2025年春季高一年級第一次月考

數學

考生注意：

1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿分150分，考試時間120分鐘.

2.考生作答時，請將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上

對應題目的答案標號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答

題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效.

3.本卷命題范圍：湘教版必修第二冊第1章，第2章2.1.

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的.

1sin66°cos360-sin24°cos54°=（）

A.--B.OC.4D.也

222

【答案】C

【解析】

【分析】利用誘導公式及和角的余弦公式求得答案.

【詳解1sin660cos36°-sin24°cos540=cos240cos360-sin240sin360=cos60°=—.

2

故選：C

2.已知點4（1,3）,8（4,—1）,則與向量通的方向相反的單位向量是（）

【答案】A

【解析】

【分析】利用向量坐標運算可得A豆和|福|,由此可知所求向量為一

【詳解】?.?麗=（3,T）,.?/麗|=5,

AB34}

,與向量彳月的方向相反的單位向量為一|^司=［一二，二J.

故選：A

3.已知空間向量且通=3+2反比=一5@+6反也=7萬—2瓦則一定共線的三點是（）

A.A,B,DB.A,B,CC.B,C,DD.A,C,D

【答案】A

【解析】

【分析】利用向量加法求出*，麗，利用共線向量定理逐一判斷即可.

【詳解】解：對于A選項，~BD^~BC+CD=-5a+6b+la-2b^2a+4b=2AB,所以A,3,0三點共

線，A正確；

（—Sn=]

對于B選項，設而豆心,則M+2B=〃（一5萬+65）,即1無解，B錯誤；

\7[6〃=2

/一、f7m=—5

對于C選項，設配=機電，則一5日+6Z?=加（7萬—2Z?）,即〈，，無解，C錯誤；

\）\-2rn-6

對于D選項，AC^AB+BC=a+2b-5a+6b=-4a+8b>設衣=〃①，

即-4日+8人=〃7萬—2人，即<,無解，D錯誤.

''[-2n=8

故選：A

4.已知A3兩地相距5km,且C兩地相距10km，若測得NABC=120。，則AC兩地間的距離為

（）

A.5kmB.^-kmC.5s[5kmD.Sy/ikm

【答案】D

【解析】

【分析】由余弦定理直接求解即可.

【詳解】由余弦定理得，|AC「=|A3「+|3C「—2|/叫MacosNABC,

即|AC|2=52+IO?—2x5x10x=175,則\AC\=5a.

故選：D.

3

5.已知。是第二象限角且sin。=y,2sin/?-cos/?=0,則tan（a—分）的值為（）

2

A.1B.-1C.-2D.——

11

【答案】c

【解析】

【分析】依題意，求出cosa,tane,再根據2sin/7—cos/7=。求出tan，，再利用兩角差的正切公式求得

答案.

3I-----------4

【詳解】因為&是第二象限角且sina=二，所以costz=-Vl-sin2?=-j,

einaA1

則tana=-------=——，因為2sin/?-cos/?=0,所以tan/,

cosa42

3_1

tana-tan/?

所以an（a一4）

1+tanortan/?

故選：C.

6.已知向量25滿足,+閘一25）,且石二（1/），則向=（）

A.@B.2C.占D.3

【答案】D

【解析】

【分析】由題意可得7=275,片=2,又歸+q=26,可得了+2￡石+片=20,可求

【詳解】因為￡“￡一2可，所以詞123）=0,所以f_22石=（）,所以/=2￡石，

又因為卜+4=2百,所以/+2￡石+片=20,又B=（l，l），所以或=1+1=2，

所以27+2=20,所以7=9,所以同=3.

故選：D.

7.已知VABC的三條邊長分別為a,b,c,且（a+3：伍+c）:（a+c）=12:13:15,則此三角形的最大

角與最小角之和為（）

712兀3兀5兀

A-B.—C.—D.—

3346

【答案】B

【解析】

7T

【分析】根據題意由邊長比例關系可求得〃=7左1=5左,。=8太再由余弦定理可得A=—,即可得出結論.

3

a+b-12k

【詳解】根據題意不妨設（b+c=13左，k>Q；解得〃=7左乃=5左,。=8匕

a+c=15k

所以可得此三角形的最大角與最小角分別為/C和NB；

由余弦定理可得COSA="+L—"一=坐=工,又Ae（O,7l）,

2bc80k22'7

可得A=—；

3

所以。+5=兀一A=@.

