.二次函數(shù)直角三角形存在性問題

模型原理

1.“兩線一圓”

如圖，使△ABC為直角三角形的點C必在“兩線一圓”上,具體如下：所謂“兩線”，即分別過點A、B作線段

AB的垂線，對應(yīng)/A、ZB為直角的兩種情況；/

Z

Z

所謂“一圓”，即以AB為直徑的圓，對應(yīng)以NC為直角的一種情形；，二、

止匕“兩線一圓”上除不能構(gòu)成三角形的點外,皆為所求點c.'/

//1—

'-----7A

/

/

/

Z

Z

Z

【知識復(fù)習(xí)】

1.對已知線段AB和直線1,要在直線1上找點P、使4ABP為直角三角形，有以下方法：①幾何法(兩線一圓)

②代數(shù)法

設(shè)點P的坐標(biāo)為(m,n),利用兩點間的距離公式表示出AB、AP、BP的長度，然后根據(jù)勾股定理逆定理關(guān)于

斜邊的情況作分類討論.

注意事項：

對于直角三角形存在性問題，最右圖中的圓以線段AB為直徑、它與直線1的交點.P3、「4滿足gB="

P*=90。即此時點P3、P4是所求直角三角形的直角頂點；這里用到了圓周角定理的推論：直徑所對圓周角是直角

真題精煉

1如圖，二次函數(shù)y=12+.一4的圖象與X軸相交于點A(-2,0)、B,其頂點是C.

⑴。=_；

(2)D是第三象限拋物線上的一點，連接(D,tanAAOD=，將原拋物線向左平移，使得平移后的拋物線經(jīng)過點D

,過點(k,0)作X軸的垂線1.已知在1的左側(cè)，平移前后的兩條拋物線都下降，求k的取值范圍.

(3)將原拋物線平移，平移后的拋物線與原拋物線的對稱軸相交于點Q,且其頂點P落在原拋物線上，連接PC、

QC、PQ.已知△PCQ是直角三角形，求點P的坐標(biāo).

2在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線1：y=a(比+2)(a〉0)與x軸交于點A,與拋物線1E:y=a/交于

B,C兩點(B在C的左邊)

(1)求A點的坐標(biāo)；

⑵如圖1,若B點關(guān)于x軸的對稱點為B，點，當(dāng)以點A,B1,C為頂點的三角形是直角三角形時，求實數(shù)a的

值；

3.拋物線y=a/+_6與x軸交于A(t,0),B(8,0)兩點與y軸交于點C,直線y=kx—6經(jīng)過點B點P

4

在拋物線上，設(shè)點P的橫坐標(biāo)為m.

⑴求拋物線的表達式和t,k的值.

⑵如圖1,連接AC,AP,PC若△2PC是以CP為斜邊的直角三角形，求點P的坐標(biāo).

4.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=/一2久-3與x軸相交于點A、B(點A在點B的左側(cè)),與y軸相

交于點C,連接AC,BC.

(1)求線段AC的長；

(2)若點P為該拋物線對稱軸上的一個動點，當(dāng)PA=PC時，求點P的坐標(biāo)；

(3)若點M為該拋物線上的一個動點，當(dāng)△BCM為直角三角形時，求點M的坐標(biāo).

(2)如圖1,若點D是線段AC的中點，連接BD,在y軸上是否存在點E，使得ABDE是以BD為斜邊的直角

三角形?若存在，請求出點E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；

6如圖,在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+x+m(alneO)的圖象與x軸交于A、C兩點，與y

軸交于點B,其中點B坐標(biāo)為(0,-4),點C坐標(biāo)為(2,0)

(1)求此拋物線的函數(shù)解析式.(2)點D是直線AB下方拋物線上一個動點，連接AD、BD,探究是否存在點D,

使得△ABD的面積最大?若存在，請求出點D的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.(3)點P為該拋物線對稱軸上的動點，

使得△PAB為直角三角形，請求出點P的坐標(biāo).

7如圖1,拋物線y=ax2+2x+c經(jīng)過點力(一1，0)、＜7(0,3),,并交x軸于另一點B，點P(x,y)在第一象限

的拋物線上，AP交直線BC于點D.

⑴求該拋物線的函數(shù)表達式.

⑵當(dāng)點P的坐標(biāo)為(1,4)時.求四邊形BOCP的面積.

(3)點Q在拋物線上，當(dāng)答的值最大且△APQ△4PQ是直角三角形時，求點Q的橫坐標(biāo).

1如圖，二次函數(shù)y=1%2+bx-4的圖象與z軸相交于點A(-2,。)、B,其頂點是O.

(l)b=；

(2)D是第三象限拋物線上的一點，連接0D,tanN40。=|將原拋物線向左平移，使得平移后的拋物線經(jīng)過點D,

過點(k,0)作z軸的垂線1,已知在1的左側(cè)，平移前后的兩條拋物線都下降，求k的取值范圍.

