專題03一次函數(shù)與反比例函數(shù)綜合及與幾何綜合問(wèn)題

目錄

熱點(diǎn)題型歸納.........................................................................................1

題型01圖象關(guān)聯(lián)問(wèn)題.................................................................................1

題型02圖象交點(diǎn)問(wèn)題.................................................................................4

題型03k的幾何意義及其應(yīng)用..........................................................................7

題型04面積問(wèn)題.....................................................................................11

題型05大小范圍問(wèn)題................................................................................15

題型06線段和差最值問(wèn)題............................................................................18

題型07存在性問(wèn)題..................................................................................22

中考練場(chǎng)............................................................................................25

題型01圖象關(guān)聯(lián)問(wèn)題

01題型綜述____________________________________

一次函數(shù)與反比例函數(shù)中的綜合問(wèn)題的圖象關(guān)聯(lián)問(wèn)題（在同一坐標(biāo)系下共存問(wèn)題）是初中數(shù)學(xué)函數(shù)板塊里，融合兩類

函數(shù)圖象知識(shí)，考察學(xué)生綜合分析能力的重要內(nèi)容。在初中數(shù)學(xué)考試中，此類題型分值占比約為5%-8%?

考查重點(diǎn)：考查如何依據(jù)一次函數(shù)與反比例函數(shù)在同一坐標(biāo)系中的圖象特征，分析二者的性質(zhì)、交點(diǎn)意義以及函數(shù)

間的內(nèi)在聯(lián)系。

高頻題型：常見高頻題型有根據(jù)給定圖象確定兩個(gè)函數(shù)解析式、通過(guò)圖象判斷不同函數(shù)值大小關(guān)系、利用圖象求解

含參不等式的解集等。

高頻考點(diǎn)：主要考點(diǎn)包含由圖象交點(diǎn)坐標(biāo)確定函數(shù)表達(dá)式中的參數(shù)，結(jié)合圖象走勢(shì)分析函數(shù)增減性及取值范圍，依

據(jù)圖象判斷不等式成立的條件。

能力要求：要求學(xué)生具備出色的數(shù)形結(jié)合思維，能夠精準(zhǔn)解讀圖象信息，轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)關(guān)系，還需有較強(qiáng)的邏輯推理

和運(yùn)算能力，以應(yīng)對(duì)復(fù)雜圖象情境下的分析。

易錯(cuò)點(diǎn)：易錯(cuò)點(diǎn)在于對(duì)一次函數(shù)與反比例函數(shù)圖象性質(zhì)的記憶混淆，在通過(guò)圖象求解析式參數(shù)、確定函數(shù)值范圍或

不等式解集時(shí)出現(xiàn)計(jì)算偏差，以及對(duì)圖象所反映實(shí)際問(wèn)題的理解有誤。

02解題攻略

【提分秘籍】

一、審題抓關(guān)鍵

二、活用圖象性質(zhì)

1.一次函數(shù)：左＜0時(shí)圖象上升，y隨x增大而增大；左＜0時(shí)圖象下降，y隨％增大而減小。b決定與y軸交點(diǎn)

位置，據(jù)此判斷圖象走向，輔助分析與反比例函數(shù)關(guān)系。

2.反比例函數(shù)：左＜o(jì)圖象在一、三象限，y隨x增大而減小；左＜o(jì)圖象在二、四象限，y隨工增大而增大。利用

性質(zhì)確定其圖象位置和變化趨勢(shì)。

三、關(guān)注交點(diǎn)

【典例分析】

k

例1.（2023?湖北襄陽(yáng)?中考真題）在同一平面直角坐標(biāo)系中,一次函數(shù)丁二丘+左與反比例函數(shù)＞=—的圖象可能是（）

X

Ah-B\Kc.3

寸一

4

例2.（2024.江蘇鎮(zhèn)江.中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，過(guò)點(diǎn)A（犯。）且垂直于x軸的直線/與反比例函數(shù)丁=-一

x

的圖像交于點(diǎn)8,將直線/繞點(diǎn)3逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45。，所得的直線經(jīng)過(guò)第一、二、四象限，則加的取值范圍是（）

A.相＜-2或機(jī)＞2B,-2<m<2且W0

C.—2vntv0或機(jī)>2D.機(jī)<一2或0<m<2

M1

例3.（2024.四川自貢.中考真題）一次函數(shù)y=%-2〃+4,二次函數(shù)y=/2+（〃一1）工一3,反比例函數(shù)y=-----在同一

x

直角坐標(biāo)系中圖象如圖所示，則〃的取值范圍是（）

A.n>—1B.n>2C.—1<n<lD.l<n<2

【變式演練】

1.（2024?湖南婁底?模擬預(yù)測(cè)）在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)>與y=-k（x-2）（人為常數(shù)，k豐0）的大致圖象可能是

D.

k

2.（2024?湖南婁底?三模）已知反比例函數(shù)y=t（ZwO）和一次函數(shù)y=%+匕的圖像如圖所示，則函數(shù)丁=區(qū)-人的圖像

可能是（)

3.Z?w0）在同一坐標(biāo)系中的圖象可能是（）

X

4.（2024.安徽淮北二模）如圖，關(guān)于x的二次函數(shù)y=（》-〃）（工-9（.,6是常數(shù)且”6）的圖象如圖，則雙曲線y=一

和直線在同一坐標(biāo)系中大致是（）

題型02圖象交點(diǎn)問(wèn)題

01題型綜述

一次函數(shù)與反比例函數(shù)中的綜合問(wèn)題的圖象交點(diǎn)問(wèn)題，是初中數(shù)學(xué)函數(shù)知識(shí)體系里，綜合考查代數(shù)運(yùn)算與幾何直觀的

