安徽省淮北、淮南市2025屆高三下學期第二次質量檢測數

學試題

一、單選題(本大題共8小題)

1,已知集合/={2,3,4},8={x|--4x+340},則/0（:理）=（）

A.⑶B.6}C.㈣D,0

2,若3（z+7）+4（z-7）=6+8i,則忖=（）

A.^2B.GC.2D.2^2

3.已知向量"=（L2），B=（2，x）3=（y,-2）,若苕〃以己,則好（）

A.1B.2C.3D.4

22

24C二+匕=1

4.若拋物線y=4x的焦點是橢圓m3的一個焦點，則橢圓C長軸的長為

（）

A.2B.2GC.4D.8

5,函數/@）="3+法2+5+”的圖像如圖所示，則（）

A.?<0B,b<0

C.。<。D.d<0

6.甲箱中有3個紅球和2個白球，乙箱中有2個紅球和3個白球，先從甲箱中隨機

取出一球放入乙箱，再從乙箱中隨機取出兩球，則取出的兩球顏色相同的概率為

()

7327U

A.15B.75C.25D.75

7.已知函數和8（'）的定義域均為RJ（*+2）為偶函數，g（*+2）+2為奇函數,

2

/（^）+g（x）=y+log6（x+2）-40,則“0"（）

A.4B.2C.0D.-2

m=cosA-cos（5-C）-cos2A,n=cosB-cos（C-N）-cos2B

8.在△4SC中，記則

（）

A.存在△/8C,使加>〃

B.存在△Z8C,使用<〃

1/15

_7

C.加的最小值為4

D.”的最大值為K

二、多選題（本大題共3小題）

9.某校100名學生學業水平測試數學成績的頻率分布直方圖如圖所示，已知所有學生

B.這組數據的平均數為73

C.這組數據的眾數為75

D.這組數據的中位數約為71.7

10.設數列｛"/的前“項和為S”，對任意正整數“有S"+2=4S,+3,下列命題正確的有

（）

A.若q=i,則53=7

B.｛“/一定不是等差數列

C.若?｝為等比數列，則公比為2

D.若q=1，&=2,則｛%｝為等比數列

11.甲乙兩名玩家輪流從裝有〃個小球的容器中取球，每次至少取一個，先取球者第

一次不能將球取完，之后雙方每次取球數不超過對手上一輪取球數的2倍，取得最

后一個球的玩家獲勝.若甲先取，乙有必勝的策略，則〃可以是（）

A.4B.5C.8D.13

三、填空題（本大題共3小題）

12.若實數加和〃的等差中項為1,則加的最小值為.

13.已知斗鳥是橢圓C的兩個焦點，過片的直線交C于48兩點，若=伍,

KFZ=BF"則橢圓c的離心率為.

14.如圖，圓錐P。有且僅有一條母線尸工在平面0內，圓錐的側面展開圖是面積為

32兀的半圓，則圓錐外接球的表面積為；若3是尸/中點，Cea,且點

°到直線8c的距離為屈，則8c與圓錐底面所成角的余弦值為.

2/15

四、解答題(本大題共5小題)

a,b,c,b=>/2asinC+—

15.A/BC的內角48,0的對邊分別為I4

⑴求A；

⑵若a=l,的面積為近，求ZUBC的周長.

ABCD,AD^SD=-AB=\

16.四棱錐S-4BCD中，平面2

DC=CB=瓜/BAD=ZBCD=0

⑴求生

(2)求證：AD±SB.

(3)求”與平面SBC所成角的正弦值.

f(x)=—x2-2x+a\nx

17.己知函數2

(1)若。=1,求函數/(X)在x=l處的切線方程；

(2)求證：當心0時，/(X)有且僅有一個零點.

22

E:---=pf-4x/s\AB

18.已知雙曲線?6經過點V'>'為其左，右頂點，且

尸/與總的斜率之積為4

(1)求雙曲線E的方程；

(2)點"為實軸上一點，直線PM交E于另一點Q,記。4PM的面積為幾的面

積為邑，若SfY,求。點坐標.

