第2章一元一次不等式與一元一次不等式組

導(dǎo)圖導(dǎo)學(xué).

知識(shí)盤點(diǎn)團(tuán)

知識(shí)點(diǎn)01:不等式

1.不等式：用符號(hào)（或"W”），“>”（或"2”），W連接的式子叫做不等式.

易錯(cuò)指導(dǎo)：

（1）不等式的解：能使不等式成立的未知數(shù)的值叫做不等式的解.

（2）不等式的解集：對(duì)于一個(gè)含有未知數(shù)的不等式，它的所有解組成這個(gè)不等式的解集.

解集的表示方法一般有兩種：一種是用最簡(jiǎn)的不等式表示，例如x>“，等；另一種是用數(shù)軸表示，如

下圖所示：

x>axNaxW。

—!A-1"AJ__?]~~?

aaaa

（3）解不等式：求不等式的解集的過程叫做解不等式.

2.不等式的性質(zhì)：

不等式的基本性質(zhì)1：不等式兩邊加（或減）同一個(gè)數(shù)（或式子），不等號(hào)的方向不變.

用式子表示：如果a>b,那么a土c>b±c

不等式的基本性質(zhì)2：不等式兩邊都乘（或除以）同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變.

db

用式子表示：如果a>b,c>0,那么ac>bc（或一>—）.

CC

不等式的基本性質(zhì)3：不等式兩邊乘（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變.

nh

用式子表不：如果a>b,cVO,那么acVbc（或一<一）.

CC

知識(shí)點(diǎn)02:一元一次不等式

1.定義：不等式的左右兩邊都是整式，經(jīng)過化簡(jiǎn)后只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是L這樣

的不等式叫做一元一次不等式.

易錯(cuò)指導(dǎo)：ax+b>0或ax+b<O（aWO）叫做一元一次不等式的標(biāo)準(zhǔn)形式.

2.解法：

解一元一次不等式步驟：去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、系數(shù)化為1.

易錯(cuò)指導(dǎo)：不等式解集的表示：在數(shù)軸上表示不等式的解集，要注意的是“三定”：一是定邊界點(diǎn)，二是定

方向，三是定空實(shí).

3.應(yīng)用：列不等式解應(yīng)用題的基本步驟與列方程解應(yīng)用題的步驟相類似，即：

(1)審：認(rèn)真審題，分清已知量、未知量；

(2)設(shè)：設(shè)出適當(dāng)?shù)奈粗獢?shù)；

(3)找：找出題中的不等關(guān)系，要抓住題中的關(guān)鍵字，如“大于”“小于”“不大于”“至少”“不超過”

“超過”等關(guān)鍵詞的含義；

(4)歹U：根據(jù)題中的不等關(guān)系，列出不等式；

(5)解：解出所列的不等式的解集；

(6)答：檢驗(yàn)是否符合題意，寫出答案.

易錯(cuò)指導(dǎo)：列一元一次不等式解應(yīng)用題時(shí)，經(jīng)常用到“合算”、“至少”、“不足”、“不超過”、“不大于”、“不

小于”等表示不等關(guān)系的關(guān)鍵詞語，弄清它們的含義是列不等式解決問題的關(guān)鍵.

知識(shí)點(diǎn)03:一元一次不等式組

關(guān)于同一未知數(shù)的幾個(gè)一元一次不等式合在一起，就組成一個(gè)一元一次不等式組.

易錯(cuò)指導(dǎo)：

(1)不等式組的解集：不等式組中各個(gè)不等式的解集的公共部分叫做這個(gè)不等式組的解集.

(2)解不等式組：求不等式組解集的過程，叫做解不等式組.

(3)一元一次不等式組的解法：分別解出各不等式，把解集表示在數(shù)軸上，取所有解集的公共部分，利用

數(shù)軸可以直觀地表示不等式組的解集.

(4)一元一次不等式組的應(yīng)用：①根據(jù)題意構(gòu)建不等式組，解這個(gè)不等式組；②由不等式組的解集及實(shí)

際意義確定問題的答案.