關(guān)鍵內(nèi)容，在初中數(shù)學(xué)考試?yán)铮种嫡急燃s為5%-10%o

考查重點(diǎn)：考查學(xué)生能否利用函數(shù)解析式聯(lián)立方程，求解交點(diǎn)坐標(biāo)，并依據(jù)交點(diǎn)分析函數(shù)性質(zhì)及變量關(guān)系。

高頻題型：常見的高頻題型有根據(jù)交點(diǎn)坐標(biāo)求函數(shù)表達(dá)式中的參數(shù)值，通過(guò)圖象交點(diǎn)判斷不等式解集，以及基于交

點(diǎn)探究函數(shù)的變化趨勢(shì)。

高頻考點(diǎn)：主要考點(diǎn)包括聯(lián)立一次函數(shù)與反比例函數(shù)解析式解方程組，利用交點(diǎn)坐標(biāo)確定函數(shù)系數(shù)，結(jié)合圖象解讀

交點(diǎn)在不同情境下的意義。

能力要求：要求學(xué)生具備較強(qiáng)的方程求解能力、數(shù)形結(jié)合思維，能夠?qū)D象信息轉(zhuǎn)化為代數(shù)關(guān)系，還需有良好的邏

輯推理能力來(lái)分析交點(diǎn)相關(guān)問(wèn)題。

易錯(cuò)點(diǎn)：易錯(cuò)點(diǎn)在于聯(lián)立方程求解時(shí)計(jì)算出錯(cuò)，對(duì)交點(diǎn)坐標(biāo)與函數(shù)性質(zhì)的關(guān)聯(lián)理解不清，以及忽略函數(shù)自變量的取

值范圍對(duì)交點(diǎn)的影響。

02解題攻略

【提分秘籍】

一、精準(zhǔn)求解方程

y=k1x+b

聯(lián)立一次函數(shù)與反比例函數(shù)解析式，形成方程組后，仔細(xì)運(yùn)算。比如解h，代入消元時(shí)注意正負(fù)號(hào)，計(jì)算每

丁一

Ix

一步都要檢查，確保準(zhǔn)確得出交點(diǎn)坐標(biāo)，這是得分基礎(chǔ)。

二、巧用圖象助力

通過(guò)圖象觀察交點(diǎn)位置，結(jié)合函數(shù)性質(zhì)分析。如交點(diǎn)在一象限，一次函數(shù)上升，可判斷反比例函數(shù)左值正負(fù)，從而快

速解決基于交點(diǎn)探究函數(shù)變化趨勢(shì)等題目，提升解題速度與準(zhǔn)確率。

【典例分析】

例L（2024.安徽.中考真題）已知反比例函數(shù)>億W0）與一次函數(shù)丁=2-九的圖象的一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3,則上

的值為（）

A.-3B.-1C.1D.3

2

例2.（2024?四川瀘州?中考真題）已知關(guān)于x的一元二次方程f+2%+1—左=0無(wú)實(shí)數(shù)根，則函數(shù)>=依與函數(shù)》=—的

x

圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）

A.0B.1C.2D.3

9/、

例3.（2024?青海?中考真題）如圖,在同一直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=和反比例函數(shù)>的圖象相交于點(diǎn)4（1,%）,

⑴求點(diǎn)4點(diǎn)2的坐標(biāo)及一次函數(shù)的解析式；

9

（2）根據(jù)圖象，直接寫出不等式f+匕〉'的解集.

【變式演練】

2

1.（2024.浙江?模擬預(yù)測(cè)）一次函數(shù)>=丘+。的圖像與反比例函數(shù)y=—（1>0）的圖像交于點(diǎn)A,與丁軸負(fù)半軸相交于

x

點(diǎn)5,則下列判斷正確的是（）

A.k+b>QB.k+b<0C.k—b>QD.k—b<0

2.（2024?廣東深圳?一模）一次函數(shù)>=丘+6的圖象與反比例函數(shù)>=?的圖象交于A（a,2）,B（2,-l）,則不等式

"的解集是（）

X

A.一IvxvO或x>2B.九<一1或%>1

C.九v—2或。<x<2D.%<-1或0<%<2

3.（2024?遼寧營(yíng)口?一模）如圖，一次函數(shù)、=依+6與反比例函數(shù)y的圖像交于點(diǎn)4（1,2）,依+62：的

解集是（）

A.xv-2或0<x<lB.x<-2^c0<x<l

C.一2VxvO或x>lD.-2<X<0^A:>1

k

4.（2024?浙江嘉興?三模）已知反比例函數(shù)y=—的圖象與一次函數(shù)y=2x+l的圖象交于點(diǎn)A（2辦外）,5（-加,乃）,則

x

下列各式的值最大的是（）

A.-2B.3乃c,D.言

題型03k的幾何意義及其應(yīng)用

01題型綜述________________________________________

一次函數(shù)與反比例函數(shù)中的綜合問(wèn)題的上的幾何意義及其應(yīng)用，是初中數(shù)學(xué)函數(shù)知識(shí)體系中兼具深度與綜合性的內(nèi)容，

著重考查學(xué)生對(duì)函數(shù)代數(shù)表達(dá)與幾何直觀的融合理解。在中考數(shù)學(xué)里，這類問(wèn)題的分值占比約為5%-10%,因地區(qū)和

試卷結(jié)構(gòu)而有所不同。

1.考查重點(diǎn)：重點(diǎn)考查學(xué)生能否理解并運(yùn)用反比例函數(shù)左的幾何意義，結(jié)合一次函數(shù)性質(zhì)，解決與圖形面積、點(diǎn)坐標(biāo)