(3)將原拋物線平移，平移后的拋物線與原拋物線的對稱軸相交于點Q,且其頂點P落在原拋物線上，連接PC、

QC、PQ.已知△PCQ是直角三角形，求點P的坐標(biāo).

【答案】(D-1

(2)k<-3

(3)P(3,-1或

【解析】⑴解：由題意得，

|x(-2)2-2b-4=0,

/.b=-l;

(2)???tan乙4。。=卓

???設(shè)D(2t,5t),

.—x(2t)2—2t—4=5t

h=-)2=4(舍去)，

.??D(-1,-9，

?.?y=|x2—%—4=|(X—l)2—I，

???新拋物線設(shè)為y=其％—血)2—春

,|=|x(m+1)2_2

???rn1=-3,m2=1(舍去)，

y=|(x+3)2-1,

在的左側(cè)，平移前后的兩條拋物線都下降.

■k<-3

⑶如圖作PVLCQ于V,

設(shè)P(t,|t2-t-4),

；?平移后的拋物線為y=|(x-t)2+gt2-t-4),

當(dāng)x=l時y=t2-2t-

Q(l，產(chǎn)一2一?

->0,

2

..ZCPQ=90°,

QV=(t2-2t-0-Qt2-t-4)=1t2-t+j,

CV=Qt2T-4)-(-？=|t2-t+|,

：.QV=CV,

??.PV=CV=QV,

1*,t]=3,%=Q=1(舍去)力2=-1,^3=1(舍去),

當(dāng)t=3時y=|x32-3-4=-1

當(dāng)t=-l時y=|x(-1)2-(-1)-4=-|

2.在平面直角坐標(biāo)系zOy中直線l:y=a(x+2)(a>0)與x軸交于點A,與拋物線B:y=ax?交于

B,C兩點(B在C的左邊).

⑴求A點的坐標(biāo)；

(2)如圖1,若B點關(guān)于x軸的對稱點為B，點，當(dāng)以點A,B1,C為頂點的三角形是直角三角形時，求實數(shù)a的

值；

【答案】(l)(-2-0)(2)a=V2

【解析】【分析】

⑴對于直線l:y=a(x+2),令y=0,求出x,即可求解;

(2)聯(lián)立先求出點B(-l,a),C(2,4a),可得點從而得到AB2,ACNB2,再根據(jù)勾股定理,即可求解；

【詳解】

(1)解嘆寸于直線l：y=a(x+2),當(dāng)y=0時,a=-2,，A點的坐標(biāo)為(-2,0);(2)

解：聯(lián)立得：｛:二工利解得：x=-l或x=2,；B在C的左邊，點

B(-l,a),C(2,4a),VB點關(guān)于x軸的對稱點為B點，.?.點B'(-l,-a),

AB2=(-2+l)2+a2=a2+9,CB'2=(2+I)2+(4a+a)2=25a2+9,AC2=(-2-2)2+(4a)2=16

a2+16,

a2+9<25a2+9,a2+9+25a2+9=26a2+18>16a2+16,AB'AC=90。,此時AB2+AC2=CB2.gp

(a2+9)+(16a2+16)=25a2+9,解得:a=應(yīng)(負值舍去)；

【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的綜合題，涉及了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，勾股定

理，利用數(shù)形結(jié)合思想解答是解題的關(guān)鍵.

3.拋物線y=a/+-6與z軸交于A(t,0),B(8,0)兩點與y軸交于點C,直線y=kx-6經(jīng)過點B.點P在拋物

線上，設(shè)點P的橫坐標(biāo)為m.

⑴求拋物線的表達式和t,k的值

⑵如圖1,連接AC,AP,PC,SAAPC是以CP為斜邊的直角三角形，求點P的坐標(biāo).

【答案】(l)y=+?x—6,t=3#=：

444

(2)P(10>-|)

【解析】⑴：B(8,0)在拋物線y=ax2+^x-6±,

4

.64aH—x8—6=0,

4

1

???a=

???拋物線解析式為y=—；/+?%—伉

44

當(dāng)y=0旗一:-6=0,

/44

?*.ti=3,t2=8(舍),

.t=3.

