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文檔簡介
二次函數中平移、翻折、旋轉綜合問題(三大
題型)-2025年中考數學押題
二次期數中平移■翻折、施轉綜合問題
目錄
解密中考.................................................................................1
題型特訓提分.............................................................................2
【題型一】二次函數中的平移綜合問題...................................................2
【題型二】二次函數中的翻折綜合問題...................................................7
【題型三】二次函數中的旋轉綜合問題..................................................12
解密中考
考情分析:二次函數中平移、翻折、旋轉綜合題是全國中考的熱點內容,更是全國中考的必考內容。每年都有
一些考生因為知識殘缺、基礎不牢、技能不熟、答欠規范等原因導致失分。
1.從考點頻率看,平移為高頻考點,常考解析式變化;翻折為中頻,涉及對稱軸變換;旋轉低頻,多與坐標系
結合。各地差異小,平移占比約30%,翻折20%,旋轉10%左右。
2.從題型角度看,平移、翻折多現選擇填空(直接求解析式)或解答題第一問(基礎變換);旋轉常融綜合題
(如與幾何圖形結合求坐標),壓軸題占比約15%,側重邏輯推導。
備考策略:在中考數學備考中,熟記變換規律(如平移“左加右減”、翻折符號變化、旋轉坐標公式);分類練基
礎題與綜合題,注意變換后圖形性質;壓軸題需結合函數與幾何,用方程思想聯立求解,強化畫圖分析能力。
題型特訓提分
【題型一】二次函數中的平移綜合問題
1.(2025?浙江?模擬預測)已知二次函數y="+kc—3的圖象經過點(1,-4).
(1)求二次函數解析式及其對稱軸;
(2)將函數圖象向上平移巾個單位長度,圖象與c軸相交于點A,B(A在原點左側),當AO-.BO=1:4時,
求7n的值;
(3)當n―1W/43時,二次函數的最小值為2%,求九的值.
1.用頂點式分析:設原函數為y=a(x-hy+%,平移后頂點為(憶匕),則新解析式為y=a(x—h'f+k'.
2.記平移規律:左右平移變從左加右減),上下平移變%(上加下減)。如向右移館個單位,得"=a(c-無
—m)2+ko
3.分步平移:先左右再上下,或反之,結果一致。
4.一般式轉換:若為一般式,先配方成頂點式再平移,避免符號錯誤。
0
2.(2025?安徽合肥?一模)已知二次函數y=x2+bx+c的圖象經過點71(-1,-5),5(1,-9).
⑴求b,c的值.
(2)求當一3時,二次函數V=爐+般+°的最大值.
(3)現將該二次函數y=x2+bx+c的圖象沿著比軸的正方向平移R(k>0)個單位長度得到新的二次函
數圖象,當2W宓W4時,新的二次函數有最小值,最小值為7,求平移后新的二次函數的表達式.
3.(2025?重慶?模擬預測)在平面直角坐標系中,拋物線夕=a/3+五一4與宓軸交于點A、B,與%軸交于點
C,點。是拋物線的頂點,08=00=204,連接BC.
備用圖
⑴求拋物線的解析式.
(2)如圖,點P是直線下方拋物線上一點,點A、E關于夕軸對稱,線段BE沿著射線平移.平移
后的線段記為MN,當ABCP面積最大時,求PM+MN+ND的最小值.
2
(3)在(2)的基礎上將拋物線y=ax+bx-4:沿射線AC方向平移2V5個單位長度得新拋物線如,在新
拋物線y'上是否存在點Q,使ZQFB=NACO+45°?若存在,請直接出點Q的橫坐標,若不存在,請說
明理由.
4.(2025?海南?模擬預測)在平面直角坐標系中,拋物線y=ax2+bx+c(a00)與宏軸交于71(—4,0),
8(1,0)兩點,與0軸交于點。(0,—2),連接
(1)求該拋物線的函數表達式;
(2)如圖1,點P是拋物線上位于直線AC下方一動點,過點P作夕軸的平行線交直線AC于點。,點E
是y軸上的一個動點,連接BE,PE.當線段PD長度取得最大值時,求PE—BE的最大值,及此時點E
的坐標;
(3)如圖2,將拋物線y=arc?+就+eg#0),先向右平移1個單位長度,再像上平移2個單位長度,得到
新拋物線yi,點N是新拋物線上一點,連接CN,當4ACN=ACBA-ACAB時,請求出點N的坐標.