及幾何圖形特征相關(guān)的問(wèn)題。

2.高頻題型：常以解答題形式出現(xiàn)，給出一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式，結(jié)合圖形（如三角形、四邊形等），利用

人的幾何意義，求圖形面積、點(diǎn)坐標(biāo)或判斷幾何圖形的存在性。

3.高頻考點(diǎn)：反比例函數(shù)人的幾何意義（即圖象上一點(diǎn)與坐標(biāo)軸圍成矩形或三角形面積與4的關(guān)系）、一次函數(shù)與反

比例函數(shù)圖象交點(diǎn)坐標(biāo)求解、幾何圖形面積公式的運(yùn)用。

4.能力要求：要求學(xué)生具備較強(qiáng)的數(shù)形結(jié)合能力，能將函數(shù)中的代數(shù)信息轉(zhuǎn)化為幾何圖形信息，同時(shí)擁有良好的邏輯

推理和計(jì)算能力，以應(yīng)對(duì)復(fù)雜的綜合問(wèn)題。

5.易錯(cuò)點(diǎn)：容易忽視上的正負(fù)對(duì)圖形位置及面積計(jì)算的影響，在復(fù)雜圖形中，難以準(zhǔn)確識(shí)別與人相關(guān)的幾何圖形，導(dǎo)

致計(jì)算錯(cuò)誤或無(wú)法正確應(yīng)用k的幾何意義解題。

02解題攻略

【提分秘籍】

深挖k的幾何意義

k

1.用面積關(guān)系：對(duì)于反比例函數(shù)y=—（左。0）,過(guò)圖象上點(diǎn)P（羽y）作x軸垂線2,與原點(diǎn)構(gòu)成一尸Q4,其面積

x

Spxfw，因—，所以s1.已知圖形面積，可據(jù)此求"再依象限定通

2.做等積變換：復(fù)雜圖形中，利用同一反比例函數(shù)圖象上不同點(diǎn)與坐標(biāo)軸圍成圖形等積性質(zhì)，將與左相關(guān)圖形轉(zhuǎn)化為易

求面積的圖形。如已知一個(gè)矩形部分邊長(zhǎng)，可求另一相關(guān)圖形邊長(zhǎng)或面積。

【典例分析】

例1.（2023?遼寧阜新中考真題）正比例函數(shù)，=彳的圖象與反比例函數(shù)y=?的圖象相交于兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作ACLx

X

軸，垂足為點(diǎn)C,連接2C,則VABC的面積是.

k

例2.（2024.黑龍江齊齊哈爾?中考真題）如圖，反比例函數(shù)＞=—（x＜0）的圖象經(jīng)過(guò)平行四邊形ABCO的頂點(diǎn)A,OC

x

在X軸上，若點(diǎn)3（-1，3），SABCO=3,則實(shí)數(shù)％的值為

23

例3.（2023?湖南湘西?中考真題）如圖，點(diǎn)A在函數(shù)y=—（無(wú)＞0）的圖象上，點(diǎn)8在函數(shù)y=—（x＞0）的圖象上，且AB〃x

xx

軸，軸于點(diǎn)C,則四邊形A3C。的面積為（）

左k

例4.（2024?江蘇宿遷?中考真題）如圖,點(diǎn)A在雙曲線'=臺(tái)＞。）上‘連接4。并延長(zhǎng)，交雙曲線%于點(diǎn)

8,點(diǎn)C為X軸上一點(diǎn)，且AO=AC,連接BC,若VABC的面積是6,則人的值為（）

A.2B.3C.4D.5

【變式演練】

1.（2024?黑龍江牡丹江?模擬預(yù)測(cè)）如圖，平行四邊形的頂點(diǎn)8在x軸上，點(diǎn)A在＞=：化＜0）上，且Afilx軸，對(duì)

角線的延長(zhǎng)線交y軸于點(diǎn)E,若5皿=3,則％=（）

C.-8D.-9

2.（2024?安徽合肥?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A,8在反比例函數(shù)y=?無(wú)＞0）的圖象上，過(guò)點(diǎn)A作AC，y

軸于點(diǎn)C,過(guò)點(diǎn)2作3D，x軸于點(diǎn)。，AC=BD,若0C=3,VAOB的面積為4,則k的值為（）

C-1D.4

k

3.（2024?安徽?模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，在矩形Q4BC中，點(diǎn)尸在對(duì)角線03上，且滿足3P=2OP,反比例函數(shù)y=—（左wO）

x

△PSD的面積為4,則上的值為.

k

4.（2024.山東聊城.二模）如圖，點(diǎn)A,3在雙曲線y=—第一象限的分支上，若A,B的縱坐標(biāo)分別是4和2,連接

x

OA,OB,△Q4B的面積是6,則上的值是（）

k

5.（2024?湖南.模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A是反比例函數(shù)y=；（人中0）圖象上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作ABLy

軸于點(diǎn)8，點(diǎn)C是＞軸負(fù)半軸上一點(diǎn)，連接AC交x軸于點(diǎn)。，若OD是VABC的中位線，VABC的面積為12,貝|Z的

97

6.（2024?湖北?模擬預(yù)測(cè)）如圖，點(diǎn)A在雙曲線＞==上，點(diǎn)3在雙曲線丫=—上，且AS〃'軸，則VABC的面積等于

xx

4

7.（2024?福建福州?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，反比例函數(shù)＞=—（尤＞0）的圖象分別與等腰RtAC?的直

尤

角邊48和斜邊08交于點(diǎn)C,。，點(diǎn)A在x軸正半軸上，連接AD,CD,若AD1.O3,則△BCD的面積為

k

8.（2024?安徽?三模）如圖，直線y=-x+4與x軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)8,與反比例函數(shù)＞=—（彳＞0）的圖象交于

尤

C,。兩點(diǎn)，點(diǎn)M為線段48的中點(diǎn)，MN〃x軸交反比例函數(shù)圖像于點(diǎn)MP為x軸上任一點(diǎn)，^5AWP=1,則左的

值為.

