第一章數和數的運算

—概念

（一）整數

L整數的意義：自然數和。都是整數。

2自然數：我們在數物體的時候，用來表示物體個數的1,2,3……叫做自然數。

一個物體也沒有，用0表示。0也是自然數。

3計數單位：一（個）、十、百、千、萬、十萬、百萬、千萬、億……都是計數單位。

每相鄰兩個計數單位之間的進率都是10o這樣的計數法叫做十進制計數法。

4數位：計數單位按照一定的順序排列起來，它們所占的位置叫做數位。

5數的整除；

（1）整除、倍數、約數：整數a除以整數b（b豐0）,除得的商是整數而沒有余數，我們就說a能被b

整除，或者說b能整除ao

如果數a能被數b（bW0）整除，a就叫做b的倍數，b就叫做a的約數（或a的因數）。倍數和約數

是相互依存的。

例如因為35能被7整除，所以35是7的倍數，7是35的約數。

*?個數的約數的個數是有限的，其中最小的約數是1，最大的約數是它本身。例如：10的約數有1、

2、5、10,其中最小的約數是1,最大的約數是10。

*一個數的倍數的個數是無限的，其中最小的倍數是它本身。3的倍數有：3、6、9、12……其中最

小的倍數是3,沒有最大的倍數。

（2）整除的性質:

*個位上是0、2、4、6、8的數，都能被2整除，例如：202、480、304,都能被2整除

*個位上是?；?的數，都能被5整除，例如：5、30、405都能被5整除。。

一個數的各位上的數的和能被3整除，這個數就能被3整除。

*一個數各位數上的和能被9整除，這個數就能被9整除。

*能被3整除的數不一定能被9整除，但是能被9整除的數一定能被3整除。

*一個數的末兩位數能被4（或25）整除，這個數就能被4（或25）整除。例如：16、404、1256都能被

4整除，50、325、500、1675都能被25整除。

*一個數的末三位數能被8（或125）整除,這個數就能被8（或125）整除。例如：1168、4600、5000、

12344都能被8整除，1125、13375、5000都能被125整除。

（3）奇偶性：能被2整除的數叫做偶數。不能被2整除的數叫做奇數。

0也是偶數。自然數按能否被2整除的特征可分為奇數和偶數。

（4）質數與合數：一個數，如果只有1和它本身兩個約數，這樣的數叫做質數（或素數），100以內的

質數有：2、3、5、7、II、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、

83、89、97o

一個數，如果除了I和它本身還有別的約數，這樣的數叫做合數。

*1不是質數也不是合數，自然數除了1外，不是質數就是合數。如果把自然數按其約數的個數的不

同分類，可分為質數、合數和io

（5）分解質因數：每個合數都可以寫成幾個質數相乘的形式。其中每個質數都是這個合數的因數，叫

做這個合數的質因數，例如15=3X5,3和5叫做15的質因數。

把一個合數用質因數相乘的形式表示出來，叫做分解質因數。

（6）公約數與公倍數：幾個數公有的約數，叫做這幾個數的公約數。其中最大的一個，叫做這幾個數

的最大公約數，例如12的約數有1、2、3、4、6、12;18的約數有1、2、3、6、9、18。其中.1、2、3、

6是12和18的公約數，6是它們的最大公約數。

公約數只有1的兩個數，叫做互質數，成互質關系的兩個數，有以下幾種情況：

*1和任何自然數互質。*相鄰的兩個自然數互質。*兩個不同的質數互質。*當合數不是質數的倍數

的，這個合數和這個質數互質。

*兩個合數的公約數只有1時，這兩個合數互質，如果幾個數中任意兩個都互質,就說這幾個數兩

兩互質。

*如果較小數是較大數的約數，那么較小數就是這兩個數的最大公約數.

*如果兩個數是互質數，它們的最大公約數就是1。

幾個數公有的倍數，叫做這幾個數的公倍數，其中最小的一個，叫做這幾個數的最小公倍數，如2

的倍數有2、4、6、8、10、12、14、16、18……

3的倍數有3、6、9、12……其中6、12、18……是2、3的公倍數，6是它們的最小公倍數,。

如果較大數是較小數的倍數，那么較大數就是這兩個數的最小公倍數。

如果兩個數是互質數，那么這兩個數的積就是它們的最小公倍數。

兒個數的公約數的個數是有限的，而幾個數的公倍數的個數是無限的。

（二）小數

1小數的意義

把整數1平均分成10份、100份、1000份……得到的十分之幾、百分之幾、千分之幾……可以用小

數表示。

一位小數表示十分之幾，兩位小數表示百分之幾，三位小數表示千分之幾……

一個小數由整數局部、小數局部和小數點局部組成。數中的圓點叫做小數點，小數點左邊的數叫做

整數局部，小數點左邊的數叫做整數局部，小數點右邊的數叫做小數局部。

在小數里，每相鄰兩個計數單位之間的進率都是10。小數局部的最高分數單位“十分之一〃和整數

局部的最低單位“一〃之間的進率也是10。

2小數的分類

純小數：整數局部是零的小數，叫做純小數。例如：0.25、0.368都是純小數。

帶小數：整數局部不是零的小數，叫做帶小數。例如：3.25、5.26都是帶小數。

有限小數：小數局部的數位是有限的小數，叫做有限小數。例如：41.7.25.3都是有限小數，

無限小數：小數局部的數位是無限的小數，叫做無限小數。例如：4.33……3.1415926……

無限不循環小數：?個數的小數局部，數字排列無規律且位數無限，這樣的小數叫做無限不循環小數。

例如：n

循環小數：一個數的小數局部，有一個數字或者幾個數字依次不斷重復出現，這個數叫做循環小數。

例如：3.555……0.0333...12.109109……

一個循環小數的小數局部,依次不斷重復出現的數字叫做這個循環小數的循環節。例如：3.99……

的循環節是“9”,0.5454……的循環節是“54”。

純循環小數：循環節從小數局部第一位開始的，叫做純循環小數例如3.111……0.5656……

混循環小數：循環節不是從小數局部第一位開始的叫做混循環小數3.1222…0.03333…

寫循環小數的時候，為了簡便，小數的循環局部只需寫出一個循環節，并在這個循環節的首、末位

數字上各點一個圓點。如果循環節只有一個數字，就只在它的上面點一個點。例如：3.777……簡

寫作0.5302302……簡寫作o

（三）分數

1分數的意義

*把單位"1”平均分成假設干份，表示這樣的一份或者幾份的數叫做分數。

在分數里，中間的橫線叫做分數線;分數線下面的數，叫做分母，表示把單位“1”平均分成多少份;

分數線下面的數叫做分子，表示有這樣的多少份。

把單位“1〃平均分成假設干份，表示其中的一份的數，叫做分數單位。

2分數的分類

真分數：分子比分母小的分數叫做真分數。真分數小于1.

