§2.12函數的零點與方程的解課標要求1.理解函數的零點與方程的解的聯系.2.理解函數零點存在定理,并能簡單應用.3.了解用二分法求方程的近似解.1.函數的零點與方程的解(1)函數零點的概念對于一般函數y＝f(x),我們把使f(x)＝0的實數x叫做函數y＝f(x)的零點.(2)函數零點與方程實數解的關系方程f(x)＝0有實數解?函數y＝f(x)有零點?函數y＝f(x)的圖象與x軸有公共點.(3)函數零點存在定理如果函數y＝f(x)在區間[a,b]上的圖象是一條連續不斷的曲線,且有f(a)f(b)<0,那么,函數y＝f(x)在區間(a,b)內至少有一個零點,即存在c∈(a,b),使得f(c)＝0,這個c也就是方程f(x)＝0的解.2.二分法對于在區間[a,b]上圖象連續不斷且f(a)f(b)<0的函數y＝f(x),通過不斷地把它的零點所在區間一分為二,使所得區間的兩個端點逐步逼近零點,進而得到零點近似值的方法叫做二分法.1.判斷下列結論是否正確.(請在括號中打“√”或“×”)(1)函數的零點就是函數的圖象與x軸的交點.(×)(2)連續函數y＝f(x)在區間(a,b)內有零點,則f(a)f(b)<0.(×)(3)連續函數y＝f(x)滿足f(a)f(b)>0,則f(x)在區間(a,b)上沒有零點.(×)(4)求函數零點的近似值都可以用二分法.(×)2.下列函數圖象與x軸均有交點,則不能用二分法求圖中函數零點近似值的是()答案C解析根據函數零點存在定理可知,函數f(x)的圖象是一段連續不斷的曲線,若在區間[a,b]上滿足f(a)f(b)<0,則函數f(x)在區間(a,b)上存在零點；根據二分法概念可知,C選項中的圖象在零點附近不滿足f(a)f(b)<0,所以C選項不能用二分法求圖中函數零點.3.函數f(x)＝lnx－1x的零點所在的大致區間是(A.1e,1 B.(1,C.(2,e) D.(2,3)答案B解析f(x)＝lnx－1x的定義域為(0,＋∞)又y＝lnx與y＝－1x在(0,＋∞)上單調遞增所以f(x)＝lnx－1x在(0,＋∞)上單調遞增又f(1)＝－1<0,f(2)＝ln2－12>0所以f(1)f(2)<0,根據函數零點存在定理可得函數f(x)＝lnx－1x的零點所在的大致區間為(1,2)4.設f(x)＝|x2－2x|,則函數y＝f(x)－2024的所有零點之和為.

答案2解析由一元二次函數的圖象和性質可知函數f(x)＝|x2－2x|的圖象如圖所示,根據圖象可知y＝f(x)－2024共有2個零點,且2個零點關于直線x＝1對稱,所以零點之和為2.1.謹記三個相關性質(1)若連續不斷的函數f(x)在定義域上是單調函數,則f(x)至多有一個零點.函數的零點不是一個“點”,而是方程f(x)＝0的實數解.(2)圖象連續不斷的函數,其相鄰兩個零點之間的所有函數值保持同號.(3)連續不斷的函數圖象通過零點時,函數值可能變號,也可能不變號.2.謹防兩個易錯易混(1)連續函數f(x)在區間[a,b]上,若滿足f(a)f(b)<0,則在區間[a,b]上至少有一個零點,反之不一定.(2)已知二次函數的零點求參數時,不要忽略對二次項系數的討論.題型一函數零點所在區間的判定例1(1)已知函數f(x)＝(m－2)xm為冪函數,若函數g(x)＝lgx＋x－m,則g(x)的零點所在區間為()A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)答案C解析由f(x)＝(m－2)xm為冪函數,所以m－2＝1,得m＝3,所以g(x)＝lgx＋x－3,易知g(x)是增函數,則g(x)至多只有一個零點,因為g(2)＝lg2－1<0,g(3)＝lg3>0,所以g(x)的零點所在區間為(2,3).(2)在用二分法求方程x2＝3的正實數根的近似值(精確度為0.001)時,若我們選取的初始區間是[1.7,1.8],為達到精確度要求至少需要計算的次數是.