題型04面積問(wèn)題

01題型綜述

一次函數(shù)與反比例函數(shù)中的綜合問(wèn)題的面積問(wèn)題，是初中數(shù)學(xué)函數(shù)板塊的重要內(nèi)容，常作為綜合性題目出現(xiàn)。在各地

中考中，這類問(wèn)題分值占比約5%-10%,具體因試卷整體結(jié)構(gòu)而異。

1.考查重點(diǎn)：重點(diǎn)考查如何通過(guò)函數(shù)解析式確定函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而結(jié)合圖形性質(zhì)求相關(guān)圖形面積。

2.高頻題型:多以解答題形式呈現(xiàn)，給定一次函數(shù)與反比例函數(shù)解析式，求由它們圖象交點(diǎn)及坐標(biāo)軸圍成圖形的面積。

3.高頻考點(diǎn)：一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)求解，以及三角形、四邊形等常見圖形面積公式在函數(shù)圖象背景下的

運(yùn)用。

4.能力要求：需具備將函數(shù)知識(shí)與幾何圖形知識(shí)相互轉(zhuǎn)化的能力，以及較強(qiáng)的計(jì)算和邏輯推理能力。

5.易錯(cuò)點(diǎn)：容易忽略函數(shù)圖象所在象限，導(dǎo)致點(diǎn)的坐標(biāo)取值錯(cuò)誤，進(jìn)而在計(jì)算面積時(shí)出錯(cuò)；同時(shí)在復(fù)雜圖形中分割或

組合圖形求面積時(shí)易出現(xiàn)遺漏或重復(fù)計(jì)算。

02解題攻略

【提分秘籍】

合理轉(zhuǎn)化面積

1.直接利用公式：若所求圖形為規(guī)則三角形，且底與高易由交點(diǎn)坐標(biāo)或坐標(biāo)軸截距得出，直接用三角形面積公式

丸為底，h為高）。

2.分割法：復(fù)雜圖形可分割為幾個(gè)規(guī)則圖形，分別求面積再求和。例如，對(duì)于不規(guī)則四邊形，可連接對(duì)角線分割成兩個(gè)

三角形。

3.補(bǔ)全法：把所求圖形補(bǔ)成規(guī)則圖形，用補(bǔ)全后圖形面積減去補(bǔ)上部分圖形面積。如求函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸圍成的凹多邊

形面積，可補(bǔ)成矩形。

【典例分析】

例L（2024?甘肅蘭州?中考真題）如圖，反比例函數(shù)y=*>0）與一次函數(shù)y=+1的圖象交于點(diǎn)A（2,3）,點(diǎn)B是反

比例函數(shù)圖象上一點(diǎn)，軸于點(diǎn)C,交一次函數(shù)的圖象于點(diǎn)。，連接

k

⑴求反比例函數(shù)y=—與一次函數(shù)y=7依+1的表達(dá)式；

X

（2）當(dāng)OC=4時(shí)，求的面積.

Q

例2.（2024?山東泰安?中考真題）直線乂=履+6（笈W0）與反比例函數(shù)%=-：的圖象相交于點(diǎn)4（-2,加），

與y軸交于點(diǎn)C.

（1）求直線外的表達(dá)式；

（2）若M>%，請(qǐng)直接寫出滿足條件的x的取值范圍;

（3）過(guò)C點(diǎn)作x軸的平行線交反比例函數(shù)的圖象于點(diǎn)O,求，ACD的面積.

例3.（2024?山東濰坊?中考真題）如圖，正比例函數(shù)y=的圖象與反比例函數(shù)y=±的圖象的一個(gè)交點(diǎn)是

3x

.點(diǎn)昨"〃旅直線片-迫彳上，過(guò)點(diǎn)p作y軸的平行線，交y」的圖象于點(diǎn)Q.

3%

⑴求這個(gè)反比例函數(shù)的表達(dá)式;

（2）求△OPQ的面積.

例4.（2024?四川廣元?中考真題）如圖，已知反比例函數(shù)％=5和一次函數(shù)%="吠+〃的圖象相交于點(diǎn)A（-3,a）,

兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，連接OA,OB.

⑵當(dāng)%%時(shí)，請(qǐng)結(jié)合圖象直接寫出自變量x的取值范圍;

（3）求VAOB的面積.

【變式演練】

k/、

1.（2024?甘肅蘭州.二模）如圖，反比例函數(shù)y=；（x＞。）與一次函數(shù)y=2尤+機(jī)的圖象交于點(diǎn)A（l,6）,軸于點(diǎn)

分別交反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖象于點(diǎn)8，C.連接A3,AD.

x

（2）當(dāng)。。=1時(shí)，求VABC的面積.

2.（2024?四川樂(lè)山?一模）如圖，直線j丫=%與雙曲線〉=：相交于點(diǎn)4（。,2）,將直線乙向上平移3個(gè)單位得到4,

交y軸于。點(diǎn)，連接A3.

x

（2）求四邊形。。43的面積.

3.（2024.黑龍江大慶.一模）如圖，直線y=2x+4與y軸交于點(diǎn)A,與尤軸交于點(diǎn)E,點(diǎn)3（。,6）在直線上，ABCD的

k

頂點(diǎn)。在X軸上，反比例函數(shù)>=勺（％>0）的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)B,C.

X

⑵直接寫出不等式2x+4<-的解集；

X

⑶求ABCD的面積.

