第1頁/共1頁2024北京初二（下）期末數(shù)學(xué)匯編四邊形章節(jié)綜合（京改版）（解答題）1一、解答題1．（2024北京東城初二下期末）如圖，矩形中，點為邊上任意一點，連接，點為線段的中點，過點作，與、分別相交于點、，連接、．(1)求證：四邊形為菱形；(2)若，，當(dāng)時，求的長．2．（2024北京石景山初二下期末）已知：在正方形中，點E是延長線上一點，且，連接，過點D作的垂線交直線于點F，連接，取的中點G，連接．(1)當(dāng)時，①補全圖1；②求證：；③用等式表示線段之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．(2)如圖2，當(dāng)時，請你直接寫出線段之間的數(shù)量關(guān)系．3．（2024北京順義初二下期末）如圖，在四邊形中，，．求證：四邊形是平行四邊形．4．（2024北京東城初二下期末）如圖，菱形的對角線，BD相交于點，過點作，過點作，與CE相交于點．(1)求證：四邊形是矩形；(2)連接DE，若，，求DE的長．5．（2024北京門頭溝初二下期末）如圖，在中，點M，N分別在邊，上，且，，相交于點O．求證：．

6．（2024北京懷柔初二下期末）如圖，在四邊形中，，，對角線，交于點O，平分，過點D作交于點E，連接．

(1)求證：四邊形是菱形；(2)若，，求的長．7．（2024北京懷柔初二下期末）如圖，在菱形中，，對角線，相交于點O，E是的中點，連接．過點A作射線，使得，過點E作交射線于點F．(1)①依題意補全圖形；②求證：；(2)連接，，用等式表示線段，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．8．（2024北京平谷初二下期末）已知，矩形，，對角線交于點，點在射線上，，作，與交于點，與交于點．(1)如圖1①依題意補全圖形，求證：；②連接，求證：．(2)當(dāng)在延長線上時，依題意補全圖2，并用等式表示線段與的數(shù)量關(guān)系，并證明．9．（2024北京順義初二下期末）在正方形中，點在邊上，點在邊上，，連接，．(1)求證：；(2)在邊取點，使得，過點作交于點，連接．①依題意補全圖形；②用等式表示線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．10．（2024北京平谷初二下期末）如圖，，延長到，使，連接，且．(1)求證：四邊形是菱形；(2)連接，與交于點．若，，求的長．11．（2024北京平谷初二下期末）如圖，在菱形中，交于點，取邊中點，連接并延長使，連接．

求證：．12．（2024北京平谷初二下期末）已知：圖形上任意一點，圖形上任意一點，若點與點之間的距離始終足，則稱圖形與圖形相離．(1)已知點．①與直線為相離圖形的點是；②若直線與相離，求的取值范圍．(2)設(shè)直線、直線及直線圍成的圖形為，圖形是邊長為2的正方形，且正方形的各邊分別與兩坐標(biāo)軸平行，該正方形對角線的交點坐標(biāo)為，直接寫出圖形與圖形相離時的取值范圍．13．（2024北京平谷初二下期末）在數(shù)學(xué)課上，老師布置任務(wù)：利用尺規(guī)“作以線段為對角線的正方形”．小麗的作法如下：①分別以點、為圓心，以大于為半徑作弧，兩弧交于、兩點；②連接，與交于點；③以點為圓心，長為半徑作弧，與交于、兩點；④分別連接線段．所以四邊形就是所求作的正方形．根據(jù)小麗的作圖過程，(1)使用直尺和圓規(guī)，補全圖形（保留作圖痕跡）；(2)完成下面的證明．證明：∵，∴四邊形為平行四邊形．（）（填推理的依據(jù)）∵，即，∴四邊形為矩形．（）（填推理的依據(jù)）∵，∴四邊形為正方形．（）（填推理的依據(jù)）14．（2024北京豐臺初二下期末）在平面直角坐標(biāo)系中，對于線段和點P給出如下定義：若，，則稱點P是線段MN的“關(guān)聯(lián)點”．已知點，B?2,0，，．(1)點E在線段上．①如圖，當(dāng)點E是線段的中點時，在點，，中，線段的“關(guān)聯(lián)點”是；②當(dāng)點E在線段上運動時，點G是線段的“關(guān)聯(lián)點”，直接寫出點G的橫坐標(biāo)t的取值范圍；(2)點F在四邊形的邊上運動（點F不與點A重合），點，點，若線段上存在線段的“關(guān)聯(lián)點”，直接寫出h的取值范圍．15．（2024北京石景山初二下期末）如圖，在中，，D為中點，以為一組鄰邊作，與交于點O，連接．(1)求證：四邊形是菱形；(2)若，，求菱形的面積．16．（2024北京順義初二下期末）已知：，．