知識(shí)點(diǎn)04:一次函數(shù)與一元一次方程、一元一次不等式(組)

函數(shù)問題

方程(組)、不等式問題

從“數(shù)”的角度看從“形”的角度看

求關(guān)于X、y的一元一次確定直線y=ax+人與％軸

X為何值時(shí)，函數(shù)y=ax+Z?的

方程ar+Z?=0(〃W0)(即直線V=0)交點(diǎn)的橫坐

值為0?

的解標(biāo).

求關(guān)于％、y的二元一次

%為何值時(shí)，函數(shù)丁=。儼+偽與

[*y=Q]x+b],確定直線與直線

方程組4的

[y=a2x+b2.

函數(shù)y=。2%+偽的值相等？=a2x+b2的交點(diǎn)的坐標(biāo).

解.

求關(guān)于X的一元一次不等確定直線y=ax+b在x軸

工為何值時(shí)，函數(shù)y=ax+Z?的

式ax+Z>>0（4W0）的（即直線V=0）上方部分的

值大于0?

解集所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)的范圍.

高頻核心專題訓(xùn)練|0

選擇題（共10小題，滿分20分，每小題2分）

1.（2分）（2021春?武侯區(qū)校級(jí)期中）靜怡準(zhǔn)備用70元在文具店買48兩種筆記本共7本，4種筆記本每

本10元，6種筆記本每本8元，如果至少要買4本4種筆記本，請(qǐng)問靜怡購買的方案有（）

A.2種B.3種C.4種D.5種

解：設(shè)靜怡準(zhǔn)備買/種筆記本x本，則購買8種筆記本（7-x）本，

根據(jù)題意可知，10x+8（7-x）W70,7-x>0,

解得,x<7,

；.4Wx<7,

可取4,5,6,

...共三有種方案.

故選：B.

2.（2分）（2022春?思明區(qū)校級(jí)期末）已知a<6,下列不等式成立的是（）

A.a+2<MlB.-3a>-2bC.m-a>m-bD.an!<brS

解：/、不等式的兩邊都減1,不等號(hào)的方向不變，故4錯(cuò)誤；

以不等式的兩邊都乘以同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變，8選項(xiàng)沒有乘以同一個(gè)負(fù)數(shù)，故8錯(cuò)誤；

C、Va<b,

/.-a>-b

*.m-a>m-b,故。正確；

D、??,方20,a<b

:.aii&b亂故〃錯(cuò)誤;

故選：C.

3.（2分）（2022春?增城區(qū)期末）如圖，已知：函數(shù)p=3x+6和尸ax-3的圖象交于點(diǎn)尸（-2,-5）,則

根據(jù)圖象可得不等式3x+b>ax-3的解集是（）

A.x>-5B.x>-2C.x>-3D.x<-2

解：???函數(shù)/=3戶6和尸”-3的圖象交于點(diǎn)尸（-2,-5）,

則根據(jù)圖象可得不等式、x+b>ax-3的解集是x>-2,

故選：B.

4.（2分）（2020?南京二模）若不等式組有解，則左的取值范圍是（）

A.k<2B.42C.k<lD.lWk<2

解：因?yàn)椴坏仁浇M有解，k<2.

故選：A.

5.（2分）（2018春?唐河縣期中）如圖，已知直線尸ax+b與直線尸x+c的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1,根據(jù)圖象

有下列四個(gè)結(jié)論：①aVO；②c>0；③對(duì)于直線尸x+c上任意兩點(diǎn)Z（心，%）、BQXB,ye）,若劉〈才慶

則為〉為；④才>1是不等式3x+Z?Vx+c的解集，其中正確的結(jié)論是（）

A.①②B.①③C.①④D.③④

解：???直線y隨x的增大而減小，

/.a<0,①正確；

;?直線y=x+c與y軸交于負(fù)半軸，

???。<0,②錯(cuò)誤；

直線尸x+c中，A=l>0,

隨x的增大而增大，

:，XA<XB,則為<處，③錯(cuò)誤；

X>1是不等式ax+b<x+c的解集，④正確；

故選：C.

