專題03方程（組）與不等式（組）的應用

題型解讀｜模型構建｜真題演練｜模板應用

模型01一元一次方程的應用

一元一次方程的應用題型

1.行程問題

路程=時間×速度，時間=路程÷速度，速度=路程÷時間；

（單位：路程——米、千米；時間——秒、分、時；速度——米/秒、米/分、千米/時間）

2.工程問題：

工作總量=工作時間×工作效率，工作總量=各部分工作量的和

3.利潤問題：

利潤=售價－進價，利潤率=利潤÷進價，售價=標價×折扣

4.等積變形問題

長方體的體積=長×寬×高；圓柱的體積=底面積×高；鍛造前的體積=鍛造后的體積

5.利息問題

利息和=本金+利息；利息=本金×利率×時間

模型02二元一次方程組應用

二元一次方程組應用：

1.行程問題：速度×時間＝路程

1

順水速度＝靜水速度＋水流速度

逆水速度＝靜水速度－水流速度

2.配套問題：實際數量比＝配套比

3.商品銷售問題：利潤＝售價－進價；售價＝標價×折扣；利潤率＝利潤÷進價×100%

4.工程問題：工作效率×工作時間＝工作總量；甲乙合作效率＝甲的效率＋乙的效率

模型03分式方程應用

分式方程的應用解法步驟及題型：

列分式方程解應用題的一般步驟，與列整式方程解應用題的步驟一樣，都是按照審、設、列、解、驗、答

六步進行．

（1）在利用分式方程解實際問題時，必須進行“雙檢驗”，既要檢驗去分母化成整式方程的解是否為分式方

程的解，又要檢驗分式方程的解是否符合實際意義.

（2）分式方程應用題常見類型有行程問題、工作問題、銷售問題等，其中行程問題中又出現逆水、順水航

行這一類型.

模型04一元二次方程應用

一元二次方程的應用主要有以下幾種題型：

1.數字問題：個位數為a，十位數是b，則這個兩位數表示為10b+a．

2.增長率問題：增長率＝增長數量/原數量×100%．如：若原數是a，每次增長的百分率為x，則第一次增長

后為a（1+x）；第二次增長后為a（1+x）2，即原數×（1+增長百分率）2＝后來數．

3.形積問題：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的邊長．②利用三角形、矩形、菱形、梯形

和圓的面積，以及柱體體積公式建立等量關系列一元二次方程．③利用相似三角形的對應比例關系，列比

例式，通過兩內項之積等于兩外項之積，得到一元二次方程．

4.運動點問題：物體運動將會沿著一條路線或形成一條痕跡，運行的路線與其他條件會構成直角三角形，可

運用直角三角形的性質列方程求解．

5.利潤(銷售)問題

利潤(銷售)問題中常用的等量關系：

利潤=售價-進價(成本)