5.(2025?湖南衡陽?一模)拋物線L」.y=~x2+bx+c^x軸交于A(—4,0),5(1,0)兩點,與y軸交于點
C,點P是拋物線Li上的一動點,設點P的橫坐標為m(-4<m<0).
⑴求拋物線二的表達式.
⑵如圖1,連接AP,并延長4P交y軸于點。,連接BP,交y軸于點E.點P在運動過程中,OD+
4OE的值是否為定值,若是,請求出定值;若不是,請說明理由.
(3)將該拋物線加向左平移4個單位,再向上平移2個單位,得到如圖2所示的拋物線L2剛好經過點P,
點河為拋物線L對稱軸上一點.在平面內確定一點N,使以點A,P,河,N為頂點的四邊形是菱形.
【題型二】二次函數中的翻折綜合問題
6.(2025?湖南?二模)已知拋物線y=ax2—2ax—4(a>0).
(1)如圖1,將拋物線y=aX^-2ax-4在直線y=-4下方的圖象沿該直線翻折,其余部分保持不變,得
到一個新的函數圖象“W”.翻折后,拋物線頂點A的對應點4恰好在立軸上,求拋物線y=a〃—2a①
—4的對稱軸及a的值;
(2)如圖2,拋物線y=ax2-2ax-4(a>0)的圖象記為“G”,與y軸交于點過點B的直線與(1)中的
圖象"W"(2>1)交于P,。兩點,與圖象“G”交于點D
①當a=六時,求煞的值;
②當a¥4時,請用合適的式子表示等(用含a的式子表示).
1.明確對稱軸:
力軸翻折:頂點仇,k)變仇,一k),開口反向(a變一a),解析式為沙=—a(力一九尸一鼠
y軸翻折:頂點變(一九,k),開口不變,解析式為y=a(C+h)2+鼠
2.一般式處理:先配方成頂點式再翻折,避免符號錯誤。
3.利用對稱點:任一點(力,妨關于軸翻折后坐標代入原函數,直接推導新解析式(如關于力軸翻折,
用nt—y替換)。
7.(2025?山東濟南?一模)如圖1,拋物線G經過點4(—3,0)、0(0,3),對稱軸為直線c=—1,直線BE與宏軸
所夾銳角為45°,與U軸交于點E.
⑴求拋物線G和直線BE的表達式;
(2)將拋物線G沿二、四象限的角平分線平移,使得平移后的拋物線與直線班;恰好只有一個交點,求拋
物線平移的距離;
⑶如圖2,將拋物線G沿直線BE翻折,得到新曲線G,G與0軸交于M、N兩點,請直接寫出7點坐
標.
__________________________
8.(2025?廣西南寧?一模)在平面直角坐標系中,拋物線4=12+法+。經過點(0,-3),(-1,0).
⑴求出該拋物線的解析式;
⑵當一1<小時,求"的最小值;
(3)把拋物線夕=〃+就+。的圖象在立軸下方的部分向上翻折,將向上翻折得到的部分與原拋物線位
于力軸下方的部分組合的圖象記作圖象Q,若直線工="與圖象Q的上下部分分別交于4B兩點,當線
段48=4時,求"的值.
2
9.(2025?上海靜安?一模)已知拋物線y=ax'+bx+°(01#0)上,其9與2:部分對應值如下表:
X-3-1032
y-80202
⑴求此拋物線的表達式;
(2)設此拋物線的頂點為P,將此拋物線沿著平行于立軸的直線Z翻折,翻折后得新拋物線.
①設此拋物線與比軸的交點為4、B(點力在點B的左側),且AABP的重心G恰好落在直線I上,求此時
新拋物線的表達式;
②如果新拋物線恰好經過原點,求新拋物線在直線I上所截得的線段長.
_____________________________
10.(2025?吉林?一模)如圖,已知拋物線y=x'2+bx+c經過A(3,4)和8(—2,4)兩點,將該拋物線位于c軸
下方的部分沿T軸翻折,其余部分不變,得到的新圖象記為“W”,圖象W交4軸于點C.
⑴①求拋物線y=x2+bx+c的解析式;
②求二次函數y=a;2+brr+c的最小值.
(2)①直接寫出圖象W的解析式;
②求當圖象W所對應的函數"隨力增大而增大時工的取值范圍.
⑶若直線沙=—/+b與圖象W有3個交點時,請結合圖象,直接寫出b的值.
【題型三】二次函數中的旋轉綜合問題
11.(2025?湖南永州.一模)如圖,已知拋物線G;y=—d+4,將拋物線G繞點河(1,0)旋轉180°,得到拋物線
C2:U="+?7KC,拋物線G,G相交于入,B兩點.