假分數：分子比分母大或者分子和分母相等的分數，叫做假分數。假分數大于或等于1。

帶分數：假分數可以寫成整數與真分數合成的數，通常叫做帶分數。

3約分和通分

把一個分數化成同它相等但是分子、分母都比擬小的分數，叫做約分。

分子分母是互質數的分數，叫做最簡分數。

把異分母分數分別化成和原來分數相等的同分母分數，叫做通分。

（四）百分數

1表示一個數是另一個數的百分之幾的數叫做百分數,也叫做百分率或百分比。百分數通常用“％”來表

示。百分號是表示百分數的符號。

二方法

（一）數的讀法和寫法

1.整數的讀法：從高位到低位，i級i級地讀。讀億級、萬級時，先按照個級的讀法去讀，再在后

面加一個“億"或"萬"字。每一級末尾的0都不讀出來，其它數位連續有兒個。都只讀一個零。

2.整數的寫法：從高位到低位，一級一級地寫，哪一個數位上一個單位也沒有，就在那個數位上寫

Oo

3.小數的讀法：讀小數的時候，整數局部按照整數的讀法讀，小數點讀作“點〃，小數局部從左向

右順次讀出每一位數位上的數字。

4.小數的寫法：寫小數的時候，整數局部按照整數的寫法來寫，小數點寫在個位右下角,小數局部

順次寫出每一個數位上的數字。

5.分數的讀法：讀分數時，先讀分母再讀“分之”然后讀分子，分子和分母按照整數的讀法來讀。

6.分數的寫法：先寫分數線，再寫分母，最后寫分子，按照整數的寫法來寫。

7.百分數的讀法：讀百分數時，先讀百分之，再讀百分號前面的數，讀數時按照整數的讀法來讀。

8.百分數寫法：百分數通常不寫成分數形式，而在原來的分子后面加上百分號"％"表示。

（二）數的改寫

一個較大的多位數，為了讀寫方便，常常把它改寫成用“萬〃或"億”作單位的數。有時還可以根

據需要，省略這個數某一位后面的數，寫成近似數。

I.準確數：在實際生活中，為了計數的簡便，可以把一個較大的數改寫成以萬或億為單位的數。改

寫后的數是原數的準確數。例如把1254300000改寫成以萬做單位的數是125430萬;改寫成以億做單

位的數12.543億。

2.近似數：根據實際需要，我們還可以把一個較大的數，省略某一位后面的尾數，用一個近似數來

表不。例如：1302490（）15省咯億后面的尾數是13億。

3.四舍五入法：要省略的尾數的最高位上的數是4或者比4小，就把尾數去掉;如果尾數的最高位

上的數是5或者比5大，就把尾數舍去，并向它的前一位進1。例如：省略345900萬后面的尾數約是35

萬.省略4725097420億后面的尾數約是47億。

4.大小比擬

比擬整數大?。罕葦M整數的大小，位數多的那個數就大，如果位數相同，就看最高位，最高位上的數大,

那個數就大;最高位上的數相同，就看下一位，哪一位上的數大那個數就大。

（2）比擬小數的大?。合瓤此鼈兊恼麛稻植?，，整數局部大的那個數就大;整數局部相同的，十分位上

的數大的那個數就大;十分位上的數也相同的，百分位上的數大的那個數就大……

（3）比擬分數的大小:分母相同的分數，分子大的分數比擬大;分子相同的數，分母小的分數大。分數

的分母和分子都不相同的，先通分，再比擬兩個數的大小。

（三）數的互化

I.小數化成分數：原來有幾位小數，就在1的后面寫幾個零作分母，把原來的小數去掉小數點作分

子，能約分的要約分。

2.分數化成小數：用分母去除分子。能除盡的就化成有限小數，有的不能除盡，不能化成有限小數

的，一般保存三位小數。

3.一個最簡分數，如果分母中除了2和5以外，不含有其也的質因數，這個分數就能化成有限小數;