求作：邊的中線作法：①以點為圓心，的長為半徑作??；以點為圓心，的長為半徑作弧；兩弧相交于點（點在直線的上方）；②連接，，；③交于點．所以為邊的中線(1)使用直尺和圓規(guī)，依作法補全圖形（保留作圖痕跡）；(2)完成下面的證明．證明：，，______（____________）（填推理的依據(jù)）．為中點（____________）（填推理的依據(jù)）．為邊的中線17．（2024北京石景山初二下期末）工藝美術(shù)中常需要設(shè)計幾何圖案．如圖，在的正方形網(wǎng)格中，已確定三個格點，，的位置，需要在圖中確定點，使得以，，，為頂點的四邊形為平行四邊形．為了精準(zhǔn)刻畫點的位置，需建立平面直角坐標(biāo)系．若點，．(1)請畫出平面直角坐標(biāo)系；(2)在圖中描出點的位置，并寫出所有符合條件的點的坐標(biāo)．18．（2024北京石景山初二下期末）已知：如圖，BD為的對角線，，為直線BD上兩點，且．求證：．19．（2024北京延慶初二下期末）如圖，點E是正方形內(nèi)部一點，，連接AE，，過點C作交的延長線于點F．(1)依題意補全圖形，求的度數(shù)；(2)連接，用等式表示線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．20．（2024北京順義初二下期末）如圖，在四邊形中，，于點，為中點．(1)求證：四邊形是菱形；(2)延長到點，使得，連接．若，，求的長．21．（2024北京通州初二下期末）如圖，在正方形中，E是邊延長線上一點，連接，過點D作且，連接交邊于點G．(1)求證：；(2)用等式表示線段與之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．22．（2024北京門頭溝初二下期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，Px1,y1，Qx2,y2，且，．如果，為某個矩形的兩個頂點，且該矩形的邊均與某條坐標(biāo)軸垂直，那么就稱該矩形為點，的“相關(guān)矩形”．下圖為點，(1)已知點的坐標(biāo)為，①如果點的坐標(biāo)為，求點，的“相關(guān)矩形”的面積；②如果點在軸上，點的“相關(guān)矩形”為正方形，求直線表達式．(2)當(dāng)，，時，如果在線段上存在一個點，使點，的“相關(guān)矩形”為正方形，直接寫出的取值范圍．23．（2024北京西城初二下期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與軸，軸分別交于點，．點在第一象限，且四邊形是矩形．(1)使用直尺和圓規(guī)，按照下面的作法補全圖形（保留作圖痕跡）；作法：以點為圓心，的長為半徑畫弧，再以點為圓心，的長為半徑畫弧，兩弧在第一象限相交于點，連接，，則四邊形是矩形．(2)根據(jù)（1）中的作法，完成下面的證明：證明：∵，，∴四邊形是平行四邊形．（）（填推理的依據(jù)）∵，∴四邊形是矩形，（）（填推理的依據(jù)）(3)若直線的表達式為，直接寫出矩形的面積和直線的表達式．24．（2024北京東城初二下期末）如圖，在正方形中，點在邊AD上，連接，過點作于點，延長至點，使，連接，CF．(1)依題意補全圖形；(2)的度數(shù)為__________；(3)用等式表示線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．25．（2024北京順義初二下期末）在平面直角坐標(biāo)系中，對于點和圖形，給出如下定義：如果圖形上存在點，使得，那么稱點為圖形的“拉手點”．已知點A?4,0，．(1)在點，，中，線段的“拉手點”是______；(2)若直線上存在線段的“拉手點”，求的取值范圍；(3)是邊長為的正方形的對角線的交點，若正方形上存在線段的“拉手點”，直接寫出的取值范圍．26．（2024北京豐臺初二下期末）如圖，E是正方形邊上一動點（不與點B，C重合），連接，過點A作的垂線交的延長線于點F．

(1)求證：；(2)連接，取中點P，連接并延長，交于點H，依題意補全圖形，直接寫出的大小，并證明．27．（2024北京延慶初二下期末）在數(shù)學(xué)課上，老師布置以下思考題：已知：，點D為的中點．求作：線段，使．

