/廣東省湛江市2023?2024學年高二下冊期末考試數學試卷一、單選題（本大題共8小題）1．已知，則（

）A． B． C． D．2．已知一系列樣本點的一個經驗回歸方程為，若樣本點的殘差為1，則（

）A． B．6 C． D．83．2020年以來，為了抗擊新冠肺炎疫情，教育部出臺了“停課不停學”政策，全國各地紛紛采取措施，通過網絡進行教學，為莘莘學子搭建學習的平臺．在線教育近幾年蓬勃發展，為學生家長帶來了便利，節省了時間，提供了多樣化選擇，滿足了不同需求，也有人預言未來的教育是互聯網教育．與此同時，網課也存在以下一些現象，自覺性不強的孩子網課學習的效果大打折扣，授課教師教學管理的難度增大．基于以上現象，開學后某學校對本校課學習情況進行抽樣調查，抽取25名女生，25名男生進行測試、問卷等，調查結果形成以下2×2列聯表，通過數據分析，認為認真參加網課與學生性別之間（

）認真上網課不認真上網課合計男生52025女生151025合計203050參考數據：0.050.010.0013.8416.63510.828A．不能根據小概率的的獨立性檢驗認為兩者有關B．根據小概率的的獨立性檢驗認為兩者有關C．根據小概率的的獨立性檢驗認為兩者有關D．根據小概率的的獨立性檢驗認為兩者無關4．已知等差數列的前n項和為，則數列的公差是（

）A． B． C． D．35．已知非零向量，的夾角為，，，則（

）A．1 B． C． D．6．已知函數，若將的圖象向左平移個單位后所得的函數圖象與曲線關于對稱，則的最小值為（

）A． B． C．1 D．7．如圖，橢圓的左、右焦點分別為，，過點的直線與橢圓相交于P，Q兩點．若，，，則橢圓C的方程為（

）A． B． C． D．8．已知函數的最小值為，則的最小值為（

）A． B． C．0 D．1二、多選題（本大題共3小題）9．甲罐中有5個紅球，5個白球，乙罐中有3個紅球，7個白球．先從甲罐中隨機取出一球放入乙罐，再從乙罐中隨機取出一球．表示事件“從甲罐取出的球是紅球”，表示事件“從甲罐取出的球是白球”，B表示事件“從乙罐取出的球是紅球”．則下列結論正確的是（

）A．，為對立事件 B．C． D．10．已知函數，則（

）A．當時，函數的最小值為B．當時，函數的極大值點為C．存在實數使得函數在定義域上單調遞增D．若恒成立，則實數的取值范圍為11．已知圓錐的側面展開圖為一個半圓，為底面圓的一條直徑，，B為圓O上的一個動點（不與A，C重合），記二面角為，為，則（

）A．圓錐的體積為B．三棱錐的外接球的半徑為C．若，則平面D．若，則三、填空題（本大題共3小題）12．的展開式中常數項為．13．已知，拋物線的焦點為是拋物線C上任意一點，則周長的最小值為．14．已知函數的導函數滿足在上恒成立，則不等式的解集是.四、解答題（本大題共5小題）15．在中，內角所對的邊分別為，且滿足.(1)求角的大小；(2)若的面積為，外接圓的面積為，求.16．如圖，在四棱錐中，平面平面，且．

(1)證明：平面平面；(2)求平面與平面夾角的正弦值．17．甲同學參加學校的答題闖關游戲，游戲共分為兩輪，第一輪為初試，共有5道題，已知這5道題中甲同學只能答對其中3道，從這5道題目中隨機抽取3道題供參賽者作答，答對其中兩題及以上即視為通過初試；第二輪為復試，共有2道題目，甲同學答對其中每道題的概率均為，兩輪中每道題目答對得6分，答錯得0分，兩輪總分不低于24分即可晉級決賽．(1)求甲通過初試的概率；(2)求甲晉級決賽的概率，并在甲晉級決賽的情況下，記隨機變量為甲的得分成績，求的數學期望．18．在平面直角坐標系中，已知雙曲線的右焦點為，一條漸近線的傾斜角為，點在雙曲線上．(1)求雙曲線的標準方程；(2)若點在直線上，點在雙曲線上，且焦點在以線段為直徑的圓上，分別記直線的斜率為，求的值．19．已知函數，且．(1)討論的單調性；(2)比較與的大小，并說明理由；(3)當時，證明：．