答案7解析設至少需要計算n次,則n滿足1.8-1.72n<0.001,即2n>100,由于26＝64,27＝128,故要達到精確度要求至少需要計算7思維升華確定函數零點所在區間的常用方法(1)利用函數零點存在定理：首先看函數y＝f(x)在區間[a,b]上的圖象是否連續；再看是否有f(a)·f(b)<0,若有,則函數y＝f(x)在區間(a,b)內必有零點.(2)數形結合法：通過畫函數圖象,觀察圖象與x軸在給定區間上是否有交點來判斷.跟蹤訓練1(1)函數f(x)＝x12－2－x－1的零點所在的區間是(A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)答案B解析函數f(x)＝x12－2－x－1的定義域為[0,＋∞函數y＝x12在[0,＋∞)上單調遞增,函數y＝2－x在[0,＋∞)所以f(x)在[0,＋∞)上單調遞增.由f(1)＝1－12－1＝－12<0,f(2)＝2－14－1＝2所以函數f(x)＝x12－2－x－1的零點所在的區間是(1,2(2)用二分法求函數f(x)＝ex－x－2的一個正零點的近似值(精確度為0.1)時,依次計算得到如下數據：f(1)≈－0.28,f(1.5)≈0.98,f(1.25)≈0.24,f(1.125)≈－0.04,關于下一步的說法正確的是()A.已經達到精確度的要求,可以取1.1作為近似值B.已經達到精確度的要求,可以取1.125作為近似值C.沒有達到精確度的要求,應該接著計算f(1.1875)D.沒有達到精確度的要求,應該接著計算f(1.0625)答案C解析由二分法的定義,可得正零點所在區間不斷縮小,(1,1.5)→(1,1.25)→(1.125,1.25),因為|1.125－1.25|＝0.125>0.1,故沒有達到精確度的要求,應該接著計算f

1.125＋1.252＝f(1.187題型二函數零點個數的判定例2(1)函數f(x)＝x2-1,x≤A.5 B.4 C.3 D.2答案D解析當x≤0時,x2－1＝0,解得x＝－1；當x>0時,f(x)＝x－2＋lnx在(0,＋∞)上單調遞增,并且f(1)＝1－2＋ln1＝－1<0,f(2)＝2－2＋ln2＝ln2>0,即f(1)f(2)<0,所以函數f(x)在區間(1,2)內必有一個零點,綜上,函數f(x)的零點個數為2.(2)函數f(x)＝sinπx2－|log3x|的零點個數為(A.1 B.2 C.3 D.4答案B解析函數f(x)＝sinπx2－|log3x|的零點個數,即函數g(x)＝sinπx2,x>0與h(x)＝|log3在同一個坐標平面內畫出兩個函數的圖象,如圖所示,則兩個圖象交點的個數為2,即f(x)的零點個數為2.思維升華求解函數零點個數的基本方法(1)直接法：令f(x)＝0,方程有多少個不同的實數根,則f(x)有多少個零點.(2)定理法：利用函數零點存在定理時往往還要結合函數的單調性、奇偶性等.(3)圖象法：一般是把函數拆分為兩個簡單函數,依據兩函數圖象的交點個數得出函數的零點個數.跟蹤訓練2(1)(2025·渭南模擬)函數f(x)＝3x|log2x|－1的零點個數為()A.0 B.1 C.2 D.3答案C解析函數f(x)＝3x|log2x|－1的零點,即3x|log2x|－1＝0的解,即|log2x|＝13x即y＝|log2x|與y＝13x圖象的交點,如圖所示從函數圖象可知,y＝|log2x|與y＝13x有2個交點,即函數f(x)的零點個數為(2)函數f(x)＝36-x2·cosx的零點個數為答案6解析令36－x2≥0,解得－6≤x≤6,所以f(x)的定義域為[－6,6].令f(x)＝0得36－x2＝0或cosx＝0,由36－x2＝0得x＝±6,由cosx＝0得x＝π2＋kπ,k∈Z又x∈[－6,6],所以x的取值為－3π2,－故f(x)共有6個零點.