如果分母中含有2和5以外的質因數，這個分數就不能化成有限小數。

4.小數化成百分數：只要把小數點向右移動兩位，同時在后面添上百分號。

5百分數化成小數：把百分數化成小數，只要把百分號去掉，同時把小數點向左移動兩位，

6.分數化成百分數：通常先把分數化成小數（除不盡時，通常保存三位小數），再把小數化成百分數。

7.百分數化成小數：先把百分數改寫成分數，能約分的要約成最簡分數。

（四）數的整除

I.把一個合數分解質因數，通常用短除法。先用能整除這個合數的質數去除，一直除到商是質數為

止，再把除數和商寫成連乘的形式。

2.求幾個數的最大公約數的方法是：先用這幾個數的公約數連續去除，一直除到所得的商只有公約數

1為止，然后把所有的除數連乘求積，這個積就是這幾個數的的最大公約數。

3.求幾個數的最小公倍數的方法是：先用這幾個數（或其一的局部數）的公約數去除，一直除到互質

（或兩兩互質）為止，然后把所有的除數和商連乘求積，這個積就是這幾個數的最小公倍數。

4.成為互質關系的兩個數：1和任何自然數互質；相鄰的兩個自然數互質；當合數不是質數的倍數

時，這個合數和這個質數互質；兩個合數的公約數只有I時，這兩個合數互質。

（五）約分和通分

約分的方法：用分子和分母的公約數（1除外）去除分子、分母;通常要除到得出最簡分數為止。

通分的方法：先求出原來的幾個分數分母的最小公倍數，然后把各分數化成用這個最小公倍數作分

母的分數。

三性質和規律

（一）商不變的規律

商不變的規律：在除法里，被除數和除數同時擴大或者同時縮小相同的倍，商不變。

（二）小數的性質小數的性質：在小數的末尾添上零或者去掉零小數的大小不變。

（三）小數點位置的移動引起小數大小的變化

I.小數點向右移動一位，原來的數就擴大10倍;小數點向右移動兩位，原來的數就擴大100倍;小

數點向右移動三位，原來的數就擴大1000倍……

2.小數點向左移動一位，原來的數就縮小10倍;小數點向左移動兩位，原來的數就縮小100倍;小

數點向左移動三位，原來的數就縮小1000倍……

3.小數點向左移或者向右移位數不夠時，要用“0”補足位。

（四）分數的根本性質

分數的根本性質：分數的分子和分母都乘以或者除以相I可的數（零除外），分數的大小小變。

（五）分數與除法的關系

1.被除數?除數=被除數/除數

2.因為零不能作除數，所以分數的分母不能為零。

3.被除數相當于分子，除數相當于分母。

四運算的意義

（一）整數四則運算

I整數加法：

把兩個數合并成一個數的運算叫做加法。

在加法里，相加的數叫做加數，加得的數叫做和。加數是局部數，和是總數。

加數+加數二和一個加數二和-另一個加數

2整數減法：

兩個加數的和與其中的一個加數，求另一個加數的運算叫做減法。

在減法里，的和叫做被減數，的加數叫做減數，未知的加數叫做差。被減數是總數，減數和差分別

是局部數。

加法和減法互為逆運算。

3整數乘法：

求幾個相同加數的和的簡便運算叫做乘法。

在乘法里，相同的加數和相同加數的個數都叫做因數。相同加數的和叫做積。

在乘法里,0和任何數相乘都得0I和任何數相乘都的任訶數。

一個因數X一個因數二積一個因數;積?另一個因數

4整數除法：

兩個因數的積與其中一個因數，求另一個因數的運算叫做除法。

在除法里，的積叫做被除數，的一個因數叫做除數，所求的因數叫做商。

乘法和除法互為逆運算。

在除法里，0不能做除數。因為0和任何數相乘都得0,所以任何一個數除以0,均得不到一個確定

的商。

被除數?除數二商除數=被除數+商被除數=商義除數

(二)小數四則運算

1.小數加法：

小數加法的意義與整數加法的意義相同。是把兩個數合并成一個數的運算。

2.小數減法：

小數減法的意義與整數減法的意義相同。兩個加數的和與其中的一個加數，求另一個加數的運算.

