中考模擬卷（全國通用）（二）

數學

（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用22鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動,

用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。寫在本試卷上無效。

3.回答填空題時，請將每小題的答案直接填寫在答題卡中對應橫線上。寫在本試卷上無效。

4.回答解答題時，每題必須給出必要的演算過程或推理步驟，畫出必要的圖形（包括輔助線），

請將解答過程書寫在答題卡中對應的位置上。寫在本試卷上無效。

5.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第I卷（共40分）

一、選擇題（本大題共10個小題，每小題4分，共40分.在每個小題給出的四個選項中，只有一項符合

題目要求，請選出并在答題卡上將該項涂黑）.

1.（2025?山西?一模）2025年元宵節這天，北京、深圳、哈爾濱、太原四地最低氣溫分別為-3.7。<2,15.9。（2,

-17.5℃,-7.0℃.這些氣溫中最低的是（）

A.-3.7℃B.15.9℃C.-17.5℃D.-7.0℃

【答案】C

【詳解】解：由題意得：—17.5。（2<-7.0。（2<-3.7。（2<15.9。（2,所以最低氣溫是-17.5（.故選：C.

2.（2024?山西?模擬預測）自山西省惠民惠農財政補貼資金"一卡通"管理平臺上線以來，已發放惠民惠農財

政補貼資金61366.53萬元，惠及全省1695847人次.數據61366.53萬元用科學記數法表示為（）

A.6.136653x109元B.6.136653x1（）8元c0.6136653x1（）9元D61.36653x1（）7元

【答案】B

【詳解】解：61366.53萬=613665300=6.136653x108,故選：B.

3.（2024?廣東河源?一模）如圖是美術課上老師上課用的石膏幾何體，則該幾何體的主視圖是（）

主視方向

-+-

【答案】B

【詳解】解：從正面看，可得出,故選：B.

4.（2025?廣東廣州?一模）下列計算正確的是（）

A.a2-a2=2（i4B.（a—2）~=a2—4C.6o2-?3a2=2a2D.=—a6

【答案】D

【詳解】解：A、"2./=",...此選項的計算錯誤，故此選項不符合題意；

B、,m-2）2=/-4a+4,.?.此選項的計算錯誤，故此選項不符合題意；

C、.6/-3/=2,...此選項的計算錯誤，故此選項不符合題意；

D、（-/）3=一06,...此選項的計算正確，故此選項符合題意；故選：D.

5.（2024?湖北?模擬預測）小鄂在數學書中看到了斐波那契曲線，于是將曲線畫在了紙上小明看到后想計算

陰影部分面積于是他們決定在紙上隨機戳點，并記錄數據于下表

總點數102040100

陰影部分點數4112347

若正方形的邊長為4,則陰影部分面積約為（）

斐波那契曲線

A.4.7B.7.52C.7.98D.8

【答案】B

【詳解】解：由表格數據可知：點落在陰影部分的概率為47+100=0.47,

回正方形的邊長為4,回正方形的面積為4?=16,回陰影部分的面積為：16*0.47=7.52；故選：B.

6.（2024?山西太原?模擬預測）化學方程式是用化學式來表示物質化學反應的式子.化學方程式不僅表明了

反應物、生成物和反應條件，同時化學計量數代表了各反應物、生成物物質的量關系.例如

2H2+02-2凡0就表示兩份H?（氫氣）與一份（氧氣）點燃生成兩份的H?。（水）.依據化學反應

過程中的質量守恒定律，在化學方程式等號左邊和等號右邊同一元素原子的個數一定相同.已知

^C6H6+yO2-6ACO2+3%H2O,由此可列出關于x,y的二元一次方程為（）

A.x+y=6x+3xB.x+y=6x+3x-2C.2y=6x+3xD.2y=6x,2+3x

【答案】D

【詳解】解：回化學方程式等號左邊和等號右邊氧元素原子的個數一定相同，

點燃

?xC6H6+yO26XCO2+3xH2O團2y=6x?2+3%.故選團D.