19.在組合數學、表示論和數學物理中，“夕一數”，是一種通過引入參數夕對經典

數學對象進行推廣的概念，由物理學家保羅?狄拉克首先使用，對量子力學的發展意

義重大.定義“1一數”：(嘰=1+”/+…+〃，其中，利用“4-數”

可以進一步定義兩個概念：“4-階乘"：("兒=乳(2)/3)「―(4，且(0兒=1,“

=?)!’，后

“一組合數"""6-

3/15

6

(1)計算'‘2和2的值;

kGN,HGN*,E+1Wn,

(2)證明:對任意

n+m+ln+i

左，加￡N,〃wN*,左+1?

左+1k+\Iwk

(3)證明:對任意qi=0q

4/15

參考答案

1.【答案】c

【詳解】對于不等式/-4X+3V0,解得14x43,即集合8={x|kxV3}.

所以48={X1X<1或x>3},集合/={2,3,4},可得"CQB）={"

故選C.

2.【答案】A

［詳解］設2=。+歷Q'eR）,則彳=。-歷,

所以z+z=2a,z—-z=2bi

由3?2〃+4?2Z?i=6Q+86i=6+8i,所以。=1,6=1,故z=l+i,

所以目=爐下=8，

故選A.

3.【答案】D

【詳解】由￡//,可得1x=2x2,解得x=4,則:=（2,4）,

由紅［可得2y+4x（-2）=0,解得>=4.

故選D

4.【答案】C

【詳解】在拋物線F=4x中，焦點坐標為（1,0）.因為拋物線的焦點（1，°）是橢圓

C:占+且=1

'm3的一個焦點，所以橢圓的焦點在x軸上，且c=l為橢圓的半焦距）

在橢圓中，/=3+1=4,又因為>0,所以。=2.

而在橢圓加3中，a~2=m,所以加=4.

橢圓的長軸長為2a=2x2=4.

故選C.

5.【答案】B

【詳解】觀察圖象知，函數“X）有3個零點，設3個零點為

Xy,X2,%3（演<X2<X3）

于是人>)="a_玉)(％_工2)*一退)，當x>%3時，/(x)>0

而此時(Xf)(Xf)(X-X3)>0,因此a>0,

又f(%)=3ax2+2bx+c

函數”X）有兩個極值點%,。2,且即/'（x）=°有兩個不等實根,

—=?,+6/>0,—=a,a>0

3a23a2,因此b<0,c〉0

5/15

所以a>0,b<0,c>0,6?>0

故選B.

6.【答案】B

【詳解】從甲箱中隨機取一個球，甲箱中有3個紅球和2個白球,

那么從甲箱中取出紅球的概率3+25.取出白球的概率3+25.

若從甲箱中取出一個紅球放入乙箱，則乙箱中有3個紅球和3個白球.

2”=15

Q=

從6個球中取出2個球的組合數為62x1種.

C2=3x2=3

從3個紅球中取出2個紅球的組合數為32x1種；從3個白球中取出2個白球

的組合數為亡=3種.

所以在從甲箱取出紅球的條件下，從乙箱取出兩球顏色相同的概率

_C；+C；_3+3_2

^=_cr="ir=?

若從甲箱中取出一個白球放入乙箱，則乙箱中有2個紅球和4個白球.

從6個球中取出2個球的組合數為或=15種.

從2個紅球中取出2個紅球的組合數為砥=1種；從4個白球中取出2個白球的組合

4x3,

-----=6

數為2x1種.

所以在從甲箱取出白球的條件下，從乙箱取出兩球顏色相同的概率

?+C；=l+6=7

4晨1515

由全概率公式可得，取出的兩球顏色相同的概率為:

3227181432

P=F[XI}+P2XP4=—X1X——=------1----------=

55515757575

故選B.

7.【答案】A

【詳解】因為/(”+2)為偶函數,故/(x+2)=/(-x+2)；

所以"x)的圖象關于x=2對稱,因此八°)=/(4),

因為g(x+2)+2為奇函數,故g(r+2)+2=-[g(x+2)+2],

整理得g(-x+2)=-g(x+2)-4,

42

當x=4時，/(4)+g(4)=3+log6(4+2)-40=41+108.18,

當x=0時，/(O)+g(0)=3°+log62-40=log62-39；

由/(0)=/(4)得，/(4)+g(0)=log62-39,

當x=2時，由g(r+2)=_g(x+2)-4得g(0)=-g(4)-4,

所以"4)_g⑷-4=log62-39；即〃4)-g(4)=log62-35,

6/15

因為〃4）+g（4）=41+bg618

所以解得"4）=4,所以"°）=/（4）=4

故選A.