小智結(jié)合所學(xué)知識思考后，作法如下：①分別以點A，C為圓心，大于的同樣長為半徑作弧，兩弧分別交于點M，N；②作直線，直線交于點E；③連接．所以就是所求作的線段．(1)請你利用直尺和圓規(guī)，依據(jù)小智的作法補全圖形（保留作圖痕跡）；(2)請回答，小智尺規(guī)作圖得到的依據(jù)是________________________．28．（2024北京延慶初二下期末）如圖，在中，，點E是邊AB的中點，過點A，點C分別作CE和AB的平行線，交于點D．(1)求證：四邊形是菱形；(2)若，，求的長．29．（2024北京延慶初二下期末）如圖，在四邊形中，，,過點作于點，連接．求證：．30．（2024北京西城初二下期末）如圖，在中，交于點E，交的延長線于點F，且，連接．(1)求證：四邊形是菱形；(2)若，，求四邊形的面積．

參考答案1．(1)見解析(2)【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，菱形的判定與性質(zhì)，熟記矩形的性質(zhì)和菱形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)已知證明，得，結(jié)合，點為線段的中點，即可證得結(jié)論；（2），，則，設(shè)，則，利用勾股定理求出即可解答．【詳解】（1）證明：矩形中，，，，點為的中點，，在和中，，，，，，四邊形為菱形；（2）四邊形是菱形，，四邊形是矩形，，，，，，設(shè)，則，在中，，即，解得：，．2．(1)①見詳解；②見解析；③，見解析(2)【分析】（1）①根據(jù)題意作出圖形即可；②由正方形的性質(zhì)得，，進而又，得，從而，于是證明；③在上取一點，使得，連接，證是的中位線，得，再證明，利用勾股定理得，從而即可得解；（2）在延長線上取一點，使得，連接，由正方形的性質(zhì)得，，進而證明，得，又證是的中位線，得再證，利用勾股定理得，從而即可得解．【詳解】（1）解：①如圖即為所求，②證明：四邊形是正方形，，，，，，即，，∴；③，理由如下：在上取一點，使得，連接，，；，點是的中點，是的中位線，，由②得，，，，，，，，；（2），理由如下：在延長線上取一點，使得，連接．四邊形是正方形，，，，，，即，，，，點是的中點，是的中位線，，，，，，，，．【點睛】本題主要考查了勾股定理，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，三角形的中位線的判定及性質(zhì)及垂線定義，熟練掌握三角形的中位線的判定及性質(zhì)和正方形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．見解析【分析】本題考查平行四邊形的判定，根據(jù)平行線的判定定理證明，，即可得出四邊形是平行四邊形．【詳解】證明：，，，，，，四邊形是平行四邊形．4．(1)見解析(2)【分析】（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)可得，再根據(jù)，可得四邊形是平行四邊形，進而證明四邊形是矩形；（2）根據(jù)題意可得，，，勾股定理求得的長，進而求得的長，在中，勾股定理即可求解．【詳解】（1）證明：四邊形是菱形，，，四邊形是平行四邊形，，平行四邊形是矩形；（2）解：如圖，四邊形是菱形，，∴，，，∴∴四邊形是矩形，，，在中，．【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)與判定，勾股定理，掌握菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．證明見解析．【分析】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)以及全等三角形的判定以及性質(zhì)，由平行四邊形的性質(zhì)可得出,．進一步得出，；．利用證明，由全等三角形的性質(zhì)可得出．【詳解】證明：∵是平行四邊形，∴，．∵，∴．∴．∵，∴；．在和中，∴．∴．6．(1)證明見解析；(2)6【分析】本題考查了平行四邊形的判定及性質(zhì)、菱形的判定及性質(zhì)、勾股定理，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)及角平分線的定義得出，再根據(jù)等角對等邊得出，從而得出，然后根據(jù)一組對邊平行且相等得出四邊形是平行四邊形，最后根據(jù)領(lǐng)邊相等的平行四邊形為菱形即可得證；（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)得出，，再根據(jù)勾股定理得出，然后根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可得出答案．【詳解】（1）證明∵，∴．∵平分，∴．