?B(8,0)在直線y=kx-6Jz,

8k-6=0,

j3

k=Z，

.一次函數(shù)解析式為y=^x-6

⑵如圖作PMLz軸于點M,

對于y=+_6,x=0,則y=-6,

?,?點C(0,-6),即OC=6,

VA(3,0),

AOA=3,

??點P的橫坐標(biāo)為m,

???P(mf—^m2+—6),

.?.PM=-mz-----m+6,AM=m-3

44

???4czp=90°,

??.Z.OAC+乙PAM=90°,

???Z.APM+/.PAM=90°,

:.ZOAC=ZAPM,

ZAOC=ZAMP=90°,

AACOA^AAMP,

.OA_OC

??MP-MA'

...OA-MA=OCMP,即3(m-3)=6Qm2-ym+6),

；.mi=3(舍卜叱=10,

.*.m=10,

府(io，-9

【標(biāo)注】【知識點】二次函數(shù)與相似三角形結(jié)合

4如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=/-2%-3與x軸相交于點A、B（點A在點B的左側(cè)），與y軸相

交于點C,連接AC,BC.

⑴求線段AC的長;

⑵若點P為該拋物線對稱軸上的一個動點，當(dāng)PA=PC時，求點P的坐標(biāo)；

(3)若點M為該拋物線上的一個動點，當(dāng)△BCM為直角三角形時，求點M的坐標(biāo).

【答案】(1)何

(2)(1,-1)

⑶(1,-4)或(一2,5)或(竽,—竽)聯(lián)等,—萼)

【解析】【分析】⑴根據(jù)解析式求出A,B,C的坐標(biāo)，然后用勾股定理求得AC的長；

(2)求出對稱軸為x=l,設(shè)P(1,t),用t表示出PA?和PC?的長度，列出等式求解即可；

⑶設(shè)點M(jn>m2-2m-3),分情況討論，當(dāng)(CM2+BC2=BM2,

BM2+BC2=CM2,BM2+CM2=BC?分別列出等式求解即可.

【解析】(l)y=/_2x-3與x軸交點：令y=0,解得%!=-l,x2=3,

即A(-1,O),B(3,O).

y=，-2x-33與y軸交點:令x=0,解得y=-3,

即C(0,-3),.\AO=1,CO=3,

AC=yjAO2+co2=VTo；

(2)拋物線y=/-2x-3的對稱軸為:z=l,設(shè)P(l,t),

PA2=(1+I)2+(t-0)2=4+t2,

PC2=(1-0)2+(t+3)2=1+(t+3)2,

X+t2=1+(t+3)2t——1,P(l<—1)

⑶設(shè)點—2m-3),

BM2=(m-3產(chǎn)+(m2—2m—3—0)2=(m-3)2+(m2—2m—3)2+(m2—2m—33)2,

CM2—(jn-0)2+(m2—2m—3+3)2=m2+(m2—2m)2,

BC2=(3-0)2+(0+3)2=18

①當(dāng)CM?,|_BC2=BM?時,m2+(m2-2m)2+18=(m-3)2+(m2—2m—3)2.

解得,uh=0(舍)g

②當(dāng)BM2+BC2—CM時,(m-3)2+(m2—2m—3)2+18=m2+(m2—2n)2,

解得,項=-2,m2=3(舍)，，M(-2,5);

③當(dāng)BM2+CM2=BC?時，(m—3)2+(m2—2m—3)2+m2+(m2—2m)2=18,

解得m=萼,M(竽，一萼)或(可^，—亨)；

綜上所述:滿足條件的M為(1,一4)或(-2,5)或(等,一竽)或

(1一何5-V5j

【點睛】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了與坐標(biāo)軸交點、線段求值、存在直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)

會分類討論的思想，屬于中考壓軸題.

【標(biāo)注】【知識點】二次函數(shù)與幾何綜合

5如圖，拋物線y=-1/+bz+c經(jīng)過點B(4,0)和點C(0,2),與x軸的另一個交點為A，連接AC

(1)求拋物線的解析式及點A的坐標(biāo)；

⑵如圖1,若點D是線段AC的中點，連接BD,在y軸上是否存在點E，使得△BDE是以BD為斜邊的直角

三角形?若存在，請求出點E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；

【答案】(l)y=-|x2+|x+2;2(—1，0)⑵存在E(0,3)或(0,-1)，使得△BDE;是以BD為斜邊的直角三角形；

【解析】【分析】

(1)利用待定系數(shù)法解答，即可求解；

2

(2)先根據(jù)中點坐標(biāo)公式可得點0(-|-1)設(shè)點E(0,m),再根據(jù)兩點坐標(biāo)公式可得DE=(-1-0丫+(1

—m)2=m2—2m+-,BD2=(4+-)+m2=m2+—,BE2=m2+16,,再由勾股定理，即可求解；

⑴解把點B(4,0)和點C(0,2)代入得：｛-卜16+46+c=0c=2,解得：出=|c=2,.?.拋物線的解析式為y

=-|x2+|久+2,。=0,貝!]=-|x2+|久+2,解得：

xr=-l,x2=4,「?點人(-1,0);

(2)解存在，理由如下:,?,點A(-l,0)點C(0,2),點D是線段AC的中點，，點,設(shè)點EQm),，DE2=

(一2—())+(1—m)2=m2—2m+1

BD2=(4+:)+m2=m2+^-,BE2=m2+16,,??△BDE是以BD為斜邊的直角三角形，二m2+16+m2—

2m+；=m2+?整理得m2-2m-3=0解得:m=3或-1,???點E的坐標(biāo)為(0,3)或(0,-1);

44

【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的綜合題，解直角三角形，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的

綜合題，直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想解答是解題的關(guān)鍵.