答案1．【正確答案】C【分析】利用復數的四則運算與共軛復數的定義即可得解.【詳解】因為，即，則，所以，故.故選C.2．【正確答案】C【分析】觀測值減去預測值稱為殘差；進而利用殘差的定義即可求解.【詳解】樣本點的觀測值為，預測值為，則殘差為，解得.故選C.3．【正確答案】B【分析】根據給定的數表，求出的觀測值，再與臨界值比對即得.【詳解】由數表知，，而，所以根據小概率的的獨立性檢驗認為兩者有關．故選B.4．【正確答案】D【分析】根據等差數列前n項和公式求出，進一步求出公差.【詳解】因為，所以，又，所以.故選D.5．【正確答案】D【分析】分析可知，向量，的夾角為，根據結合數量積的運算求解.【詳解】因為，則，且非零向量，的夾角為，，可知向量，的夾角為，則，所以.故選D.6．【正確答案】A【分析】求出函數的圖象平移后所得函數的解析式，再利用對稱列式計算即得.【詳解】函數，的圖象向左平移個單位后所得函數，函數的圖象與的圖象關于直線對稱，則，于是對任意實數恒成立，即對任意實數恒成立，因此，解得，而，則，所以當時，取得最小值.故選A.7．【正確答案】D根據橢圓的定義及已知求得，再解直角三角形求得即可求得橢圓的方程.【詳解】設，有，由可知，又由橢圓的定義有，可得，解得，可得，，，故選D.8．【正確答案】B【分析】由二次函數的性質可知，令，運用導數可求得的最小值，進而可得結果.【詳解】因為，令，則，當時，，單調遞減，當時，，單調遞增，所以，所以，所以的最小值為.故選B．9．【正確答案】AB【分析】只需注意到事件B是在事件或發生之后可解.【詳解】因為甲罐中只有紅球和白球，所以A正確；當發生時，乙罐中有4個紅球，7個白球，此時B發生的概率為，故B正確；當發生時，乙罐中有3個紅球，8個白球，此時B發生的概率為，所以，故D錯誤；，故C錯誤.故選AB.10．【正確答案】AD【分析】由函數極值的求解以及極值點的辨析即可判斷AB，由在上恒成立即可判斷C，分離參數，構造函數求得其最小值，即可判斷D.【詳解】因為函數，則，其中，當時，則，令，可得，當時，，則函數單調遞減，當時，，則函數單調遞增，當時，有極小值，即最小值，故A正確；當時，則，令，可得，當時，，則函數單調遞減，當時，，則函數單調遞增，當時，函數有極小值，則為極小值點，故B錯誤；假設存在實數使得函數在定義域上單調遞增，則在上恒成立，即在上恒成立，所以在上恒成立，因為的值域為，所以函數無最小值，故不存在實數使得函數在定義域上單調遞增，故C錯誤；若恒成立，即在上恒成立，即在上恒成立，令，則，令，則，當時，，則函數單調遞減，當時，，則函數單調遞增，當時，有極小值，即最小值，所以，故D正確；故選AD.11．【正確答案】ACD【分析】根據幾何圖形，以及圓錐體積公式，判斷A；根據幾何圖形確定球心的位置，并求出球的半徑，即可判斷B；根據二面角的定義，確定點的位置，并轉化垂直關系，即可判斷C；根據二面角的定義，結合幾何圖形，即可判斷D.【詳解】

設底面半徑為，母線長為，則，即，由，則，則，所以圓錐的體積為，故A正確；設三棱錐外接球的球心為，在上，設球的半徑為，則中，，解得：，故B錯誤；如下圖，取的中點，連接,因為，，所以，，所以，