3.小數乘法：

小數乘整數的意義和整數乘法的意義相同，就是求幾個相同加數和的簡便運算;?個數乘純小數的意

義是求這個數的十分之幾、百分之幾、千分之兒……是多少。

4.小數除法：

小數除法的意義與整數除法的意義相同，就是兩個囚數的枳與其中一個囚數，求另一個區數的運算。

5.乘方：

求幾個相同因數的積的運算叫做乘方。例如3X3=32

(三)分數四則運算

1.分數加法：分數加法的意義與整數加法的意義相同。是壬兩個數合并成一個數的運算。

2.分數減法：分數減法的意義與整數減法的意義相同。兩個加數的和與其中的一個加數.求另一個

加數的運算。

3.分數乘法：分數乘法的意義與整數乘法的意義相同，就是求幾個相同加數和的簡便運算。

4.乘積是1的兩個數叫做互為倒數。

5.分數除法：分數除法的意義與整數除法的意義相同。就是兩個因數的枳與其中一個因數，求另一

個因數的運算。

(四)運算定律

1.加法交換律：兩個數相加，交換加數的位置，它們的和不變，即a+b=b+a。

2.加法結合律：三個數相加，先把前兩個數相加，再加上第三個數;或者先把后兩個數相加，再和

第一個數相加它們的和不變，即(a+b)+c=a+(b+c)。

3.乘法交換律：兩個數相乘，交換因數的位置它們的積不變，即aXb二bXa。

4.乘法結合律：三個數相乘，先把前兩個數相乘，再乘以第三個數;或者先把后兩個數相乘，再和

第一個數相乘，它們的積不變,W(aXb)Xc=aX(bXc)0

5.乘法分配律：兩個數的和與一個數相乘，可以把兩個加數分別與這個數相乘再把兩個積相加，即

(a+b)Xc=aXc+bXc。

6.減法的性質：從一個數里連續減去幾個數，可以從這個數里減去所有減數的和，差不變，即

a-b-c=a-(b+c)。

(五)運算法則1.整數加法計算法則：相同數位對齊，從低位加起，哪一位上的數相加滿十，就向

前一位進一。

2.整數減法計算法則：相同數位對齊，從低位加起，哪一位上的數不夠減，就從它的前一位退一

作十，和本位上的數合并在一起，再減。

3.整數乘法計算法則：先用一個因數每一位上的數分別去乘另一個因數各個數位上的數，用因數

邸?位上的數去乘，乘得的數的末尾就對齊哪一位，然后把各次乘得的數加起來。

4整數除法計算法則：先從被除數的高位除起，除數是幾位數，就看被除數的前幾位：如果不夠

除，就多看一位，除到被除數的哪一位，商就寫在哪一位的上面。如果哪一位上不夠商1,要補“0”占

位。每次除得的余數要小于除數。

5.小數乘法法則：先按照整數乘法的計算法則算出積，再看因數中共有幾位小數，就從根的右

邊起數出幾位，點上小數點;如果位數不夠，就用“0"補足。

6.除數是整數的小數除法計算法則：先按照整數除法的法則去除，商的小數點要和被除數的小

數點對齊;如果除到被除數的末尾仍有余數，就在余數后面添“0”,再繼續除。

7.除數是小數的除法計算法則：先移動除數的小數點，使它變成整數，除數的小數點也向右移動

幾位（位數不夠的補"0"）,然后按照除數是整數的除法法則進行計算。

8.同分母分數加減法計算方法:同分母分數相加減，只把分子相加減，分母不變。

9.異分母分數加減法計算方法:先通分，然后按照同分母分數加減法的的法則進行計算。

10.帶分數加減法的計算方法:整數局部和分數局部分別相加減，再把所得的數合并起來。

11.分數乘法的計算法則分數乘整數，用分數的分子和整數相乘的積作分子，分母不變;分數乘分

數，用分子相乘的積作分子，分母相乘的積作分母。

12.分數除法的計算法則:甲數除以乙數（0除外），等于甲數乘乙數的倒數。

（六）運算順序

I.小數四則運算的運算順序和整數四則運算順序相同。

2.分數四則運算的運算順序和整數四則運算順序相同。

3.沒有括號的混合運算：

同級運算從左往右依次運算;兩級運算先算乘、除法，后算加減法。

4.有括號的混合運算：

先算小括號里面的，再算中括號里面的，最后算括號外面的。

5.第一級運算：加法和減法叫做第一級運算。

6.第二級運算：乘法和除法叫做第二級運算。

五應用

（一）整數和小數的應用

I簡單應用題

簡單應用題：只含有一種根本數量關系，或用一步運算解答的應用題，通常叫做簡單應用題,

（2）解題步驟：

a審題理解題意：了解應用題的內容，知道應用題的條件和問題。讀題時，不丟字不添字邊讀邊思

考，弄明白題中每句話的意思。也可以復述條件和問題，幫助理解題意。

b選擇算法和列式計算：這是解容許用題的中心工作。從題目中告訴什么，要求什么著手，逐步根

據所給的條件和問題，聯系四則運算的含義，分析數量關系，確定算法，進行解答并標明正確的單位

名稱。

C檢驗：就是根據應用題的條件和問題進行檢查看所列算式和計算過程是否正確，是否符合題意。

如果發現錯誤，馬上改正。

2復合應用題

（。有兩個或兩個以上的根本數量關系組成的，用兩步或兩步以上運算解答的應用題，通常叫做復合

應用題。

（2）含有三個條件的兩步計算的應用題。

求比兩個數的和多（少）幾個數的應用題。

比擬兩數差與倍數關系的應用題。

（3）含有兩個條件的兩步計算的應用題。

兩數相差多少（或倍數關系）與其中一個數，求兩個數的和（或差）。

兩數之和與其中一個數，求兩個數相差多少（或倍數關系）c

（4）解答連乘連除應用題。

(5)解答三步計算的應用題。

(6)解答小數計算的應用題：小數計算的加法、減法、乘法和除法的應用題，他們的數量關系、結構、

和解題方式都與正式應用題根本相同，只是在數或未知數中間含有小數。

d答案：根據計算的結果，先口答，逐步過渡到筆答。

(3)解答加法應用題：

a求總數的應用題：甲數是多少，乙數是多少，求甲乙兩數的和是多少。

b求比一個數多幾的數應用題：甲數是多少和乙數比甲數多多少，求乙數是多少。

(4)解答減法應用題：

a求剩余的應用題：從數中去掉一局部，求剩下的局部。

-b求兩個數相差的多少的應用題；甲乙兩數各是多少，求甲數比乙數多多少，或乙數比甲數少多少。

c求比一個數少幾的數的應用邈：甲數是多少，，乙數比甲數少多少，求乙數是多少。

(5)解答乘法應用題：

a求相同加數和的應用題：相同的加數和相同加數的個數，求總數。

b求一個數的幾倍是多少的應用題：一個數是多少，另一個數是它的幾倍，求另一個數是多少。

(6)解答除法應用題：

a把一個數平均分成幾份，求每一份是多少的應用題：一個數和把這個數平均分成幾份的，求每一份是

多少。

b求一個數里包含幾個另一個數的應用題：一個數和每份是多少，求可以分成幾份。

C求一個數是另一個數的的幾倍的應用題：甲數乙數各是多少，求較大數是較小數的幾倍。

d一個數的幾倍是多少，求這個數的應用題。

(7)常見的數量關系：

總價:單價X數量;路程=速度X時間;工作總量;工作時間義工效;總產量=單產量X數量

3典型應用題

具有獨特的結構特征的和特定的解題規律的復合應用題，通常叫做典型應用題。

(1)平均數問題：平均數是筆分除法的開展。

解題關鍵：在「確定總數量和與之相對應的總份數。

算術平均數：幾個不相等的同類量和與之相對應的份數，求平均每份是多少。數量關系式：數量之

和小數量的個數=算術平均數。

加權平均數：兩個以上假設干份的平均數，求總平均數是多少。

數量關系式(局部平均數X權數)的總和+(權數的和戶加權平均數。

差額平均數：是把各個大于或小于標準數的局部之和被總份數均分，求的是標準數與各數相差之和

的平均數。

數量關系式：(大數-小數戶2=小數應得數最大數與各數之差的和+總份數=最大數應給數最大數

與個數之差的和小總份數:最小數應得數。

例：一輛汽車以每小時10()千米的速度從甲地開往乙地，又以每小時60千米的速度從乙地開往

卬地。求這輛車的平均速度。

分析：求汽車的平均速度同樣可以利用公式。此題可以把甲地到乙地的路程設為“1”，那么汽

車行駛的總路程為“2〃，從甲地到乙地的速度為100,所用的時間為100,汽車從乙地到甲地

速度為60千米，所用的時間是1?60,汽車共行的時間為1?100+1+60,汽車的平均速度為2?

