子或分母越大的分數值越

大。

⑤倍率比較法：當比較兩個分子或分母同時變更時分數的大小，除了運用以上方法

外，可以用同倍率的變更關系比較分數的大小。（詳細運用見同倍率變更規律）

⑥轉化比較方法：把全部分數轉化成小數（求出分數的值）后進行比較。

⑦倍數比較法：用一個數除以另一個數，結果得數和1進行比較。

⑧大小比較法：用一個分數減去另一個分數，得出的數和0比較。

⑨倒數比較法：利用倒數比較大小，然后確定原數的大小。

⑩基準數比較法：確定一個基準數，每一個數與基準數比較。

22.分數拆分

將一個分數單位分解成兩個分數之和的公式：

在括號內填入不同的自然數，使等式成立

1_11

1_111

i2~O+O"

第一題你要拆1/12(也就是1/A)先列出12的約(因)數：1、2、3、4、6、12

隨意選兩個約數分為al4這里我選3、4

公式：l/A=A4-alX(al+a2)/1+A+a2X(al+a2)/I

套入公式：1/12=12+3X(3+4)/1+124-4X(3+4)/I

最終等于：1/12=1/28+1/21

其次題就像上面的一樣套入公式計算，要把第一題的其中一個答案再拆分就可以了。

答案是：1/21+1/84+1/42

23.

完全平方數

完全平方數特征：

L末位數字只能是：0、1、4、5、6、9；反之不成立。

2.除以3余0或余1；反之不成立。

3.除以4余0或余1；反之不成立。

4.約數個數為奇數；反之成立。

5.奇數的平方的十位數字為偶數；反之不成立。

6.奇數平方個位數字是奇數；偶數平方個位數字是偶

數。

7.兩個相臨整數的平方之間不行能再有平方數。

平方差公式：X2-Y2=(X-Y)(X+Y)

完全平方和公式：(X+Y)2=X2+2XY+Y2

完全平方差公式：(X-Y)2=X-2XY+Y2

費爾馬小定理：

假如P是質數(素數)，a是自然數，且a不能被p

整除，則apT三l(modp)。

24.比和比例

比：兩個數相除又叫兩個數的比。比號前面的數叫比的前項，比號后面的數叫比的后項。

比值：比的前項除以后項的商，叫做比值。

比的性質：比的前項和后項同時乘以或除以相同的數（零除外），比值不變。

比例：表示兩個比相等的式子叫做比例。a:b;c:d或

比例的性質：兩個外項積等于兩個內項積（交叉相乘），ad二be。

正比例：若A擴大或縮小幾倍，B也擴大或縮小幾倍（AB的商不變時），則A與B成正

比。反比例：若A擴大或縮小兒倍，B也縮小或擴大幾倍（AB的積不變時），則A與B

成反比。比例尺：圖上距離與實際距離的比叫做比例尺。按比例安排：把幾個數按確定

比例分成幾份，叫按比例安排。

25.綜合行程

基本概念：行程問題是探討物體運動的，它探討的是物體速度、時間、路程三者之間的

關系.

基本公式：路程二速度義時間；路程小時間二速度；路程?速度二時間

關鍵問題：確定運動過程中的位置和方向。

相遇問題：速度和X相遇時間二相遇路程（請寫出其他公式）

追及問題：追剛好間=路程差?速度差（寫出其他公式）

流水問題：順水行程二（船速+水速）X順水時間

逆水行程二（船速-水速）X逆水時間

順水速度=船速+水速

逆水速度二船速-水速

靜水速度二（順水速度+逆水速度）+2

水速二（順水速度-逆水速度）+2

流水問題：關鍵是確定物體所運動的速度，參照以上公式。

過橋問題：關鍵是確定物體所運動的路程，參照以上公式。

主要方法：畫線段圖法

基本題型：已知路程（相遇路程、追及路程）、時間（相遇時間、追剛好間）、速度（速

度和、速度差）中隨意兩個量，求第三個量。

26.工程問題

基本公式：①工作總量:工作效率X工作時間

②工作效率=工作總量+工作時間

③工作時間:工作總量;工作效率

基本思路：

①假設工作總量為“1”（和總工作量無關）；

②假設一個便利的數為工作總量（一般是它們完成工作總量所用時間的最小公倍

數），利用上述三個基本關系，可以簡潔地表示出工作效率及工作時間.