總利潤=每件的利潤×總件數

模型05一元一次不等式的應用

用不等式表示不等關系時，要抓住題目中的關鍵詞，如“大于（小于）、不超過（不低于）、是正數（負

數）”“至少”、“最多”等等，正確選擇不等號．因此建立不等式要善于從“關鍵詞”中挖掘其內涵，

不同的詞里蘊含這不同的不等關系．

模型06一元一次不等式組的應用

由實際問題列一元一次不等式組時，首先把題意弄明白，在此基礎上找準題干中體現不等關系的語句，根

據語句列出不等關系．往往不等關系出現在“不足”，“不少于”，“不大于”，“不超過”等這些詞語出現的

地方．所以重點理解這些地方有利于自己解決此類題目．

2

模型01一元一次方程方程的應用

考｜向｜預｜測

一元一次方程的應用該題型近年主要以應用題形式出現，一般為應用題型的第一問，難度系數較小，

在各類考試中基本為送分題型。解這類問題的關鍵是根據題意設未知量、列方程、解方程，其中列方程

是解題的核心，一般需要我們很好的理解題意。

答｜題｜技｜巧

利用一元一次方程解決實際問題的基本思路如下：首先審題找出題中的未知量和所有的已知量，直接設要

求的未知量或間接設一關鍵的未知量為x，然后用含x的式子表示相關的量，找出之間的相等關系列方程、

求解、作答，即設、列、解、答．列一元一次方程解應用題的五個步驟

1．審：仔細審題，確定已知量和未知量，找出它們之間的等量關系．

2．設：設未知數（x），根據實際情況，可設直接未知數（問什么設什么），也可設間接未知數．

3．列：根據等量關系列出方程．

4．解：解方程，求得未知數的值．

5．答：檢驗未知數的值是否正確，是否符合題意，完整地寫出答句．

（2024?北京）為防治污染，保護和改善生態環境，自2023年7月1日起，我國全面實施汽車國六排放標

準6b階段（以下簡稱“標準”）．對某型號汽車，“標準”要求A類物質排放量不超過35mg/km，A，B兩

類物質排放量之和不超過50mg/km．已知該型號某汽車的A，B兩類物質排放量之和原為92mg/km．經過

一次技術改進，該汽車的A類物質排放量降低了50%，B類物質排放量降低了75%，A，B兩類物質排放

量之和為40mg/km．判斷這次技術改進后該汽車的A類物質排放量是否符合“標準”，并說明理由．

【分析】設該汽車的A類物質排放量為xmg/km，則該汽車的B類物質排放量為（92﹣x）mg/km，根據

題意列方程求出x的值，即可求解．

【詳解】解：這次技術改進后該汽車的A類物質排放量符合“標準”，理由如下：

設該汽車的A類物質排放量為xmg/km，則該汽車的B類物質排放量為（92﹣x）mg/km，

根據題意得（1﹣50%）x+（1﹣75%）（92﹣x）＝40，

解得x＝68，

∴這次技術改進后該汽車的A類物質排放量（1﹣50%）x＝34，

∵“標準”要求A類物質排放量不超過35mg/km，

∴這次技術改進后該汽車的A類物質排放量符合“標準”．

3

1．（2024?陳倉區三模）隨著天氣越來越炎熱，風扇的銷量逐漸增加，某商場以240元/件的價格購進A品牌

的空氣循環扇，銷售過程中發現，按原售價銷售1件該商品與按原售價打8折銷售2件該商品所獲得的

利潤相同，求該商品的原售價．

【分析】設該商品的原售價為m元/件，根據按原售價銷售1件該商品與按原售價打8折銷售2件該商品

所獲得的利潤相同得：m﹣240＝2（0.8m﹣240），即可解得答案．

【詳解】解：設該商品的原售價為m元/件，

根據題意得：m﹣240＝2（0.8m﹣240），

∴m﹣240＝1.6m﹣480，

解得：m＝400．

答：該商品的原售價為400元/件．

2．（2024?安徽三模）甲、乙兩組各有若干人，若從甲組調2人至乙組，則甲、乙兩組人數相同，若將甲組

人數的三分之一調入乙組，則甲、乙兩組的人數比為5：8，求甲、乙兩組原來各有多少人．

【分析】設甲組原有x人、乙組原有y人，根據“從甲組調2人至乙組，則甲、乙兩組人數相同”，“將

甲組人數的三分之一調入乙組，則甲、乙兩組的人數比為5：8”，列出二元一次方程組即可求解．

【詳解】解：設甲組原有x人、乙組原有y人，

，

??2=?+2

11

解8得(?：?3?)=5，(?+3?)