(14-100+14-60)=75(千米)

(2)歸一問題：相互關聯的兩個量，其中一種量改變，另一種量也隨之而改變，其變化的規律是相同

的，這種問題稱之為歸一問題。

根據求“單一量”的步驟的多少，歸一問題可以分為一次歸一問題，兩次歸一問題。

根據球癡單一量之后，解題采用乘法還是除法，歸一問題可以分為正歸一問題，反歸一問題,

一次歸一問題，用一步運算就能求出“單一量〃的歸一問題。又稱“單歸一。〃

兩次歸一問題，用兩步運算就能求出“單一量”的歸一問題。又稱“雙歸一。〃

正歸一問題：用等分除法求出“單一量”之后，再用乘法計算結果的歸一問題。

反歸一問題：用等分除法求出“單一量〃之后，再用除法計算結果的歸一問題。

解題關鍵：從的一組對應量中用等分除法求出一份的數量（單一量），然后以它為標準，根據題目的

要求算出結果。

數量關系式：單一量X份數=總數量（正歸一）

總數量+單一量二份數（反歸一）

例一個織布工人，在七月份織布4774米，照這樣計算，織布6930米，需要多少天？

分析：必須先求出平均每天織布多少米，就是單一量。69304-（47744-31）=45（天）

（3）歸總問題：是單位數量和計量單位數量的個數，以及不同的單位數量（或單位數量的個數），通過

求總數量求得單位數量的個數（或單位數量）。

特點：兩種相關聯的量，其中一種量變化，另一種量也跟著變化，不過變化的規律相反，和反比例

算法彼此相通。

數量關系式：單位數量X單位個數?另一個單位數量=另一個單位數量單位數量X單位個數?另一

個單位數量=另一個單位數量。

例修一條水渠，原方案每天修800米，6天修完。實際4天修完，每天修了多少米？

分析：因為要求出每天修的長度，就必須先求出水渠的長度。所以也把這類應用題叫做“歸總問題”。

不同之處是“歸一”先求出單一量，再求總量，歸總問題是先求出總量，再求單一量。800X64-

4=1200（米）

（4）和差問題：大小兩個數的和，以及他們的差，求這兩個數各是多少的應用題叫做和差問題。

解題關鍵：是把大小兩個數的和轉化成兩個大數的和（或兩個小數的和），然后再求另一個數。

解題規律：（和+差）+2=大數大數-差二小數

（和一差）+2二小數和-小數=大數

例某加工廠甲班和乙班共有工人94人，因工作需要臨時從乙班調46人到甲班工作，這時乙班

比甲班人數少12人，求原來甲班和乙班各有多少人？

分析：從乙班調46人到甲班，對于總數沒有變化，現在把乙數轉化成2個乙班，即94?12,

由此得到現在的乙班是（94-12）+2=41（人），乙班在調出46人之前應該為41+46=87（A）,甲班為9

4-87=7（A）

（5）和倍問題：兩個數的和及它們之間的倍數關系，求兩個數各是多少的應用題，叫做和倍問題。

解題關鍵：找準標準數（即1倍數）一般說來，題中說是“淮〃的幾倍，把誰就確定為標準數。求出

倍數和之后，再求出標準的數量是多少。根據另一個數（也可能是幾個數）與標準數的倍數關系，再去求

另一個數（或幾個數）的數量。

解題規律：和彳倍數和二標準數標準數X倍數;另一個數

例:汽車運輸場有大小貨車115輛，大貨車比小貨車的5倍多7輛，運輸場有大貨車和小汽車各

有多少輛？

分析：大貨車比小貨車的5倍還多7輛，這7輛也在總數115輛內，為了使總數與（5+1）倍對應，

總車輛數應（115-7）輛。

列式為（115-7）+（5+1）=18（輛），18X5+7=97（輛）

（6）差倍問題：兩個數的差，及兩個數的倍數關系，求兩個數各是多少的應用題。

解題規律：兩個數的差+（倍數-1）=標準數標準數X倍數;另一個數。

例甲乙兩根繩子，甲繩長63米，乙繩長29米，兩根繩剪去同樣的長度，結果甲所剩的長度

是乙繩長的3倍，甲乙兩繩所剩長度各多少米？各減去多少米？

分析：兩根繩子剪去相同的一段，長度差沒變，甲繩所剩的長度是乙繩的3倍，實比乙繩多（3-1）

倍，以乙繩的長度為標準數。列式（63-29）+（3/）=17（米）…乙繩剩下的長度,17X3=51（米）…甲繩

剩下的長度，29-17=12（米）…剪去的長度。

（7）行程問題：關于走路、行車等問題，一般都是計算路程、時間、速度，叫做行程問題.解答這類

問題首先要搞清楚速度、時間、路程、方向、杜速度和、速度差等概念，了解他們之間的關系，再根據

這類問題的規律解答.