關鍵問題：確定工作量、工作時間、工作效率間的兩兩對應關系。

閱歷簡評：合久必分，分久必合。

27.邏輯推理

基本方法簡介：

①條件分析一假設法：假設可能狀況中的一種成立，然后依據這個假設去推斷，

假如有與題設條件沖突的狀況，說明該假設狀況是不成立的，那么與他的相反狀況是成

立的。例如，假設a是偶數成立，在推斷過程中出現了沖突，那么a確定是奇數。

②條件分析一列表法：當題設條件比較多，須要多次假設才能完成時，就須要進

行列表來協助分析。列表法就是把題設的條件全部表示在一個長方形表格中，表格的行、

列分別表示不同的對象與狀況，視察表格內的題設狀況，運用邏輯規律進行推斷。

③條件分析一一圖表法：當兩個對象之間只有兩種關系時，就可用連線表示兩個

對象之間的關系，有連線則表示“是，有”等確定的狀態，沒有連線則表示否定的狀態。

例如A和B兩人之間有相識或不相識兩種狀態，有連線表示相識，沒有表示不相識。

④邏輯計算：在推理的過程中除了要進行條件分析的推理之外，還要進行相應的

計算，依據計算的結果為推理供應一個新的推斷篩選條件。

⑤簡潔歸納與推理：依據題目供應的特征和數據，分析其中存在的規律和方法，

并從特殊狀況推廣到一般狀況，并遞推出相關的關系式，從而得到問題的解決c

28.幾何面積

基本思路：

在一些面積的計算上，不能干脆運用公式的狀況下，一般須要對圖形進行割補，平移、

旋轉、翻折、分解、變形、重疊等，使不規則的圖形變為規則的圖形進行計算；另外須

要駕馭和記憶一些常規的面積規律。

常用方法：

1.連協助線方法

2.利用等底等高的兩個三角形面積相等。

3.大膽假設（有些點的設置題目中說的是隨意點，解題時可把隨意點設置在特殊位

置上）。

4.利用特殊規律

①等腰直角三角形，已知隨意一條邊都可求出面積。（斜邊的平方除以4等于等

腰直角三角形的面積）

②梯形對角線連線后，兩腰部分面積相等。

③圓的面積占外接正方形面積的78.5%o

29.立體圖形

名稱圖形特征表面積體積

8個頂點：6個面：相對的面相等：V=ahh

長方體S=2(ab+ah+bh)