?=15

答：甲組?原=有1115人、乙組原有11人．

3．（2024?復興區校級模擬）學校“六一兒童節”活動，設計了一個飛鏢游戲，飛鏢游戲的規則如下：如圖，

擲到A區和B區的得分不同，A區為小圓內的部分，B區為大圓內的部分（A區B區均不含邊界，如果

擲到邊界上重新投擲，投擲在大圓以外的無效）．現在將投擲有效的每次位置用一個點標注，統計出小紅、

小華和小明的有效成績情況如下：如果小紅得了65分，小華得了71分，求：

（1）擲中A區、B區一次各得多少分？

（2）按照這樣的計分方法，小明得了多少分？

【分析】（1）可設擲中A區一次得x分，則擲中B區一次得（65﹣3x）分，根據小華得了71分可得方

1

程求解即可；

5

（2）小明得了多少分＝擲中A區一次得分×2+擲中B區一次得分×6，依此列式計算即可求解．

4

【詳解】解：（1）設擲中A區一次得x分，則擲中B區一次得（65﹣3x）分，

1

依題意，得：5x（65﹣3x）×3＝71，5

1

解得：＝，

x10+5

∴（65﹣3x）（65﹣30）＝7．

11

答：擲中區一=次得分，擲中區一次得分．

5A510B7

（2）10×2+7×6＝62（分）．

答：小明得了62分．

4．（2024?秦淮區一模）新“龜兔賽跑”故事

兔子和烏龜從同一起點同時出發，勻速奔向終點．

兔子的速度是烏龜速度的50倍

，一段時間后，兔子到達途中某處，睡了70min，醒來后，它保持原速奔跑，恰好和烏龜同時到達終點．

（1）設烏龜的速度為xm/min，其奔跑的時間為tmin，則由虛線框內的文字可知兔子的速度是50x

m/min，由題中的兩個“同時”可知兔子奔跑的時間為（t﹣70）min．

（2）求（1）中t的值．

【分析】（1）由兔子的速度是烏龜速度的50倍，可得出兔子的速度是50xm/min，利用兔子奔跑的時間

＝烏龜奔跑的時間﹣70，即可用含t的代數式表示出兔子奔跑的時間；

（2）利用路程＝速度×時間，結合烏龜、兔子奔跑的路程相等，可列出關于t的一元一次方程，解之即

可得出結論．

【詳解】解：（1）設烏龜的速度為xm/min，其奔跑的時間為tmin，則由虛線框內的文字可知兔子的速

度是50xm/min，

由題中的兩個“同時”可知兔子奔跑的時間為（t﹣70）min．

故答案為：50x，（t﹣70）；

（2）根據題意得：x?t＝50x?（t﹣70），

即t＝50（t﹣70），

解得：t．

500

=

答：（1）中7t的值為．

500

．（?鄲城縣模擬）我國明代數學著作《算法統宗》中有這樣一首詩：“我問開店李三公，眾客都來到

520247

店中，一房七客多七客，一房九客空一房．”詩的后兩句的意思是：如果每一間客房住7人，那么有7人

無房可住；如果每一間房住9人，那么就空出一間房．

（1）列方程解答下面問題：該店有客房多少間？到了多少房客？

（2）假設李三公將客房進行改造后，房間數大大增加，每間房收25錢，且每間房最多入住4人，一次

性訂房少于10間，不予優惠；不低于10間但低于20間，給予九折優惠；等于20間或是超過20間的，

給予七折優惠．若詩中的“眾客”再次一起入住，他們如何訂房更合算？說明理由．

5

【分析】（1）設該店有客房x間，根據“如果每一間客房住7人，那么有7人無房可住；如果每一間房

住9人，那么就空出一間房”，列方程求解即可；

（2）根據題意得至少需要16間客房，按照優惠方式分別計算訂16間房和20間房，即可得到結果．

【詳解】解：（1）設該店有客房x間，

由題意得，7x+7＝9（x﹣1），

解得x＝8，

得7×8+7＝63（人），

答：該店有客房8間，到了63名房客；

（2）若每間房最多入住4人，得63÷4＝15，

3

則至少需要間客房，

164

由不低于10間但低于20間，給予九折優惠，

得訂16間房需要付0.9×25×16＝360（元），

由等于20間或是超過20間的，給予七折優惠，

得訂20間房需要付0.7×25×20＝350（元），

∵350＜360，

∴詩中的“眾客”再次一起入住，他們可以選擇訂20間房更合算．

6．（2024?陜西）塞罕壩機械林場經過三代務林人的接續奮斗，已知現在該林場的林木總蓄積比原來增加了

1007萬m3，已成為目前世界上最大的人工林場；又知現在該林場的林木總蓄積比原來的31倍還多17

萬m3，請問該林場原來的林木總蓄積是多少萬m3？

【分析】設該林場原來的林木總蓄積是x萬m3，則現在該林場的林木總蓄積是（31x+17）萬m3，根據現

在該林場的林木總蓄積比原來增加了1007萬m3，可列出關于x的一元一次方程，解之即可得出結論．

【詳解】解：設該林場原來的林木總蓄積是x萬m3，則現在該林場的林木總蓄積是（31x+17）萬m3，

根據題意得：31x+17﹣x＝1007，

解得：x＝33．

答：該林場原來的林木總蓄積是33萬m3．

模型02二元一次方程組的應用

考｜向｜預｜測

二元一次方程組應用該題型主要以選擇、填空形式出現，難度系數不大，在各類考試中得分率較高。掌

握二元一次方程組的解法是考試的重點，二元一次方程組的解法主要采用消元法，在應用題型中，根

據題意列二元一次方程組相對簡單，該題型設兩個未知量，兩個條件兩個方程，相對直觀，只要我們

在解方程組的過程中不出現失誤，一般不會失分。

答｜題｜技｜巧

6

列二元一次方程組解決實際問題的一般步驟：

（1）審題：找出問題中的已知條件和未知量及它們之間的關系．

（2）設元：找出題中的兩個關鍵的未知量，并用字母表示出來．

（3）列方程組：挖掘題目中的關系，找出兩個等量關系，列出方程組．

（4）求解

（5）檢驗作答：檢驗所求解是否符合實際意義，并作答．

（2024?濟南）近年來光伏建筑一體化廣受關注．某社區擬修建A，B兩種光伏車棚．已知修建2個A種光

伏車棚和1個B種光伏車棚共需投資8萬元，修建5個A種光伏車棚和3個B種光伏車棚共需投資21

萬元．