⑴求?71的值;
(2)求直線對應的一次函數表達式;
(3)拋物線G,G位于4口兩點之間的部分圖形記作W,過點M的直線/與W相交于E,尸兩點,連接
BE,BF,求△BEF面積的最大值及此時對應的E點坐標.
1,確定旋轉中心與角度:初中常考繞原點或頂點旋轉180°。
繞原點轉180°:頂點仇㈤變(―h,f),a變—a,解析式為y=-a(x+h)2-ko
繞頂點轉180°:頂點不變,開口反向,解析式為y=-a(x-h/+乳
2.坐標變換法:任一點0y)旋轉后坐標代入原函數,整理得新解析式(如繞原點轉180°,用立一-,,v一
一夕替換)。
3.驗對稱性:旋轉后圖像應關于中心對稱,檢查頂點與開口方向是否符合。
_________?
12.(2025?四川成都,二模)如圖,平面直角坐標系疣>沙中,拋物線。皿=法+就+。經過原點O、C(2,0),將
該拋物線繞點旋轉180°得到拋物線G,兩拋物線交于8、C兩點,拋物線5與V軸交于點D.
⑴求拋物線G的表達式;
⑵當m時,求△08。的面積;
(3)若直線y=kx+2m(m>0)與拋物線G交于E、尸兩點,點E在點F的左側,記直線DE的斜率為
瓦,直線DF的斜率為無,當自+自為定值時,求山的值.
13.(2024?河南焦作,二模)已知拋物線y=ax'2-2ax+a+2的頂點為D.
(1)若拋物線經過原點,求a的值及頂點D的坐標;
(2)在⑴的條件下,把c>0時函數g=ar/—2加+a+2的圖象記為Mi,將圖象監繞原點旋轉180°,
得到新圖象M,設圖象M與圖象M組合成的圖象為河.
①圖象此的解析式(寫出自變量的取值范圍);
②若直線沙=力+成與圖象及■有3個交點,請直接寫出m的取值范圍.
________0
二次期數中平移■翻折■痛轉綜合問題
目錄
解窘中考.................................................................................1
題型帶詞提分.............................................................................2
【題型一】二次由數中的平移嫁合問題...................................................2
【題型二】二次函敷中的制折綜合問題..................................................13
【題型三】二次函數中的建橋綠合問題..................................................22
解密中考
考情分析:二次函數中平移、翻折、旋轉綜合題是全國中考的熱點內容,更是全國中考的必考內容。每年都有
一些考生因為知識殘缺、基礎不牢、技能不熟、答欠規范等原因導致失分。
1.從考點頻率看,平移為高頻考點,常考解析式變化;翻折為中頻,涉及對稱軸變換;旋轉低頻,多與坐標系
結合。各地差異小,平移占比約30%,翻折20%,旋轉10%左右。
2.從題型角度看,平移、翻折多現選擇填空(直接求解析式)或解答題第一問(基礎變換);旋轉常融綜合題
(如與幾何圖形結合求坐標),壓軸題占比約15%,側重邏輯推導。
備考策略:在中考數學備考中,熟記變換規律(如平移“左加右減”、翻折符號變化、旋轉坐標公式);分類練基
礎題與綜合題,注意變換后圖形性質;壓軸題需結合函數與幾何,用方程思想聯立求解,強化畫圖分析能力。
題型特訓提分
【題型一】二次函數中的平移綜合問題
1.(2025?浙江?模擬預測)已知二次函數y="+kc—3的圖象經過點(1,-4).
(1)求二次函數解析式及其對稱軸;
(2)將函數圖象向上平移巾個單位長度,圖象與c軸相交于點A,B(A在原點左側),當AO-.BO=1:4時,
求7n的值;
(3)當n―1W/43時,二次函數的最小值為2%,求九的值.
【答案】(1)夕—x2—2x—3,對稱軸為直線①=1
(2)m=^
(3)n——2
【知識點】g=ax1+brr+c的圖象與性質、待定系數法求二次函數解析式、y—ax2+bx+c的最值、二次函數
圖象的平移
【分析】本題考查了二次函數的圖象和性質,二次函數的最值,二次函數圖象的平移,熟練掌握二次函數的圖象
和性質,利用分類討論思想,數形結合思想是解題的關鍵.