解題關鍵及規律：

同時同地相背而行：路程=速度和X時間。同時相向而行：相遇時間=速度和X時間

同時同向而行（速度慢的在前，快的在后）：追及時間;路程速度差。

同時同地同向而行（速度慢的在后，快的在前）：路程二速度差X時間。

例甲在乙的后面28千米，兩人同時同向而行，甲每小時行16千米，乙每小時行9千米，

甲幾小時追上乙？

分析：甲每小時比乙多行（16-9］千米，也就是甲每小時可以追近乙（16-9）千米，這是速度差，

甲在乙的后面28千米（追擊路程），28千米里包含著幾個（16-9）千米，也就是追擊所需要的時

間。列式28+（16-9）=4（小時）

（8）流水問題：一般是研究船在“流水”中航行的問題。它是行程問題中比擬特殊的一種類型，它也

是一種和差問題。它的特點主要是考慮水速在逆行和順行中的不同作用。

船速：船在靜水中航行的速度。水速：水流動的速度。

順水速度：船順流航行的速度。逆水速度：船逆流航行的速度。

順速二船速+水速;逆速二船速-水速

解題關鍵：因為順流速度是船速與水速的和，逆流速度是船速與水速的差，所以流水問題當作和差

問題解答。解題時要以水流為線索。

解題規律：船行速度二（順水速度+逆流速度）+2;流水速度二（順流速度逆流速度）+2

路程=順流速度x順流航行所需時間;路程二逆流速度x逆流航行所需時間

例一只輪船從甲地開往乙地順水而行，每小時行28千米，到乙地后，又逆水航行，回到甲地。

逆水比順水多行2小時，水速每小時4千米。求甲乙兩地相距多少千米？

分析：此題必須先知道順水的速度和順水所需要的時間，或者逆水速度和逆水的時間。順水速度和

水流速度，因此不難算出逆水的速度，但順水所用的時間，逆水所用的時間不知道，只知道順水比逆

水少用2小時，抓住這一點，就可以就能算出順水從甲地到乙地的所用的時間，這樣就能算出甲乙兩

地的路程。列式為284X2=20（千米）20X2=40（千米）4）+（4義2）=5（小時）28X5=140（千

米）。

（9）復原問題：某未知數，經過一定的四則運算后所得的結果，求這個未知數的應用題，我們叫做復原

問題。

解題關鍵：要弄清每一步變化與未知數的關系。

解題規律：從最后結果出發，采用與原題中相反的運算（逆運算）方法，逐步推導出原數。

根據原題的運算順序列出數量關系，然后采用逆運算的方法計算推導出原數。

解答復原問題時注意觀察運算的順序。假設需要先算加減法，后算乘除法時別忘記寫括號。

例某小學三年級四個班共有學生168人，如果四班調3人到三班，三班調6人到二班，二班調6

人到一班，一班調2人到四班，那么四個班的人數相等，四個班原有學生多少人？

分析：當四個班人數相等時.應為168?4,以四班為例，它調給三班3人，又從一班調入2人,

所以四班原有的人數減去3再加上2等于平均數。四班原有人數列式為168+4-2+3=43（人）

一班原有人數列式為1684-4-6+2=38（人）二班原有人數列式為168+4-6+6=42（人］三班原有

人數列式為1684-4-3+6=45（人）。

（10）植樹問題：這類應用題是以“植樹”為內容。但凡研究總路程、株距、段數、棵樹四種數量關

系的應用題，叫做植樹問題。

解題關鍵：解答植樹問題首先要判斷地形，分清是否封閉圖形，從而確定是沿線段植樹還是沿周長

植樹，然后按根本公式進行計算。

解題規律：沿線段植樹：

*棵樹二段數+1棵樹=總路程+株距+1；*株距=總路程小（棵樹-1）總路程=株距X（棵樹-1）

沿周長植樹：

棵樹二總路程?株距株距二總路程+棵樹總路程二株距X棵樹

例沿公路一旁埋電線桿301根，每相鄰的兩根的間距是50米。后來全部改裝，只埋了201根.

求改裝后每相鄰兩根的間距。

分析：此題是沿線段埋電線桿，要把電線桿的根數減掠一。列式為50X（301-1）+（201/）=75（米）

（11）盈虧問題：是在等分除法的根底上開展起來的。他的特點是把一定數量的物品，平均分配給一

定數量的人，在兩次分配中，一次有余，一次缺乏（或兩次都有余，或兩次都缺乏），所余和缺乏的數量,

求物品適量和參加分配人數的問題，叫盈虧問題。

解題關?。河潌栴}的解法要點是先求兩次分配中分配者沒份所得物品數量的差，再求兩次分配中

各次共分物品的差（也稱總差額），用前一個差去除后一個差，就得到分配者的數，進而再求得物品數。

解題規律：總差額+每人差額=人數

總差額的求法可以分為以下四種情況；

第一次多余，第二次缺乏，總差額:多余+缺乏

第一次正好，第二次多余或缺乏，總差額=多余或缺乏

第一次多余，第二次也多余，總差額:大多余-小多余

第一次缺乏，第二次也缺乏，總差額=大缺乏-小缺乏

例參加美術小組的同學，每個人分的相同的支數的色筆，如果小組10人,那么多25支，如果

小組有12人，色筆多余5支。求每人分得幾支?共有多少支色鉛筆？

分析：每個同學分到的色筆相等。這個活動小組有12人,比10人多2人,而色筆多出了（25-5）

二20支，2個人多出20支，一個人分得10支。列式為（25-5）：（12-10）=10（支）10X12+5=125

（支）。

（12）年齡問題：將差為一定值的兩個數作為題中的一個條件，這種應用題被稱為“年齡問題”。

解題關鍵：年齡問題與和差、和倍、差倍問題類似，主要特點是隨著時間的變化，年歲不斷增長,

但大小兩個不同年齡的差是不會改變的，因此，年齡問題是一種“差不變”的問題，解題時.，要善于利

用差不變的特點。

例父親48歲，兒子21歲。問幾年前父親的年齡是兒子的4倍?

分析?：父子的年齡差為4821=27（歲）。由于幾年前父親年齡是兒子的4倍，可知父子年齡的倍數

差是（4-1）倍。這樣可以算出兒年前父子的年齡，從而可以求出幾年前父親的年齡是兒子的4倍。列式

為:21-（48-21）4-（4-1）=12（年）

（13）雞兔問題：“雞兔”的總頭數和總腿數。求“雞”和"兔”各多少只的一類應用題。通常稱為“雞

兔問題”又稱雞兔同籠問題

解題關鍵：解答雞兔問題一般采用假設法，假設全是一種動物（如全是“雞”或全是"兔”，然后

根據出現的腿數差，可推算出某一種的頭數。

解題規律：（總腿數-雞腿數X總頭數）+?只雞兔腿數的差二兔子只數

兔子只數=（總腿數-2X總頭數）+2

如果假設全是兔子，可以有下面的式子：

雞的只數=（4X總頭數-總腿數）+2

兔的頭數;總頭數-雞的只數

例雞兔同籠共50個頭，170條腿。問雞兔各有多少只？

兔子只數（170-2X50）4-2=35（只）雞的只數50-35=15（R）

（二）分數和百分數的應用

1分數加減法應用題：

分數加減法的應用題與整數加減法的應用題的結構、數量關系和解題方法根本相同，所不同的只是

在數或未知數中含有分數。

2分數乘法應用題：

是指一個數，求它的幾分之幾是多少的應用題。

特征：單位“1”的量和分率，求與分率所對應的實際數量。

解題關鍵：準確判斷單位“I”的量。找準要求問題所對應的分率，然后根據一個數乘分數的意義

正確列式。

3分數除法應用題：

求一個數是另一個數的幾分之兒（或百分之幾）是多少.