（1）求修建每個A種，B種光伏車棚分別需投資多少萬元？

（2）若修建A，B兩種光伏車棚共20個，要求修建的A種光伏車棚的數量不少于修建的B種光伏車棚

數量的2倍，問修建多少個A種光伏車棚時，可使投資總額最少？最少投資總額為多少萬元？

【分析】（1）設修建一個A種光伏車棚需投資x萬元，修建一個B種光伏車棚需投資y萬元，根據“修

建2個A種光伏車棚和1個B種光伏車棚共需投資8萬元，修建5個A種光伏車棚和3個B種光伏車棚

共需投資21萬元”，可列出關于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結論；

（2）設修建A種光伏車棚m個，則修建B種光伏車棚（20﹣m）個，根據修建的A種光伏車棚的數量

不少于修建的B種光伏車棚數量的2倍，可列出關于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范圍，

設修建A，B兩種光伏車棚共投資w萬元，利用總價＝單價×數量，可找出w關于m的函數關系式，再

利用一次函數的性質，即可解決最值問題．

【詳解】解：（1）設修建一個A種光伏車棚需投資x萬元，修建一個B種光伏車棚需投資y萬元，

根據題意得：，

2?+?=8

解得：．5?+3?=21

?=3

答：修建?一=個2A種光伏車棚需投資3萬元，修建一個B種光伏車棚需投資2萬元；

（2）設修建A種光伏車棚m個，則修建B種光伏車棚（20﹣m）個，

根據題意得：m≥2（20﹣m），

解得：m．

40

設修建，兩種光伏車棚共投資萬元，則＝（﹣），

A≥B3ww3m+220m

即w＝m+40，

∵1＞0，

∴w隨m的增大而增大，

又∵m，且m為正整數，

40

∴當＝時，取得最小值，最小值為＝．

m≥134w14+4054

7

答：修建A種光伏車棚14個時，投資總額最少，最少投資總額為54萬元．

1．（2024?通遼）某中學為加強新時代中學生勞動教育，開辟了勞動教育實踐基地．在基地建設過程中，需

要采購煎蛋器和三明治機．經過調查，購買2臺煎蛋器和1臺三明治機需240元，購買1臺煎蛋器和3

臺三明治機需395元．

（1）求煎蛋器和三明治機每臺價格各是多少元；

（2）學校準備采購這兩種機器共50臺，其中要求三明治機的臺數不少于煎蛋器臺數的一半．請你給出

最節省費用的購買方案．

【分析】（1）設每臺煎蛋器的價格是x元，每臺三明治機的價格是y元，根據“購買2臺煎蛋器和1臺

三明治機需240元，購買1臺煎蛋器和3臺三明治機需395元”，可列出關于x，y的二元一次方程組，

解之即可得出結論；

（2）設購買m臺煎蛋器，則購買（50﹣m）臺三明治機，根據購買三明治機的臺數不少于煎蛋器臺數的

一半，可列出關于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范圍，設學校采購這兩種機器所需總費用

為w元，利用總價＝單價×數量，可找出w關于m的函數關系式，再利用一次函數的性質，即可找出最

節省費用的購買方案．

【詳解】解：（1）設每臺煎蛋器的價格是x元，每臺三明治機的價格是y元，

根據題意得：，

2?+?=240

解得：?．+3?=395

?=65

答：每臺?煎=蛋11器0的價格是65元，每臺三明治機的價格是110元；

（2）設購買m臺煎蛋器，則購買（50﹣m）臺三明治機，

根據題意得：50﹣mm，

1

解得：m．≥2

100

設學校采購這兩種機器所需總費用為元，則＝（﹣），

≤3ww65m+11050m

即w＝﹣45m+5500，

∵﹣45＜0，

∴w隨m的增大而減小，

又∵m為正整數，

∴當m＝33時，w取得最小值，此時50﹣m＝50﹣33＝17，

∴最節省費用的購買方案為：購買33臺煎蛋器，17臺三明治機．

2．（2024?碑林區校級模擬）《孫子算經》中有這樣一個問題：“今有三人共車，二車空；二人共車，九人步．問

人與車各幾何？”大意是一群人出行，如果三人同乘一輛車，則空余兩輛車：兩人同乘一輛車，則有九

人步行．請問共有多少人出行，多少輛車．

【分析】設共有x人出行，y輛車，根據“如果三人同乘一輛車，則空余兩輛車：兩人同乘一輛車，則有

8

九人步行”，可列出關于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結論．

【詳解】解：設共有x人出行，y輛車，

根據題意得：，

?=3(??2)

解得：．??9=2?

?=39

答：共有?=391人5出行，15輛車．

3．（2024?澗西區一模）低碳生活已是如今社會的一種潮流形式，人們的環保觀念也在逐漸加深．低碳環保，

綠色出行成為大家的生活理念，不少人選擇自行車出行．某公司銷售甲、乙兩種型號的自行車，其中甲

型自行車進貨價格為每臺650元，乙型自行車進貨價格為每臺800元．該公司銷售4臺甲型自行車和5

臺乙型自行車，共可獲利1250元，銷售1臺甲型自行車和5臺乙型自行車，共可獲利950元．

（1）該公司銷售一臺甲型、一臺乙型自行車的利潤各是多少元？

（2）為滿足大眾需求，該公司準備加購甲、乙兩種型號的自行車共30臺，且資金不超過21000元，如

何購買才能使得這30臺自行車全部售出后總利潤最大？

【分析】（1）設該公司銷售一臺甲型自行車的利潤是x元，一臺乙型自行車的利潤是y元，根據“該公

司銷售4臺甲型自行車和5臺乙型自行車，共可獲利1250元，銷售1臺甲型自行車和5臺乙型自行車，

共可獲利950元”，可列出關于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結論；

（2）設該公司加購m臺甲型自行車，則加購（30﹣m）臺乙型自行車，利用總進價＝進貨單價×進貨數

量，結合總進價不超過21000元，可列出關于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范圍，設加購