∴．∴．∵，∴．∵，∴四邊形是平行四邊形．∵，∴四邊形是菱形．（2）證明：∵四邊形是菱形，∴，，∴．∵，∴．∵，∴．∵，為的中點∴．∴．7．(1)①見解析；②證明見解析；(2)，證明見解析．【分析】本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，菱形的性質(zhì)；（1）①根據(jù)題意畫出圖形，即可求解；②根據(jù)菱形的性質(zhì)得出，，再根據(jù)角的和差即可得證；（2）延長到點M，使，連接，，根據(jù)中點的定義結(jié)合證明，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)及角的和差利用證明，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得證．【詳解】（1）解：補圖如下：①②證明：∵四邊形為菱形，，∴，∵，∴，∴．（2）證明：延長到點M，使，連接，，∵E是中點，∴．在和中，∴．∴，．∵，∴．∴．∴．∴．∴．在和中，，∴．∴．8．(1)①作圖見解析，證明見解析；②證明見解析(2)補全圖形見解析，，證明見解析【分析】本題主要考查了矩形的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)等知識點，靈活運用相關(guān)判定與性質(zhì)定理成為解題的關(guān)鍵．（1）①先根據(jù)題意補全圖形，再根據(jù)垂直的定義、矩形的性質(zhì)可得、，然后根據(jù)同角的余角相等即可證明結(jié)論；②先根據(jù)矩形的性質(zhì)可得，再根據(jù)結(jié)合等量代換可得，即，最后根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)即可證明結(jié)論；（2）先根據(jù)題意補全圖形，過點D作交的延長線于點N，先證明四邊形為平行四邊形，然后證明可得，最后根據(jù)等量代換即可證明結(jié)論．【詳解】（1）解：①補全圖形如下：證明：∵，∴．∵矩形∴．∴；②如圖：連接，∵矩形∴，，∴∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵O為中點∴．（2）解：當(dāng)在延長線上時，根據(jù)題意補全圖形如下：數(shù)量關(guān)系，證明如下：證明：如圖：過點D作交的延長線于點N，∵矩形，∴,又∵，∴四邊形為平行四邊形∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴．∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴．9．(1)見解析(2)①見解析②，證明見解析【分析】本題主要考查正方形的性質(zhì)，等腰三角形的判定，全等三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理：（1）設(shè)相交于點H，根據(jù)證明，得由得，由三角形內(nèi)角和定理得，即；（2）①根據(jù)題意補全圖形即可；②延長到點Q，使，連接，證明，根據(jù)證明，得，再證明，得是等腰直角三角形，得到，從而可得結(jié)論【詳解】（1）證明：設(shè)相交于點H，∵四邊形是正方形，∴，又∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴；（2）解：①如圖，即為所作：②,理由如下：延長到點Q，使，連接，如圖，由（1）得，，，∴，又，∴，∵，∴，∴，∴，又，，∴，∵∴，即，∴是等腰直角三角形，∴，即，∴．10．(1)證明見解析(2)【分析】對于（1），先結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)及已知條件說明四邊形是平行四邊形，再說明，可得結(jié)論；對于（2），先求出，再設(shè)，表示，然后根據(jù)勾股定理求出答案．【詳解】（1）∵四邊形是平行四邊形，∴，∴.∵，∴，∴四邊形是平行四邊形.∵，∴，∴，∴四邊形是菱形；（2）∵四邊形是菱形，∴.∵，∴.∵，∴.∵，設(shè)，則，在中，，解得（舍負），∴．【點睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，勾股定理等，勾股定理是求線段長的常用方法．11．證明見解析【分析】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)等知識點，先證出四邊形是平行四邊形，再由菱形的性質(zhì)得出，，然后可證出四邊形是矩形，進而即可得證，熟練掌握其性質(zhì)的綜合應(yīng)用是解決此題的關(guān)鍵．