/山東省濟南市萊蕪2024_2025學年高二下冊第一次階段性測試數學試卷一、單選題（本大題共8小題）1．已知函數，則在區間上的最大值為（

）A． B． C． D．2．曲線在點處切線的斜率為，則的坐標為（

）A． B． C． D．3．若函數在內無極值，則實數a的取值范圍是（

）A． B． C． D．4．已知函數的導函數的圖象如圖所示，那么函數的圖象最有可能的是（）

A．

B．

C．

D．

5．已知函數，則（）A．0 B． C．2025 D．40506．已知函數在定義域上單調遞增，則實數的取值范圍為（）A． B． C． D．7．已知函數．若對任意的，都存在唯一的，使得成立，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．8．若函數，且，則正實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知函數的導數為，若存在，使得，則稱是的一個“巧值點”，則下列函數中有“巧值點”的是（）A． B．C． D．10．已知函數，則下列判斷正確的是（

）A．方程有兩個根B．函數有2個零點C．當時，函數的圖象總在函數圖象的上方D．函數的最大值為111．設計一個實用的門把手，其造型可以看作圖中的曲線的一部分，則（

）

A．點在上B．將在軸上方的部分看作函數的圖象，則1是的極小值點C．在點處的切線與的另一個交點的橫、縱坐標均為有理數D．時，曲線上任意一點到坐標原點的距離均大于三、填空題（本大題共3小題）12．設函數在處的導數存在，且，則.13．已知函數，則.14．已知函數若關于a的方程恰有四個不同的解，則正數m的取值范圍為．四、解答題（本大題共5小題）15．已知函數在處取得極值．(1)求實數的值；(2)求函數在區間上的最小值．16．已知函數.(1)求的單調區間；(2)若，證明：當時，.17．某鄉鎮全面實施鄉村振興戰略，大力推廣“毛線玩具”加工產業.某生產合作社組建加工毛線玩具的分廠，需要每年投入固定成本10萬元，每加工萬件玩具，需要流動成本萬元.當年加工量不足15萬件時，；當年加工量不低于15萬件時，.通過市場分析，加工后的玩具以每件元的價格，全部由總廠收購.(1)求年利潤關于年加工量的解析式；（年利潤年銷售收入-流動成本-年固定成本）(2)當年加工量為多少萬件時，該合作社的年利潤最大？最大年利潤是多少？（參考數據:）.18．已知函數.(1)若，求函數在點處的切線方程；(2)若恒成立，求實數的取值范圍；(3)求證：，.19．已知函數．(1)當時，求的極小值；(2)若存在兩個極值點．（i）求a的取值范圍；（ⅱ）證明：．

