廣西壯族自治區百色市2023?2024學年高一下學期7月期末教學質量調研測試數學試題一、單選題（本大題共8小題）1．設復數，則復數在復平面內對應的點的坐標為（

）A． B． C． D．2．在籃球選修課上，男、女生各有5名編號為1，2，3，4，5的學生進行投籃練習，每人投10次，投中的次數如圖所示，試根據折線圖通過計算比較本次投籃練習中男、女生的投籃水平，則（

）A．男生投籃水平比女生投籃水平高B．女生投籃水平比男生投籃水平高C．男女同學的投籃水平相當，但女同學要比男同學穩定D．男女同學投籃命中數的極差相同3．若，向量與向量的夾角為，則向量在向量上的投影向量為（

）A． B． C． D．4．從裝有若干個紅球和白球（除顏色外其余均相同）的黑色布袋中，隨機不放回地摸球兩次，每次摸出一個球.若事件“兩個球都是紅球”的概率為，“兩個球都是白球”的概率為，則“兩個球顏色不同”的概率為（

）A． B． C． D．5．設為所在平面內一點，，為的中點，則（

）A． B．C． D．6．如圖1，這是雁鳴塔，位于貴州省遵義婁山關景區，塔身巍然挺拔，直指蒼穹，登塔可眾覽婁山好風光．某數學興趣小組成員為測量雁鳴塔的高度，在點O的同一水平面上的A，B兩處進行測量，如圖2．已知在A處測得塔頂P的仰角為30°，在B處測得塔頂P的仰角為45°，且米，，則雁鳴塔的高度（

）A．30米 B．米 C．米 D．米7．的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，，則的面積為（

）A． B． C． D．8．足尖雖未遍及美景，浪漫卻從未停止生長，清風牽動裙擺，處處彰顯著幾何的趣味.如右圖幾何圖形好似平鋪的一件裙裝，①②③⑤是全等的等腰梯形，④⑥是正方形，其中，，若沿圖中的虛線折起，圍成一個封閉幾何體Ω，則Ω的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．設，，為三個不同的平面，m，n為兩條不同的直線，則下列命題是真命題的是（

）A．當時，若，則B．當，時，若，則C．當，時，，則m，n是異面直線D．當，時，若，則10．《數術記遺》記述了積算（即籌算）、珠算、計數等共14種算法．某研究學習小組共7人，他們搜集整理這14種算法的相關資料所花費的時間（單位：min）分別為93，93，88，81，94，91，90．則這組時間數據（

）A．極差為13 B．中位數為81C．平均數為90 D．方差為2511．在中，內角所對的邊分別為，其中，且，則下列說法正確的是（

）A．B．面積的最大值為C．若為邊的中點，則的最大值為3D．若為銳角三角形，則其周長的取值范圍為三、填空題（本大題共3小題）12．雙鴨山一中高一年級8名學生某次考試的數學成績（滿分150分）分別為85，90，93，99，101，103，116，130，則這8名學生數學成績的第75百分位數為．13．已知的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且=，則B=．14．已知在邊長為的正三角形中，、分別為邊、上的動點，且，則的最大值為．四、解答題（本大題共5小題）15．已知，且與的夾角為，(1)求的值；(2)求向量與的夾角的余弦值．16．如圖，在四棱錐中，平面，底面是平行四邊形，為的中點，，.(1)平面；(2)求三棱錐的體積．17．某中學參加知識競賽結束后，為了解競賽成績情況，從所有學生中隨機抽取800名學生，得到他們的成績，將數據整理后分成五組：，，，，，并繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.(1)請補全頻率分布直方圖并估計這800名學生的平均成績；(2)采用分層隨機抽樣的方法從這800名學生中抽取容量為40的樣本，再從該樣本中成績不低于80分的學生中隨機抽取2名進行問卷調查，求至少有1名學生成績不低于90分的概率.18．在①②③三個條件中任選一個補充在下面橫線上，并解決問題.問題：在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足___________.(1)求角A；(2)若A的角平分線AD長為1，且，求的值.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.19．如圖，正四棱錐的底面是正方形，每條側棱的長都是底面邊長的倍，點P在側棱SD上，且．(1)求證：；(2)求二面角的大小；(3)側棱SC上是否存在一點E，使得平面PAC．若存在，求的值；若不存在，試說明理由．