若，則，即，所以是等腰直角三角形，所以，因為平面，平面，所以，且，平面，所以平面，故C正確；如上圖，，，因為，所以，則，即則，且，所以，則所以，故D正確.故選ACD.12．【正確答案】【分析】求出二項式的展開式的通項公式，根據題意可得相應方程，求得r的值，可得答案.【詳解】的展開式的通項公式,令，解得（舍）；令，解得，的展開式中常數項為，故答案為.13．【正確答案】【分析】過點P作垂直于準線，易知當三點共線時，的周長最小，即可求解．【詳解】拋物線的準線，，過點P作垂直于準線，由題可知，的周長為，又，易知當三點共線時，的周長最小，且最小值為．故答案為.14．【正確答案】【分析】根據已知關系式可構造函數，可知在上單調遞增，將所求不等式轉化為，利用單調性可解不等式求得結果.【詳解】，令，則在上單調遞增，由得：，即，，解得：，的解集為.故答案為.15．【正確答案】(1)；(2)或.【分析】(1)由正弦定理可得，由余弦定理求出，結合的范圍可得答案；(2)求出外接圓的半徑，由正弦定理求出，根據的面積求出，再由余弦定理可得，聯立可得答案.【詳解】(1)因為，由正弦定理可得，所以，由余弦定理可得，因為，所以；(2)設外接圓的半徑為，因為外接圓的面積為，所以，解得，由正弦定理可得，若的面積為，則，可得，①由余弦定理可得，②由①②可得，或.16．【正確答案】(1)證明見解析；(2).【分析】(1)先由線段關系證，結合面面垂直的性質判定線線垂直，利用線線垂直證線面垂直；(2)建立合適的空間直角坐標系，利用空間向量計算面面角即可.【詳解】(1)由題意，則，因為，所以，因為平面平面，平面平面，且平面，所以平面，因為平面，所以，且平面，所以平面，又平面，所以平面平面；(2)如圖，以A為原點，分別為軸，軸正方向，在平面內過點A作平面ABC的垂線為z軸，建立空間直角坐標系，

則，所以，，設平面的一個法向量，則，令，得，設平面的法向量，則，令，得，設平面與平面的夾角為，則，所以平面與平面夾角的正弦值為．17．【正確答案】(1)；(2)甲晉級決賽的概率為，.【分析】(1)甲要通過初試，則需要答對道或道題目，再利用古典概型求解即可；(2)分甲初試答對道和道題目兩種情況討論，再結合相互獨立事件的乘法公式即可求出，甲晉級決賽的概率，寫出隨機變量的所有可能取值，并利用條件概率公式求出對應概率，再根據期望公式求解即可.【詳解】(1)甲要通過初試，則需要答對道或道題目，所以甲通過初試的概率為；(2)①若甲初試答對道題目，則甲晉級決賽，復試需要答對題，此時甲晉級決賽的概率為，②若甲初試答對道題目，則甲晉級決賽，復試需要答對題或題，當復試答對題時，甲晉級決賽的概率為，當復試答對題時，甲晉級決賽的概率為，綜上所述，甲晉級決賽的概率為，在甲晉級決賽的情況下，隨機變量可取，，所以.18．【正確答案】(1)；(2).【分析】(1)利用雙曲線的性質及點在雙曲線上待定系數法求解即可；(2)設與的坐標，利用兩點斜率公式及在以線段為直徑的圓上，得出點坐標之間關系式結合在雙曲線上消元計算即可.【詳解】(1)易知雙曲線的漸近線為，根據題意可知，解之得，故雙曲線的標準方程為；(2)由上可知，設，顯然，由題意可知，即，而.19．【正確答案】(1)答案見解析；(2)，理由見解析；(3)證明見解析.【分析】(1)分析題意，根據參數的不同范圍，含參利用導數討論單調性即可.(2)根據(1)可知，當時，，，代值進行比