(1)代入點B坐標計算,求出b,再根據土=一三求出對稱軸即可;
2a
(2)設點4f0)、B(4t,0),則平移后拋物線的對稱軸仍然為直線/=1=4(41),通過對稱軸不變來解出
力,從而得出上移距離m,
(3)先求出拋物線的頂點為(1,—4),再分/二九一和3>力=九一兩種情況來討論函數的最小值即
可,注意求出的口值和z=?i—1V1和3>力=九一得到的幾范圍一?致才是有解.
【詳解】解)解:將(1,—4)代入函數表達式得:-4=1+6—3,則b=—2,
即拋物線的表達式為:g="—2劣—3,
則拋物線的對稱軸為直線/=1;
(2)解:當40:60=1:4時,
設點A(—1,0)、B(4t,0),
則平移后拋物線的對稱軸仍然為直線?=1=J⑷一力),則方=2,
則點48的坐標分別為:(一年,。)、(|-,0),
則新拋物線的表達式為:+力一套)=62—2/一3+2,
即?72=號;
(3)解:由⑴知,拋物線的頂點為(1,-4),
當力二九一1V1,即打V2時,
拋物線在頂點處取得最小值,即一4=2n,則n=—2;
當3>力=打一1>1時,即24幾44時,
則拋物線在力二九一1時取得最小值,即(九一iy—2(n—1)—3=2n,
解得:n=0(舍去)或6(舍去),
綜上,TI=-2.
________P
Co。國巧
1.用頂點式分析:設原函數為y=a{x-h)2+%,平移后頂點為(憶我),則新解析式為y=a(x-h')2+k'.
2.記平移規律:左右平移變從左加右減),上下平移變%(上加下減)。如向右移館個單位,得g=a(c-九
—m)2+fco
3.分步平移:先左右再上下,或反之,結果一致。
4.一般式轉換:若為一般式,先配方成頂點式再平移,避免符號錯誤。
2.(2025?安徽合肥?一模)已知二次函數0=x2+bx+c的圖象經過點4(—1,—5),B(l,-9).
⑴求b,c的值.
(2)求當一5W24—3時,二次函數0=〃+be+c的最大值.
(3)現將該二次函數夕=x2+bx+c的圖象沿著比軸的正方向平移卜(k>0)個單位長度得到新的二次函
數圖象,當2&尤&4時,新的二次函數有最小值,最小值為7,求平移后新的二次函數的表達式.
【答案】⑴—2,—8
(2)27
⑶y=x2-16x+55
【知識點】y=a/+be+c的圖象與性質、待定系數法求二次函數解析式、二次函數圖象的平移
【分析】本題考查了二次函數的性質,待定系數法求二次函數的解析式,二次函數的最值,二次函數圖象與幾何
變換,正確的理解題意是解題的關鍵.
⑴把點A(—1,—5),B(l,—9)代入9=d+be+c,即可求得6、c的值;
(2)根據二次函數的性質即可求得;
(3)平移后新的二次函數的表達式為沙=O—l—ky—9,分三種情況討論:①當1+%<2,即0<k<1時,2
在對稱軸的右側,②當2<l+kV4,即1<k<3時,③當1+k>4,即k>3時,2<c<4在對稱軸
的左側,然后根據二次函數的性質求解即可.
【詳解】⑴解:將點4—1,—5),3(1,-9)代入,
得(―5=1—b+c,解得(6=-2,
寸I—9=l+b+c,[c=-8,
.'.b,c的值分別是一2,—8.
(2)解::二次函數的表達式為y=x2—2x—8=(a;—I)2—9,
/.二次函數圖象的對稱軸為直線c=l.
,/1>0,
/.二次函數圖象的開口向上,當立<1時,夕隨c的增大而減小.
*.*—5&x4-3,
:.當x=-5時,二次函數g=/+b/+。有最大值,最大值為y—(―5—I)2—9=36—9=27.
(3)解:平移后新的二次函數的表達式為y=(力一1—k)2—9,該二次函數圖象的對稱軸為直線/=1+k.
分三種情況討論:
①當l+k&2,即0Vk<l時,2W力44在對稱軸的右側,
/.二次函數在力=2取得最小值,
/.(2—1—fc)2—9=7,解得k=5或k=—3,不符合題意.
②當2VI+kV4,即IV%V3時,二次函數在N二l+k取得最小值,此時最小值為一9,不符合題意.
③當l+k>4,即k>3時,2&力&4在對稱軸的左側,
/.二次函數在1=4時取得最小值,
(4—1—A;)2—9=7,解得k=7或k=—1(舍去),
此時二次函數的表達式為y=(力一1—7)2—9=(rr—8)2—9,即9=婷-16a:+55.