3

故選：B

8.已知0為VA3C的外接圓圓心，OA=2,ZBAC=45°,則荏.交的最大值為（）

A.2B.4C.72D.2&

【答案】B

【解析】

【分析】利用圓的性質，得到NHOC=90。，將血.詼轉換為"4cos（砒玄），進而求出最大值.

【詳解】如圖所示：

因為。為VA3C的外接圓圓心，Q4=2,NBAC=45°,所以NBOC=24AC=90°,

且網=網=函=2,

所以存?歷=（礪一次卜覺=瓦?反一次?花=一雨?云=-4cos（弧叫，

故當雙，面共線反向時，通.反取到最大值4.

故選：B.

【點睛】關鍵點點睛：本題解答的關鍵是推導出N3OC=90。，再由數量積的運算律得到

二、多項選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項

符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

7T

9.在VA3C中，A,3,C的對邊分別是a,b,c,a=2,A=—,若VA3C有兩個解，則》的值可以為（）

6

A.2B.3C.4D.75

【答案】BD

【解析】

【分析】法一：當6sinA<a<Z?時VA3C有兩個解，即可求出）的取值范圍，即可判斷；法二：由正弦定

理得Z，=4sinB,然后利用正弦函數圖象分析可得.

JT

【詳解】法一：因為〃=2,A=一，

6

當bsinAvavb時VABC有兩個解，即bsin—<2<人，解得2Vb<4,

6

故符合題意的有B、D.

abl..

_--------------=——=4b

法二：由正弦定理sinAsinB1，所以sin3=:且Z?>a,

i4

JT511（1

所以一<3<——，即sinBe7,1,作出正弦函數圖象如圖.

66<2_

1b

因為該三角形有兩個解，所以一〈一<1,即2</?<4,故符合題意的有B、D.

24

故選：BD

10.已知a=（costz,sintz）,B=（cos?,sin尸），則正確的選項是（）

A.）和B都是單位向量B.若a=/3,則J//B

C.若否,則a="+：D.（Z+B）_L（G—5）

【答案】ABD

【解析】

【分析】根據平方關系求出;，/即可判斷A,根據共線向量判斷B,根據向量數量積的坐標表示及兩角

差的余弦公式判斷C,根據數量積的運算律判斷D.

【詳解】對于A：問=而7a+sin2a=1,忖=^/cos2+sin2/?=1,

故〃和B都是單位向量,故A正確;

對于B：若。=/7,則￡=石，所以://力，故B正確;

對于C：若％,即a?B=cosacos/?+sinasin/?=cos(a—/?)=0,

JT7T

所以a—尸=5+ATI,左eZ,即(z=/?+5+^71,左eZ,故C錯誤；

rrrr、r2r2r2,r/一rX(一4.

對于D：因為(za+6x)(za—Z?)=a—b=a—Z?|2=0,所以(a+B)J-(a—5),故D正確.

故選：ABD

11.折扇是一種用竹木或象牙做扇骨、韌紙或者綾絹做扇面的能折疊的扇子(如圖1),打開后形成以。為圓

心的兩個扇形(如圖2),若NAO3=150°,OA=2OC=2,點E在A3上，ZBOF=120°,點E在

上，OE=xOC+yOD(x,yeR),貝|()

C.當無，而時，x+y=l+y/3D.當詼，函時，x+y=2+s/3

【答案】AD

【解析】

【分析】對于A、B,利用向量減法的幾何意義，結合數量積的定義式，化簡怎.礪，根據角的取值范圍,

可得答案；

對于C、D,由題意作圖，根據幾何性質，求得邊長，結合向量加法與數乘，可得答案.

【詳解】對于A,OEEF^OE(OF-OE)^OEOF-OE2=OE-OF-1^2cosZEOF-l,

因為NEQFe0,^-.所以cosNEQFe——,1,所以2cos/EOF1—1G[—2,1],

即OE,_EFe[—2,1],A正確；B錯誤;

對于C,如圖，當詼，麗時，可判斷E跖中點，OF=2OE=2,

則NOEE=NAO/=30°,OA//BF,作EM〃OB,則四邊形為平行四邊形,

則無=南+無，OM=BE=EF=5所以兩=百反，OB^IOD，

所以礪=。而+礪=G區+2礪.所以》+丁=2+岔，C錯誤，D正確.

故選：AD.

三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知兩個單位向量￡與石的夾角為60。，則向量￡在向量￡方向上的投影為

【答案】g

2

【解析】

【分析】運用向量數量積的定義和性質，向量的平方即為模的平方，向量的投影概念，計算即可得到所求值.