6.（2分）（2020?長(zhǎng)安區(qū)校級(jí)模擬）已知關(guān)于x的不等式組恰有3個(gè)整數(shù)解，則a的取值范圍是（）

A.B.c'D-

OOCto

解：由于不等式組有解，貝11,必定有整數(shù)解0,

.?博4普OI，

，三個(gè)整數(shù)解不可能是-2,-1,0.

-1

若三個(gè)整數(shù)解為-1,0,1,則不等式組，°無解；

1嗎<2

24|*a<3

若三個(gè)整數(shù)解為0,1,2,則，；

-14a<0

一O石

解得得

故選：B.

7.（2分）（2023春?香坊區(qū)校級(jí)期中）如圖，在數(shù)軸上表示不等式3萬-6>0的解集，正確的是（）

-----1------j）>----1o------?

A.02B.02

C.02D.02

解：3x-6>0,

3或>6,

x>2,

-------1-----------j>>

在數(shù)軸上表示為02,

故選：B.

8.（2分）（2023春?新民市期中）已知關(guān)于x的不等式組|2i的最小整數(shù)解是2,則實(shí)數(shù)勿的

x-443（x-2）

取值范圍是（）

A.-3W%V-2B.3V勿W-2C.3Vzz-2D.3W/W-2

解：解不等式2二生22,得：x>4+以，

2

解不等式x-4W3（x-2）,得：x2l,

???不等式組的最小整數(shù)解是2,

；.1<4+辰2,

解得--2,

故選：B.

9.（2分）（2023春?羅湖區(qū)期中）某學(xué)校舉行“創(chuàng)新杯”籃球比賽，比賽方案規(guī)定：每場(chǎng)比賽都要分出勝

負(fù)，每隊(duì)勝1場(chǎng)積2分，負(fù)1場(chǎng)積1分，每只球隊(duì)在全部8場(chǎng)比賽中積分不少于12分，才能獲獎(jiǎng).小明

所在球隊(duì)參加了比賽并計(jì)劃獲獎(jiǎng)，設(shè)這個(gè)球隊(duì)在全部比賽中勝x場(chǎng)，則x應(yīng)滿足的關(guān)系式是（）

A.2x+（8-x）N12B.2x+（8-x）W12

C.2x-（8-x）》12D.2x>12

解：由題意，勝一場(chǎng)得2x分，負(fù)一場(chǎng)得（8-x）分，

則得不等式：2廣（8-x）212,

故答案為：A.

10.（2分）（2018?巴彥淖爾）若關(guān)于X,y的方程組的解滿足-g，則勿的最小整數(shù)解為（）

2

A.-3B.-2C.-1D.0

解:，

①-②得：x-尸3加2,

?.?關(guān)于X,y的方程組的解滿足x-y>-l,

2

,3加2〉-旦，

2

解得：m>-―,

6

加的最小整數(shù)解為-1,

故選：C.

二.填空題（共10小題，滿分20分，每小題2分）

11.（2分）（2023?城中區(qū)模擬）如圖所示，函數(shù)姓=ax+6和yi=|x|的圖象相交于（-1,1）,（2,2）兩

點(diǎn).當(dāng)姓時(shí)，x的取值范圍是x<-1或x>2

解：：函數(shù)y=ax+6和y=|x|的圖象相交于（-1,1）,（2,2）兩點(diǎn)，

根據(jù)圖象可以看出，當(dāng)%>及時(shí)，x的取值范圍是x>2或x<-1,

故答案為：x<-1或x>2.

12.（2分）（2020春?潤(rùn)州區(qū)期末）已知實(shí)數(shù)x、y滿足2x-3y=4,且x>-l,j<2,設(shè)A=x-y,則4的

取值范圍是1C4W3.

解：：2x-3y=4,

（2x-4）,

3

Vj<2,

.1.I（2x-4）W2,解得蔣5,

3

又-1,

-lVx^5,

k=x-—（2x-4）^+—,

333

當(dāng)x=-1時(shí)，（-1）+A=1；

33

當(dāng)x=5時(shí)，A=—X5+—=3,

33

故答案為：1<Z3.

13.（2分）（2018春?義安區(qū)期末）如圖，已知一次函數(shù)弘=-田6的圖象與y軸交于點(diǎn)/（0,6）,y2=kx

-2的圖象與x軸交于點(diǎn)6（2,0）,那么使乃〉多成立的自變量x的取值范圍是x<4.