【詳解】∵E為中點，∴，∵，∴四邊形是平行四邊形，∵為菱形，∴，，∴，∴四邊形是矩形，∴，∴．12．(1)①A，B；②或(2)或或【分析】本題主要考查了一次函數(shù)的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)等知識，是理解題意，學(xué)會尋找特殊位置解決數(shù)學(xué)問題是解題的關(guān)鍵．（1）①將A，B，C，D四個點的坐標(biāo)代入直線計算即可判斷．②根據(jù)直線經(jīng)過點A和點B計算b的值即可解答；（2）先畫出圖形，再分三種情形，觀察圖象得出經(jīng)過特殊位置的T的坐標(biāo)，即可解答．【詳解】（1）解：①∵點，∴當(dāng)時，，∴點A不在直線上，同理，點不在直線上，點，點在直線上，∴與直線相離的點是C，D；故答案為：C，D；②當(dāng)直線過點時，∴,解得：．當(dāng)直線過點時，∴，解得：．∴b的取值范圍是或．（2）解：如圖所示：圖形與圖形相離時的取值范圍是或或．13．(1)見解析(2)見解析【分析】此題主要考查了基本作圖和證明四邊形是正方形，熟練掌握正方形的判定方法是解決此題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)作圖步驟畫出圖形即可；（2）根據(jù)對角線相等且互相平分的四邊形是矩形進行判定即可【詳解】（1）解：補全圖形，如圖所示；（2）證明：∵，∴四邊形為平行四邊形．（對角線互相平分的四邊形是平行四邊形）∵，即，∴四邊形為矩形．（對角線相等且互相平分的四邊形是矩形）∵，∴四邊形為正方形．（對角線互相垂直的矩形是正方形）．14．(1)①；②或；(2)【分析】（1）①先畫圖，直接按照相定義進行計算判斷即可；②如圖，作的垂直平分線交軸于，交于，過作軸，交垂直平分線于，過作軸的平行線交于，證明為的關(guān)聯(lián)點，為的關(guān)聯(lián)點，再證明，可得，再進一步解答即可；（2）如圖，證明四邊形為正方形，可得的關(guān)聯(lián)點是以為對角線的正方形的另外兩個頂點，當(dāng)最上方的頂點與重合時，；當(dāng)過1,0時，則，可得，從而可得答案.【詳解】（1）解：①如圖，∵，，∴，∴，∴是的關(guān)聯(lián)點，同理可得：是的關(guān)聯(lián)點，不是的關(guān)聯(lián)點，②如圖，作的垂直平分線交軸于，交于，過作軸，交垂直平分線于，過作軸的平行線交于，∵，B?2,0，，∴設(shè)直線為，∴，解得：，∴直線為，設(shè)，而，∴，設(shè)的解析式為，∴，解得：，∴為：，如圖，直線：；，∴，，∴，解得：，即，設(shè)直線為，∴，解得：，∵，結(jié)合上面推導(dǎo)可得：為，把代入可得：，∴為，當(dāng)時，，∴，∴，，，∴，，∴，∴為的關(guān)聯(lián)點，同理可得：為的關(guān)聯(lián)點，∴，四邊形為正方形，∴，∴，，∴，∵，∴，∴，∴此時的橫坐標(biāo)為，當(dāng)與重合，的橫坐標(biāo)為，當(dāng)與重合，的橫坐標(biāo)為，∴當(dāng)點E在線段上運動時，點G是線段的“關(guān)聯(lián)點”，點G的橫坐標(biāo)t的取值范圍為或；（2）解：如圖，∵，B?2,0，，，由四邊形的對角線相等，互相垂直平分，可得四邊形為正方形，∴的關(guān)聯(lián)點是以為對角線的正方形的另外兩個頂點，∴當(dāng)最上方的頂點與重合時，；當(dāng)過1,0時，則，∴，解得：，∴線段上存在線段的“關(guān)聯(lián)點”，h的取值范圍為：；【點睛】本題考查的是一次函數(shù)的幾何應(yīng)用，正方形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理及勾股定理的逆定理的應(yīng)用，熟練的利用數(shù)形結(jié)合的方法解題是關(guān)鍵.15．(1)見解析(2)【分析】此題重點考查平行四邊形的性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)、菱形的面積公式、含30度角的直角三角形等知識，靈活運用所學(xué)知識是解題的關(guān)鍵．（1）由證明四邊形是平行四邊形，再根據(jù)即可證明四邊形是菱形；（2）根據(jù)勾股定理和菱形的性質(zhì)可得，即可求解．