綜上所述,平移后新的二次函數的表達式為y=x2—16x+55.
3.(2025?重慶?模擬預測)在平面直角坐標系中,拋物線y=ax2+bx~4:^x軸交于點A、B,與£軸交于點
。,點。是拋物線的頂點,OB=OC=2OA,連接BC.
⑴求拋物線的解析式.
(2)如圖,點P是直線下方拋物線上一點,點A、E關于沙軸對稱,線段跳;沿著射線平移.平移
后的線段記為MN,當△BCP面積最大時,求PM+MN+ND的最小值.
(3)在(2)的基礎上將拋物線夕=如?+辰—4沿射線AC方向平移2V5個單位長度得新拋物線y',在新
拋物線式上是否存在點Q,使AQPB=乙4co+45°?若存在,請直接出點Q的橫坐標,若不存在,請說
明理由.
【答案】(1)夕=—4
(2)最小值為+2
(3)存在,點Q的橫坐標為2-或20+yror.
【知識點】線段周長問題(二次函數綜合)、角度問題(二次函數綜合)、待定系數法求二次函數解析式、面積問
題(二次函數綜合)
【分析】(1)對于一^二次方程Q力2+反—4=0,根據二次函數和一元二次方程的關系,的=-2,/2=4.由根
與系數關系可得:力1+電=—~=2,力避2=—―=—8,得到a=4,b=—1,即可得到答案;
aa2
⑵設點P坐標為(館,4山2一小一4),從點p向2軸作垂線,及為垂足,PH交于點G.過點E作EF//
222
BC交y軸于點F.求出=——?7i+2?n—8=—~(?n—2)+10.得到SARCP=—(jn—2)+2020.當m
2時,點M坐標為(2,—2),△BCP面積最大.得到PN+7W+ND的最小值為+2;
(3)點Q有兩個位置Qi和,分別在第三象限和第四象限,分情況進行解答即可.
【詳解】(1)解:對于沙=。/+64—4,令力=0,g=—4.
/.OC=I-4|=4,05=0(7=4,OA=^-OB=2.
/.根據圖象可知:點A坐標為(一2,0),點口坐標為(4,0),點。坐標為(0,-4).
對于一^元二次方程a/+b/-4=0,根據二次函數和一^元二次方程的關系,為=—2,力2=4.
由根與系數關系可得:/1+冗2=——=2,XyX^———=—8
aa
:.a--^-,b=-1.
拋物線的解析式為y--^-x2—x—4:.
(2)設點P坐標為,從點P向2軸作垂線,H為垂足,PH交于點G.
過點E作EF〃B。交y軸于點F.
根據題意OB=4,03=。。,AOBC為等腰直角三角形.
故直線相當于直線夕=c向下平移了4個單位長度,根據平移性質直線BC的解析式為:沙=2—4.
???點G坐標為(?71,m—4).
,**S^QCP=S&GCP+S.GBP=fGP.OH+fGP.BH=%GP.OB,OB=4,
GP—VG-VP~g-4)—?n-4)=―-1-m2+2m—8
/.S^BCP=—(77i—2)2+20<20.
當m=2時,點M坐標為(2,—2),ABCP面積最大.
2
此時點H與點E重合,點河與點G重合,HP=EP=\yP\=,x2-2-4|=4=OC
當點M坐標為(2,—2)時,HF為和為ABOC的中位線,點F坐標為(0,—2),點N的軌跡在與射線BC平
行的射線EF上.
作點。關于直線EF對稱點C,根據△CFC為等腰直角三角形,可得點C坐標為(-2,-2).
/.CN=C'N.
-,-NM=CP=2,NM//CP,
:.四邊形CPAW在MW■平移時始終為平行四邊形,PTWuCN.
/.PM+MN+ND=C'N+MN+ND>CD+MN=CD+2.
對于夕=]d一2_4,,。=一+=1,如=9-1-4=--1-.
CD=J(—2—lJ+(—2+=雪.
.?.PAl+TW+ND的最小值為4|L+2.
故△BCF面積最大時,PAl+MN+ND的最小值為當L+2.
(3)根據題意。4=2,OC=4,則AC=-x/AO~+OC2=2濾,故拋物線"=—"一/一4沿射線人。方向平移
2V5個單位長度得新拋物線y'.相當于拋物線g先向右平移2個單位長度,再向下平移4個單位長度得到y'.
如圖,
KT22
根據平移性質可得式=(a;-2)—(竄一2)—4—4=-^-x—3x—4.
由(2)知BE=AO=2,PE=CO=4,AC=PB=V22+42=275.