解：將點(diǎn)力（0,6）代入一次函數(shù)■=-x+b,得0+6=6,

解得6=6,

故函數(shù)解析式為%=-x+6；

將點(diǎn)方（2,0）代入現(xiàn)=日-2,得2八2=0,

解得4=1,

故函數(shù)解析式為X2=x-2,

解方程組產(chǎn)-X+6,

ly=x-2

解得，

.?.兩函數(shù)圖象交點(diǎn)坐標(biāo)為（4,2）,

使%>再成立的自變量x的取值范圍是x<4.

故答案為：x<4.

14.（2分）（2023?洛陽三模）不等式組的所有整數(shù)解的和是5

解:，

由①得：x>—,

2

由②得：xW3,

...不等式組的解集為3〈點(diǎn)3,

2

則所有整數(shù)解為2,3,之和為2+3=5.

故答案為:5.

15.（2分）（2023春?江北區(qū)期中）如果關(guān)于x的不等式組［乎）,-I有且只有3個(gè)奇數(shù)解，且關(guān)于y

3x+6>a+4

的方程3尹6a=22-y的解為非負(fù)整數(shù)，則符合條件的所有整數(shù)a的積為-3

由3x+6>抖4,得x>a2

3

x+3

?.?關(guān)于X的不等式組.有且只有3個(gè)奇數(shù)解,

3x+6>a+4

,這三個(gè)奇數(shù)解是1,3,5,

3

解得-lWaV5,

由方程3尹6a=22-y,可得尸絲也,

?.?方程3尹6a=22-y的解為非負(fù)整數(shù),

...22-6a,0且22-6a為整數(shù),

解得aW旦且也二阻為整數(shù)，

32

-IWaW且且".a為整數(shù),

32

.?.滿足條件的整數(shù)a的值為-1,1,3,

V-1X1X3=-3,

符合條件的所有整數(shù)a的積為-3,

故答案為：-3.

4(x—)<5-2x

16.（2分）（2023春?沙坪壩區(qū)校級(jí)期中）若關(guān)于x的一元一次不等式組，有解，且關(guān)于

y的分式方程的解為整數(shù)，則符合條件的所有整數(shù)a的和為-4

4(xq)45-2x

解：由一元一次不等式組，得：且K

2

4（x-^）45-2x

?.?一元一次不等式組，有解,

解得：aWl,

解分式方程得：尸一

a+1

?.?分式方程的解是整數(shù)，

???當(dāng)a+l=l時(shí)，a=0；

當(dāng)a+l=2時(shí)，a=l；

當(dāng)a+l=4時(shí)，-3=3,不符合題意；

當(dāng)a+l=-1時(shí)，a--2；

當(dāng)3+1=-2時(shí)，a=-3；

當(dāng)a+l=-4時(shí)，a—-5,y=l,不符合題意；

???符合條件的所有整數(shù)a的和為：0+1-2-3=-4.

故答案為：-4.

17.（2分）（2023春?龍泉驛區(qū)期中）若整數(shù)勿使關(guān)于x的不等式組[x-3m<2有解，且使關(guān)于入的分式

[x+2m>17

方程T——L=-i有整數(shù)解，則整數(shù)⑷的值為6.

X2-4x-2——

解：解不等式組得FW3m+2,

[x>-2m+17

:不等式組有解，

?二3研2>-2研17,

解得力>3,

分式方程T———=-1兩邊同乘(x+2)(x-2),

X2-4X-2

得：mx--2x=-x+4,

???方程有整數(shù)解，在>3,且一^￥±2,

m-2

m—6.

故答案為：6.

18.（2分）（2022春?辛集市期末）一個(gè)工程隊(duì)規(guī)定要在6天內(nèi)完成300土方的工程，第一天完成了60土

方，現(xiàn)在要比原計(jì)劃至少提前兩天完成任務(wù)，請(qǐng)列出以后幾天平均每天至少要完成的土方數(shù)x應(yīng)滿足的

不等式為3x2300-60.

解：由題意，列出不等關(guān)系

x（6-1-2）+602300,

化簡(jiǎn)得3x2300-60.