的這30臺自行車全部售出后總利潤為w元，利用總利潤＝每臺甲型自行車的銷售利潤×銷售數量（購

進數量）+每臺乙型自行車的銷售利潤×銷售數量（購進數量），可找出w關于m的函數關系式，再利用

一次函數的性質，即可解決最值問題．

【詳解】解：（1）設該公司銷售一臺甲型自行車的利潤是x元，一臺乙型自行車的利潤是y元，

根據題意得：，

4?+5?=1250

解得：?．+5?=950

?=100

答：該公?司=銷17售0一臺甲型自行車的利潤是100元，一臺乙型自行車的利潤是170元；

（2）設該公司加購m臺甲型自行車，則加購（30﹣m）臺乙型自行車，

根據題意得：650m+800（30﹣m）≤21000，

解得：m≥20．

設加購的這30臺自行車全部售出后總利潤為w元，則w＝100m+170（30﹣m），

即w＝﹣70m+5100，

∵﹣70＜0，

∴w隨m的增大而減小，

∴當m＝20時，w取得最大值，此時30﹣m＝30﹣20＝10（臺）．

答：該公司加購20臺甲型自行車，10臺乙型自行車時，才能使得這30臺自行車全部售出后總利潤最大．

4．（2024?安徽）鄉村振興戰略實施以來，很多外出人員返鄉創業．某村有部分返鄉青年承包了一些田地，

9

采用新技術種植A，B兩種農作物．種植這兩種農作物每公頃所需人數和投入資金如下表：

農作物品種每公頃所需人數每公頃所需投入資金（萬元）

A48

B39

已知農作物種植人員共24位，且每人只參與一種農作物種植，投入資金共60萬元，問A，B這兩種農

作物的種植面積各多少公頃？

【分析】設A種農作物的種植面積是x公頃，B種農作物的種植面積是y公頃，根據“農作物種植人員

共24位，且每人只參與一種農作物種植，投入資金共60萬元”，可列出關于x，y的二元一次方程組，

解之即可得出結論．

【詳解】解：設A種農作物的種植面積是x公頃，B種農作物的種植面積是y公頃，

根據題意得：，

4?+3?=24

解得：．8?+9?=60

?=3

答：A種?農=作4物的種植面積是3公頃，B種農作物的種植面積是4公頃．

5．（2024?虎林市校級四模）某校準備組織七年級400名學生參加夏令營，已知滿員時，用3輛小客車和1

輛大客車每次可運送學生105人；用一輛小客車和2輛大客車每次可運送學生110人．

（1）1輛小客車和1輛大客車都坐滿后一次可送多少名學生？

（2）若學校計劃租用小客車a輛，大客車b輛，一次送完，且恰好每輛車都坐滿；

①請你設計出所有的租車方案；

②若小客車每輛需租金200元，大客車每輛需租金380元，請選出最省錢的租車方案，并求出最少租金．

【分析】（1）每輛小客車能坐m名學生，每輛大客車能坐n名學生，根據用3輛小客車和1輛大客車每

次可運送學生105人；用1輛小客車和2輛大客車每次可運送學生110人；列出方程組，再解即可；

（2）①根據題意可得小客車a輛運的人數+大客車b輛運的人數＝400，然后求出整數解即可；②根據

①所得方案和小客車每輛租金200元，大客車每輛租金380元分別計算出租金即可．

【詳解】解：（1）設每輛小客車能坐m名學生，每輛大客車能坐n名學生

根據題意，得，

3?+?=105

解得，?+2?=110

?=20

＝＝，

m+n?2=0+4565

答：1輛小客車和1輛大客車都坐滿后一次可送65名學生．

（2）①由題意得：20a+45b＝400，

∴b，

80?4?

∵、為非負整數，

a=b9

∴或或，

?=20?=11?=2

?=0?=4?=8

10

∴租車方案有三種：

方案一：小客車20車、大客車0輛，

方案二：小客車11輛，大客車4輛，

方案三：小客車2輛，大客車8輛；

②方案一租金：200×20＝4000（元），

方案二租金：200×11+380×4＝3720（元），

方案三租金：200×2+380×8＝3440（元），

∵3720＞3440，

∴方案三租金最少，最少租金為3440元．

6．（2024?連州市二模）隨著我國農業現代化進程的加速推進，農用無人機已成為推進農業機械化的重要力

量，對緩解農村勞動力短缺、提高農業生產力和資源利用率、增強病蟲害防控能力、保障國家糧食和生

態安全具有重要意義．某農業園區計劃對稻田進行農藥噴灑，若使用傳統的人工噴灑方式，則需要8個

工人工作5天；若使用一架農用無人機，則需要6個小時．已知農用無人機平均每小時噴灑的面積比每

個工人平均每天噴灑的面積多59.5畝（1畝≈666.7平方米），求每個工人平均每天噴灑的面積和一架農

用無人機平均每小時噴灑的面積．

【分析】設每個工人平均每天噴灑的面積為x畝，一架農用無人機平均每小時噴灑的面積為y畝，根據

“若使用傳統的人工噴灑方式，則需要8個工人工作5天；若使用一架農用無人機，則需要6個小時，

且農用無人機平均每小時噴灑的面積比每個工人平均每天噴灑的面積多59.5畝”，可列出關于x，y的二

元一次方程組，解之即可得出結論．

【詳解】解：設每個工人平均每天噴灑的面積為x畝，一架農用無人機平均每小時噴灑的面積為y畝，

根據題意得：，

5×8?=6?