AE=OB=4,OC=EP=4,則AF=BC=V42+42=472.
在4ACB和ABPA中,AC=BP,AB=BA,BC=AP,
:.AACB空/\BPA(SSS).
NAPB=/BCA=NACO+NBCO=AACO+45°.
/B4P=45°,49=2,
直線AP相當于直線y=-x向左平移了2個長度單位,
直線AP的解析式為y=—(a?+2)=—x—2.
如圖,點。有兩個位置Q和Q2,分別在第三象限和第四象限:
①點Q是AP和新拋物線”的交點,滿足NQFB=AAPB=NACO+45°.
結合直線4P和新拋物線式的解析式:,re?—3c—4——X—2.
解得c=2—2V2或2+2V2,
由于Q在第三象限,所以Qi的橫坐標為2-22.
②作出點A關于BP的對稱點,然后作,工軸,T為垂足,再連接PA'交拋物線右側于點Q2.
這樣根據軸對稱的性質,ZQ2PB=AQ.PB=AAPB=AACO+45°.
設A4交BP于點R.
?/SAABF=±AB-EP=^-BP-AR,
.?.AR=6x4+(2—)=^^.BR=AB2-BB?=,
oo
???cos/HAT=cos/BAR,即=羋,
AA'AB
把AT—AO+a;.,=2+x.,,AA'—2AR=,AB=6,AR=代入比例式解得:
55
_38
以,一5-
在Rt/\ATA'中,4T=〃/=VAfA2-AT2=譽.
O
.?.點4的坐標為(學,一卷).
設直線AP,的解析式為:V=ka;+b,代入點P和點A'的坐標得:
f—4=2fc+b[fc=-v
{-等=和+“解得“=v
直線AP的解析式為:9:一]7一平.
結合拋物線K可得:一臺一爭,解得-2°+嚴或2。一嚴.
由于點Q在第四象限,所以Q2的橫坐標為:2。+^^.
綜合①②可得,點Q的橫坐標為2—或20+yi^.
【點睛】此題考查了二次函數的圖象和性質、二次函數和一元二次方程的關系、全等三角形的判定和性質、解直
角三角形、勾股定理、函數的平移和對稱等知識,分情況討論是解題的關鍵.
4.(2025?海南?模擬預測)在平面直角坐標系中,拋物線y=ax2+bx+c(a¥0)與①軸交于A(—4,0),
8(1,0)兩點,與0軸交于點C(0,—2),連接AC,BC.
(1)求該拋物線的函數表達式;
(2)如圖1,點P是拋物線上位于直線4。下方一動點,過點P作9軸的平行線交直線AC于點D,點E
是y軸上的一個動點,連接BE,PE.當線段PD長度取得最大值時,求PE—BE的最大值,及此時點E
的坐標;
(3)如圖2,將拋物線y=a/+近+c(a¥0),先向右平移1個單位長度,再像上平移2個單位長度,得到
新拋物線伏,點N是新拋物線上一點,連接CN,當ZACN=ACBA-ACAB時,請求出點N的坐標.
【答案】⑴y"+年①―2
(2)PE—BE的最大值為32,此時點E的坐標為(0,—1)
(3)點N的坐標為(二巫,3—47)或(一5/所,3+47).
【知識點】相似三角形的判定與性質綜合、線段周長問題(二次函數綜合)、待定系數法求二次函數解析式、二次
函數圖象的平移
【分析】本題主要考查了二次函數綜合,相似三角形的性質與判定,一次函數與幾何綜合等等,正確作出輔助線
并利用分類討論的思想求解是解題的關鍵.
(1)拋物線y—ax2+bx+c(a7t0)與/軸交于A(—4,0),B(l,0)兩點,與夕軸交于點。(0,—2),待定系數法求
解析式,即可求解;
⑵先求得直線AC的解析式為y———2.設P(?TZ,0?7Z2+等Tn—2),則。(viz,―2),得出PD的關
系式,進而得出當點P,B,E三點在一條直線上時,PE—BE取得最大值為PB,延長PO,交①軸于點F,得
出△PBF,△QBE為等腰直角三角形,進而得出點E的坐標為(0,-1);
(3)根據平移得出新拋物線納的解析式,設直線C7V與2軸交于點Q,證明△AOC?△COB,/XQOC-
/\COA,根據相似三角形的性質得出Q的坐標,進而求得直線CN的解析式為y=-2x-2,聯立拋物線解析
式%=緊一1,即可求解.