4.(2024?貴州黔東南?一模)如圖，平行四邊形Q4BC中，S四邊形0ABe=8,8(0,4),它的邊OC在x軸的負(fù)半軸上，對(duì)

z-

角線OB在y軸的正半軸上.反比例函數(shù)y=*的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)A.

⑴求反比例函數(shù)的表達(dá)式；

(2)過(guò)點(diǎn)A的直線與反比例函數(shù)在第三象限的圖像相交于點(diǎn)。，連接50,直接寫出△海面積的取值范圍.

題型05大小范圍問(wèn)題

01題型綜述

一次函數(shù)與反比例函數(shù)中的綜合問(wèn)題的函數(shù)值大小范圍比較問(wèn)題，屬于初中數(shù)學(xué)函數(shù)知識(shí)體系中綜合性較強(qiáng)的

部分，常出現(xiàn)在函數(shù)章節(jié)的考查以及中考數(shù)學(xué)中。其分值占比約為3%-8%,在不同地區(qū)和不同試卷結(jié)構(gòu)下有所

波動(dòng)。

1.考查重點(diǎn)：考查如何依據(jù)一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象及性質(zhì)，判斷在不同自變量取值范圍內(nèi)，兩個(gè)函數(shù)值

的大小關(guān)系。

2.高頻題型：偶常在解答題中考查。

3.高頻考點(diǎn)：一次函數(shù)和反比例函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)，以及通過(guò)圖象分析函數(shù)值變化趨勢(shì)。

4.能力要求：學(xué)生需具備較強(qiáng)的數(shù)形結(jié)合能力，能將函數(shù)的代數(shù)表達(dá)式與直觀圖象相互轉(zhuǎn)化，同時(shí)要有分析和

歸納不同函數(shù)性質(zhì)的能力。

5.易錯(cuò)點(diǎn)：容易忽略函數(shù)圖象所在象限對(duì)函數(shù)值正負(fù)的影響，在考慮函數(shù)值大小比較時(shí)，沒有全面涵蓋所有可

能的自變量取值范圍，導(dǎo)致漏解。

02解題攻略

【提分秘籍】

分類討論自變量范圍

1按象限分類：因?yàn)榉幢壤瘮?shù)在不同象限內(nèi)函數(shù)值正負(fù)不同，一次函數(shù)也受象限影響，所以要分象限討論。比如當(dāng)

左＞0時(shí)，反比例函數(shù)在一、三象限，分別在這兩個(gè)象限內(nèi)與一次函數(shù)比較函數(shù)值大小；同時(shí)考慮一次函數(shù)在不同象限

的增減性和函數(shù)值正負(fù)情況。

2.按交點(diǎn)位置分類：若兩個(gè)函數(shù)圖象有多個(gè)交點(diǎn)，以交點(diǎn)橫坐標(biāo)為界，分區(qū)間討論函數(shù)值大小。如交點(diǎn)橫坐標(biāo)為

＜%)，則分工＜七,苞＜]＜々,%＞苫2三個(gè)區(qū)間進(jìn)行分析。

檢驗(yàn)結(jié)果完整性

1.檢查取值范圍：在得出函數(shù)值大小范圍結(jié)論后，重新審視是否涵蓋了所有可能的自變量取值情況，尤其注意函數(shù)圖象

在坐標(biāo)軸上的取值范圍，避免遺漏特殊點(diǎn)或區(qū)間。

2.代入特殊值：選取幾個(gè)處于不同范圍的特殊自變量值，代入兩個(gè)函數(shù)計(jì)算函數(shù)值，檢驗(yàn)所得大小關(guān)系結(jié)論是否正確，

確保解題準(zhǔn)確性。

【典例分析】

例1.(2024?廣東?模擬預(yù)測(cè))如圖，已知反比例函數(shù)％=與的圖象與正比例函數(shù)%=*。)的圖象相交于點(diǎn)A(2,2)和

點(diǎn)、B.

(1)寫出點(diǎn)8的坐標(biāo)，并求鼠a的值;

(2)根據(jù)圖象，比較％和%的大小.

16

例2.（2024.湖北十堰二模）如圖，一次函數(shù)乂=《x+b（6是常數(shù)）與反比例函數(shù)為=—（左是常數(shù)且上>0）相交于A（6,l）,

2x

B兩點(diǎn).

⑴求左與b的值；

（2）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；

⑶當(dāng)％<當(dāng)時(shí)，直接寫出x的取值范圍.

【變式演練】

1.（2024?浙江臺(tái)州?模擬預(yù)測(cè)）設(shè)函數(shù)％,函數(shù)%=丘+2（左片0）,且都經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1,山）.

（1）求出機(jī)的值及力的函數(shù)表達(dá)式；

⑵點(diǎn)（。,乂）在函數(shù)為上，（。,%）在函數(shù)X上，若%<%，求°的取值范圍.

2.（2024?貴州黔東南?一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)>=履+匕的圖象分別與x軸，y軸交于點(diǎn)4（-2,0）,

IP1

B,與反比例函數(shù)y=—的圖象交于點(diǎn)C（l,3）,D.

x

（I）求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式；

（2）過(guò)點(diǎn)尸（”,o）作平行于y軸的直線/與一次函數(shù)>="+人和反比例函數(shù)了=竺的圖象分別交于點(diǎn)E（w,%）,F（n,y2）,當(dāng)

X

當(dāng)時(shí)，直接寫出〃的取值范圍.

3

3.（2024?浙江杭州?模擬預(yù)測(cè)）如圖，一次函數(shù)必=辰+2（左W0）的圖象與反比例函數(shù)％=二的圖象交于A、8兩點(diǎn)，

x

已知點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為3.