7.（2024?湖南岳陽?模擬預測）如圖1所示，該幾何體為長方體，記作長方體ABCD-A.B.C^,如圖2所

示，以頂點A為原點。，分別以棱A耳，AA，AA所在的直線為無軸、y軸、z軸，建成的坐標系稱為

立體坐標系（亦稱三維坐標系）o-xyz,立體空間中點的位置由三個有序的實數確定，記作（x,y,z）,稱為

該點的坐標.若長方體的長寬高分別為A耳=3,AR=2，AA=1,我們知道，在平面直角坐標系。-孫中，

點G的坐標為（3,2）,由點豎直向上平移1個單位可得到點C,所以點C在立體坐標系中的坐標記為

C（3,2,l）,由此可知點。和點2的坐標分別記為。（0,0,0）,3（3,0,1）.照此方法，請你確定點D在立體

坐標系中的坐標為（）

【答案】C

【詳解】解：依題意，回在平面直角坐標系。-孫中，點G的坐標為（3,2）,由點C1豎直向上平移1個單位

可得到點C,所以點C在立體坐標系中的坐標記為。（3,2,1）,且長方體的長寬高分別為44=3,

AR=2，AA=1,0DDt=CCj=1,AD=BC=BlCl=2,

國點。和點2的坐標分別記為0（0,0,0）,5（3,0,1）,0A（O,O,1）,

SAD=BC=BlCl=2,I3D（O,2,1）,故選：C.

8.(2024?山東濟寧?一模)小穎用描點法畫二次函數丁=取2+法+。的圖象時，列出了下面的表格，由于粗

心，她算錯了其中一個y值.則下列結論中，不正確的是()

X-i0123

y0-3-4-3-2

A.2a+Z?=0

B.對于任意實數加，a+bWam?總成立

C.點4(租-1,乂),3(加,%)在拋物線圖象上，若M<%，則機

D.一元二次方程ax?+/zr+c+l=-2有兩個不相等的實數根

【答案】C

【分析】本題考查了待定系數法求二次函數的解析式，二次函數圖象與系數的關系，二次函數圖象上點的

坐標特征以及拋物線與x軸的交點.根據關于對稱軸對稱的自變量對應的函數值相等可判斷A；根據二次函

數的最值可判斷B；根據二次函數的性質可判斷C；根據二次函數與一元二次方程的關系可判斷D.

【詳解】解：A、由函數圖象關于對稱軸對稱，得(0,-3),(2,-3)在函數圖象上，

?一，=手=1，：.2a+b=0,故選項A正確，不符合題意；B、頂點為QT),函數有最小值，

2a2

.二對于任意實數加，則Q+6+C0Q/+加1+。，即a+a帆2+0加總成立，故選項B正確，不符合題意；

C、二次函數尸++法+c圖象以％=1為對稱軸，拋物線開口向上；

.點A(機8(九名)在拋物線圖象上，％<%，；.二千二>1,故選項C錯誤，符合題意；

D、拋物線過(。，―3),(1,-4),(2,-3),y=a(x-l)2-4,代入(0,—3)得—3=a—4,解得a=1,y=(x—1)。—4,

「當x=3時，y=。，拋物線與x軸的一個交點為(3,0),二.拋物線與x軸的一個交點為(-1,0),

一元二次方程62+"+C+1=一2有兩個不相等的實數根，故選項D正確，不符合題意；故選：C.

9.(2024?黑龍江大慶?一模)《幾何原本》中的幾何代數法(以幾何方法研究代數問題)成為了后世數學家

處理問題的重要依據，通過這一原理，很多的代數的公理或定理都能夠通過圖形實現證明，也稱之為無字

證明.如圖所示的圖形，在48上取一點C,使得AC=a,3C=6,過點C作交圓周于。，連接OD.作

CE_L。。交OD于E.則下列不等式可以表示CD2DE的是()

A.y[ab>(a>0,b>0)B.(a>0,5>0)

Q+Z?

c.n'等伍>0]>0)

D.a2+/>2ab(a>Q,b>0)

【答案】A

【詳解】解：連接80,團A3是直徑，回NADB=90。，0ZAZ）C+ZBDC=9OO.

團CO_LAB,^AACD=4BCD=90°,[EZBDC+ZCBD=90°,^\ZADC=ZCBD,團-ACDsDCB,

0—=—,0—=—,國CD=J^,⑦NCDE=NODC,NCED=NOCD=90。，回DCEsDOC,

ACCDaCD

rDE_y[ab)7

團而=歷,E=E回小=惑.故選A.