解得：?．??=59.5

?=10.5

答：每個?工=人70平均每天噴灑的面積為10.5畝，一架農用無人機平均每小時噴灑的面積為70畝．

模型03分式方程的應用

考｜向｜預｜測

分式方程的應用該題型近年在方程的應用題型中考試較多，了解解分式方程的基本思路和解法，掌握可

化為一元一次方程的分式方程的解法，讓學生體會解分式方程過程中的化歸思想是本節內容的重心。分式

方程及其應用是中考的必考內容之一，一般著重考查解分式方程及列分式方程解應用題，并要求會用增根

的意義解題，考題常以解答透折考綱題的形式出現,有時也會出現在選擇題和填空題中。該題型主要難點在

于設、列、解，屬于應用題型的第一問，難度系數不是很大，屬于容易得分項。

答｜題｜技｜巧

1、列分式方程解應用題的一般步驟：設、列、解、驗、答．必須嚴格按照這5步進行做題，規范解題步

驟，另外還要注意完整性：如設和答敘述要完整，要寫出單位等．

11

2、要掌握常見問題中的基本關系，如行程問題：速度=路程時間；工作量問題：工作效率=工作量工作時間

等等．列分式方程解應用題一定要審清題意，找相等關系是著眼點，要學會分析題意，提高理解能力．

（2024?綿陽）為進一步美化環境，提升生活品質，某部門決定購買甲、乙兩種花卉布置公園走廊．預算資

金為2700元，其中1200元購買甲種花卉，其余資金購買乙種花卉．已知乙種花卉每株的價格是甲種花

卉每株價格的1.2倍，且購買乙種花卉的數量比甲種花卉多2株．

（1）求甲、乙兩種花卉每株的價格；

（2）購買當日正逢花卉促銷，甲、乙兩種花卉均按原價八折銷售．已知該部門需購買甲、乙兩種花卉共

120株，總費用不超預算，其中甲花卉的資金不超過1000元．求購買這兩種花卉有幾種方案？并計算所

需費用的最小值．

【分析】（1）設甲種花卉每株的價格為x元，則乙種花卉每株的價格為1.2x元，根據購買乙種花卉的數

量比甲種花卉多2株，列出分式方程，解方程即可；

（2）設該部門需購買甲種花卉m株，則需購買乙種花卉（120﹣m）株，根據總費用不超預算，其中甲

花卉的資金不超過1000元，列出一元一次不等式組，解得45≤m≤50，得出購買這兩種花卉有6種方案，

再設該部門購買甲、乙兩種花卉所需費用為y元，由題意列出一次函數關系式，然后由一次函數的性質

即可得出結論．

【詳解】解：（1）設甲種花卉每株的價格為x元，則乙種花卉每株的價格為1.2x元，

由題意得：2，

2700?12001200

解得：＝，?=

x251.2??

經檢驗，x＝25是原方程的解，且符合題意，

∴1.2x＝1.2×25＝30，

答：甲種花卉每株的價格為25元，乙種花卉每株的價格為30元；

（2）設該部門需購買甲種花卉m株，則需購買乙種花卉（120﹣m）株，

由題意得：，

25×0.8?+30×0.8(120??)≤2700

解得：≤≤，

45m25×500.8?≤1000

∵m為正整數，

∴m＝45，46，47，48，49，50，

∴購買這兩種花卉有6種方案，

設該部門購買甲、乙兩種花卉所需費用為y元，

由題意得：y＝25×0.8m+30×0.8（120﹣m）＝﹣4m+2880，

∵﹣4＜0，

∴y隨m的增大而減小，

∴當m＝50時，y有最小值＝﹣4×50+2880＝2680，

12

答：購買這兩種花卉有6種方案，所需費用的最小值為2680元．

1．（2024?石景山區二模）列方程解應用題．

某工程隊承擔了750米長的道路改造任務，工程隊在施工完210米道路后，引進了新設備，每天改造道

路的長度比原來增加了20%，結果共用22天完成了任務．求引進新設備前工程隊每天改造道路多少米？

【分析】設引進新設備前工程隊每天改造道路x米．根據某工程隊承擔了750米長的道路改造任務，工

程隊在施工完210米道路后，引進了新設備，每天的工作效率比原來提高了20%，結果共用22天完成了

任務．列出分式方程，解方程即可．

【詳解】解：設引進新設備前工程隊每天改造道路x米．

根據題意得：22，

210750?210

+=

解得x＝30，?(1+20%)?

經檢驗，x＝30是所列方程的解，且符合題意，

答：引進新設備前工程隊每天改造道路30米．

2．（2024?五華區校級模擬）云南多地中小學開展清明祭英烈活動，悼念革命先烈，傳承紅色基因，他們通

過獻花、默哀等方式，表達對革命先烈的崇高敬意和無限哀思．某中學準備一次性購買若干束A款鮮花

和B款鮮花，其中用1200元購買A款鮮花的數量比用1600元購買B款鮮花的數量少20束，且A款鮮

花的單價是B款鮮花單價的1.5倍．求一束A款鮮花和一束B款鮮花的售價分別是多少元？

【分析】利用“用1200元購買A款鮮花的數量比用1600元購買B款鮮花的數量少20束”，列方程，即

可解答．

【詳解】解：設一束B款鮮花的售價x元，則一束A款鮮花的售價為1.5x元，

根據題意得：，

12001600

解得：＝，+20=

x401.5??

經檢驗，x＝40是所列方程的解，且符合題意，

∴一束B款鮮花的售價為：40×1.5＝60（元）．

答：一束A款鮮花的售價為60元，一束B款鮮花的售價為40元．

3．（2024?汕頭模擬）某中學為了創建書香校園，去年購買了一批圖書．其中故事書的單價比文學書的單價

多4元，用1200元購買的故事書與用800元購買的文學書數量相等．

（1）求去年購買的文學書和故事書的單價各是多少元？

（2）若今年文學書的單價比去年提高了25%，故事書的單價與去年相同，這所中學今年計劃再購買文學

書和故事書共200本，且購買文學書和故事書的總費用不超過2120元，這所中學今年至少要購買多少本

文學書？

【分析】（1）設去年文學書單價為x元，則故事書單價為（x+4）元，根據用1200元購買的故事書與用

800元購買的文學書數量相等，列出方程，再進行檢驗即可得出答案；

13

（2）設這所學校今年購買y本文學書，根據購買文學書和故事書的總費用不超過2120元，列出不等式，

求出不等式的解集即可得出答案．

【詳解】解：（1）設去年文學書單價為x元，則故事書單價為（x+4）元，根據題意得：

，

1200800

解得：=＝，

?+4x8?