⑴求一次函數(shù)的表達(dá)式和B點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）已知點(diǎn)C（小〃z）在一次函數(shù)M=自+2上，點(diǎn)￡＞（9,加）在反比例函數(shù)%=、上，若X＜工2，觀察圖象，直接寫出機(jī)的

取值范圍.

4.（2024?浙江杭州?三模）如圖，已知一次函數(shù)y=匕尤+》"產(chǎn)。就,6為常數(shù)）的圖象與反比例函數(shù)y=&（（匕w0,幺

X

為常數(shù)）的圖象交于點(diǎn)42,1）,點(diǎn)8（-1,〃），且與X軸交于點(diǎn)C.

（1）求一次函數(shù)表達(dá)式和點(diǎn)C的坐標(biāo).

（2）已知點(diǎn)D（a,%）,點(diǎn)E（a,%）分別是一次函數(shù)和反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)，若%＞%，請(qǐng)直接寫出a的取值范圍.

題型06線段和差最值問(wèn)題

01題型綜述________________________________________

一次函數(shù)與反比例函數(shù)中的綜合問(wèn)題的線段和差最值問(wèn)題，是初中數(shù)學(xué)函數(shù)與幾何知識(shí)融合的重要內(nèi)容，通常作為考

查學(xué)生綜合運(yùn)用能力的題型出現(xiàn)。在中考數(shù)學(xué)中，這類問(wèn)題的分值占比約為5%-10%,因地區(qū)和試卷整體結(jié)構(gòu)而有所

不同。

1.考查重點(diǎn):重點(diǎn)考查如何通過(guò)函數(shù)解析式確定點(diǎn)的坐標(biāo)，再結(jié)合幾何圖形性質(zhì)，利用相關(guān)定理求解線段和差的最值。

2.高頻題型：多以解答題形式呈現(xiàn)，給出一次函數(shù)與反比例函數(shù)的表達(dá)式，在函數(shù)圖象上設(shè)置動(dòng)點(diǎn)，求特定線段和或

差的最值。

3.高頻考點(diǎn)：函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)確定、軸對(duì)稱性質(zhì)（常利用其求線段和最小值）、兩點(diǎn)之間線段最短等幾何定理的

運(yùn)用。

4.能力要求：需要學(xué)生具備將函數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題的能力，能靈活運(yùn)用幾何知識(shí)進(jìn)行推理和計(jì)算，同時(shí)要有較強(qiáng)

的空間想象能力。

5.易錯(cuò)點(diǎn)：容易忽略動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)范圍，導(dǎo)致最值求解錯(cuò)誤；在利用軸對(duì)稱等方法構(gòu)造圖形時(shí)，不能準(zhǔn)確找到對(duì)應(yīng)的點(diǎn)

和線段關(guān)系。

02解題攻略

【提分秘籍】

一、精準(zhǔn)定位動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)

二、構(gòu)建線段長(zhǎng)度表達(dá)式

1.利用軸對(duì)稱性質(zhì)：對(duì)于求線段和最小值問(wèn)題，常利用軸對(duì)稱將折線轉(zhuǎn)化為直線段。找到其中一個(gè)定點(diǎn)關(guān)于動(dòng)點(diǎn)所在直

線（通常是一次函數(shù)圖象所在直線）的對(duì)稱點(diǎn)，根據(jù)軸對(duì)稱性質(zhì)，對(duì)稱點(diǎn)與另一定點(diǎn)的連線長(zhǎng)度即為線段和的最小值。

例如，在直線/上找一點(diǎn)尸，使/%+PB最小，可作點(diǎn)兒關(guān)于直線/的對(duì)稱點(diǎn)A，則a4+P3=B4'+P3，當(dāng)A'PB

三點(diǎn)共線時(shí)，PA'+P3最小，即等于AZ的長(zhǎng)度。

2.運(yùn)用兩點(diǎn)之間線段最短”垂線段最短”定理：當(dāng)問(wèn)題涉及線段差最大值時(shí)，可通過(guò)構(gòu)造三角形，利用三角形兩邊之差小

于第三邊的性質(zhì)求解。將所求線段差轉(zhuǎn)化為三角形的兩邊之差，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取得最大值。對(duì)于求某點(diǎn)到直線距離最

短（即垂線段最短）的情況，可通過(guò)求過(guò)該點(diǎn)與已知直線垂直的直線方程，再聯(lián)立求解垂足坐標(biāo)，進(jìn)而得到最短距離。

【典例分析】

例1.（2024?四川巴中?中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=x+2與反比例函數(shù)y=與4/0）的圖象交于A、B

X

兩點(diǎn)，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為1.

（1）求人的值及點(diǎn)5的坐標(biāo).

（2）點(diǎn)。是線段A3上一點(diǎn)，點(diǎn)M在直線05上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)工.0=；/ABO時(shí)，求尸M的最小值.

例2.（2024?四川雅安?中考真題）如圖,在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖象/與反比例函數(shù)y=5的圖象交于加［；,4

N（”,l）兩點(diǎn).

（1）求反比例函數(shù)及一次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）求二的的面積；

⑶若點(diǎn)P是y軸上一動(dòng)點(diǎn)，連接尸加，PN.當(dāng)PM+PN的值最小時(shí)，求點(diǎn)尸的坐標(biāo).

例3.（2024?湖南衡陽(yáng).二模）如圖，反比例函數(shù)y=?的圖象與一次函數(shù)，=辰+匕的圖象交于A（2,5）,3（小1）兩點(diǎn),

⑴求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的關(guān)系式.

⑵根據(jù)圖象直接寫出不等式依+6-3>0時(shí)，尤的取值范圍;

X

⑶若動(dòng)點(diǎn)尸在X軸上，求巳4+尸3的最小值.

