/廣西南寧市2024_2025學(xué)年高二下冊(cè)月考（一）數(shù)學(xué)試卷一、單選題（本大題共8小題）1．若函數(shù)，則（

）A． B．0 C．1 D．22．記等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（

）A．13 B．45 C．104 D．1303．3名同學(xué)分別報(bào)名參加足球隊(duì)、籃球隊(duì)、排球隊(duì)、乒乓球隊(duì)，每人限報(bào)一個(gè)運(yùn)動(dòng)隊(duì)，不同的報(bào)名方法種數(shù)有（

）A． B． C．24 D．124．函數(shù)的極小值為（

）A． B． C．15 D．175．五名同學(xué)排隊(duì)，甲、乙兩名同學(xué)必須排在一起，排隊(duì)方案共有（

）A．24種 B．36種 C．48種 D．120種6．現(xiàn)將4名志愿者分配到3個(gè)服務(wù)點(diǎn)，要求每位志愿者都要到一個(gè)服務(wù)點(diǎn)服務(wù)，每個(gè)服務(wù)點(diǎn)都要安排志愿者，有（

）種分配方式A．30 B．36 C．60 D．727．已知函數(shù)是減函數(shù)，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．8．已知橢圓C：．，，若橢圓C上存在3個(gè)不同的點(diǎn)P滿足，則橢圓C離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知等比數(shù)列，則（

）A．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列 B．?dāng)?shù)列是遞增數(shù)列C．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列 D．?dāng)?shù)列是遞增數(shù)列10．已知拋物線的焦點(diǎn)為是上不同的兩點(diǎn)，則（

）A．的方程為B．點(diǎn)到的準(zhǔn)線距離為4C．的最小值為4D．若共線，則的最大值為11．已知函數(shù)，，下列說法正確的是（

）A．函數(shù)存在唯一極值點(diǎn)，且B．令，則函數(shù)無零點(diǎn)C．若恒成立，則D．若，，則三、填空題（本大題共3小題）12．二項(xiàng)式展開式中的含項(xiàng)的系數(shù)為．13．將一個(gè)邊長(zhǎng)為的正方形鐵片的四角截去四個(gè)邊長(zhǎng)均為的小正方形，做成一個(gè)無蓋方盒，方盒的容積為.若要使方盒的容積V最大，則邊長(zhǎng)為.14．已知函數(shù)，若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.四、解答題（本大題共5小題）15．在中，記角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知.(1)求角；(2)若，且的面積為，求的周長(zhǎng).16．已知函數(shù)（）在處取得極小值.(1)求a的值，并求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)求在區(qū)間上的最大值和最小值.17．在四棱錐中，底面是正方形，若．(1)證明：平面平面；(2)求二面角的余弦值．18．已知點(diǎn)，直線，動(dòng)點(diǎn)到直線的距離為，且.(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，并說明是什么曲線；(2)過點(diǎn)且傾斜角大于的直線與軸交于點(diǎn)，與的軌跡相交于兩點(diǎn)，且，求的值及的取值范圍.19．對(duì)于一個(gè)數(shù)列，若，則稱數(shù)列為的p階和數(shù)列，其中.(1)當(dāng)時(shí)，是否存在數(shù)列，使得是公比為2的等比數(shù)列？若是，寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（不必說明理由）(2)若，，求數(shù)列的前n項(xiàng)和；(3)若，證明.