8.【答案】D

［詳解］由題意可得，機=8543（8/）-儂2/=?）5/［儂（8-（?）-3刃

=cos4［cos（8-C）+cos（8+C）］=2cosAcosBcosC

n=cosB?cos（C-A）-cos25=cosB［cos（C-A）-cosB］

=cosB|^cos（C—cos（C+4）］=2cosBcosCcosA

則加=幾，故AB錯誤；

若8=。貝加=2cosBcosCcosA=-2cos2Bcos2B=-cos2B（cos25+1）

因。＜/=兀-28＜兀，則。＜8＜2,則0＜28＜兀，得cos28e（-1,1）,

m=-COS25（COS25+1）G［-2,—

則I4」，故c錯誤；

m=cosA-cos（B-C）-cos2/l即cos2^-cos（5-C）-COST4+=0

則方程/一cos（8_C）x+%=0在（fl）上存在根，，

則A=COS2（8_C）_4MN0,即%W；COS2（5_C）W；,

等號成立時cos（8-C）=±l,

因8,Ce（0,7t）,貝|j兀），則s=C,

此時cos2/_cos（8_C）cos^+〃?=0變力c°s"_cos/+a=0

,1兀

cosA=—A=—

得2,則3,

A=B=C=—J_

故當3時，機=〃取最大值％,故D正確.

故選D.

9.【答案】ABD

【詳解】對于A,由頻率分布圖可知:（20+0.02+0.03+0.04）x10=1,解得a=o.o（）5,

故A正確；

對于B,由頻率分布圖可知：55x0.05+65x0.4+75x0.3+85x0.2+95x0.05=73,故B

正確；

對于C,由頻率分布圖可知眾數為65,故C錯誤；

對于D,設這組數據的中位數約為%,因為0.05+0.4=0.45<0.5,

0.05+0.4+0.3=0,75>0.5

7/15

所以中位數X在區間［7°砌內，貝（J70）x0.03=0.5-0.05-0.4,解得.71.7,故D

正確；

故選ABD.

10.【答案】ABD

【詳解】對于A,%=1，當〃=1時，，3=4&+3=4%+3=7,故A正確;

對于B,假設也｝是等差數列，設公差為d,

n(n-l)/、(?+1)(?+2)^

Sn=nax+--—d,Sn+2=(〃+2)4+

則22

("+1地+2)4〃(〃一1)

由S.+2=4S.+3得(〃+2)%+d-4na,H-------------d+3

212

d+d+aJ〃+(2%+4)=d+(4%—2d)〃+3

即

d-

—=2d

2

3

,d+4=4%-2d

24+d=3

根據多項式相等可得,方程組無解,

所以｛"/一定不是等差數列，故B正確；

對于C,若％｝為等比數列，由S"+2=4S"+3,S"+3=4S,+|+3兩式相減得%=4%

即％/=4%九由a產0得d=4,解得q=±2,故c錯誤；

對~丁一口若^%=1,。2—2jjjyS［=%=1*S*2=4］+。2=1+2=3

當〃=1時，$3=451+3=7,所以的=邑-邑=7-3=4,

當〃22時，￡+2=45.+3,5用=4S”i+3,

^!±1=4

兩式相減可得%+2=4%,即%,

所以數列｛“"｝的奇數項是以4=1為首項，4為公比的等比數列，

"=2幺=2

偶數項是以2首項4為公比的等比數列，又4'%,

所以數列｛4｝為等比數列，故D正確.

故選ABD.

11.【答案】BCD

［詳解］設低｝是斐波那契數列：4=1，4=1￡M=￡+￡T（〃=12…），

現證明以下結論成立：若〃=Fk（kf則后取者乙有必勝策略.

當”=8=2時，甲只能取1個球，故乙必勝；當”=招=3時，若甲取1個球，乙可

直接取2個球后獲勝；若甲取2個球，乙可直接取1個球后獲勝，故乙必勝.故

"二鳥，片結論成立.