【詳解】（1）證明：∵，D為中點，∴∵∴∴∴四邊形是平行四邊形；∵∴四邊形是菱形；（2）∵，四邊形是菱形∴，∴，∴，∵，∴∵，解得∴∴16．(1)見解析(2)見解析【分析】本題考查尺規(guī)作圖、平行四邊形的判定和性質(zhì)：（1）根據(jù)所給作法作圖即可；（2）根據(jù)“兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形”“平行四邊形的對邊線互相平分”即可證明．【詳解】（1）解：如圖，即為所求；（2）解：補充完整的證明過程如下：證明：，，四邊形是平行四邊形（兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形）．為中點（平行四邊形的對邊線互相平分）．為邊的中線．17．(1)見解析；(2)或或．【分析】本題主要考查了坐標(biāo)與圖形，平行四邊形的判定，熟練掌握平行四邊形的判定是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)點，建立平面直角坐標(biāo)系即可；（2）根據(jù)平行四邊形的判定描出點的位置，從而即可得出點的坐標(biāo)．【詳解】（1）解：畫出平面直角坐標(biāo)系如圖所示，（2）解：點的位置如圖所示，由圖可知，點的坐標(biāo)為0,1或或．18．見解析【分析】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)應(yīng)用以及全等三角形的判定及性質(zhì)，準(zhǔn)確證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．通過平行四邊形的性質(zhì)應(yīng)用證的，即可得到結(jié)果；【詳解】證明：四邊形為平行四邊形，，，，，，∵，．19．(1)(2)，詳見解析【分析】此題考查了正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定，（1）首先根據(jù)題意做出圖形，然后得到，設(shè)，，根據(jù)四邊形的內(nèi)角和為得到，進而求解即可；（2）作，交于點H，得到是等腰直角三角形，表示出，然后證明出，得到是等腰直角三角形，進而求解即可．【詳解】（1）如圖，解：∵正方形，∴，．∵，∴．∴設(shè)，．∵四邊形的內(nèi)角和為，∴．∴．∴．∴；（2）數(shù)量關(guān)系是．如圖，作，交于點H．∴．∵，又∵，∴，∴是等腰直角三角形．∴．∵，設(shè)，．∴，∵，∴．又∵，∴．∴．∴．∵正方形，∴．在和中，∴．∴，．∴是等腰直角三角形．∴．∵，∴．20．(1)見解析(2)6【分析】本題考查菱形的判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，勾股定理：（1）先證，推出，可得四邊形是平行四邊形，結(jié)合，可得四邊形是菱形；（2）先用勾股定理解求出，進而求出，再證四邊形是平行四邊形，根據(jù)可得答案．【詳解】（1）證明：，，，又為中點，，，，又，四邊形是平行四邊形，又，四邊形是菱形；．（2）解：，為中點，，，，，，菱形中，，，又，，，四邊形是平行四邊形，．21．(1)見解析(2)，見解析【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)．熟練掌握正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）由正方形，可得，，則，由，可得，進而可證；（2）如圖1，作的延長線于，證明，則，，證明，則，進而可得．【詳解】（1）證明：∵正方形，，∴，，∴，∵，∴，∴；（2）解：，證明如下；∵正方形，∴，，，如圖，作的延長線于，∵，，，∴，∴，，∵，，，∴，∴，∴．22．(1)①6；②或(2)【分析】（1）①由題意知，Px1,y1，Qx2,y2為“相關(guān)矩形”對角線上兩頂點，由，，可知“相關(guān)矩形”的邊長分別為，進而可求面積；②由的坐標(biāo)為，點在軸上，點的“相關(guān)矩形”為正方形，可知正方形的邊長為1，點坐標(biāo)為或，然后利用待定系數(shù)法求直線的表達式即可；（2）如圖，由點，的“相關(guān)矩形”為正方形，可知當(dāng)重合時，；當(dāng)重合時，；進而可得．