答案1．【正確答案】B【詳解】函數(shù)，求導(dǎo)得，所以.故選B.2．【正確答案】C【詳解】因?yàn)榈炔顢?shù)列的前項(xiàng)和為，且，則.故選C.3．【正確答案】A【詳解】不同的報(bào)名方法種數(shù)有.故選A.4．【正確答案】B【詳解】由函數(shù)，求導(dǎo)得,令,得,當(dāng)時(shí),,函數(shù)單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),,函數(shù)單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),,函數(shù)單調(diào)遞增;所以是極小值點(diǎn),所以函數(shù)的極小值為.故選B.5．【正確答案】C【詳解】運(yùn)用相鄰元素“捆綁法”，將甲和乙看成一個(gè)元素與其他三個(gè)同學(xué)全排，有種排法，再對(duì)甲乙“松綁”，有種排法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得，排隊(duì)方案共有種.故選C.6．【正確答案】B【詳解】依題意個(gè)服務(wù)點(diǎn)的志愿者的人數(shù)為、、，所以有種分配方式.故選B.7．【正確答案】D【詳解】由，可得，因?yàn)楹瘮?shù)是減函數(shù)，所以對(duì)恒成立，即對(duì)恒成立，所以對(duì)恒成立，所以，又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，所以，所以的取值范圍為.故選D.8．【正確答案】C【詳解】設(shè)，由，得，化簡(jiǎn)得，即點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓，則該圓與橢圓有3個(gè)交點(diǎn)，由消去得，即，顯然是方程的一個(gè)解，點(diǎn)是圓與橢圓的1個(gè)公共點(diǎn)，因此必為方程的另一個(gè)解，則，解得，所以橢圓C的離心率.故選C.9．【正確答案】AD【詳解】由得，所以數(shù)列是等比數(shù)列且為遞減數(shù)列，故A正確B不正確；，數(shù)列是遞增的等差數(shù)列，故C錯(cuò)誤，D正確.故選AD.10．【正確答案】ABD【詳解】由，得，所以的方程為，A正確；根據(jù)拋物線的性質(zhì)知，點(diǎn)到的準(zhǔn)線距離為，B正確；由拋物線上點(diǎn)到焦點(diǎn)距離最小點(diǎn)為頂點(diǎn)，故，又為不同的兩點(diǎn)，故，C錯(cuò)誤；設(shè)直線的方程為，與聯(lián)立，得，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)且時(shí)取等號(hào)，D正確.故選ABD.11．【正確答案】ABD【詳解】對(duì)于A：，顯然在上單調(diào)遞增，又，，所以，使得，故A正確；對(duì)于B：由A得，，使得，即，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以恒大于0；所以要研究函數(shù)的零點(diǎn)，只需研究函數(shù)的零點(diǎn).由，令，，，當(dāng)時(shí)，，即在單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，即在單調(diào)遞減，所以，即，即在單調(diào)遞增，又時(shí)，，所以，由恒大于0，恒大于0，故無零點(diǎn)，故B正確；對(duì)于C：由B得，由恒成立，得在恒成立，所以，即，故錯(cuò)誤；對(duì)于D：因?yàn)樵趩握{(diào)遞增，又，，則，所以，即，整理得，不等式兩邊同除以得，，故D正確.故選ABD.12．【正確答案】-40【詳解】二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)為，令，則.13．【正確答案】/【詳解】由，則，，令，解得，令，解得，故在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以在處取得最大值，故.14．【正確答案】根據(jù)恒成立，可得到含有的不等式，再進(jìn)行分離變量，將“恒成立”’轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最大值或最小值，最后得出的范圍.【詳解】，則，兩邊加上得到，單調(diào)遞增，，即，令，則，因?yàn)榈亩x域?yàn)闀r(shí)，，單調(diào)遞增，，，單調(diào)遞減，，.15．【正確答案】(1)(2)12【詳解】（1）由正弦定理知，在中，，所以.又，，可得，所以.（2）由題意可知的面積.因?yàn)椋?由余弦定理，可得，即，所以，所以，故的周長(zhǎng)為12.16．【正確答案】(1)，單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為(2)最大值為，最小值為1.【詳解】（1），由題意得，解得，，定義域?yàn)镽，，令得或，令得，故單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，此時(shí)函數(shù)在處取得極小值，滿足題意；（2）由（1）知，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故在處取得極大值，也是最大值，，又，其中，故在區(qū)間上的最小值為1，綜上，在區(qū)間上的最大值為，最小值為1.17．【正確答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）取的中點(diǎn)為，連接.因?yàn)椋瑒t，而，故.在正方形中，因?yàn)椋剩剩驗(yàn)椋剩蕿橹苯侨切吻遥驗(yàn)椋势矫妫驗(yàn)槠矫妫势矫嫫矫?（2）在平面內(nèi)，過作，交于，則，結(jié)合（1）中的平面，故可建如圖所示的空間坐標(biāo)系.則，故.設(shè)平面的法向量，則即，取，則，故.而平面的法向量為，故.由圖可知，二面角的平面角為銳角，故其余弦值為.18．【正確答案】(1)，點(diǎn)的軌跡是焦點(diǎn)在軸上，實(shí)軸長(zhǎng)，虛軸長(zhǎng)均為的等軸雙曲線(2)，【詳解】（1）設(shè)點(diǎn)，根據(jù)題意，動(dòng)點(diǎn)的軌跡就是點(diǎn)的集合即，整理得.所以，點(diǎn)的軌跡是焦點(diǎn)在軸上，實(shí)軸長(zhǎng)，虛軸長(zhǎng)均為的等軸雙曲線.（2）設(shè)直線傾斜角大于設(shè)，聯(lián)立得，故，由題知，雙曲線的焦