【標(biāo)注】【知識點】二次函數(shù)與幾何綜合

6如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+x+m{a豐0)的圖象與x軸交于A、C兩點，與y軸交于點

B,其中點B坐標(biāo)為(0,-4),點C坐標(biāo)為(2,0).

⑴求此拋物線的函數(shù)解析式.

(2)點D是直線AB下方拋物線上一個動點，連接AD、BD，探究是否存在點D，使得△ABD的面積最大?若存

在，請求出點D的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

(3)點P為該拋物線對稱軸上的動點，使得△PAB為直角三角形，請求出點P的坐標(biāo).

【答案】(l)y=|x2+x-4

(2)(-2,-4)

(3)P點坐標(biāo)為：(-1,3),,-2+V7),(-l.-2-V7

【解析】

(1)解將B(0,-4),C(2,0)代入y=az2+z+m,

彳曰.fm=-4

田,l4a+2+m=0

fma-4

解得V4'

...拋物線的函數(shù)解析式為y=|x2+x-4.

(2)向下平移直線AB，使平移后的直線與拋物線只有唯一公共點D時,此時點D到直線AB的距離最大，此時。

ABD的面積最大，

2

|x+x-4=0時,Xi=2,X2=-4,

A點坐標(biāo)為：(-4,0),

設(shè)直線AB關(guān)系式為:y=kz+b(k#0),

將A(-4.0),B(0,-4),代入y=kz+b(k#O),

f-4k+b=0

/"=-4'

俗:“仁武

解得

，直線AB關(guān)系式為:y=-x-4,

設(shè)直線AB平移后的關(guān)系式為:尸-z-4+n,

則方程-x-4+n=1%2+%-4有兩個相等的實數(shù)根，

即科久2+2久—n=有兩個相等的實數(shù)根，

：.=-2,

即1%2+2%+2=0的解為x=-2,

將x=-2代入拋物線解析式得y=1x(_27—2—4=—4,

.??點D的坐標(biāo)為：(-2,-4)時,△ABD的面積最大；

(3)①當(dāng)/PAB=90。時,

即PA_LAB廁設(shè)PA所在直線解析式為:y=x+z,

將A(-4,0)代入y=z+z得,-4+z=0,

解得:z=4,

???PA所在直線解析式為:y=x+4,

???拋物線對稱軸為：x=-l,

.當(dāng)x=-l時,y=-l+4=3,

；P點坐標(biāo)為：(-1,3);

②當(dāng)NPBA=90。時,

即PBLAB,則設(shè)PB所在直線解析式為:y=x+t,

將BQ-4)代入y=x+t得,t=-4,

???PA所在直線解析式為:y=x-4,

.?.當(dāng)x=-l時,y=-l-4=-5,

?.P點坐標(biāo)為：(-1,-5);

③當(dāng)/APB=90。時，設(shè)P點坐標(biāo)為:(-1,y,).

.tPA所在直線斜率為：凱B在直線斜率為：號,

VPAXPB,

次.2=一1

3-1'

解得：ypi=-2+V7,yp2=-2一V7,

；.P點坐標(biāo)為：(-1,-2+V7),(-l,-2-V7

綜上所述，P點坐標(biāo)為:(-1,3),(-1,-5),(-1,-2+77),(-1,2V7)時.

△PAB為直角三角形.

7如圖1,拋物線y=ax2+2x+c經(jīng)過點A(-1,O)、C(0,3),并交x軸于另一點B，點P(x,y)在第一象限的拋物

線上，AP交直線BC于點D.

⑴求該拋物線的函數(shù)表達式.

⑵當(dāng)點P的坐標(biāo)為(1,4)時.求四邊形BOCP的面積.

⑶點Q在拋物線上，當(dāng)哭的值最大且△APQ是直角三角形時，求點Q的橫坐標(biāo).

【答案】⑴y=-x2+2x+3.

3)-或-或笑1.

2

【解析】⑴：拋物線yy=ax+2x+c經(jīng)過點A(-1,O)XC(0,3).

???｛a—2+c=Oc=3｝解得｛a=-1c=3,

:?該拋物線的函數(shù)表達式為y=-x2+2x+3.

(2)如圖，連接OP,令y=-x2+2x+3=0,；.Xi=-l,X2=3,

vi

???B(