答案1．【正確答案】B【詳解】因為，所以函數的導函數為，令，可得或，當時，，函數在上單調遞增，當時，。函數在上單調遞減，當時，，函數在上單調遞增，又，，所以在區間上的最大值為.故選B.2．【正確答案】B【詳解】，令，則，故，當時，，即的坐標為.故選B.3．【正確答案】C【詳解】由函數在內無極值，得在內無變號零點，而函數在上單調遞增，則或，解得或，所以實數a的取值范圍是.故選：C.4．【正確答案】A【詳解】由導函數圖象可知，在上單調遞減，在上單調遞增，結合選項，只有A符合；故選A.5．【正確答案】B【詳解】因為，則，故.故選B.6．【正確答案】D【詳解】由，解得，所以的定義域是，依題意可知在區間上恒成立，即在區間上恒成立，即在區間上恒成立，由于，所以的最大值為，所以.故選D.7．【正確答案】C【詳解】，當時，，單調遞減，當時，，單調遞增，且，又對任意的，，都存在唯一的，，使得成立，或，又，，故，，解得．故選C8．【正確答案】C【詳解】易知的定義域為，由可得，即；因為，所以，即，構造函數，則，可知函數在上單調遞增，因此，即，所以，令，則，當時，，此時在上單調遞減，當時，，此時在上單調遞增，因此在處取得極小值，也是最小值，；即可得，解得.所以正實數的取值范圍是.故選C.9．【正確答案】ABC【詳解】對于A:，令，得或，有“巧值點”，A滿足；對于B:，令，得，有“巧值點”，B滿足；對于C:，令，結合，的圖象，知方程有解，有“巧值點”，C滿足；對于D:，令，得，與矛盾，沒有“巧值點”，D不滿足.故答案為ABC.10．【正確答案】ACD【詳解】A選項，，定義域為，令，則，令?′x>0,得;令?′x<0,故?x在0,+∞上單調遞增，在上單調遞減，其中，當時，?x<0恒成立，畫出?x及的圖象如下：可以看出兩函數有兩個不同的交點，故有兩個根，A正確；B選項，，定義域為R，令,得，只有1個零點，B錯誤；C選項，令，則，令,得;令,得，故在上單調遞減，在0,+∞上單調遞增，所以在處取得極小值，也是最小值，，故當時，，函數的圖象總在函數圖象的上方，C正確；D選項，的定義域為R，，令，得；令，得，故在上單調遞增，在0,+∞上單調遞減，故在處取得極大值，也是最大值，最大值為，D正確.故選ACD.11．【正確答案】ACD【詳解】解：將代入C的方程，等式成立，故A正確；對于C在軸上方的部分，可知函數，則，因為，故B錯誤；過點作C的切線，由B選項知其斜率為，故其方程為，將其與C的方程聯立得，故切線與C的交點的坐標，橫，縱坐標均為有理數，故C正確；設，則其到坐標原點的距離為，要使該距離大于，只需要，整理得，易知當時，不存在，可知，又因為，故，故成立，故D正確.故選ACD.12．【正確答案】【詳解】.13．【正確答案】3【詳解】因為，所以，所以.14．【正確答案】【詳解】由方程，則當時，可得；當時，可得，則可得關于x的方程有兩個不等的正根，關于x的方程有兩個不等的負根，即函數恰好有兩個零點，函數恰好有兩個零點，由，則只需研究函數恰好有兩個零點即可，求導可得，令，因為，且，所以在上有一個零點，記為．當時，，；當時，，．所以在上單調遞增，在上單調遞減，當或時，，則，即．因為，所以，則．因為函數在上單調遞增，且，所以，則，由，得，又，所以．15．【正確答案】(1)3；(2)?【分析】(1)求出函數的導數，根據函數在處取得極值，求出的值；再根據函數導數驗證函數的極值；(2)利用導數判斷函數在上的單調性，求出最值.【詳解】(1)由題意得的定義域，且因為函數在處取值得極值，所以解得此時，，令得或，令得，故函數在，上單調遞增，在上單調遞減，所以函數在處取極大值，在處取極小值，符合題意；所以．(2)由(1)得，，令，得，所以函數在單調遞增，令，得，所以函數在單調遞減，所以函數在處取極小值，所以當時，的最小值為.16．【正確答案】(1)單調遞減區間為，單調遞增區間為.(2)證明見解析【詳解】（1）因為，所以，當時，，當時，，所以的單調遞減區間為，單調遞增區間為.（2）要證明，只需證明，設，則，因且在上單調遞增，且，，所以存在唯一的，使得，即，，當時，，當時，，所以在上單調遞減，在上單調遞增.所以，故原命題成立.17．【正確答案】(1)(2)當年加工量為18萬件時，該合作社獲得的年利潤最大，且最大年利潤為156萬元.【詳解】（1）當時，，當時，，所以年利潤關于年加工量的解析式為：；（2）當時，恒成立，所以在區間上單調遞增，所以，當時，，當且僅當，即時取得等號.因為，所以當年加工量為18萬件時，該合作社獲得的年利潤最大，且最大年利潤為156萬元.18．【正確答案】(1)(2)(3)證明見解析【詳解】（1）若，則，，，所以切線斜率，所以切線方程為，即.（2）若對定義域內，都有恒成立，即恒成立，只需即可，設，，則，令，解得，當時，，單調遞增，當時，，單調遞減，所以，故的取值范圍為.（3）由（2）得當時，恒成立，即，將中的替換為，顯然，則，故，即.故.19．【正確答案】(1)(2)（i）；（ⅱ）證明見解析【詳解】（1）當時，，可知的定義域為，且，當時，，當時，，可知在上單調遞減，在上單調遞增，所以的極小值為；（2）（?。┯深}意可得的定義域為，且，設，可知在內有兩個變號零點，則，當，當時，，可知在