19.（2分）（2016春?岱岳區(qū)期中）今年三月份甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)承包了面積1800窟的區(qū)域綠化，已知甲隊(duì)

每天能完成100瘍，需綠化費(fèi)用為0.4萬元；乙隊(duì)每天能完成50療，需綠化費(fèi)用為0.25萬元，要使這次

的綠化總費(fèi)用不超過8萬元，至少應(yīng)安排甲隊(duì)工作10天.

解:設(shè)應(yīng)安排甲隊(duì)工作y天，根據(jù)題意得：

0.4y+180°-l°°yX0.25W8,

50

解得：y210.

即：至少應(yīng)安排甲隊(duì)工作10天；

故答案為：10.

20.（2分）（2019春?南岸區(qū)校級(jí)期末）自2019年起，全國(guó)全面啟動(dòng)生活垃圾分類工作.到6月底，某市

部分小區(qū)先投入“垃圾分類”工作中：這部分小區(qū)平均每個(gè)小區(qū)有72戶業(yè)主參加，其中參加戶數(shù)低于

60戶的小區(qū)平均每個(gè)小區(qū)有56戶業(yè)主參加，參加戶數(shù)不低于60戶的小區(qū)平均每個(gè)小區(qū)有84戶業(yè)主參

力口.根據(jù)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，若每個(gè)小區(qū)同時(shí)新增10戶業(yè)主參加，則此時(shí)參加戶數(shù)低于60戶的小區(qū)平均每個(gè)小

區(qū)有58戶，參加戶數(shù)不低于60戶的小區(qū)平均每個(gè)小區(qū)有90戶業(yè)主參加，且該市這部分小區(qū)個(gè)數(shù)不低于

50,且不高于70,則這部分小區(qū)有56個(gè).

解：設(shè)低于60戶的有x個(gè)小區(qū)，不低于60戶的有y個(gè)小區(qū)

每個(gè)小區(qū)增加10戶，則設(shè)低于60戶的會(huì)在x戶的基礎(chǔ)上減少e戶，

不低于60戶的會(huì)在y戶的基礎(chǔ)上增加e戶

即：低于60戶有（x-e）個(gè)小區(qū)，不低于60戶的有（j+e）個(gè)小區(qū)

由題意得：72（Ay）=56x+84y

化簡(jiǎn)得：4x=3_p?

同時(shí)有：58（x-e）+90（j+e）=82（ey）

化簡(jiǎn)得：3x-y=4e@

由①②解得：x=2.4e,y=3.2e

?1x,y,e都是正整數(shù)，且50Wx+Z70

???50W5.6eW70

.??e=10,x=24,尸32

/.x+y=56

故答案為：56.

三.解答題（共7小題，滿分60分）

21.（8分）（2023?衡水三模）（1）已知a=-l,求代數(shù)式々一?且二2的值;

a-4&

（2）解不等式組，并把其解集表示在數(shù)軸上.

-3-2-10123456

解：⑴々_.忙1

a2-42

______2a_____,a-2

（a+2）（a-2）a

=2

初，

當(dāng)a=-l時(shí)，原式=—--=2；

-1+2

（2）解不等式①得：-1,

解不等式②得：x<4,

.??不等式組的解集是-lWx<4,

在數(shù)軸上表示不等式組的解集為:

_J——I_X_I——I——I——I__i_I——L^

-3-2-10123456.

22.（8分）（2023春?青羊區(qū)校級(jí)期中）如圖，在直角坐標(biāo)系中，直線I1：y卷x+1與x軸交于4與直線

12：/=-丸+口交于B春n），直線心分別與x軸、y軸交于C、D,連接被

（1）直接根據(jù)圖象寫出關(guān)于x的不等式旦x+m〉2x+l的解集；

42

（2）求出加、〃的值；

（3）求出△/物的面積.

解：（1）：-3x+加

42

(2)?.?直線尸工X+1經(jīng)過6(&,72),

25

.?.77一=—1X—8+,I1一=—9.