12條棱；相對的棱相等；=Sh

__V

8個頂點；6個面；全部面相等；

正方體S=6a2V=a3

12條棱;全部棱相等；

上下兩底是平行且相等的圓；側面S=S側+2S底

圓柱體V=Sh

綻開后是長方形；S側:Ch

下底是圓；只有一個頂點；1：母線，S=S側+S底

圓錐體V-Sh

A頂點究竟圓周上隨意一點的距離；S側二rl

圓心到圓周上隨意一點的距離是

球體S=4r2V=r3

球的半徑。

30.時鐘問題一快慢表問題

基本思路：

I、依據行程問題中的思、維方法解題：

2、不同的表當成速度不同的運動物體；

3、路程的單位是分格（表一周為60分格）；

4、時間是標準表所經過的時間；

5、合理利用行程問題中的比例關系；

31.時鐘問題一鐘面追及

基本思路：封閉曲線上的追及問題。

關鍵問題：①確定分針與時針的初始位置；QI

②確定分針與時針的路程差；

基本方法：

①分格方法：

時鐘的鐘面圓周被勻稱分成60小格，每小格我們稱為1分格。分針每小時走60分

格，即一周；而時針只走5分格，故分針每分鐘走1分格，時針每分鐘走1/12分格。

②度數方法：

從角度觀點看，鐘面圓周一周是360°,分針每分鐘轉360/60度,即6。，時針每

分鐘轉360/12*60度，即1/2度。

32.濃度與配比

閱歷總結：在配比的過程中存在這樣的一個反比例關系，進行混合的兩種溶液的重量和

他們濃度的變更成反比。

溶質：溶解在其它物質里的物質（例如糖、鹽、酒精等）叫溶質。

溶劑：溶解其它物質的物質（例如水、汽油等）叫溶劑。

溶液：溶質和溶劑混合成的液體（例如鹽水、糖水等）叫溶液。

基本公式：

溶液重量二溶質重量+溶劑重量；

溶質重量二溶液重量X濃度；

濃度二（溶質/溶液）X100%

溶劑二溶液X（1-濃度）

理論部分小練習：試推出溶質、溶液、溶劑三者的其它公式。

閱歷總結：在配比的過程中存在這樣的一個反比例關系，進行混合的兩種溶液的重量和

他們濃度的變更成反比。

33.經濟問題

利潤的百分數二（賣價-成本）?成本X100%；

賣價二成本X（1+利潤的百分數）；

成本=賣價+（1+利潤的百分數）；

商品的定價依據期望的利潤來確定；

定價二成本XQ+期望利潤的百分數）；

本金：儲蓄的金額；

利率：利息和本金的比；

利息二本金X利率X期數；

含稅價格二不含稅價格X（1+增值稅稅率）；

34.簡潔方程

代數式：用運算符號（加減乘除）連接起來的字母或者數字。

方程：含有未知數的等式叫方程。

列方程：把兩個或幾個相等的代數式用等號連起來。

列方程關鍵問題：用兩個以上的不同代數式表示同一個數。

等式性質：等式兩邊同時加上或減去一個數，等式不變；等式兩邊同時乘以或除以一個

數（除0）,等式不變。

移項：把數或式子變更符號后從方程等號的一邊移到另一邊；

移項規則：先移加減.，后變乘除；先去大括號，再去中括號，最終去小括號。

加去括號規則：在只有加減運算的算式里，假如括號前面是“+”號，則添、去括號，

括號里面的運算符號都不變；假如括號前面是“一”號，添、去括號，括號里面的運算

符號都要變更；括號里面的數前沒有“十”或“一”的，都按有“十”處理。

移項關鍵問題：運用等式的性質，移項規則，力口、去括號規則。

乘法安排率：a(b+c)=ab+ac

解方程步驟：①去分母；②去括號；③移項；④合并同類項；⑤求解；

方程組：兒個二元一次方程組成的一組方程。

解方程組的步躲：①消元；②按一元一次方程步驟。

消元的方法：①加減消元；②代入消元。

35.不定方程

一次不定方程：含有兩個未知數的一個方程，叫做二元一次方程，由于它的解不唯一，

所以也叫做二元一次不定方程；

常規方法：視察法、試驗法、枚舉法；

多元不定方程：含有三個未知數的方程叫三元一次方程，它的解也不唯一；

多元不定方程解法：依據已知條件確定一個未知數的值，或者消去一個未知數，這樣就

把三元一次方程變成二元一次不定方程，依據二元一次不定方程解即可；

涉及學問點：列方程、數的整除、大小比較；

解不定方程的步驟：1、列方程；2、消元；3、寫出表達式；4、確定范圍；5、確定特

征；6、確定答案；

技巧總結：A、寫出表達式的技巧：用特征不明顯的未知數表示特征明顯的未知數，同

時考慮用范圍小的未知數表示范圍大的未知數；B、消元技巧：消掉范圍大的未知數；

36.循環小數

一、把循環小數的小數部分化成分數的規則

①純循環小數小數部分化成分數：將一個循環節的數字組成的數作為分子，分母的各位

都是9,9的個數與循環節的位數相同，最終能約分的再約分。

②混循環小數小數部分化成分數：分子是其次個循環節以前的小數部分的數字組成的數

與不循環部分的數字所組成的數之差，分母的頭幾位數字是9,9的個數與一個循環節

的位數相同，末幾位是0,0的個數與不循環部分的位數相同。

二、分數轉化成循環小數的推斷方法：

①一個最簡分數，假如分母中既含有質因數2和5,又含有2和5以外的質因數，那么

這個分數化成的小數必定是混循環小數。

②一個最簡分數，假如分母中只含有2和5以外的質因數，那么這個分數化成的小數必

定是純循環小數。

***1至30的平方

1*1=12*2=43*3=94*4=165*5=256*6=367*7=498*8=649*9=8110*10=10011*11=121

12*12=14413*13=16914*14=19615*15=22516*16=25617*17=28918*18=32419*19=361

20*20=40021*21=44122*22=48423*23=52924*24=57625*25=62526*26=67627*27=729

28*28=78429*29=84130*30=900

***世界上最奇妙的數字是1除以7的循環節：142857

1/7=0.142857142857142857.......................它奇妙在哪里呢？

1、我們把它從1乘到6看看

142857X1=142857

142857X2=285714

142857X3=428571

142857X4=571428

142857X5=714285

142857X6=857142

同樣的6個數字，只是依比調換了位置，反復出現。

2、我們從1乘到6除以7看看

1/7=0.142857...

