/江蘇省淮安市2024-2025學年高一下冊4月期中聯考模擬考試數學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知向量a=(1,2)，向量b=(x,?2),且a⊥aA.9 B.4 C.0 D.?42.已知i為虛數單位，若z(2+i)=3?i，則|z+2i|=(

)A.10 B.10 C.5 D.3.已知a、b均為單位向量，且a+b=a?b，則A.π4 B.π2 C.3π44.在△ABC中，∠A=π3，AB=2，滿足條件的三角形有兩個，則BC的取值范圍為(

)A.[1,2) B.(1,3] C.(5.在△ABC中，M是BC中點，AM=1，AB?AC=?3，則BC=A.2 B.3 C.2 6.已知α∈(0,π)，且sinα+cosα=2A.127 B.?712 C.77.過△ABC的重心G作一直線分別交AB,AC于點D,E.若AD=xAB，AE=yAC(xy≠0)，則A.4 B.3 C.2 D.18.在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，c=3，3sinC+cosC=2，N是邊BC上一點，且滿足BN=AC，M是ACA.22 B.33?32二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.已知z1，z2∈CA.若z1=z1，則z1∈R B.若|z1z2|=1，則z10.已知向量a=3,1，b=A.若b=1，則λ=0 B.若a⊥b，則λ=3

C.若λ=1，則cosa,b=?211.在?ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知B=2π3，b=8，則(

)A.若A=π6，則a=433 B.若a=4，則sinA=34三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知i為虛數單位．若|z|2+(z+z)i=1?i且復數z對應的點在第三象限，求復數z13.已知tanα+tanβ=4，tan(α+β)=?23，則14.在△ABC中，已知AB=2，AC=3，∠BAC=π3，AC和BC邊上的兩條中線BM，AN相交于點P，則∠MPN的余弦值為

．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)已知平行四邊形ABCD的三個頂點分別為A(?2,1)，B(1,0)，C(3,1)．(1)求頂點D的坐標;(2)求平行四邊形ABCD的面積．16.(本小題15分)在銳角?ABC中，內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,bcos(1)求角A；(2)若?ABC的面積為43，求?ABC17.(本小題15分)已知sinα=1213，sin(α+β)=3(1)求sinβ+(2)求cos2α?π18.(本小題17分)已知向量a=(2sinx,1)，(1)若a/?/b，求x(2)記f(x)=a(ⅰ)若對于任意x1，x2∈[π6,(ⅱ)關于x的不等式af(?12x+π19.(本小題17分)如圖，在平面四邊形ABCD中，AD=1，C=π3=sin∠ABDsin(Ⅰ)求A；(Ⅱ)若CD=x，BC=3x?1，x>13，求四邊形ABCD的面積．答案和解析1.【正確答案】A

解：a?b=(1?x,4)，又a⊥a?b，則a2.【正確答案】B

解：因為z(2+i)=3?i，

所以z=3?i2+i=3?i2?i2+i2?i=5?5i3.【正確答案】C

【分析】本題考查利用響亮的數量積求向量的夾角和模，屬于基礎題．

由模長公式求出a?b=0解：因為a+b=a?b?則cosa因為a,b?a∈0,π，所以故選：C．4.【正確答案】C

解：根據題意畫圖如圖所示，

∠BAM=π3，AB=2，過B作BD⊥AM于D，

∴BD=ABsinA=3，若滿足條件的三角形有兩個，則以B為圓心，以BC長為半徑的弧與射線AM有兩個交點C1,C2，

∴BD

<BC<AB，即3<BC<2，5.【正確答案】D

解：AM=AB+AC2，

AM2=AB2+2AB·AC+AC26.【正確答案】A

解：因為sinα+cosα=23，

所以sin2α+2sinαcosα+cos2α=29，

則2sinαcosα=27.【正確答案】B

【分析】本題考查了平面向量基本定理，平面向量的線性運算，屬于中檔題．

以向量AB,AC作為基底，分別表示出

解：設點F為BC中點，因為D?,??G?,??E三點共線，所以可設DE=λDG，

因為AD=xAB?,??AE=yAC，

所以DE=AE?AD=yAC?xAB，

因為G為?ABC的重心，

所以AG=23AF=238.【正確答案】B

解：因為3sinC+cosC=2，所以sin?(C+π6)=1，

而由C是三角形內角得：π6<C+π6<7π6，因此C+π6=π2，即C=π3，

在△ABC中，因為c=3，所以asinA=bsinB=csinC=23，

因為M是AC中點，所以CM=b2，

因為N是邊BC上一點，且滿足BN=AC，所以CN=a?b，

在△CMN中，由余弦定理得：

MN2=CM2+CN2?2CM·CNcosC

=b24+a?b2?9.【正確答案】AC

解：對A，不妨設z1=a+bi(a,b∈R)，則z1=a?bi，若z1=z1，則a+bi=a?bi，則b=0，z1∈R，故A選項正確;

