/江西省撫州市金溪縣2024_2025學年高一下冊第一次聯(lián)考數(shù)學試卷一、單選題（本大題共8小題）1．已知是鈍角三角形中最大的角，則是（）A．第一象限角 B．第三象限角 C．第四象限角 D．小于的正角2．已知集合，則（）A． B． C． D．3．已知某扇形的弧長為5，圓心角為2rad，則該扇形的面積為（）A． B． C． D．4．“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件5．函數(shù)在某一周期內的大致圖象為（）A． B．C． D．6．已知，則（）A． B． C． D．7．如圖，用四個不同的元件連接成一個工作系統(tǒng)，當元件正常工作，且三個元件中至少有一個正常工作時，該系統(tǒng)正常工作．已知元件A正常工作的概率為，元件正常工作的概率均為，且這四個元件是否正常工作相互獨立，則該系統(tǒng)正常工作的概率為（）A． B． C． D．8．函數(shù)的所有零點之和為（）A． B．1 C．2 D．3二、多選題（本大題共3小題）9．下列函數(shù)中，以為最小正周期，且在區(qū)間上單調遞增的是（）A． B． C． D．10．已知函數(shù)，則（）A．的圖象關于直線對稱B．為了得到函數(shù)的圖象，可將的圖象向右平移個單位長度C．在上的值域為D．兩個相鄰的零點之差的絕對值為11．若存在，對任意，使得，則稱是上的“邊界函數(shù)”．下列結論正確的是（）A．是上的“邊界函數(shù)”B．是上的“邊界函數(shù)”C．是上的“邊界函數(shù)”D．若是上的“邊界函數(shù)”，則是上的“邊界函數(shù)”三、填空題（本大題共3小題）12．在范圍內，終邊與重合的角的大小為．13．已知角的終邊經(jīng)過點，則．14．已知定義域為的函數(shù)的圖象關于點對稱，且當時，不等式恒成立，其中，則不等式的解集為．四、解答題（本大題共5小題）15．某同學用“五點法”畫函數(shù)在某一周期內的圖象時，列表并填入了部分數(shù)據(jù)，如下表．00200(1)將表中數(shù)據(jù)補充完整，并直接寫出的解析式；(2)若，求的值．16．其校為了解學生的綜合素養(yǎng)情況，從該校學生中隨機地抽取了40名學生作為樣本，進行綜合素養(yǎng)測評，將他們的得分（）分成，共六組．根據(jù)他們的得分繪制了如圖所示的頻率分布直方圖．(1)從得分低于60分的樣本中隨機地選取2個樣本，求這2個樣本的得分在同一組的概率；(2)若在內的樣本得分的平均數(shù)為86分，方差為10，在內的樣本得分的平均數(shù)為92分，方差為6，求在內的樣本得分的平均數(shù)和方差．17．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，直線是圖象的一條對稱軸．(1)求的解析式；(2)求的單調遞減區(qū)間；(3)若方程在內恰有兩個不相等的實數(shù)根，求的取值范圍．18．已知函數(shù)，且．(1)求的值．(2)求不等式的解集；(3)已知函數(shù)．設，，證明：．19．如圖，正五角星的外接圓與地切于，五角星形水車繞軸心按逆時針（箭頭方向）勻速旋轉，點離地面的垂直高度（單位：米）與旋轉時間（單位：秒）滿足關系式．已知當時，與地面平行（此時A在的右側），且點A首次到達至高點所用的時間為12秒．(1)求圓的半徑和的解析式．(2)若存在正實數(shù)滿足，使得，證明：．(3)若在水車的每個頂點處加裝一個澆水桶，當某澆水桶距離地面的垂直高度為米時，水車停止旋轉60秒便于該澆水桶進行澆水作業(yè)，其余時間段均按原始方式勻速旋轉，求從0秒到6800秒內澆水作業(yè)的次數(shù)．