【詳解】(1)解::拋物線y=ax2+bx+C(QWO)與/軸交于A(—4,0),B(l,0)兩點,與0軸交于點C(0,—2),
(16a—4b+c=0Q=2
<a+b+c=Ofe=-1-,
[c=-2
c=-2
該拋物線的函數表達式為g=+9力一2;
(2)設直線4。的解析式為y=kx+n,
.J—4fc+n=0.1-
2"1=—2'
???直線4。的解析式為?力一2.
+2^,貝ID^m,--2),
??,點P是拋物線上位于直線AC下方一動點,
PD—(―-2)—+2^)=--ym2—2m=--^-(m+2)2+2,
V-y<0,
當m=-2時,PD取得最大值為2,此時點P(-2,-3).
,,點、E是y軸上的一個動點,
:.PE-BE&PB,
???當點P,B,石三點在一條直線上時,PE一跳?取得最大值為PB,
延長P。,交力軸于點F,如圖,
則PF_L力軸,
:.PF=3,OF=2,
:.BF=OF+OB=3,
:.PB=YPF2+OF2=3V2,
?;PF_LBF,BF=PF=3,
???AFBF為等腰直角三角形,
??."BP=45°,
???跳;為等腰直角三角形,
:.OE=OB=\,
,?-E(0,-1).
?,?當線段PO長度取得最大值時,PE—BE的最大值為3V2,此時點E的坐標為(0,-1);
2
/oV.-12.391/,3\25
//ZvZ7O
???將拋物線沙二32+坂;+°(0彳0),先向右平移1個單位長度,再像上平移2個單位長度,得到新拋物線%的;
解析式為縱=4(力+得■—1)—等"+2=4/+4力-1.!
設直線CN與2軸交于點Q,如圖,:
……____—_4
vA(-4,0),B(l,0),C(0,-2),
:.OA=4,OC=2,OB=1,
.OAOC
,,京=市=2o,
???AAOC=ZCOB=9Q°,
:.AAOC-ACOB,
???4ACO=4CBO,
???4ACN=ACBA-ACAB,
:.AACN=/ACO-ACAB,
???4ACN=AACO-"CO,
:.4QCO=/CAB.
???ZQOC=ZCOA=90°,
???AQOC-ACOA,
.OQ=OC
,,OC-OA'
.OQ=2
??24,
OQ=1,
Q(—1,0).
設直線CN的解析式為g=d/+e,
.J—d+e=0.Jd=-2
/,le=-2,0―,
???直線CN的解析式為g=—2力一2.
.(y=-2x-2.CXi=-5+Vi7L2=-5-Vi7
2,
"\y=^x+j:x-l"1^=3-717,[紡=3+717.
.?.點N的坐標為(T^N,3—47)或(十巫,3+JF).
5.(2025?湖南衡陽?一模)拋物線Lry=-yrr2+bx+c^x軸交于A(—4,0),B(l,0)兩點,與y軸交于點
。,點P是拋物線心上的一動點,設點P的橫坐標為m(—4<小<0).
⑴求拋物線〃的表達式.
(2)如圖1,連接AP,并延長4P交y軸于點。,連接BP,交y軸于點E.點P在運動過程中,OO+
4OE的值是否為定值,若是,請求出定值;若不是,請說明理由.
⑶將該拋物線的向左平移4個單位,再向上平移2個單位,得到如圖2所示的拋物線L2剛好經過點P,
點及為拋物線L2對稱軸上一點.在平面內確定一點N,使以點A,P,河,N為頂點的四邊形是菱形.
【答案】(1%+2
(2)00+4OE的值為定值10,理由見詳解
(3)N點坐標為(一■1,2+呼),(一■1,2—
【知識點】待定系數法求二次函數解析式、特殊四邊形(二次函數綜合)、相似三角形的判定與性質綜合
【分析】本題主要考查了待定系數法求二次函數的表達式,相似三角形的判定和性質,拋物線和菱形的綜合等
知識點,解題的關鍵是熟練掌握待定系數法和菱形的判定和性質.
⑴利用待定系數法進行求解即可;
(2)過點P作PF_Lc軸于點F,得出△4PF?△ADO,ABOE?ABFP,利用相似三角形的對應邊成比例,列
出關于小的代數式,化簡代數式即可得出結論;
⑶根據菱形的判定和性質分類討論,根據題意畫出圖形,假設出點的坐標,根據對邊平行且相等列出方程,解
方程即可得出坐標.