題型三函數零點的應用命題點1根據函數零點個數求參數例3已知函數f(x)＝2-x＋1,x≤0,ln1x,x>0,g(x)＝f(x)－x－a,若函數gA.[－1,0) B.[1,＋∞)C.(－∞,1] D.[2,＋∞)答案D解析由函數f(x)＝2因為g(x)＝f(x)－x－a,令g(x)＝0,即f(x)＝x＋a,由函數g(x)有2個零點,即y＝f(x)和y＝x＋a的圖象有兩個交點,在同一坐標系內畫出兩個函數的圖象,如圖所示,結合函數的圖象,要使函數g(x)有2個零點,則a≥2,所以實數a的取值范圍為[2,＋∞).命題點2根據函數零點的范圍求參數例4已知函數f(x)＝3x－1＋axx.若存在x0∈(－∞,－1),使得f(x0)＝0,則實數a的取值范圍是A.-∞,4C.(－∞,0) D.4答案B解析由f(x)＝3x－1＋axx＝0,可得a＝3令g(x)＝3x－1x,其中x∈(－∞,－1由于存在x0∈(－∞,－1),使得f(x0)＝0,則實數a的取值范圍即為函數g(x)在(－∞,－1)上的值域.由于函數y＝3x,y＝－1x在區間(－∞,－1)上均單調遞增所以函數g(x)在(－∞,－1)上單調遞增.當x∈(－∞,－1)時,g(x)＝3x－1x<g(－1)＝3－1＋1＝又當x∈(－∞,－1)時,g(x)＝3x－1x>0所以函數g(x)在(－∞,－1)上的值域為0,4因此實數a的取值范圍是0,4思維升華根據函數零點的情況求參數的三種常用方法(1)直接法：直接根據題設條件構建關于參數的不等式(組),再通過解不等式確定參數(范圍).(2)分離參數法：先將參數分離,轉化成求函數值域確定參數范圍.(3)數形結合法：先對解析式變形,在同一平面直角坐標系中畫出函數的圖象,然后利用數形結合法求解.跟蹤訓練3(1)(2025·鎮江模擬)已知a∈R,函數f(x)＝ex-a,x≤0,-ln(x＋A.(0,＋∞) B.(1,＋∞)C.[1,＋∞)∪{0} D.(1,＋∞)∪{0}答案D解析當x≤0時,0<ex≤1,若關于x的方程ex＝a無解,則a≤0或a>1；當x>0時,ln(x＋1)>0,若關于x的方程ln(x＋1)＝－a無解,則a≥0.綜上,a的取值范圍為(1,＋∞)∪{0}.(2)(多選)(2024·柳州模擬)已知函數f(x)＝x2＋2x-3,x≤0,-2＋lnx,x>0,令hA.函數f(x)的單調遞增區間為(0,＋∞)B.當h(x)有3個零點時,k∈(－4,－3]C.當k＝－2時,h(x)的所有零點之和為－1D.當k∈(－∞,－4)時,h(x)有1個零點答案BD解析函數f(x)＝x結合二次函數和對數函數的圖象和性質,作函數f(x)的圖象如圖所示,由圖象可知,函數f(x)的單調遞增區間為(－1,0)和(0,＋∞),A選項錯誤；h(x)的零點即函數y＝f(x)的圖象和直線y＝k交點的橫坐標,由圖象可知,當h(x)有3個零點時,k∈(－4,－3],B選項正確；解方程可知,當k＝－2時,h(x)有兩個零點,－1－2和1,所有零點之和為－2,C當k∈(－∞,－4)時,函數y＝f(x)的圖象和直線y＝k有1個交點,即h(x)有1個零點,D選項正確.課時精練[分值：90分]一、單項選擇題(每小題5分,共30分)1.函數y＝(x－2)(2x＋1)的零點是()A.2 B.(2,0)C.－2 D.2或－1答案A解析令y＝(x－2)(2x＋1)＝0,因為2x＋1>1>0,所以x－2＝0,即x＝2.2.若函數y＝f(x)在閉區間[a,b]上的圖象是一條連續不斷的曲線,則“f(a)·f(b)<0”是“函數y＝f(x)在開區間(a,b)內至少有一個零點”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件答案A解析函數y＝f(x)在閉區間[a,b]上的圖象是一條連續不斷的曲線,由函數零點存在定理可知,當f(a)·f(b)<0時,函數y＝f(x)在開區間(a,b)內至少有一個零點,充分性成立；而函數y＝f(x)在開區間(a,b)內至少有一個零點時,f(a)·f(b)<0不一定成立,如函數y＝x2,在開區間(－1,1)內有零點x＝0,但f(－1)·f(1)>0,必要性不成立.