【詳解】兩個單位向量。和B夾角為60°,

--11

可得力=1X1X—=—,

22

(土-B)?a=萬"一1B=1-萬=5,

向量萬—4在向量1方向上的投影為(1-3).萬;2-1,

同12

故答案為：一.

2

【點睛】本題考查向量數量積的定義和性質，以及向量投影的求法，考查運算能力，屬于基礎題.

13.在VABC中，若4=:,則(1—tanB)(l—tanC)的值為.

【答案】2

【解析】

3jr

【分析】利用三角形內角和可求得8+。=三，進而利用兩角和的正切公式的變形公式可求解.

4

JT3兀

【詳解】在三角形A5C中，因為3+。=兀—人=兀——=——，

44

所以(1一tanB)(1-tanC)=l-(tanB+tanC)+tanBtanC

=1-tan(B+C)(1-tanBtanC)+tanBtanC

37r

=1-tan—?(1-tanBtanC)+tanBtanC=2.

故答案為：2.

14.已知四邊形中，AB=BC=CD=1,DA=&設△A3￡)與△BCD面積分別為S,S2.則

s：+s；的最大值為一.

【答案】《7

【解析】

【分析】根據余弦定理得到cosC=gcosA-1，利用三角形面積公式得到

S：+S；=—/]—[j^cosA—,得到最大值.

【詳解】四邊形A5CD中，AB=BC=CD=1,DA=G

設AABD與△BCD面積分別為S],S2,

則￡-ABADsinA=—sinA，S2=^-CDBCsinC=^sinC.

12222

在△ABD中，利用余弦定理：BD2=AD2+AB2-A，

即BO?=3+1-2^COSA=4-26COSA，

在△BCD中，利用余弦定理：BD2=CD1+CB2-C，

即BD?=I+1-2COSC=2-2COSC.

所以cosC=百cosA-l.

則+=-sin2A+-sin2C=-(l-cos2A)+-(l-cos2C)

7

走時，S：+S；最大值，最大值為J,

當小cosA=—,即cosA

2AX

,、7

故答案為：—

O

四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程及演算步

驟.

15.已知1、夕均為第二象限角，且cos[a—,sin,=*.

(1)求COS&的值；

(2)求tan(o+/7)的值.

【答案】(1)--

5

(2)-1

【解析】

【分析】(1)誘導公式計算得出cose的值；

(2)分別計算tana,tan分的值，通過公式tan(&+")=粵"咽^求得.

1-tana?tanp

【小問1詳解】

由誘導公式可知sina=cos(。―二]=且，。為第二象限角，所以cosa=—2叵；

I2J55

【小問2詳解】

由第一■問可知tana=—，同理，sin/?=；cos/=—土"°，tan〃=—,

2"10"103

/八\tana+tan￡,

所以tan(a+/)=-----------=-1.

1-tan。?tanp

16.已知向量a=(—1,〃2),b=(—2,1)?

(1)若2￡+B與B共線，求實數機的值；

(2)若2=(—7,26),S.c=3a+Ab-求實數log/m的值；

(3)若『+求實數機的值.

【答案】(1)|

(2)3

(3)-2

【解析】

【分析】(1)根據題意，由向量平行的坐標計算公式可得關于機的方程，即可得答案.

(2)根據題意，由向量的坐標計算公式可得4=2,m=8即可得答案；

(3)利用向量坐標的線性運算求G-瓦石+及坐標，模長坐標公式列方程求參數值；

【小問1詳解】

因為2%+B=2(—1,加)+(-2,1)=(―4,2加+1)與B=(―2,1)共線，

所以Txl=—2(2帆+1),所以機=g.

【小問2詳解】

因為c=3a+Ab=3(—1,加)+彳(-2,1)=(■—3—2A,3加+4),c=(―7,26),

所以—7=—3—2%26=3m+4,

可得X=2,加=8,log2m=log28=3

【小問3詳解】

由題知：a-b=(-l,m)-(-2,l)=(l,m-l),|a+(m-l)2,

a+^=(-l,m)+(-2,l)=(-3,m+l),|a+^|=+(m+l)2=^9+(m+1)2,

-\a-b\=^+b\,

...|a-s|2=|a+s|2,

...1+(7〃—1)2=9+(7〃+l)2,即4機=—8,解得機=—2.

