/福建省泉州市2024-2025學年高二下冊3月月考數學試卷一?單選題1.函數在點處的切線斜率為2，則a=（）A.2 B.3 C.4 D.5【正確答案】B【分析】求出函數的導函數，求出，即可得解.【詳解】，，故選：B.2.曲線在點處的切線方程為（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】求出導數，再利用導數的幾何意義求出切線方程.【詳解】由求導得，則，而，所以所求切線方程為.故選：A3.已知方程有兩個零點，則實數a的取值范圍為（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】求定義域，令得有兩個根，構造，求導得到其單調性，得到最值，結合函數圖象特征得到實數a的取值范圍.【詳解】的定義域為，令得，即有兩個根，令，則，令，顯然單調遞減，又，故當時，，當時，，故時，，當時，，所以在上單調遞增，在上單調遞減，故的最大值為，當時，恒陳立，當趨向于0時，趨向于，故要想有兩個根，需滿足故選：A4.已知函數，下面表述不正確的為（）A.是的極小值點 B.當時，C.當時， D.當時，【正確答案】B【分析】對函數求導，求出函數在區間，上單調遞增，在區間上單調遞減，再對每個選項逐一判斷即可.【詳解】對函數求導，得，令，解得：或；令，解得：，所以函數在區間，上單調遞增，在區間上單調遞減，如下圖：對于選項A：觀察圖像可知，選項A正確；對于選項B：當時，，且函數在區間上單調遞增，故，故選項B錯誤；對于選項C：當時，，且函數在區間上單調遞減，且，故，故選項C正確；對于選項D：當時，，由，得，故，故選項D正確；故選：B5.若，則（）A. B.C. D.【正確答案】C【分析】根據題意可通過構造函數且，利用導數求出其單調性，即可比較得出各數的大小.【詳解】因為，所以構造函數且，則，當時，，所以在上單調遞減，當時，，所以在上單調遞減；當時，，所以在上單調遞增；綜上可知，在與上單調遞減，在上單調遞增.所以.又因為，所以，可得.故選：C.6.已知函數，過點作曲線的兩條切線，切點為，其中.若在區間中存在唯一整數，則a的取值范圍是（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】對函數求導，然后求出過點作曲線的兩條切線，把，代入兩條切線方程，得到①，②，所以可以把看成的兩個根，因為，所以有，解出的取值范圍③，可以證明出，在區間中存在唯一整數，必須要滿足，解出的取值范圍，結合③，最后求出的取值范圍.【詳解】，切點為的切線的斜率為，所以切點為的切線方程為：，同理可求得切點為的切線方程為：，兩條切線過點，把，代入兩條切線方程得：①，②，所以可以把看成的兩個根，因為，所以有③，即，因為，所以，在區間中存在唯一整數必須滿足：，結合③，的取值范圍是.故選：C.7.已知函數，若對任意，恒成立，則的取值范圍是A. B. C. D.【正確答案】A【詳解】,且，所以函數為單調遞減的奇函數，因此即，選A.點睛：解函數不等式：首先根據函數的性質把不等式轉化為的形式，然后根據函數的單調性去掉“”，轉化為具體的不等式(組)，此時要注意與的取值應在外層函數的定義域內8.設數列滿足，且，若表示不超過的最大整數，則A.2015 B.2016 C.2017 D.2018【正確答案】B【分析】數列滿足，且，即，利用等差數列的通項公式可得，再利用累加求和方法可得，利用裂項求和方法即可得出.【詳解】數列滿足，且，即，數列為等差數列，首項為，公差為，，，，，故選B.本題主要考查等差數列的通項公式，“累加法”的應用，以及裂項相消法求和，屬于難題.裂項相消法是最難把握求和方法之一，其原因是有時很難找到裂項的方向，突破這一難點的方法是根據式子的結構特點，常見的裂項技巧：(1)；（2）；（3）；（4）；此外，需注意裂項之后相消的過程中容易出現丟項或多項的問題，導致計算結果錯誤.二?多選題9.已知函數，則下列選項中正確的是（）A.函數在區間上單調遞增B.函數在的值域為C.函數在點處的切線方程為D.關于的方程有2個不同的根當且僅當【正確答案】BC【分析】A通過判斷在上是否恒大于等于0可得選項正誤；B利用導數求出在上的單調性，據此可得值域；C由導數知識可得在點處的切線；D將問題轉化為圖象與直線有兩個交點.【詳解】對于A，，，則在上單調遞減，故A錯誤；對于B，由A分析，，則在上單調遞增，則，故函數在上的值域為；對于C，由題，，則點處的切線方程為，故C正確；對于D，即圖象與直線有兩個交點，由上述分析可得大致圖象如下，則要使圖象與直線有兩個交點，，故D錯誤.故選：BC10.已知為等差數列，其前項和，，則下列結論一定正確的是（）A.若，則公差 B.若，則最小C. D.【正確答案】AD【分析】對于等差數列，最重要的是基本量，根據每一個選項的條件再結合基本量來分析，就可以作出判斷.【詳解】當時，因為，所以，故A正確；當，時，滿足，無最小值，故B錯誤；當，，且滿足時，，此時，當，，且滿足時，的符號無法確定，故C無法確定；，故D正確．