則“f(a)·f(b)<0”是“函數y＝f(x)在開區間(a,b)內至少有一個零點”的充分不必要條件.3.用二分法求方程2x＋x－8＝0在[1,5]上的近似解時,經過兩次二分法后,可確定近似解所在區間為()A.[1,2]或[2,3]都可以B.[2,3]C.[1,2]D.不能確定答案B解析設f(x)＝2x＋x－8,則f(1)＝2＋1－8＝－5<0,f(5)＝25＋5－8＝29>0,第一次取x1＝1＋52＝3,有f(3)＝23＋3－8故第二次取x2＝1＋32＝2,有f(2)＝22＋2－8故此時可確定近似解所在區間為[2,3].4.(2025·承德模擬)對于函數f(x),g(x),設x1∈{x|f(x)＝0},x2∈{x|g(x)＝0},若存在x1,x2,使得|x1－x2|≤1,則稱f(x)和g(x)互為“零點相鄰函數”.若函數f(x)＝log2x－a與g(x)＝x2－3x互為“零點相鄰函數”,則實數a的取值范圍是()A.[0,2] B.(－∞,2]C.[1,2] D.(－∞,0]∪[1,2]答案D解析f(x)的零點為2a,g(x)的零點為0,3.因為f(x)與g(x)互為“零點相鄰函數”,所以|2a－0|≤1或|2a－3|≤1,則0<2a≤1或2≤2a≤4,解得a≤0或1≤a≤2.5.(2025·漢中模擬)已知定義在R上的奇函數f(x)滿足f(x＋e)＝f(x－e),當x∈(0,e)時,f(x)＝lnx,則f(x)在區間(－e,2e)內的所有零點之和為()A.3e－1 B.2eC.2e－1 D.0答案A解析因為f(x)是定義在R上的奇函數,所以f(0)＝0,因為f(x＋e)＝f(x－e),所以f(x)的周期T＝2e且f(e)＝f(－e)＝－f(e)?f(e)＝0,因為當x∈(0,e)時,f(x)＝lnx,所以f(1)＝0,所以f(－1)＝－f(1)＝0,所以f(－1＋2e)＝f(－1)＝0,故f(x)在區間(－e,2e)內的零點為－1,0,1,e,－1＋2e,其零點之和為3e－1.6.(2024·貴陽模擬)已知函數f(x)＝x＋log2x－4的零點為x1,g(x)＝x＋loga(x－1)－5(a>1)的零點為x2,若x2－x1>1,則實數a的取值范圍是()A.(1,2) B.(2,C.(1,2) D.(2,＋∞)答案D解析因為f(2)＝2＋1－4＝－1<0,f(3)＝3＋log23－4＝log23－1>0,由函數零點存在定理,所以x1∈(2,3),由題意可知,x1＋log2x1－4＝x2＋loga(x2－1)－5＝0,即x1＋log2x1－4＝x2－1＋loga(x2－1)－4,即x1＋log2x1＝x2－1＋loga(x2－1),因為x2－x1>1,所以x1<x2－1,則log2x1>loga(x2－1),又a>1,2<x1<x2－1,所以a>2.二、多項選擇題(每小題6分,共12分)7.下列說法正確的是()A.函數f(x)＝x2＋2x－8的零點是(－4,0),(2,0)B.方程ex＝3＋x在區間(－3,0),(0,10)上有解C.函數y＝3x,y＝log3x的圖象關于y＝x對稱D.用二分法求方程3x＋3x－8＝0在(1,2)內的近似解的過程中得到f(1)<0,f(1.5)>0,f(1.25)<0,則方程的解落在區間(1,1.25)上答案BC解析對于A,令f(x)＝x2＋2x－8＝0,解得x1＝－4,x2＝2,即函數f(x)＝x2＋2x－8的零點是－4和2,故A錯誤；對于B,令f(x)＝ex－x－3,則f(－3)＝e－3>0,f(0)＝－2<0,f(10)＝e10－13>210－13＝1024－13＝1011>0,所以由函數零點存在定理可知f(x)＝ex－x－3在區間(－3,0),(0,10)內有零點,即方程ex＝3＋x在區間(－3,0),(0,10)內有解,故B正確；對于C,函數y＝3x,y＝log3x互為反函數,所以函數y＝3x,y＝log3x的圖象關于y＝x對稱,故C正確；對于D,用二分法求方程3x＋3x－8＝0在(1,2)內的近似解的過程中得到f(1)<0,f(1.5)>0,f(1.25)<0,則方程的解落在區間(1.25,1.5)上,故D錯誤.8.