特征：一個數和另一個數，求一個數是另一個數的幾分之幾或百分之幾?！耙粋€數〃是比擬量，“另

一個數”是標準量。求分率或百分率，也就是求他們的倍數關系。

解題關鍵：從問題入手，搞清把誰看作標準的數也就是把誰看作了“單位一"，誰和單位一的量作

比擬，誰就作被除數。

甲是乙的幾分之幾（百分之幾）:甲是比擬量，乙是標準量，用甲除以乙。

甲比乙多（或少）幾分之幾（百分之幾）：甲減乙比乙多（或少幾分之幾）或（百分之幾）。關系式（甲數減乙

數）/乙數或（甲數減乙數）/甲數。

一個數的幾分之幾（或百分之幾），求這個數。

特征：一個實際數量和它相對應的分率，求單位“1”的宣。

解題關鍵：準確判斷單位“1”的量把單位“1”的量看成x根據分數乘法的意義列方程，或者根據

分數除法的意義列算式，但必須找準和分率相對應的實際數量。

4出勤率

發芽率二發芽種子數/試驗種子數X100%

小麥的出粉率=面粉的重量/小麥的重量x100%

產品的合格率=合格的產品數/產品總數X100%

職工的出勤率=實際出勒人數/應出勤人數X100%

5工程問題：

是分數應用題的特例，它與整數的工作問題有著密切的聯系。它是探討工作總量、工作效率和工作

時間三個數量之間相互關系的一種應用題。

解題關鍵：把工作總量看作單位“1”,工作效率就是工作時間的倒數，然后根據題目的具體情況,

靈活運用公式。

數量關系式：

工作總量=工作效率X工作時間；工作效率=工作總量+工作時間

工作時間=工作總量+工作效率；工作總量?工作效率和二合作時間

6納稅

納稅就是把根據國家各種稅法的有關規定，按照一定的比率把集體或個人收入的一局部繳納給國家。

繳納的稅款叫應納稅款。

應納稅額與各種收入的（銷售額、營業額、應納稅所得額……）的比率叫做稅率。

*利息

存入銀行的錢叫做本金。

取款時銀行多支付的錢叫做利息。

利息與本金的比值叫做利率。

利息二本金X利率X時間

第二章度量衡

一長度

（一）什么是長度

長度是一維空間的度量。

（二）長度常用單位

*公里（km）*米（m）*分米（dm）*厘米（cm）*毫米（mm）*微米（um）

二面積

（一）什么是面積

面積，就是物體所占平面的大小。對立體物體的外表的多少的測量一般稱外表積。

（二）常用的面積單位

*平方亳米*平方厘米*平方分米*平方米*平方千米

（三）面積單位的換算

*I平方厘米=100平方亳米*1平方分米=10（）平方厘米*1平方米=100平方分米

*1公傾=10000平方米*1平方公里=100公頃

三體積和容積

（一）什么是體積、容積

體積，就是物體所占空間的大小。

容積，箱子、油桶、倉庫等所能容納物體的體積，通常叫做它們的容積。

（二）常用單位

1體積單位

*立方米*立方分米*立方厘米

2容積單位*升*亳升

（三）單位換算

1體積單位

*1立方米=1000立方分米;*1立方分米=1000立方厘米

2容積單位

*I升=1000亳升產1升=1立方米；*1亳升=1立方厘米

四質量

（一）什么是質鼠

質量，就是表示表示物體有多重。

（二）常用單位

*噸I*千克kg*克g

（三）常用換算

*一噸=1000千克;*1千克=1000克

五時間

（一）什么是時間

是指有起點和終點的一段時間

（二）常用單位

世紀、年、月、日、時、分、秒

（三）單位換算

*1世紀二100年;*1年=365天平年;*一年二366天閏年

*一、三、五、七、八、十、十二是大月大月有31天

*四、六、九、H"?一是小月小月小月有30天

*平年2月有28天閏年2月有29天

*1天=24小時*1小時=60分*一分=60秒

笫三章代數初步知識

一、用字母表示數

1用字母表示數的意義和作用

*用字母表示數，可以把數量關系簡明的表達出來，同時也可以表示運算的結果。

2用字母表示常見的數量關系、運算定律和性質、幾何形體的計算公式

（1）常見的數量關系

路程用S表示，速度V用表示，時間用t表示，三者之間的關系：s=vtv=s/tt=s/v

總價用a表示，單價用b表示，數量用c表示，三者之間的關系:a=bcb=a/cc=a/b

（2）運算定律和性質

加法交換律：a+b=b+a

加法結合律：（a+b）+c=a+（b-c）

乘法交換律：ab=ba

乘法結合律：(ab)c=a(bc)