【變式演練】

1.（2024?湖北恩施.二模）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，已知4（-2,1）、8（區(qū)-2）兩點(diǎn)是一次函數(shù)產(chǎn)丘+，和反比

例函數(shù)y=~圖像的兩個(gè)交點(diǎn)，直線A8與x軸交于點(diǎn)C.

⑴求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式；

⑵觀察圖像，直接寫出不等式近+6-'>0的解集；

X

（3）在y軸上取一點(diǎn)尸，使24-尸。的值最大，并求出PA-PC的最大值及點(diǎn)尸的坐標(biāo).

2.（2024?河南商丘?模擬預(yù)測(cè)）如圖，一次函數(shù)y=x+3的圖象與反比例函數(shù)>=勺x<0）的圖象交于

（I）求A,8兩點(diǎn)的坐標(biāo)和反比例函數(shù)的表達(dá)式.

（2）在x軸上找一點(diǎn)P,使上4+PB的值最小，求滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo).

3.（2024?四川樂(lè)山?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)％=辦+萬(wàn)的圖象與反比例函數(shù)內(nèi)二勺的圖象交

X

于點(diǎn)4（1,2）和8（—2,㈤.

⑴求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達(dá)式；

(2)請(qǐng)直接寫出％<%時(shí)，x的取值范圍；

⑶在x軸上存在一點(diǎn)P使得|依-有最大值，求出點(diǎn)尸的坐標(biāo).

4.(2024?四川瀘州.模擬預(yù)測(cè))如圖所示，一次函數(shù)_y=M+〃(7"0)的圖象與反比例函數(shù)y相交于點(diǎn)4(-3,a)

和點(diǎn)過(guò)A點(diǎn)作x軸的垂線，△AOC的面積為6.

(1)求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式；

⑵結(jié)合圖象直接寫出祖x+&W0的解集；

⑶在X軸上取點(diǎn)P,使|尸3-巴4|取得最大值時(shí)，求出點(diǎn)P的坐標(biāo).

題型07存在性問(wèn)題

01題型綜述

一次函數(shù)與反比例函數(shù)中的綜合問(wèn)題的存在性問(wèn)題，屬于初中數(shù)學(xué)函數(shù)知識(shí)領(lǐng)域中具有較高綜合性與探究性的內(nèi)容，

旨在考查學(xué)生對(duì)函數(shù)性質(zhì)及各類幾何圖形特征的綜合運(yùn)用能力。在中考數(shù)學(xué)里，這類問(wèn)題的分值占比大致處于5%-

10%,具體數(shù)值會(huì)因地區(qū)差異和試卷整體結(jié)構(gòu)而有所不同。

1.考查重點(diǎn)：重點(diǎn)考查學(xué)生能否依據(jù)一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式及圖象特征，結(jié)合幾何圖形性質(zhì)，探究滿足特定

條件的點(diǎn)或圖形是否存在。

2.高頻題型：主要以解答題形式呈現(xiàn)，給定一次函數(shù)與反比例函數(shù)的相關(guān)信息，設(shè)定諸如等腰三角形、直角三角形、

平行四邊形等幾何圖形存在的條件，要求學(xué)生判斷是否存在符合條件的情況并求解。

3.高頻考點(diǎn)：函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)確定、函數(shù)的性質(zhì)（如增減性性、對(duì)稱性）、各類幾何圖形（三角形、四邊形等）

的判定條件與性質(zhì)。

4.能力要求：需要學(xué)生具備較強(qiáng)的邏輯推理能力、數(shù)形結(jié)合能力以及分類討論思想，能夠?qū)⒑瘮?shù)與幾何知識(shí)進(jìn)行靈活

轉(zhuǎn)化與運(yùn)用。

5.易錯(cuò)點(diǎn)：容易在分類討論時(shí)出現(xiàn)遺漏情況，例如在探究三角形存在性時(shí)，忽略不同邊作為等腰三角形腰或直角三角

形斜邊的多種可能性；在計(jì)算過(guò)程中，由于涉及函數(shù)與幾何的綜合運(yùn)算，易出現(xiàn)計(jì)算錯(cuò)誤。

02解題攻略

【提分秘籍】

一、剖析題目條件

二、分類討論

依幾何圖形特征：等腰三角形按三邊兩兩相等分三種情況；直角三角形以三個(gè)角分別為直角分類；平行四邊形根

據(jù)頂點(diǎn)順序（邊或?qū)蔷€）分類，按相應(yīng)性質(zhì)求解。

結(jié)合函數(shù)圖象位置：考慮動(dòng)點(diǎn)在一次函數(shù)、反比例函數(shù)不同象限圖象上的情況，因其坐標(biāo)范圍與計(jì)算方式有別，

要分別討論。

三、借助幾何性質(zhì)求解

【典例分析】

例1.（2024?貴州畢節(jié)?三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正比例函數(shù)＞的圖象與反比例函數(shù)y=左H0,無(wú)＞0）的

圖象在第一象限內(nèi)相交于點(diǎn)A,將正比例函數(shù)的圖象向下平移3個(gè)單位長(zhǎng)度后，與反比例函數(shù)的圖象在第一象限內(nèi)相

交于點(diǎn)5（4,加），連接A3.

⑴求反比例函數(shù)的表達(dá)式.