【詳解】(1)解:將A(—4,0),B(l,0)兩點代入y=—++c得,
0=—8—4b+c
0=—j+6+c
b=
解得~l
c=2
拋物線J的表達式為y—―—+2;
⑵解:OD+4OE的值為定值10,理由如下,
_____________________________
圖1
如圖,過點P作PF_L/軸于點F,則AAPF?△ADO,i\BOE?ABFP,
.ODOAOE=PF
"PF-AF5OB-BF5
即OD=咒蘆,OE=^-
Dr
假設點P坐標為m,―——m+2),則點F坐標為(m,0),
1Q
/.FF=-ym2-ym+2,AF=m+4,OA=4,BF=l-m,OB=1,
—1-m2--|-m+2)—ym2--|-m+2
:.OD=,OE=
m+41—m
—1-m2--1-m
OO+4OE=
m+41—m
整理得,OD+4OE=-:。(館+4)(--1)=w
(m+4)(1—m)
???OD+4OE的值為定值10;
⑶解:平移后拋物線,的表達式為9=一寺3+4)2—曰0+4)+2+2,
整理得g=--^-x2—^x—10,
y=—^x2—^x—10
聯立<
y=--^2?—|■力+2
(力二一3
解得
〔沙=2'
???點P坐標為(-3,2),
根據勾股定理得,AP=V(-3+4)2+(2-0)2=V5
11
211
拋物線L2的對稱軸為直線2
①當以點p為圓心AP長為半徑畫圓時,此圓與直線劣=一]無交點,因為點P到直線2=—今的距離為
-3-
②當以點4為圓心4P長為半徑畫圓時,如下圖所示,
圖2
假設交點“坐標為(一號,可,
AM2=(-3+^-)2+(0-y)2=(V5)2
解得y=或y=-^y-,
即聞一?,吟),此(一墨—吟),
假設乂(電,仇),乂(02也),
?.?NiMi//PAN%=PA,N2M2//PA,N2M2=PA
Qi+*=-3+4,br—=2;a2+號=-3+4,b2+=2;
解得Qi=1-1-,4=2+;a2=1-,62—2—;
所以此時NK一■1,2+呼),M(—Q—吟);
③當AP為菱形的對角線時,作R4的垂直平分線,交對稱軸于點略,如下圖所示,
圖2
假■設峪(一?,。3),
.?.AT3P2=峪4
即(一3+?)+(2—%y=(―乎+4)+嵋,
解得加=2
??,2):
假設“5(&3力3),根據PM〃峪4,皿=峪4得,:
___________________________________.
劭+3=-4+—,2—劣=2,
解得口3=-1,&=0,
所以此時M(一日,0)
綜上可得N點坐標為(—告,2+平2—乎)或(-y,0).
【題型二】二次函數中的翻折綜合問題
6.(2025?湖南?二模)已知拋物線y=ax2-2ax-4(a>0).
(1)如圖1,將拋物線y=ax2-2ax-4在直線y=-4下方的圖象沿該直線翻折,其余部分保持不變,得
到一個新的函數圖象“W”.翻折后,拋物線頂點入的對應點A恰好在2軸上,求拋物線夕=a〃—2ac
—4的對稱軸及a的值;
(2)如圖2,拋物線y=a/—2arc—4(a>0)的圖象記為“G",與"軸交于點過點8的直線與⑴中的
圖象“W”(x>l)交于P,。兩點,與圖象“G”交于點D
①當a=”時,求有的值;
②當Q04時,請用合適的式子表示篇■(用含a的式子表示).
【答案】(1)拋物線的對稱軸為直線力=1;a=4
⑵①1;②
4+a
【知識點】相似三角形問題(二次函數綜合)、y=ax2+fcc+c的圖象與性質、全等三角形綜合問題、其他問題
(二次函數綜合)
【分析】本題考查二次函數,全等三角形的判定和性質,相似三角形的判定和性質,熟練掌握二次函數的圖象和
性質是解題的關鍵;
(1)根據題意,分別求出拋物線的對稱軸和點A的縱坐標,即可求解;
(2)①證明△CFW空/\DCN,即可求解;
②當a>0且aW4和a>4時,證明△CFQ?ADPT,進而根據相似三角形的性質,即可求解;
【詳解】(1)解:拋物線的對稱軸為直線:,=—,即為①=1.
2a
當/=1時
根據翻折可知點/的縱坐標為一8,即點4的坐標為(1,一8).
將點A的坐標代入拋物線表達式得:a—2a—4=—8,
解得:a=4,
即拋物線的對稱軸為直線力=1;a=4
⑵解::a=4,
4x2-8x-4(力40或%>2)
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