對于B，取z1=2i,z2=2，滿足條件，但結論不成立，故B選項錯誤；

對于C，z1?z1=

|z1|2，

z210.【正確答案】ABD

【分析】本題考查向量模的坐標表示，向量數量積的坐標表示與向量的垂直關系，投影向量，屬于中檔題．

根據平面向量模的坐標求法可判斷A；根據平面向量垂直的定義和數量積的坐標運算可判斷B；根據平面向量夾角的坐標求法可判斷C；根據投影向量的求法可判斷D．解：對于A：若b=1，則1+λ2=1，

對于B：若a→⊥b→，

則a?b=?3+λ=0對于C：若λ=1，則b=2，

又a所以cos??a,對于D：若λ=1，則a在b上的投影向量為

a?bb故選：ABD．11.【正確答案】BCD

【分析】本題考查正余弦定理，考查三角形面積公式，考查基本不等式，屬于較難題．

對于AB，由正弦定理求解即可判斷；對于C，由余弦定理及基本不等式得ac≤643，代入三角形面積公式即可判斷，對于D，由余弦定理及基本不等式得解：對于A，若A=π6，又B=2π3，b=8，由正弦定理得對于B，由題意B=2π3，b=8，a=4，由正弦定理得sinA=對于C，由余弦定理b2=a所以ac≤643，當且僅當所以S?ABC所以?ABC面積的最大值為1633對于D，由B=2π3，b=8，及余弦定理64=a2+當且僅當a=c=8所以?ABC的周長l=8+a+c≤8+16所以?ABC周長的最大值為163312.【正確答案】?【分析】本題考查復數的運算法則，復數相等，共軛復數，復數的模，復數的幾何意義，屬于基礎題．

利用復數的運算法則，復數相等，復數的幾何意義求得z即可得出．

解：設z=a+bi(a,b∈R)，

則由|z|2+(z+z)i=1?i，

得a2+b2+2ai=1?i，

∴a2+b2=12a=?1，

即a=?12b=?13.【正確答案】12【分析】本題考查兩角和的正弦、正切公式，兩角差的余弦公式，同角三角函數的基本關系，屬于較易題．

先由已知條件及兩角和的正切公式求出tan?α解：tanα+tanβ=4，tan所以，sin(α+β)故114.【正確答案】?2【分析】本題考查利用余弦定理解三角形，利用向量的數量積求向量的模，屬于中檔題．

由題意及余弦定理可得BC邊的大小及cosB的值，由M，N為中點，可得向量AN，BM的表達式，平方可得AN，BM的值，再由重心的性質可得PM，PN，MN的大小，再由余弦定理可得cos∠MPN

解：△ABC中，AB=2，AC=3，∠BAC=π3，由余弦定理可得BC=AB2+AC2?2AB?AC?cos∠BAC=4+9?2×2×3×12=7，

由余弦定理可得cosB=a2+c2?b22ac=7+4?927×2=15.【正確答案】解：(1)設D(x,y)，則BC=(2,1)，AD=(x+2,y?1)，

因為四邊形ABCD為平行四邊形，所以BC=AD，

則x+2=2y?1=1，解得x=0y=2.ze

所以D(0,2)．

(2)因為BA=(?3,1)，BC=(2,1)，

所以|BA|=10，|BC|=5，詳細解答和解析過程見【正確答案】16.【正確答案】解：(1)因為bcos所以b?a因為4sin2C=因為?ABC是銳角三角形，所以8sin所以asinA=csinC=(2)因為?ABC的面積為4所以12bcsin由余弦定理得16=b2+所以b+c2=b故?ABC的周長為12．

本題考查正、余弦定理的綜合應用，三角形面積公式，屬于中檔題．

(1)首先根據已知條件bcosC+ccosB=4，利用余弦定理求得a=4，再根據4sin(2)首先根據面積公式求得bc=16，然后再利用余弦定理求得b2+c17.【正確答案】解：(1)∵sinα=1213，π2<α<π

∴cosα=?1?sin2α=?513，

∵0<β<π2，π2<α<π，

∴π2<α+β<3π2，

又∵sin(α+β)=35，

∴本題考查三角恒等變換的綜合應用，利用同角三角函數基本關系化簡，屬于中檔題．(1)由已知函數值以及角的范圍得cosα=?513，結合兩角和差的正弦公式即可求值；18.【正確答案】解(1)由a/?/b，則sinx=cos(x+π6)，

所以sinx=32cosx?12sinx，即tanx=33，

因為x∈[π6,π3]，故x=π6．

(2)(i)f(x)=a?b=2sinx?cos(x+π6)+12

=2sinx?(32cosx?12sinx)+12

=詳細解答和解析過程見【正確答案】19.【正確答案】解：(Ⅰ)因為sin2A?sin2∠ABD?sin2∠ADB=sin∠ABDsin∠ADB，

由正弦定理可得BD2?AD2?AB2=AD?AB，

由余弦定理可得cosA=AD2+AB2?BD22AB?A