2/7=0.285714...

3/7=0.428571...

4/7=0.571428...

5/7=0.714285...

6/7=0.857142.

1,3,5分別除以7所得商的規律是循環節的最高位后移，后面的前移。

2,4,6分別除以7所得商的規律是循環節的前兩位后移，后面的前移。

3、那么把它乘以7是多少呢？我們會驚人的發覺是999999

4、142+857=99914+28+57-991+4+2+8+5+7=9+9+9

5、我們用142857乘以142857=20408122449前五位+上后六位的得數是多少呢？

20408+122449=142857

“142857”發覺于埃及金字塔內，它的確是一組奇妙的數字。

***數學小故事：奇妙奇妙的“9”

九，是我們中華民族所崇拜的數字，在中國古代人們的觀念中，將天稱為“九天”、

“九重”、“九霄”；將地劃為“九州”、“九域”；將宗廟稱為“九廟”；道路謂之

“九陌”；山有“九崇”；水日“九河”；地有“九泉”；人分“九級”；官為“九品”。

在古樂古詩中有九辯、九喜、九歌、九章等。九在中國人的心中竟擁有如此奇妙的地位;

作為一個數學愛好者，應當去深化探究它的本質及其它奇妙的蘊意。

《易經》上說，九數含有祥瑞的意思，假如依據“陰陽”來說，奇數為陽，偶數為

陰，而九是陽數中最大的，稱為“極陽數”。十是一個完備的數字，而九接近十而不到

十，具有很強的傾向性，一位數字只有十個，而九是最大的一個，故為數字之極，寓義

崇高。或許，就是這個緣由，九有其最多的奇異特點，最多的趣味性質。

九有一個特別奇異的性質，是其它數字所沒有的。假如要求一個自然數除以九的余

數，則只要將這個數各位數字相加，其和假如仍是兩位以上的數，則再將這個和的各位

數字相加，最終所得的一位數，就是這個自然數除以九的余數。九的這一奇異特點，總

使數學愛好者特別著迷，很多趣味數學嬉戲，都與九的這一規律有關。數學老師常用“湊

九”法驗算學生的算式是否有誤，而“湊九”法就是接受了這一原理。九的倍數的各位

數字之和也確定是九的倍數，可知九的倍數是一個特別和諧圓滿的數系。

八位數12345679,假如將它同九相乘，驚奇的很，其積竟是全由1組成的數字

111111111;如再乘18（九的2倍），可得九個2,乘27（九的3倍），可得九個3.......,直

到乘81,就可以得到九個9.這種整齊統一的特點，給人以多么奇妙的印象啊!或許有人

要問為什么把8去掉，填上會有規律嗎若把7、8都去掉，或把6、7、8都去掉，仍用

九去乘，還有規律嗎答案是確定的。九這個數字就是這么奇妙，我們來看下列算式：

9X9=81

8=1+7

19X9=171

7=1+6

129X9=1161

6=1+5

1239X9=11151

5=1+4

12349X9=111141

4=1+3

123459X9=1111131

3=1+2

1234569X9=11111121

2=1+1

12345679X9=111111111

1=1+0

123456789X9=1111111101

縱觀上面九個算式，不僅算式的結果很有規律，且積的數字之和都為九。第一個算

式到第九個算式的變更，更能顯示稀奇異無比的秩序美。

假如你隨意找來一個兩位以上的自然數，比如是317,將此數打亂，變成173、731、

713吧，我們現在求出新數與原數的差，你猜會有什么結論這些差144、414、396竟然

全是九的倍數。在這里，無論是定數字，還是打亂所找數字的依次，都是多么的為所欲

為啊!可是在這種繁亂中竟能出現規律，這種規律的主宰者卻是九。假如再隨意找一個

兩位以上的數，比方418,①先將它的各位數字之和求出;②用原數減去其數字之和

(418-18),其差405也是九的倍數。

下列算式的確是種簡明的公式：100a+10b+c-(a+b+c)=99a+9b,公式的結果竟然是

一個常數，且還是九的倍數，如所選的數是4位、5位，是否還有規律呢我們敢于確定

地說，九的奇異確定到處再現，無論是多少位，九的統一美的光線定會時時閃爍。

九是一個奇妙的反序數，在算式1089X9=9801中可知，九乘某一個數字，能使其

依次正好顛倒過來。從算式123456789X8+9=987654321中也可知，九加某數也竟能使