乘法分配律：(a+b)c=ac+bc

減法的性質：a-(b+c)=a-b-c

(3)用字母表示幾何形體的公式

長方形的長用a表示，寬用b表示，周長用c表示，面積用s表示：c=2(a+b)s二ab

正方形的邊長a用表示，周長用c表示，面枳用s表示：c=4as=a2

平行四邊形的底a用表示，高用h表示，面積用s表示：s二ah

三角形的底用a表示，高用h表示，面積用s表示：s=ah/2

梯形的上底用a表示，下底b用表示，高用h表示，中位線用m表示，面積用s表示;s=(a+b)h/2;s=mh

圓的半徑用r表示，直徑用d表示，周長用c表示，面積用s表示：c=Hd=2nrs=nr2

扇形的半徑用r表示，n表示圓心角的度數，面積用s表示：s=FInr2/360

長方體的長用a表示，寬用b表示，高用h表示，外表積用s表示，體積用v表示：

v=sh;s=2(ab+ah+bh);v=abh

正方體的棱長用a表示，底面周長c用表示，底面積用s表示為積用v表示：s=6a?;v=a3

圓柱的高用h表示，底面周長用c表示，底面積用s表示，體積用v表示.：sM=ch;s於s側+2s

底;v=sh

圓錐的高用h表示，底面積用s表示，體積用v表示.：v=sh/3

3用字母表示數的寫法

數字和字母、字母和字母相乘時，乘號可以記作，或者省略不寫，數字要寫在字母的前面。

當"1"與任何字母相乘時，“1”省略不寫。

在一個問題中，同一個字母表示同一個量，不同的量用不同的字母表示。

用含有字母的式子表示問題的答案時，除數一般寫成分母，如果式子中有加號或者減號，要先用括

號把含字母的式子括起來，再在括號后面寫上單位的名稱。

4將數值代入式子求值

*把具體的數代入式子求值時，要注意書寫格式：先寫出字母等于兒，然后寫出原式，再把數代入

式子求值。字母表示的是數，后面不寫單位名稱。

*同一個式子，式子中所含字母取小同的數值，那么所求出的式子的值也小相同。

二、簡易方程

(一)方程和方程的解

1方程：含有未知數的等式叫做方程。

注意方程是等式，又含有未知數，兩者缺一不可。

方程和算術式不同。算術式是一個式子，它由運算符號和數組成，它表示未知數。方程是一個等式,

在方程里的未知數可以參加運算，并且只有當未知數為特定的數值時，方程才成立。

2方程的解：使方程左右兩邊相等的未知數的值，叫做方程的解。

三、解方程

解方程，求方程的解的過程叫做解方程。

四、列方程解應用題

1列方程解應用題的意義

*用方程式去解容許用題求得應用題的未知量的方法。

2列方程解容許用題的步驟

*弄清題意，確定未知數并用x表示；

*找出題中的數量之間的相等關系；

*列方程，解方程；

*檢查或驗算，寫出答案。

3列方程解應用題的方法

*綜合法：先把應用題中數(量)和所設未知數(量)列成有關的代數式，再找出它們之間的等量關系，

正而列出方程。這是從局部到整體的一種思維過程，其思考方向是從到未知。

*分析法：先找出等量關系，再根據具體建立等量關系的需要，把應用題中數(量)和所設的未知數(量)

列成有關的代數式進而列出方程。這是從整體到局部的一種思維過程，其思考方向是從未知到。

4列方程解應用題的范圍

小學范圍內常用方程解的應用題：

a一般應用題；

b和倍、差倍問題；

c幾何形體的周長、面積、體積計算；

d分數、百分數應用題；

e比和比例應用題。

五比和比例

1比的意義和性質

(1)比的意義：兩個數相除又叫做兩個數的比。

“：”是比號，讀作“比〃。比號前面的數叫做比的前項，比號后面的數叫做比的后項。比的前項除以

后項所得的商，叫做比值。

同除法比擬，比的前項相當于被除數，后項相當于除數，比值相當于商。

比值通常用分數表示，也可以用小數表示，有時也可能是整數。

比的后項不能是零。

根據分數與除法的關系，可知比的前項相當于分子，后項相當于分母，比值相當于分數值。

(2)比的性質比的前項和后項同時乘上或者除以相同的數(0除外)，比值不變，這叫做比的根本性質。

(3)求比值和化簡比求比值的方法：用比的前項除以后項，它的結果是一個數值可以是整數，也可

以是小數或分數。

根據比的根本性質可以把比化成最簡單的整數比。它的結果必須是一個最簡比，即前、后項是互質

的數。

(4)比例尺圖上距離：實際距離=比例尺

要求會求比例尺;圖上距離和比例尺求實際距離;實際距離和比例尺求圖上距離。

線段比例尺：在圖上附有一條注有數目的線段，用來表示和地面上相對應的實際距離。

(5)按比例分配在農業生產和日常生活中，常常需要把一個數量按照一定的比來進行分配。這種分

配的方法通常叫做按比例分配。

方法：首先求出各局部占總量的幾分之幾，然后求出總數的幾分之幾是多少。

2比例的意義和性質

(1)比例的意義表示兩個比相等的式子叫做比例。組成比例的四個數，叫做比例的項。

兩端的兩項叫做外項，中間的兩項叫做內項。

(2)比例的性質在比例里，兩個外項的積等于兩個兩個內向的積。這叫做比例的根本性質。

⑶解比例

根據比例的根本性質，如果比例中的任何三項，就可以求出這個數比例中的另外一個未知項。求比

例中的未知項，叫做解比例。

3正比例和反比例

(1)成正比例的量

兩種相關聯的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對應的兩個數的比值(也

就是商)一定，這兩種量就叫做成正比例的最，他們的關系叫做正比例關系。用字母表示y/x=k(一定)

(2)成反比例的量

兩種相關聯的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對應的兩個數為積一定，

這兩種量就叫做成反比例的量，他們的關系叫做反比例關系。用字母表示xXy二k(一定)

第四章幾何的初步知識

一線和角

⑴線

*直線直線沒有端點;長度無限;過一點可以畫無數條，過兩點只能畫一條直線。

*射線射線只有一個端點;長度無限。

*線段線段有兩個端點，它是直線的一局部;長度有限;兩點的連線中，線段為最短。

*平行線在同一平面內，不相交的兩條直線叫做平行線。

兩條平行線之間的垂線長度都相等。

*垂線兩條直線相交成直角時，這兩條直線叫做互相垂直，其中一條直線叫做另一條直線的垂線,

相交的點叫做垂足。

從直線外一點到這條直線所畫的垂線的長叫做這點到直線的距離。

⑵角(1)從一點引出兩條射線，所組成的圖形叫做角。這個點叫做角的頂點，這兩條射線叫做角的邊。

(2)角的分類

銳角：小于90°的角叫做銳角。

直角：等于90。的角叫做直角。

鈍角：大于90°而小于180°的角叫做鈍角。

平角：角的兩邊成一條直線，這時所組成的角叫做平角。平角180°。

周角：角的一邊旋轉一周，與另一邊重合。周角是360°。

二平面圖形

1長方形

(1)特征對邊相等，4個角都是直角的四邊形。有兩條對稱軸。

(2)計算公式c=2(a+b)s=ab

2正方形

(1)特征：四條邊都相等，四個角都是直角的四邊形。有4條對稱軸。

(2)計算公式：c=4a;s=a2

3三角形

⑴特征：由三條線段圍成的圖形。內角和是180度。三角形具有穩定性。三角形有三條高。

(2)計算公式：s=ah/2