故選：AD.11.已知的導函數為，且對任意的恒成立，則（）A. B. C. D.【正確答案】AB【分析】構造函數，由，可得單調遞增，進而利用單調性求解即可.【詳解】，所以，，則設，，得，單調遞增，所以，必有，，則，，所以，A和B正確；故選：AB三?填空題12.名學生報名參加項體育比賽，每人限報一項，則報名方法的種數為______.【正確答案】【分析】每人都有種報名方法，然后利用分步乘法計數原理可得出報名方法種數.【詳解】由題意可知，每名學生都有種報名方法，因此，名學生的報名方法的種數為.故答案為.本題考查分步乘法計數原理的應用，理解題意是解題的關鍵，考查計算能力，屬于基礎題.13.已知函數在上為單調函數，則的取值范圍為______.【正確答案】【分析】分別利用、在上恒成立求得取值范圍.【詳解】由題意得：若在上單調遞增，則在上恒成立若在上單調遞減，則在上恒成立綜上所述：本題正確結果：本題考查已知函數在區間內的單調性求解參數范圍問題，如果函數在區間內單調，可將問題轉化為恒成立問題的求解.14.已知函數，，若關于的方程有6個解，則的取值范圍為__________.【正確答案】【分析】令，根據圖象可知，等于常數的解最多只有3個，根據圖象性質可知，等于常數的解最多只有2個，若有6個解，需要有3個解，有2個解，根據圖象先求出，再得出和中最小解之間的等式關系，而后結合的值域即可建立關于的不等式，最后構造關于的函數，求導求單調性即可解不等式，進而得出結果。【詳解】解：由題可得，令，則方程的解有3個，當時，，所以在上單調遞增，當時，，則在上單調遞增，在上單調遞減，，，當時，，所以，畫的圖象如下：由圖象可得，且方程的三個解分別為，不妨設，則有，即，又所以在上單調遞減，在上單調遞增，且，又因為，所以，所以有，即，令，所以，所以在上單調遞增，又，所以的解集為，綜上，的取值范圍為。故方法點睛：本題考查復合函數零點個數問題，此類題目一般做法為：（1）先根據解析式畫出兩個函數圖象；（2）令復合函數內函數為；（3）結合函數圖象及零點個數，分析外函數根的個數以及自變量對應的取值范圍；（4）再確定內函數根個數及對應參數取值范圍；（5）解出參數范圍即可。四?解答題15.已知函數.（1）證明：在定義域內單調遞增；（2）求在處的切線與坐標軸圍成區域的面積.【正確答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）根據即可判斷函數的單調性；（2）根據導數的幾何意義求出切線方程，進而求解.【小問1詳解】證明：（），當時，，所以在定義域內單調遞增.【小問2詳解】，，所以曲線在點處的切線為，即，令得；令得，所以切線與坐標軸所圍成的三角形面積為.16.已知函數有兩個極值點，，.（1）求的取值范圍；（2）求的取值范圍.【正確答案】（1）；（2）【分析】（1）函數有兩個極值點，，等價于有兩個不等的正實數根，等價于有兩個不等的正實數根，再利用根的分布研究二次函數，即可得的取值范圍；（2），是的兩個根，利用韋達定理可得，的關系，將用一個變量表示，再研究關于的函數的單調性，即可得的取值范圍.【詳解】（1）因為函數，定義域為，，函數有兩個極值點，等價于關于的方程有兩個不等的正實數根，令，因為函數的圖象的對稱軸為直線，所以，解得，所以的取值范圍為.（2）由（1）知，是兩個不等的正實數根，且，所以，，故，其中.令，，因為時，，所以在上單調遞增，所以，即的取值范圍是.本題主要考查了利用導數研究函數的極值，研究函數的取值范圍，屬于中檔題.17.已知數列的前項和為，且與的等差中項為.（1）求數列的通項公式.（2）設，求數列的前項和.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）利用等差中項，構造數列，等比數列的知識得出；（2）采用裂項相消法，注意分為奇數偶數.【小問1詳解】因為與的等差中項為，所以，即.當時，，則.當時，，所以，所以，可變形為，所以，且也符合，所以數列是以2為首項，2為公比的等比數列，所以，所以，即數列的通項公式為.【小問2詳解】方法一當為奇數時，.當為偶數時，.所以數列的前項和為.方法二..18.已知函數，．（1）討論函數的單調性；（2）無論取何值，函數的圖象都在函數圖象的上方，求實數的取值范圍．【正確答案】（1）在上為增函數，在上為減函數（2）．【分析】（1）求出函數的導數，通過討論的取值范圍求出函數的單調區間即可；（2）根據已知條件將問題轉化為：恒成立，構造函數，對函數求導，根據函數單調性求出函數的最值即可求解.【小問1詳解】，當時，，在上為增函數；當時，，令，得；令，得，在上為增函數，在上為減函數．【小問2詳解】無論取何值，函數的圖象都在函數圖象的上方，即為恒成立，即，則，恒成立，令，，，令，得；令，得，則在上為增函數，在上為減函數，，則．19.已知函數．（1）求f（x）的單調區間；（2）已知，證明：（?。?；（ⅱ）且時，．【正確答案】（1）單調遞增區間為，單調遞減區間為