其依次顛倒;九也是一個神圣的自補數，因為92=81,1+9=10;992二9801,

1+99=102;9992=998001,1+999=103;……又99X47=4658,而53+47=102,999X

321=320679,而670+321=103,九又是一個奇妙的自生數，93=729,993二970299,

9993=997002999;九也是一個奇異的再植數，從算式109890X9=989010中看出，9竟然

將這個數的最高兩位變成最低兩位。九還是好玩的勾股數中不行缺少的成員：

2+402=412、92+122=152、而40+41=92、12+15=33=3X9.啊!九的奇妙,操縱著多數數學

運算和嬉戲，它不愧為一位宏大的魔術師。

在除法中，九的奇異也使人癡迷。看下列等式：1/9=0.111……,2/9=0.222……,

8/9=0.888……，多有規律啊!在化循環小數為分數時，九又是大顯神手，10是完備的數

字，對于10,9和11是對稱的，這種對稱下也隱臧著很多隱私：1/11=0.09,2/11=0.18,

3/11=0.27,9/11=0.81,10/11=0.90,真巧，分母含11的倍數，化成循環小數，

其循環節的兩個數竟然也是九的倍數。

九，在代數的世界里留有奇妙的蹤跡……

九的好玩性質簡直是太多啦!實在是舉不勝舉。這么獨特的數字，難怪人們特殊喜

愛它，特別崇拜它。正值冬天時，人們不數3,也不數10,偏偏數九：“頭九不算九；

二九凍死狗;三九、四九掩門喚狗;五九、六九水走頭;七九、八九河邊看柳;九九又一九,

犁牛遍地走”。重陽節是雙九，人們特別重視這個節日，因為“九月九”家家有，此時

正是收獲的季節。

唐代詩人孟浩然寫出“待到重陽日，還來就菊花”的詩句，至今始終被文人墨客所

稱道。用九來起名的我國古代數學家泰九韶，所著的書名是《算術九章》，而書中共分

九大類，每類又有九道題，他簡直是九的又一個崇拜者。

過去北京的很多建筑都和“九”這個數目有關。例如，北京城內最早是九個城門，

天安門的城樓是九重樓，故宮四個角樓的結構是九梁十八柱，皇家建筑物大門上的釘數

是縱九橫九，北海和故宮的九龍壁，都是九只龍，更好玩的是天壇有個歷代皇帝祭天的

地方，無論是雪白的石欄桿，或是圓臺上磨平的石塊，其數目都和九字有關。在改革之

年，我信任人們將會以九牛二虎之力，去九天、到九州探寶，朝著九千九百九十九

的通天大路奮勇向前。

九，這個數字王國中的明珠，它太奇妙，太奇妙啦!得到人們最高的崇尚，最好的

贊揚，最多的觀賞，最有情感的偏愛。看起來，它是一個很一般的數，只不過與完備的

數字10差1,只不過是一個完全平方數，只不過是一個最大的個位數，但恰恰就這點緣

由，竟隱藏著變化無窮的隱私，在你隨時隨地的數字運算過程中，或許就會突然發覺九

之規律所在，你會為此興奮不已，感嘆不盡。可你要知道，你這也僅僅是在九的奇異獨

特性質的海岸上，拾到的一塊小小的貝殼而己!要真正地全面了解九的奇妙，九的奇妙,

無論是那個數學愛好者，都必需進行艱苦的探究和堅韌的鉆研。

1x8+1=9

12x8+2=98

123x8+3=987

1234x8+4=9876

12345x8+5=98765

123456x8+6=987654

1234567x8+7=9876543

12345678x8+8=98765432

123456789x8+9=987654321

1x9+2=11

12x9+3=111

123x9+4=1111

1234x9+5=11111

12345x9+6=111111

123456x9+7=

1234567x9+8=

12345678x9+9=111111111

123456789x9+10=1111111111

很炫，是不是？

1x1=1

11x11=121

111x111=12321

1111x1111=1234321

11111x11111=12345432

1111111x111111=1234565432

111111111x11111111=

1111111111x111111111

再看看造彳固封耦式

9x9+7=88

98x9+6=888

987x9+5=8888

9876x9+4=88888