(2025·大連模擬)已知x1,x2分別是函數f(x)＝2x－1x和g(x)＝log2x－1x的零點,則(A.2x1－x2B.log2x1＋log2x2＝0C.x2>2D.2x1·log2x2答案ABD解析由題設知,f(x)的零點為函數y＝2x與函數y＝1x圖象交點的橫坐標；g(x)的零點為函數y＝log2x與函數y＝1x圖象交點的橫坐標,由y＝2x與y＝log2x的圖象關于直線y＝x對稱,y＝1x的圖象關于直線y＝所以x1,x2關于直線y＝x對稱,y＝2x,y＝log2x,y＝1x的圖象如圖所示所以點(x1,2x1)與點(x2,log2x2)關于直線y＝即x故2x1－x2＝0,2x1·log2log2x1＋log2x2＝log2(x1x2)＝0,A,B,D對；若x2>2,即x2＝2x1>2?x1>1,此時x1x2>2,與x1x2＝1矛盾,C三、填空題(每小題5分,共10分)9.已知函數f(x)＝ln(-x),x<0,x2-3x-4,x>0,答案－1和4解析依題意,x<0,解得x＝－1或x＝4.10.已知函數f(x)＝2-|x|,x≤3,(x-3)2,x>3,函數g(x)＝m－f(3－x),其中m∈R,若函數y＝g(答案(0,2)解析令g(x)＝m－f(3－x)＝0,得f(3－x)＝m,若3－x≤3,即x≥0,f(3－x)＝2－|3－x|；若3－x>3,即x<0,f(3－x)＝(3－x－3)2＝x2.所以y＝f(3－x)＝2-畫出其圖象如圖所示,當x＝3時,y＝2.由圖可知,要使函數y＝g(x)恰有3個零點,即y＝m與y＝f(3－x)的圖象有3個交點,則m的取值范圍是(0,2).四、解答題(共27分)11.(13分)已知二次函數f(x)＝x2－bx＋c(c≠0)的單調遞增區間為[2,＋∞),且有一個零點為c.(1)證明：f(x＋2)是偶函數；(6分)(2)若函數g(x)＝f(x)－mx＋1在(1,3)上有兩個零點,求m的取值范圍.(7分)(1)證明由二次函數f(x)＝x2－bx＋c(c≠0)的單調遞增區間為[2,＋∞),可得b2＝2,解得b＝4又因為f(x)有一個零點為c,則f(c)＝c2－4c＋c＝0,解得c＝3或c＝0(舍去),所以f(x)＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1,因為f(－x＋2)＝x2－1＝f(x＋2),所以f(x＋2)是偶函數.(2)解由(1)可知g(x)＝x2－4x＋3－mx＋1＝x2－(4＋m)x＋4,因為g(x)在(1,3)上有兩個零點,則滿足1<解得0<m<1所以實數m的取值范圍為0,112.(14分)(2024·天水模擬)已知函數f(x)＝log2(2＋x)－log2(2－x).(1)判斷f(x)的奇偶性；(5分)(2)若關于x的方程f(x)＝log2(a＋x)有兩個不同的實數根,求實數a的取值范圍.(9分)解(1)f(x)為奇函數,理由如下：由題意得2＋x>0,2-x>0,解得－2<x<2,即函數f(x)的定義域為(－2又f(－x)＝log2(2－x)－log2(2＋x)＝－f(x),故f(x)為奇函數.(2)由f(x)＝log2(a＋x),得log2(2＋x)－log2(2－x)＝log2(a＋x),所以2＋x2-x＝所以a＝2＋x2-x－x＝4-(2-x)2-x－x＝42-故方程f(x)＝log2(a＋x)有兩個不同的實數根可轉化為方程a＝42-x＋(2－x)－3在區間(－2,2)