經檢驗x＝8是原方程的解，當x＝8時x+4＝12，

答：去年文學書單價為8元，則故事書單價為12元．

（2）設這所學校今年購買y本文學書，根據題意得．

8×（1+25%）y+12（200﹣y）≤2120，

y≥140，

∴y最小值是140；

答：這所中學今年至少要購買140本文學書．

4．（2024?岳麓區校級三模）加強生活垃圾分類處理，維護公共環境和節約資源是全社會共同的責任．某社

區為了增強社區居民的文明意識和環境意識，營造干凈、整潔、舒適的人居環境，準備購買甲、乙兩種

分類垃圾桶．通過市場調研得知：乙種分類垃圾桶的單價比甲種分類垃圾桶的單價多40元，且用4800

元購買甲種分類垃圾桶的數量與用6000元購買乙種分類垃圾桶的數量相同．

（1）求甲、乙兩種分類垃圾桶的單價；

（2）該社區計劃用不超過3600元的資金購買甲、乙兩種分類垃圾桶共20個，則最少需要購買甲種分類

垃圾桶多少個？

【分析】（1）甲分類垃圾桶的單價是x元，則乙分類垃圾桶的單價是（x+40）元，利用數量＝總價÷單

價，結合用4800元購買甲種分類垃圾桶的數量與用6000元購買乙種分類垃圾桶的數量相同，列出分式

方程，解之經檢驗后即可得出結論；

（2）設購買甲分類垃圾桶y個，則購買乙分類垃圾桶（20﹣y）個，利用總價＝單價×數量，結合總價

不超過3600元，列出一元一次不等式，解之即可得出y的取值范圍，再取其中的最小整數值即可．

【詳解】解：（1）甲分類垃圾桶的單價是x元，則乙分類垃圾桶的單價是（x+40）元，

根據題意得，

48006000

解得＝，=

x160??+40

經檢驗，x＝160是原方程的解，且符合題意，

∴x+40＝160+40＝200．

答：甲分類垃圾桶的單價是160元，乙分類垃圾桶的單價是200元；

（2）設購買甲分類垃圾桶y個，則購買乙分類垃圾桶（20﹣y）個，

依題意得：200（20﹣y）+160y≤3600，

解得：y≥10，

∵y為正整數，

∴y的最小值為10．

14

答：最少需要購買甲種分類垃圾桶10個．

5．（2024?雅安）某市為治理污水，保護環境，需鋪設一段全長為3000米的污水排放管道，為了減少施工

對城市交通所造成的影響，實際施工時每天的工效比原計劃增加25%，結果提前15天完成鋪設任務．

（1）求原計劃與實際每天鋪設管道各多少米？

（2）負責該工程的施工單位，按原計劃對工人的工資進行了初步的預算，工人每天人均工資為300元，

所有工人的工資總金額不超過18萬元．該公司原計劃最多應安排多少名工人施工？

【分析】（1）設原計劃每天鋪設管道x米，則實際每天鋪設管道（1+25%）x米，根據原計劃的時間＝實

際的時間+15列出方程，求出方程的解即可得到結果；

（2）設該公司原計劃應安排y名工人施工，根據工作時間＝工作總量÷工作效率計算出原計劃的工作天

數，進而表示出所有工人的工作總額，由所有工人的工資總金額不超過18萬元列出不等式，求出不等式

的解集，找出解集中的最大整數解即可．

【詳解】解：（1）設原計劃每天鋪設管道x米，則實際每天鋪設管道（1+25%）x＝1.25x米，

根據題意得：15，

30003000

解得：＝，+=

x401.25??

經檢驗x＝40是分式方程的解，且符合題意，

∴1.25x＝50，

則原計劃與實際每天鋪設管道各為40米，50米；

（2）設該公司原計劃應安排y名工人施工，3000÷40＝75（天），

根據題意得：300×75y≤180000，

解得：y≤8，

∴不等式的最大整數解為8，

則該公司原計劃最多應安排8名工人施工．

6．（2024?重慶）某工程隊承接了老舊小區改造工程中1000平方米的外墻粉刷任務，選派甲、乙兩人分別

用A、B兩種外墻漆各完成總粉刷任務的一半．據測算需要A、B兩種外墻漆各300千克，購買外墻漆總

費用為15000元，已知A種外墻漆每千克的價格比B種外墻漆每千克的價格多2元．

（1）求A、B兩種外墻漆每千克的價格各是多少元？

（2）已知乙每小時粉刷外墻面積是甲每小時粉刷外墻面積的，乙完成粉刷任務所需時間比甲完成粉刷

4

任務所需時間多小時．問甲每小時粉刷外墻的面積是多少平方米？

55

【分析】（1）設A種外墻漆每千克的價格是x元，B種外墻漆每千克的價格是y元，根據“購買外墻漆

總費用為15000元，且A種外墻漆每千克的價格比B種外墻漆每千克的價格多2元”，可列出關于x，y

的二元一次方程組，解之即可得出結論；

（2）設甲每小時粉刷外墻的面積是m平方米，則乙每小時粉刷外墻的面積是m方米，利用工作時間＝

4

工作總量÷工作效率，結合乙完成粉刷任務所需時間比甲完成粉刷任務所需時間多小時，可列出關于

55

m的分式方程，解之經檢驗后，即可得出結論．

15

【詳解】解：（1）設A種外墻漆每千克的價格是x元，B種外墻漆每千克的價格是y元，

根據題意得：，

300?+300?=15000

解得：．???=2

?=26

答：A種?外=墻24漆每千克的價格是26元，B種外墻漆每千克的價格是24元；

（2）設甲每小時粉刷外墻的面積是m平方米，則乙每小時粉刷外墻的面積是m方米，

4

根據題意得：5，5

500500

4?=

解得：m＝25，5??