98765x9+3=888888

987654x9+2=8888888

9876543x9+1=88888888

98765432x9+0=888888888

***缺8數12345679事實上與循環小數是一根藤上的瓜，因為:

缺8數的精細結構引起探討者的深厚愛好，人們偶然留意到：

12345679X4=49382716

12345679X5=61728395

前一式的數顛倒過來讀，正好就是后一式的積數。（雖有微小的差異，即5代以4,

而依據“輪休學說”，這正是題中應有之義）

這樣的“回文結對，攜手并進”現象，對（13、14）（22、23）（31、32）（40、

41）等各對乘數（每相鄰兩對乘數的對應公差均等于9）也應如此。例如：

12345679X22=271604938

12345679X23=283950617

前一式的數顛倒過來讀，正好是后一式的積數。（后一式的2移到后面，并5代以

4）

走馬燈

當缺8數乘以19時?，其乘數將是234567901,像走馬燈一樣，原先居其次位的數2

卻成了開路先鋒。例如：

12345679X19=234567901

12345679X28=345679012

12345679X37=456790123

深化的探討顯示，當乘數為一個公

差等于9的算術級數時，出現“走馬燈”的現象。例如：

12345679X8=098765432

12345679X17=209876543

12345679X26=320987654

12345679X35=432098765

一以貫之

當乘數超過81時，乘積將至少是十位數，但上述的各種現象依舊存在，真是“吾

道一以貫之“。例如：

乘數為9的倍數

12345679X243=2999999997

只要把乘積中最左邊的一個數2加到最右邊的7上，仍呈現“清一色”。

乘數為3的倍數，但不是9的倍數

12345679X84=1037037036

只要把乘積中最左邊的一個數1加到最右邊的6上，又出現“三位一體”c

乘數為3K+1或3K+2型

12345679X98=1209876542

表面上看來，乘積中出現雷同的2,但只要把乘積中最左邊的數1加到最右邊的2

上去之后，所得數為209876543,是“缺1”數，仍是輪番“休息”。

輪番休息

當乘數不是9或3的倍數時，此時雖然沒有清一色或三位一體的現象，但仍可以看

到一種奇異性質：乘積的各位數字均無雷同，缺少1個數字，而且存在著明確的規律。

另外，在乘積中缺3、缺6、缺9的狀況確定不存在°例如乘數在區間［10,17］的狀

況（其中12和15因是3的倍數，予以解除）：

12345679X10=123456790（缺8）

12345679X11=135802469（缺7）

12345679X13=160493827（缺5）

12345679X14=172839506（缺4）

12345679X16=197530864（缺2）

12345679X17=209876543（缺1）

乘數在［19,26］及其他區間（區間長度等于7）的狀況與此完全類似。乘積中缺

什么數，就像工廠或商店中職工“輪休”，人人有份，既不多也不少，實在好玩。

三位一體

缺8數乘以3的倍數但不是9的倍數，可以得到“三位一體”，例如：

12345679X12=148148148

12345679X15=185185185

12345679X33=407407407

12345679X57=703703703

12345679X78=962962962

清一色

缺8數乘以9的倍數可以得到“清一色”,例如：

12345679X9=111111111

12345679X18=222222222

12345679X27=333333333

12345679X36=444444444

12345679X45=555555555

12345679X54=666666666

12345679X63=777777777

12345679X72=888888888

12345679X81=999999999

速算公式

【首同末合十的兩位數相乘公式】若兩個兩位數的十位數字都是a,個位上

的數分別為b和c,且b+c=10,則這樣的兩