8/15

設"=打”一1和〃='（〃此3）時結論成立，那么"=耳角時，若甲取的球數r>Fm_l）則乘|J

下的球數為凡川一TF"，+i一凡…=工，=琉_1+<2F『I,故乙只要將剩下的

個球全部取走而獲勝；

若甲取的球數'.〈Ei,注意到百角=熊+匕1,故不失一般性可以假設一開始耳向個

球分成兩堆，其中一堆4個球，另一堆有4a個球，而甲從有巴一個球的一堆中取

走了r個球，于是由歸納假設，乙有策略保證自己取到有片一個球的那堆中的最后

一個球，而剩下有工，個球的那一堆，并由歸納假設知乙可使自己最后一次取球的個數

不大于￡一，這時無論甲取多少根火柴（至多為2/-2<工,一2+工1=月”不可能將

4個球取完），由歸納假設知乙有必勝策略，保證自己取到最后一個球，且乙最后一

個所取球的個數4外7<工，故若〃=瓦（"2）,則后取者乙有必勝策略.

選項中5,8,13e優｝,4任優｝,故當〃為5,8,13時，乙有必勝的策略.

故選BCD.

12.【答案】2

【詳解】若實數加和〃的等差中項為1,則加+"=2,

m2+n2>2mn,即2（笳+/4（加+”了，

2

（加+幾）22

m92+n92>^----L=—=?

即22當且僅當加=〃=1取等號.

故川+〃2的最小值為2.

13.【答案】2

【詳解】由題可知我也=8尸一J由橢圓的定義知：圈+忸閶=2°,

M周+H工|=2々

所以囪1=2""又因為/8=盟，

所以因同明|+|即|=/+2”2c,

\AF^=2a-\AF^所以+2a-2c=2a-\AFx\

解得：M1=c,H用=2"C,

所以在△臺周為中，由余弦定理可得：

cosB_1『+四2-內父_（2"2c）2+4c「4/=匕

2忸用?8閭2（2a-2c）-2c2c

在△，臺工中，由余弦定理可得：

22

…忸/『+愿2TgM2（2a-c）+4c-（2a-cfc

3、"2忸/卜叫一2（2a-c）-2c~2a-c

a-c_c

2

所以2c2a-c9可得：/+3。。-2。2=o,gpe+3e-2=0f

9/15

-3±V9+8-3±V17

所以”22,因為ee（°』）,

14.【答案】34

【詳解】設圓錐的母線長尸/=加，底面半徑OA=r,

因為圓錐的側面展開圖是面積為32兀的半圓，

2a「=4

—?2jirm=32兀___^3兀]

所以2m,解得〔相=8,

所以RtAOAP中，PO=dm2-r。="64-16=4#)

設圓錐外接圓的圓心為G,半徑為R,

由圓錐外接圓的性質可知，點G在線段尸°上,

在RdWG中，AG2^OA2+OG2,即R2=/+(4G㈤，解得"一忑,

4兀R2=受兀

故圓錐外接球的表面積為3.

在平面口內過點戶作直線///8C,取N8中點〃，連接加，

貝I]OMVPA,且=2A/3,

因為頂點為尸的圓錐有且僅有一條母線加在平面。內，

所以平面平面尸

又平面&n平面尸么。=川，。河(=平面4。，

所以0Ml平面C，

因為BCu平面a,所以。M12C,

過加作2c垂線，分別交8C,/于點N和。，

連接ON,0Q,即MN±BC,

又OMC\MN=M0MMNu平面0MN,

所以平面0MN,

又。Nu平面。MV,所以0NL3C,即。到8c的距離為0N,

22

ET/7TAdN=yJON-OM=J13-（2V3j=1

所以0N=J13,所以\VJ,

MNMB\

因為〃/2C,所以"QMP3,所以MQ=3,

10/15

在RMOMQ中，O0="O/+皿/=/石j+3」=庖,

在RLO0尸中，PQ=J。產-。。，=稱"-函=36

sin6=cos/OP0=^=吧=3

設5c與圓錐底面所成角為6,則OP4V34；

cos6=71-sin20=————

則4，即與圓錐底面所成角的余弦值為4.