經檢驗，m＝25是所列方程的解，且符合題意．

答：甲每小時粉刷外墻的面積是25平方米．

模型04一元二次方程的應用

考｜向｜預｜測

一元二次方程應用該題型主要是在綜合性大題中考試較多，一般情況下出現在應用題型中或者與二次

函數相結合的題型中，具有一定的綜合性和難度。掌握一元二次方程的解法是解答本題的基礎和關鍵。

一元二次方程中根的判別式的應用也需要我們重點理解和熟練應用。一元二次方程的解法及根的判別式及

其應用是中考的必考內容之一，一般著重考查解一元二次方程及列方程解應用題。

答｜題｜技｜巧

列一元二次方程解應用題的“六字訣”

1．審：理解題意，明確未知量、已知量以及它們之間的數量關系．

2．設：根據題意，可以直接設未知數，也可以間接設未知數．

3．列：根據題中的等量關系，用含所設未知數的代數式表示其他未知量，從而列出方程．

4．解：準確求出方程的解．

5．驗：檢驗所求出的根是否符合所列方程和實際問題．

6．答：寫出答案．

（2024?淄博）“我運動，我健康，我快樂!”隨著人們對身心健康的關注度越來越高．某市參加健身運動的

人數逐年增多，從2021年的32萬人增加到2023年的50萬人．

（1）求該市參加健身運動人數的年均增長率；

（2）為支持市民的健身運動，市政府決定從A公司購買某種套裝健身器材．該公司規定：若購買不超過

100套，每套售價1600元；若超過100套，每增加10套，售價每套可降低40元．但最低售價不得少于

1000元．已知市政府向該公司支付貨款24萬元，求購買的這種健身器材的套數．

16

【分析】（1）設該市參加健身運動人數的年均增長率為x，根據從2021年的32萬人增加到2023年的50

萬人，列出一元二次方程，解之取符合題意的值即可；

（2）設購買的這種健身器材的套數為m套，根據市政府向該公司支付貨款24萬元，列出一元二次方程，

解之取符合題意的值即可．

【詳解】解：（1）設該市參加健身運動人數的年均增長率為x，

由題意得：32（1+x）2＝50，

解得：x1＝0.25＝25%，x2＝﹣2.25（不符合題意，舍去），

答：該市參加健身運動人數的年均增長率為25%；

（2）設購買的這種健身器材的套數為m套，

∵240000÷1600＝150（套），

∴m＞100，

由題意得：m（160040）＝240000，

2??100

整理得：m﹣500m+?6000100＝0，×

解得：m1＝200，m2＝300，

當m＝200時，160040＝1600﹣400＝1200＞1000，符合題意；

??100

當m＝300時，1600?10×40＝1600﹣800＝800＜1000，不符合題意，舍去；

??100

答：購買的這種健身器材的套數為套．

?10×200

1．（2024?涼州區二模）某果園有100棵桃樹，一棵桃樹平均結1000個桃子，現準備多種一些桃樹以提高

產量，試驗發現，每多種一棵桃樹，每棵桃樹的產量就會減少2個，但多種的桃樹不能超過100棵．如

果要使產量增加15.2%，那么應多種多少棵桃樹？

【分析】每多種一棵桃樹，每棵桃樹的產量就會減少2個，所以多種x棵樹每棵桃樹的產量就會減少2x

個（即是平均產1000﹣2x個），桃樹的總共有100+x棵，所以總產量是（100+x）（1000﹣2x）個．要使

產量增加15.2%，達到100×1000×（1+15.2%）個．

【詳解】解：設多種x棵樹，則（100+x）（1000﹣2x）＝100×1000×（1+15.2%）（0＜x＜100），

整理，得：x2﹣400x+7600＝0，（x﹣20）（x﹣380）＝0，

解得x1＝20，x2＝380．

∵果園有100棵桃樹，380＞100，

∴x2＝380不合題意，故舍去．

答：應多種20棵桃樹．

2．（2024?泰山區二模）公安交警部門提醒市民，騎車出行必須嚴格遵守“一盔一帶”的規定．某頭盔經銷

商統計了某品牌頭盔4月份到6月份的銷量，該品牌頭盔4月份銷售150個，6月份銷售216個，且從4

月份到6月份銷售量的月增長率相同．

17

（1）求該品牌頭盔銷售量的月增長率；

（2）若此種頭盔的進價為30元/個，測算在市場中，當售價為40元/個時，月銷售量為600個，若在此

基礎上售價每上漲1元/個，則月銷售量將減少10個，為使月銷售利潤達到10000元，而且盡可能讓顧

客得到實惠，則該品牌頭盔的實際售價應定為多少元/個？

【分析】（1）設該品牌頭盔銷售量的月增長率為