【詳解】（1）①解：由題意知，Px1,∵的坐標(biāo)為，點的坐標(biāo)為，∴“相關(guān)矩形”的邊長分別為，∴面積為，∴點，的“相關(guān)矩形”的面積為6；②解：∵的坐標(biāo)為，點在軸上，點的“相關(guān)矩形”為正方形，∴正方形的邊長為1，點坐標(biāo)為或，當(dāng)時，設(shè)直線的表達式為，將代入得，，∴直線的表達式為；當(dāng)時，設(shè)直線的表達式為，將，代入得，，解得，∴直線的表達式為；綜上所述，直線表達式為或．（2）解：如圖，∵點，的“相關(guān)矩形”為正方形，∴當(dāng)重合時，；當(dāng)重合時，；∴．【點睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形，一次函數(shù)解析式，正方形的性質(zhì)，點坐標(biāo)等知識．理解題意，熟練掌握坐標(biāo)與圖形，一次函數(shù)解析式，正方形的性質(zhì)，點坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．23．(1)作圖見解析(2)，兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形，有一個角是直角的平行四邊形是矩形(3)，【分析】（1）由題意作圖即可；（2）根據(jù)矩形的判定定理即可得證；（3）確定點、、的坐標(biāo)分別為、0,2、，即可求解．【詳解】（1）解：由題意作圖如下：（2）證明：∵，，∴四邊形是平行四邊形．（兩組對邊分別相等的四邊形為平行四邊形）∵，∴四邊形是矩形，（有一個角為直角的平行四邊形為矩形）故答案為：；兩組對邊分別相等的四邊形為平行四邊形；有一個角為直角的平行四邊形為矩形；（3）解：∵直線：與軸，軸分別交于點，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，∴，，∴，，∴矩形的面積為：，∵四邊形是矩形，O0,0，∴，，則線段向上平移個單位與線段重合，其中點是點的對應(yīng)點，點是點的對應(yīng)點，∴，設(shè)直線的表達式為，過點，∴，解得：，∴直線的表達式為．【點睛】本題考查作圖—應(yīng)用與作圖，考查了尺規(guī)作圖—作一條線段等于已知線段，平行四邊形的判定，矩形的判定與性質(zhì)，一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點，待定系數(shù)法確定正比例函數(shù)圖像的解析式．掌握尺規(guī)作圖，矩形的判定與性質(zhì)及一次函數(shù)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．24．(1)見解析(2)(3)，理由見解析．【分析】（1）根據(jù)題意補全即可；（2）由，得，再根據(jù)等邊對等角即可得解；（3）過點作，交的延長線于點，連接，先證，得，再證明（），得，，從而，利用勾股定理即可．【詳解】（1）解：如圖所示，（2）解：∵，∴，∵，∴，故答案為：；（3）解：，理由如下：過點作，交的延長線于點，連接，∵四邊形是正方形，，∴，，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴（）∴，，∴，∴．【點睛】本題考查了勾股定理，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握正方形的性質(zhì)及全等三角形的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．25．(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)“拉手點”的定義求解即可；（2）分兩種情況求出的最大值即可；（3）分線段在正方形外部和內(nèi)部兩種情況由勾股定理求出正方形的邊長即可【詳解】（1）解：如圖，所以，在點，，中，線段的“拉手點”是,故答案為：；（2）解：如圖，當(dāng)直線在點B上方時，延長交直線于點C，設(shè)直線與y軸交于點D，與x軸交于點N，∵，．∴∴，∴，∵在直線中，∴∵∴∴此時點B到直線的距離是，∴，則，過點B作，則，直線與線段AB有“拉手點”，∴；當(dāng)往下平移也滿足條件，即假設(shè)點滿足，則符合直線上存在線段的“拉手點”∴∴∴直線上存在線段的“拉手點”，則的取值范圍為（3）解：當(dāng)線段在正方形內(nèi)部時，如圖，當(dāng)正方形的邊平行于坐標(biāo)軸，且經(jīng)過點時，正方形的邊長最長，∴此時a的最大值為；當(dāng)線段在正方形外部時，過點O作于點G，在上截取，以點D為正方形的一個頂點，點O為對角線的交點作正方形，此時正方形的邊長最小，如圖所示：∵，，∴，∵，∴，∴