A=-

15.【答案】(1)4

(2)2+2友

b=\/2asin\C+—|siriS=V2siib4sin|C+—

【詳解】(1)由I*得I4

..(AC?彳―

N、V2sinC+—J=sinC+cosC

因為siiw=sin+CJ=SIIMCOSC+cos^sinC,I4

所以siiL4cosC+cosZsinC=siM(sinC+cosC)

gpcos/sin。=sin4sinC,

所以taiU=l,

A=-

所以T

(2)因為三角形的面積為6,

—bcsmA=V2

所以2,所以從=4,

由余弦定理知a2=b2+c2-2bccosA,即/+°2=1+4后,

所以(b+c)2=b2+c2+2bc=9+45/2=(1+2V2)2

故Z?+c=1+2V2,

所以三角形的周長為a+b+c=2+2C.

e=-

16.【答案】(1)3

(2)證明見解析

2而

(3)13

11/15

【詳解】(1)分別在△/比>和△C8D中使用余弦定理得：

BD1=AD-+AB2-2AD-AB-cos0=CD2+CB2-2CD-CB-cos0

即1+4-4cos0=3+3-6cos0,

cos^=—3=—

得2,所以3.

71

AB=2,AD=1,NBAD=—

(2)因為3,

-rr1

BD2=AD2+AS2-2AD-ABcos-=l+4-2xlx2x-=3

由余弦定理可得：32

71

…/-NADB=—

所以=從而2,所以ADL4D.

又SD_L平面42CD,4Du平面/BCD,所以SD_L/D,

又SDCBD=D,S￡>,8OU平面S3。，所以40平面SB。,

因為S8u平面SAD,所以ADLS2.

(3)方法一：設三棱錐S-/8C的體積為匕和△S8C的面積分列為豆，$2,

TTTTTT

ZABD=-,ZDBC=-NABC=—,

點A到平面SBC的距離為〃，因為63,所以2

S.=—x2xVJ=VJ,

2因為平面45CD,AD,Z)Cu平面ABCD,

所以SD1DC,所以S8=SC=2

S,=-xV3=—,^=-5].?=—

2433

所以

1V39,V3,4V13

V=—S-h=—---------n=—n=-------

且3234,由343得13

h_2726

所以“與平面SBC所成角的正弦值為SA13.

方法二：因為5。,平面/88，/°上①)，以。為坐標原點,

分別以民DS為x軸，了軸，，軸建立空間直角坐標系,

不浮,。

S(0,0,1),/(l,0,0),8@,6,o)

則

SASBBCI,亨。

設平面SBC的法向量為萬=GJ，z),則

y/3y-z=0

，36八

〔22■,令x=-l,貝”=J3,z=3,

所以可取“二s),

設”與平面S5C所成角為的a,

12/15

42A/26

sincr41°s氮亢卜1

SA-\n\2613

所以

2726

所以“與平面SBC所成角的正弦值為13

（2）證明見解析

/X21

、f(x)=--2x+lnx,/r(x)=x-2+—

【詳解】（1）若。=1，

__3

所以/‘）一°'"）一5,函數/（X）在》=1處的切線方程為.'-2.

2

Za\\、=ax-2x+a

/（X）的定義域為(0,+8),f(xjx—2.—=---------

(2)

當q二0時""一22XJG）有且僅有一個零點小

當。上1時，/'（x）N0,函數/CO遞增,由/0）e，/（4）=Hn4>0,知/⑺存在唯一零

點/41,4）；

當0<4<]時，令/（*）=0得再=1—J1-凡>2=1+J1-。,0<X]<1<%,

當xe（O,xJ時/"）>0,函數/（x）遞增:

當》€（占/2）時/'（x）<0,函數/（x）遞減；

當工?“2，+8）時/'3>0,函數/（x）遞增：

當xe（O，U時，2-,所以/卜）<°,函數/（X）無零點;

因為當》€（1戶2）時/0）遞減，當天€&,+8）時“X）遞增，

且"七）<"1）〈。,“4）=加4〉。，所以/（x）存在唯一零點x0e（l,4）,

綜上所述，當時，IC）有且僅有一個零點.

—~y2=l

18.【答案】、⑴4'

U-4

⑵7

13/15

,,1V3V331

左?k,=——------------------=----------=——

【詳解】（1）由P"PB