17.已知銳角VABC的內角A&C所對的邊分別為a,0,c，滿足—cosine=GaAcosC.

(1)求角C；

(2)若C4.而=3，c=幣,求VABC的周長.

71

【答案】(1)

3

⑵5+"

【解析】

【分析】（1）由余弦定理即可求解；

（2）由平面向量的數量積運算可得次?=6,根據余弦定理求出〃+。2=]3,從而可求繼而可得

VA5C的周長.

【小問1詳解】

2

因為_cjsinc=y/3abcosC,

所以由余弦定理可得2a/;cosCsinC=MabcosC.

因為VABC是銳角三角形，所以cosC>0,

所以2sinC=^3，即sinC=，

2

71

所以C=7

3

【小問2詳解】

因為64?互=3，所以QbcosC=（ab=3，

所以次?=6.

因為C=J7，C=y,

由余弦定理可得，=/+/一2abeosC=/+/一而=7,

所以/+/=13,

所以（。+人）2=/+/+2QZ?=13+2x6=25,

所以Q+Z?=5，

所以VA5C的周長為a+b+c=5+J7.

—.3—??__?

18.如圖，在邊長為4的正三角形ABC中，E,尸分別為BC,AC上的兩點，且AF=]AC,BE=ABC

（0<2<1）,A瓦3尸相交于點p.

（1）求出求的值;

（2）試問：當幾何值時，AE±BF?

(3)求證：AE-BF>ABEF-

【答案】（1）V13

（3）證明見解析

【解析】

【分析】（1）利用平面向量基本定理，得到市=；恁-礪，兩邊平方后即可求得結果；（2）將向量荏

表示為了云=通+2能，進而由尸得到4引麗=0，數量積運算求解即可；（3）分別計算

荏?旃和初?麗的值，證明即可?

【小問1詳解】

因為衣=3而，所以麗=/一通=。衣—通,

44

所以|麗f=：衣-通=^\AC[-^AB-AC+\AB\,

I-----\299319

得：\BF\=—X42——X4X4X-+42=13,

I?1622

所以研=而；

【小問2詳解】

因為屁=2配，所以通=通+而=詬+彳而，

所以通.而=（荏+/i瑟）[?恁一荏）=；〃.通T通就.就_/i血.近,

__.3131(1

AE-BF^-x4x4x——42+-22x4x4x——2x4x4x——=-10+142,

4242I2)

因為尸，所以衣.麗=0，即—10+142=0,解得;1=2,

7

故當4=』時，AE±BF；

7

【小問3詳解】

EF=CF-CE=-1AC-(2-1)BC=-1AC+(1-2)BC,

ABEF=AB--1AC+(l-2)Bcj=-1AB-AC+(l-2)AB-BC,

——x4x4xcos60°+(1-2)X4X4Xcos120°

4

-Ix4x4x1-+(l-2)x4x4x82-10,

因為0W4W1,所以旗?麗―亞?麗=-10+144—(82—10)=6X20,

所以荏?麗麗?麗?

19.如圖，設3,0y是平面內相交成60°角的兩條數軸，4,1分別是與x軸、y軸正方向同向的單位

向量.若向量OAf=xq+ye2，則把有序實數對(％,y)叫做向量臣0在坐標系。孫中的坐標，記作

OM=(x,y).在此坐標系O孫中，若出=(3,0),麗=(0,2),而=(3,2),E是8P的中點，AF

與OP交于T兩點.

(1)求畫;

(2)求方的坐標;

(3)若過點尸的直線/分別與無軸、y軸正方向交于M、N兩點，求ZOMN的最小值.

【答案】(1)\op\=y/19

⑵…

⑶673

【解析】

【分析】(1)依題意可得歷=3錄+2￡，再根據數量積的運算律計算可得；

(2)依題意可得加=麗+礪，即可得到Q4P6是平行四邊形，從而得到△PFTSAQ4T,即可得到

—.2—.

AT=-AF,再根據討=殖+不了計算可得；

（3）設兩=（羽0）,而=（O,y）（x,y>O）,又”,P,N三點共線，設訴=2做（0<2<1）,根據

3—x=—Ax32/、

平面向量線性運算及基本定理得到c,，從而得到x=「再由面積公式

2=Ay1—XZ

及基本不等式計算可得.

【小問1詳解】

依題意可得q-e?=同.同cos60o=lxlx；=g

OP=（3,2）=3q+2e2,

I>|2/—?—2—*2—*-->—*21

|（?JP|=^3^+2^J=9,+