⑵在X軸上是否存在點(diǎn)P,使得一AB尸的周長(zhǎng)最小？若存在，求出點(diǎn)尸的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

（2024?四川成都?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)>=-6芯+6的圖象與反比例函數(shù)y=—的圖

⑴求反比例函數(shù)的表達(dá)式及點(diǎn)B的坐標(biāo)；

⑵點(diǎn)E為無(wú)軸正半軸上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作x軸的垂線，交反比例函數(shù)圖象于點(diǎn)尸，交一次函數(shù)圖象于點(diǎn)G.當(dāng)E、F、G

三點(diǎn)恰好滿足其中一點(diǎn)為另外兩點(diǎn)連線的中點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；

（3）在該反比例函數(shù)圖象上是否存在點(diǎn)P,使NPLB=NACO,若存在，求出點(diǎn)尸的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【變式演練】

k

1.（2024?山東聊城?模擬預(yù)測(cè)）如圖，直線y=2x+2與x軸交于點(diǎn)A,與反比例函數(shù)y=嚏（尤>0）交于點(diǎn)3,過(guò)點(diǎn)B作

BCLx軸于點(diǎn)C,Q4=OC,點(diǎn)。（《1）在反比例函數(shù)的圖象上.

⑴連接AO,求AD的長(zhǎng)；

（2）在x軸上是否存在點(diǎn)P,使依+PD的值最小？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)尸的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

2.（2024?寧夏固原?模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知反比例函數(shù)y=4的圖象與一次函數(shù)y=&x+6的圖象交于4B兩點(diǎn),且

A（6,3）,

（2）求一次函數(shù)的表達(dá)式；

（3）在直線AB上是否存在一點(diǎn)P（P不與點(diǎn)B重合），使△APO與VAOB的面積相等？若存在，求出尸點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存

在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

03。中考練場(chǎng)________________________________________

1.（2024?山東威海?中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線%=依+。（。工0）與雙曲線力=勺心0）交于點(diǎn)A（T機(jī)）,

5（2,-1）.則滿足％4%的x的取值范圍____.

k

2.(2024.四川內(nèi)江?中考真題)如圖，一次函數(shù)'=分+人的圖象與反比例函數(shù)y—的圖象相交于A、B兩點(diǎn),其中點(diǎn)

X

A的坐標(biāo)為(-2,3),點(diǎn)8的坐標(biāo)為(3,〃)

⑴求這兩個(gè)函數(shù)的表達(dá)式；

k

⑵根據(jù)圖象，直接寫出關(guān)于X的不等式"+6<—的解集

上的圖象相交于人(辦4),B兩點(diǎn),

3.(2024?山東淄博?中考真題)如圖，一次函數(shù)丫=左/+2的圖象與反比例函數(shù)y

(1)分別求這兩個(gè)函數(shù)的表達(dá)式；

(2)以點(diǎn)。為圓心，線段03的長(zhǎng)為半徑作弧與x軸正半軸相交于點(diǎn)連接AE,BE.求一A5E的面積;

(3)根據(jù)函數(shù)的圖象直接寫出關(guān)于x的不等式匕x+2>與的解集.

4.（2024?西藏沖考真題）如圖，一次函數(shù)丁=米+。小70）的圖象與反比例函數(shù)＞=?"0）的圖象相交于A（-3,l）,

3（-L"）兩點(diǎn).

⑴求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式；

⑵請(qǐng)直接寫出滿足日+6＞色的x取值范圍.

X

5.（2024?四川涼山?中考真題）如圖，正比例函數(shù)與反比例函數(shù)＞2=?》＞0）的圖象交于點(diǎn)A（利2）.

（1）求反比例函數(shù)的解析式；

1V

（2）把直線乂向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度與%=＞（無(wú)＞0）的圖象交于點(diǎn)B,連接4氏。8,求VA03的面積.

2x

vyi

6.（2024.江蘇常州?中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)＞=丘+人的圖像與反比例函數(shù)＞=—的圖

x

像相交于點(diǎn)A（-l,〃）、5（2,1）.

（1）求一次函數(shù)、反比例函數(shù)的表達(dá)式;

（2）連接。4、OB,求△OAB的面積.

7.（2024?甘肅.中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將函數(shù)＞=依的圖象向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，得到一次函數(shù)

y=ox+6的圖象，與反比例函數(shù)y=：（尤＞0）的圖象交于點(diǎn)4（2,4）.過(guò)點(diǎn)3（0,2）作無(wú)軸的平行線分別交y=?+萬(wàn)與

＞=幺（尤＞0）的圖象于C,。兩點(diǎn).

X

⑴求一次函數(shù)和反比例函數(shù)y=上的表達(dá)式；

X

（2）連接AD,求ACD的面積.

8.（2024.四川?中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系宜刀中，己知4（2,3）,3（列-2）兩點(diǎn)在反比例函數(shù)y=f的圖象上.

（2）連接20,并延長(zhǎng)交反比例函數(shù)＞=勺的圖象于點(diǎn)C.若一次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)A,C兩點(diǎn)，求這個(gè)一次函數(shù)的解析式.

X

9.（2024?四川廣安?中考真題）如圖，一次函數(shù)了=分+6（a,6為常數(shù)，的圖象與反比例函數(shù)＞=七（左為常

X

8(〃,-2)兩點(diǎn).

⑴求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式.

（2）直線與龍軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)尸（根,0）是x軸上的點(diǎn)，若R4c的面積大于12,請(qǐng)直接寫出機(jī)的取值范圍.

10.（2024?四川資陽(yáng)?中考真題）如圖，已知平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，一次函數(shù)、=履+6（左二0）的圖象

⑴求一次函數(shù)的解析式；

⑵若點(diǎn)C(r,r)在一次函數(shù)的圖象上，直線co與反比例函數(shù)的圖象在第三象限內(nèi)交于點(diǎn)。，求點(diǎn)。的坐標(biāo)，并寫出直

線CD在圖中的一個(gè)特征.

專題03一次函數(shù)與反比例函數(shù)綜合及與幾何綜合問(wèn)題

目錄

熱點(diǎn)題型歸納.........................................................................................1

題型01圖象關(guān)聯(lián)問(wèn)題..........................................................