參考答案1．【答案】A【分析】先根據復數的除法運算求出結果，進而得出復數在復平面內對應的點的坐標.【詳解】,則復數在復平面對應點的坐標為.故選A.2．【答案】C【分析】根據平均數和方差計算公式結合圖表數據計算出，，，，然后進行比較即可求得結果.【詳解】由圖可知，，，，所以，，所以本次投籃練習中男女同學的投籃水平相當，但女同學要比男同學穩定，故選C.3．【答案】D【解析】根據平面向量投影定義,即可得解.【詳解】因為,向量與向量的夾角為則在上的投影向量為故選D.4．【答案】C【詳解】設“兩個球都是紅球”為事件A，“兩個球都是白球”為事件B，“兩個球顏色不同”為事件C，則，，且.因為A，B，C兩兩互斥，所以.故選C.【思路導引】設“兩個球都是紅球”為事件A，“兩個球都是白球”為事件B，“兩個球顏色不同”為事件C，則A，B，C兩兩互斥，，再根據對立事件及互斥事件概率公式，即可求解.5．【答案】A【分析】畫出圖形，由平面向量的線性運算法則結合圖形即可得解.【詳解】由題意畫出圖形，如圖，因為，為的中點，所以，,所以.故選A.6．【答案】A【分析】設，用表示，再利用余弦定理列式計算即得.【詳解】設，依題意，，，在中，由余弦定理得，即，整理得，解得，所以雁鳴塔的高度為30米.故選A.7．【答案】B【分析】由給定條件，利用正弦定理邊化角求出，再利用余弦定理求出即可求出三角形面積.【詳解】在中，由及正弦定理，得，而，則，由及余弦定理得，，因此，，則，所以的面積為.故選B.8．【答案】D【分析】由題意可知幾何體為正四棱臺，根據正四棱臺以及球的結構特稱求出外接球的半徑，進而可得表面積.【詳解】依題意，幾何體為正四棱臺，其底面邊長分別為2，4，側棱長為2，正四棱臺高為，設上、下底面中心分別為，外接球的球心為，半徑為，，圓的半徑分別為，顯然，則，即球心在正四棱臺外，于是，解得，所以的外接球的表面積為.故選D.9．【答案】ABD【分析】根據線面平行和垂直關系逐項分析判斷即可得解.【詳解】對于A，互相平行的兩個平面，一個垂直于一個平面，則另一個也垂直于這一個平面，A正確；對于B，由，，得，而，因此，B正確；對于C，，，，則m，n可以是平行直線，也可以是異面直線，C錯誤；對于D，由，得，又，則成立，D正確.故選ABD.10．【答案】AC【分析】根據極差、中位數、平均數、方差的定義計算可得.【詳解】這組數據從小到大排列為、、、、、、，極差為，故A正確；中位數為，故B錯誤；平均數為，故C正確；方差為，故D錯誤.故選AC.11．【答案】ACD【詳解】對于A,由題意可知，利用余弦定理得，，因為，所以，故A正確；對于B，由上述可知，的面積，且易知，解出，當且僅當時取等號，此時，故B錯誤；對于C，在和中，對和利用余弦定理，，化簡后有，由B知，的最大值為12，因此最大為3，故C正確；對于D，利用正弦定理，，則，于是的周長，由于是銳角三角形，因此即解出，則則，則，故D正確.故選ACD.【關鍵點撥】對于A,用余弦定理可解；對于B，用面積公式，結合基本不等式可解；對于C，用兩次余弦定理，互補角余弦值互為相反數來構造方程可解；對于D，周長問題，邊化角，用三角函數解題．12．【答案】109.5【分析】因為，進而可以求解.【詳解】因為，則這8名學生數學成績的第75百分位數為，故答案為：109.5.13．【答案】【解析】利用正弦定理邊角互化、余弦定理即可求解.【詳解】根據正弦定理，可得，由已知可得，整理可得，在中.故答案為：.14．【答案】【分析】如圖建立直角坐標系，設（），則（），然后表示出可求得其最大值【詳解】如圖建系，則、、，則，設（），則（），則，，∴，∴，當時，取最大值．故答案為：.15．【答案】(1)6(2)【分析】（1）利用平面向量數量積的定義求解即可.（2）先求出，再利用平面向量的夾角公式求解即可.【詳解】（1）由平面向量數量積的定義得，故的值為，（2）設向量與的夾角為，又，，故向量與的夾角的余弦值為.16．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）連接交于點，連接，即可得到，從而得證；（2）依題意可得，再根據錐體的體積公式求出，即可得解.【詳解】（1）連接交于點，連接，因為底面是平行四邊形，所以為的中點，又為的中點，所以，又平面，平面，所以平面；（2）因為為的中點，所以，所以，因為平面，，，是平行四邊形，所以，所以，所以.17．【答案】(1)直方圖見解析；71（分）(2)【分析】（1）根據頻率分布直方圖求得成績落在的頻率，從而可得這800名學生的平均成績；（2）根據分層抽樣確定成績在內的人數并標記，成績在內的人數并標記，根據古典概型列舉基本事件種數及所求事件種數，即可得概率值.【詳解】（1）成績落在的頻率為，補全的頻率分布直方圖如圖：這800名學生的平均成績約為；55×0.15+65×0.30+75×0.40+85×0.10+95×0.05=71（分）；（2）抽取的40名學生中，成績在內的有（人），分別記為，，，，成績在內的有（人），分別記為，，從這6人中隨機抽取2人的基本事件有，，，，，，，，，，，，，，.共有15種.記事件“至少有1名學生成績不低于90分”，則事件包含的基本事件有：，，，，，，，，，共9種，所以所求概率為.18．【答案】(1)(2)【分析】（1）選①，先用正弦定理，再求解角；選②，先用正弦定理，再用余弦定理求解；選③，先用正弦定理、誘導公式、二倍角公式，再根據特殊三角函數值求解.（2）由面積公式得，再用余弦定理得，再由轉化計算即可求解.【詳解】（1）選①得，.即，則（舍去）或所以；選②得，即由，又，所以；選③得，即，因為，所以又，所以.（2）由得，，即，由余弦定理，.解得，由正弦定理，，.所以的值為.19．【答案】(1)證明見解析；(2)；(3)存在，，理由見解析.【詳解】（1）在正四棱錐中，連接，連接，則點O是正方形的中心，平面，而平面，則，又，平面，，于是平面，而平面，所以.（2）連接，由（1）知，平面，而平面，則，于是是二面角的平面角，令正方形邊長為，則，有，