255

?.?直線尸-旦科”經(jīng)過方(旦，9),

455

?9--3y8I

545

%=3；

(3)由(2)得直線4的解析式為y=-Sx+3,

4

令x=0,則y=2x+l=l,

2

:.H(-2,0),

令x=0,則0=-旦l+3,

4

y-3,

：.D(0,3),

；.△/初的面積=入4切的面積+AW的面積=2X(3-1)X2+AX(3-1)xA=12

2255

23.（8分）（2023春?即墨區(qū)期中）某文具店在一次促銷活動(dòng)中規(guī)定：消費(fèi)者消費(fèi)滿100元就可享受打折優(yōu)

惠.期中考試后，小韋同學(xué)在該店為班級(jí)買獎(jiǎng)品，準(zhǔn)備買3支鋼筆和若干本筆記本.已知每支鋼筆10

元，每本筆記本4元，那么她至少買多少本筆記本才能享受打折優(yōu)惠？

解：設(shè)小韋買x本筆記本才能享受打折優(yōu)惠，

依題意得：10X3+4^100,

解得:.

為整數(shù)，

??.X的最小值為18.

答：小韋至少買18本筆記本才能享受打折優(yōu)惠.

24.(8分)(2023春?朝陽區(qū)校級(jí)期中)根據(jù)學(xué)習(xí)一次函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，對(duì)函數(shù)y=|x-3|的圖象和性質(zhì)進(jìn)行研

究，探究過程如下，請(qǐng)補(bǔ)充完整.

(1)自變量x的取值范圍是全體實(shí)數(shù)，如表是y與x的幾組對(duì)應(yīng)值：

X???-10123456???

y???43210m23???

其中，m=1

(2)在所給的平面直角坐標(biāo)系中，已經(jīng)根據(jù)表格信息畫出了部分圖象，請(qǐng)你描出以上表中以其他各

對(duì)對(duì)應(yīng)值為坐標(biāo)的點(diǎn)，補(bǔ)全函數(shù)圖象;

(3)觀察以上函數(shù)圖象發(fā)現(xiàn)，

當(dāng)x<3時(shí)，y隨x的增大而減小；當(dāng)x23時(shí)，y隨x的增大而增大；

(4)結(jié)合圖象進(jìn)一步探究，

①不等式Ix-3|N2的解集是xWl或x25；

②若關(guān)于x的方程|x-3|=2x+6的解是負(fù)數(shù)，則6的取值范圍為b>3

解：(1)0=|4-3|=1,

故答案為：1;

(2)如圖：

(3)當(dāng)xN3時(shí)，y隨x的增大而增大，

故答案為：增大；

(4)①由圖象得：不等式|x-3|N2的解集是：/W1或x25,

故答案為：xWl或xN5；

②由題意得：x<0,

.,.原方程可化為：3-x=2廿6,

解得：x=l-—b,

3

由題意得：1-—b<0,

3

解得：6>3,故答案為：b>3.

25.（8分）（2023春?小店區(qū)校級(jí)月考）某服裝廠生產(chǎn)一批服裝和領(lǐng)帶，服裝每套定價(jià)300元，領(lǐng)帶每條的

定價(jià)為50元，廠方在開展促銷活動(dòng)期間，向客戶提供了如下兩種優(yōu)惠方案：

方案一：購買一套服裝贈(zèng)送一條領(lǐng)帶；

方案二：服裝和領(lǐng)帶均按定價(jià)的九折出售.

某商店老板現(xiàn)要到服裝廠采購服裝30套，領(lǐng)帶x（x230）條,請(qǐng)根據(jù)x的不同情況，幫助商店老板選

擇最省錢的方案.

解：按優(yōu)惠方案（1）購買，應(yīng)付款：300X30+（x-30）X50=50^+7500（:元），

按優(yōu)惠方案（2）購買，應(yīng)付款：（300X30+50x）X90%=45JT+8100（元），

設(shè)了=（50x+7500）-（45x+8100）=5x-600（元），

當(dāng)y<0時(shí)，即（30Wx<120且為整數(shù)）時(shí).選方案（1）比方案（2）更省錢，

當(dāng)y=0時(shí)，即x=120時(shí).選兩個(gè)方案一樣省錢，

當(dāng)y>0時(shí)，即（x>120且為整數(shù)）