答案1．【正確答案】A【詳解】因為是鈍角三角形中最大的角，所以，則，故是第一象限角．故選A.2．【正確答案】C【詳解】對于集合，是自然數(shù)，要使，則.對于集合，由解得或.因為，，所以．故選C.3．【正確答案】D【詳解】因為扇形的弧長為5，圓心角為，由弧長公式可知：，所以該扇形的半徑，由扇形面積公式可知：，所以該扇形面積為．故選D.4．【正確答案】A【詳解】由，得，則．取，，滿足，但不滿足．則由可得，由得不到，故“”是“”的充分不必要條件.故選A.5．【正確答案】C【詳解】由題可知，的最小正周期，排除B，D．因為，所以排除A．故選C．6．【正確答案】D【詳解】因為，且，所以，則，即．故選D.7．【正確答案】B【詳解】由題可知，元件均不正常工作的概率為，則元件中至少有一個正常工作的概率為，從而該系統(tǒng)正常工作的概率為．故選B.8．【正確答案】B【詳解】令，得．分別作出函數(shù)和的圖象，如圖所示：由圖可知它們均關于點對稱．(由正弦函數(shù)的性質，令,得到函數(shù)的中心,取得到以為對稱中心.)當時，，當時，，則與的圖象恰有3個交點，從而函數(shù)的所有零點之和為．故選B.9．【正確答案】ABD【詳解】對于A，因為，且當時，在上單調遞增，所以A正確．對于B，因為，且當時，在上單調遞增，所以B正確．對于C，當時，，不單調，所以C不正確．對于D，因為，且當時，單調遞增，所以D正確．故選ABD.10．【正確答案】AD【詳解】因為，所以的圖象關于直線對稱，A正確．，B不正確．由，得，則，C不正確．由，得，則，即，所以兩個相鄰的零點之差的絕對值為，D正確．故選AD.11．【正確答案】ABD【詳解】對于選項A，對任意，都有，則，A正確．對于選項B，對任意，都有，則，B正確．對于選項C，對任意，都有，當趨近于0時，趨近于，則不存在，使得，即不存在，使得，C不正確．對于選項D，因為是上的“邊界函數(shù)”，所以存在，使得對任意，都有．對任意，都有，則，則是上的“邊界函數(shù)”，D正確．故選ABD.12．【正確答案】【詳解】終邊與重合的角為，由，可得，所以，在范圍內，終邊與重合的角的大小為.13．【正確答案】【詳解】因為角的終邊經(jīng)過點，所以，，，則.14．【正確答案】【詳解】設函數(shù)，因為的圖象關于點對稱，所以，則，從而的圖象關于點對稱．由，可得，整理得，即，則在上單調遞增．因為的圖象關于點對稱，所以在上單調遞增．由，得，則．由，得，即，當時，由可得；當時，由可得.因此，不等式的解集為.15．【正確答案】(1)表格見解析，(2)【詳解】（1）表中數(shù)據(jù)補充如下：00200，理由如下：由于的最小正周期為，所以，又，故，當時，，故，所以解析式為（2）由（1）可知，則；，則．因為，所以．16．【正確答案】(1)(2)平均數(shù)分，方差【詳解】（1）由圖可知，，解得，則在內的樣本容量為，將這2個樣本分別記為，在內的樣本容量為，將這4個樣本分別記為．從中隨機地選取2個，可知樣本空間，共有15個樣本點．用事件表示“這2個樣本的得分在同一組”，則，有7個樣本點，則，即這2個樣本得分在同一組的概率為．（2）由圖可知，在內的樣本數(shù)與在內的樣本數(shù)之比為，所以在內的樣本得分的平均數(shù)分，方差17．【正確答案】(1)；(2)；(3)【詳解】（1）由題可知，的最小正周期，則，則，，即，．因為，所以．又，所以，得．故．（2）令，得，則的單調遞減區(qū)間為．（3）由，得．由，得．因為方程在內恰有兩個不相等的實數(shù)根，所以，解得，即的取值范圍為．18．【正確答案】(1)(2)，．(3)證明見解析【詳解】（1）因為，，，則，所以，解得．（2）由（1）可知，，由可得或，所以，函數(shù)的定義域為，易知函數(shù)在上單調遞減，故根據(jù)復合函數(shù)的單調性可知，在上單調遞減．因為，所以由，得，解得或，，故原不等式的解集為，．（3）由（1）可知，，則，，則，所以，，從而．19．【正確答案】(1)半徑，(2)證明見解析(3)103【詳解】（1）如圖1，設A在的水平方向的射影為，連接，．由五角星的性質易知．設圓的半徑為米，則，且，則，解得．因為點首次到達至高點需用時12秒，且，所以每旋轉一周需要60秒，則，從而的解析式為．（2）證明：因為，所以在上單調遞增．由三角函數(shù)的圖象可知，在一個最小正周期內，最多有兩個不同的實數(shù)，使得成立．由的最小正周期為60，可得當，時，；當時，．故．（3）解：由題可知，當水車完成一周旋轉時，每個澆水桶都要進行兩次澆水，則水車完成一周旋轉所用的時長為秒．因為，所以水車完成了10周的完整旋轉后還剩200秒時間．下面我們討論200秒內，水車的澆水情況．如圖2，作平行于地面，且交圓的右側于點，設水桶的澆水點為，連接，，可知．因為，所以當時，，A處澆水桶距離地面的垂直高度為米，且A處澆水桶將進行第一次澆水作業(yè)，并停止旋轉60秒．又，所以當時，處澆水桶