2

10.(24-25九年級下?上海?階段練習)由四個全等的直角三角形和一個小正方形組成的大正方形ABCZ)如圖

所示.過點。作的垂線交小正方形對角線斯的延長線于點G,連結CG,延長班交CG于點H.若

AE=2BE,則穿的值為（）

BH

C.72D.叵

2

【答案】B

【詳解】解：如圖，設4E與OF交于點N,BH與CF交于點、P,CG與￡＞尸交于點°,

G

團由四個全等的直角三角形和一個小正方形組成的大正方形ABCD,0BE=PC=DF,AE=BP=CF,

EIAE=2BE,SBE=PE=PC=PF=DF,回NCFD=/8PF=90°,BDF//EH,

AACHPHCP111

SCPHsACFQ,S—=—=—=-^PH=-FQ,CH=QH=-CQ,

13四邊形EP7W是正方形，忸ZEFN=NGFD=45°,0GZJ1DF,

回△EDG是等腰直角三角形，回DG=FD=PC,SZGDQ=ZCFD=90°,

SDG//CF,SZDGQ=ZPCH,在,。G。與△PC”中，

ZGDQ=NCPH

<DG=PC,回DG鰻PCH（ASA）,aPH=DQ,CH=GQ,

ZDGQ=ZPCH

117

SPH=-DF=-BE,CG=3CH,旦BH=BE+PE+PH=—BE,

333

在RtAPCH中，CH=yJPC2+PH2=^BE2+（~BE）2=半BE,

CGVlOBE3A/10

SCG=y/lQBE,回而=7nL=7.故選：B.

—BE

3

第II卷（共110分）

二、填空題（本大題共8個小題，每題4分，滿分32分，將答案填在答題紙上）

11.（2024?安徽?模擬預測）已知實數。，b,滿足。一6=6,ab=-8,貝。的值為.

【答案】T8

【詳解】解：回a—6=6,ab=-8,回原式=ab（a—6）=—8x6=—48,故答案為：-48.

12.（2024?遼寧?模擬預測）如圖，平行于主光軸的光線48和CD經過凸透鏡的折射后，折射光線BE和

折射光線"1交主光軸于點P,若NABE=155。，ZCDF=160°,則4PE=°.

ft

【答案】45

【詳解】解：ABMNCD,ZABE+ZBPM=180°,ZCDF+ZDPM=180°,

又\ZABE=155°,ZCZ）F=160°,

ZBPM=180°-ZABE=180°-155°=25°,ZDPM=180°-ZCDF=180°-160°=20°,

ZBPD=ZBPM+ZDPM=250+20°=45°,.ZEPF=ZBPD=45°.故答案為：45.

13.（2025?四川綿陽?二模）我們平常用的數是十進制數，如3658=3xl03+6xl02+5x10*+8x10%而計算

機程序處理中，使用的是只有數碼0和1的二進制數，但這兩種進制數可以進行相互換算，如將二進制數

1101換算成十進制數應為1x23+1x2?+0x21+1x2°=13.按照這種方式，將十進制數30換算成二進制數

應為?

【答案】11110

【詳解】解:Q30=lx24+lx23+lx22+1X21+0x2°,

將十進制數30換算成二進制數應為11110,故答案為：11110.

14.（2025?浙江杭州?一模）如圖.在平面直角坐標系中，VABC與山EF是位似圖形，位似中心為點0,

若點C（4,l）的對應點*12,3）,則VA3C的面積與DEF的面積之比為

【詳解】解：回點C（4,l）,F（12,3）,0oc=Vn,OF=J1聯+32=3后，

I3VABC與，。EF位似，位似中心為點。，EAABC^ADEF,E—=—=

DFOF3折3

回VA3C的面積與』積之比=（箓］='）=1.故答案為：1:9.

15.（2023,浙江寧波,模擬預測）已知實數加，〃滿足3療+5m-3=0,3M2-5?-3=0.且wiwl,貝！+

nn5

的值為.

【答案】得I?飛

【詳解】解：3/-5〃-3=0,「.3+5〃-3*=0,「々［1）

+5-——3=0,

3m2+5m-3=0,?-m>一可看作方程3f+5%—3=0的兩根，m+—=-^,m~=—1,

nn3n

5525

m+—y.故答案為:

3n

4x-a>2（x-l）

16.（24-25九年級下?重慶?階段練習）如果關于x的不等式組，2x+2有解且至多有4個整數解，且

x+1<

關于y的分式方程義=3+二的解為整數，則所有滿足條件的整數a的值之和為_____

1-yy-1

【答案】-13

4x—a>2（x—1）?

【詳解】解：2x+2^由①得：工>?，由②得：%<-b團=1,

x+l<--------②22

5

4x—a>2（x-l）

團關于X的不等式組,2X'+2J有解且至多有4個整數解，0-5<a-^2<-1,解得：-8<?<0

x+l<

------=3+，^,4=3（1-y）-2,解得：>=二^，且二^/1，即aw-2,

1-y-------y-1''33

當。=一7,-6,-4,-3,-1時，解不是整數，舍；回。=一8或a=—5,

團滿足條件的整數a的值之和為-8+（-5）=-13,故答案為：-13.

17.（2025?陜西西安,一模）如圖，矩形Q4BC頂點A、C分別在尤、y軸上，雙曲線y=%x>0）分別交BC、

AB于點。、E,連接DE并延長交x軸于點/，連接AC,若點E為。尸的中點，且5.防=3,則左=

舛

【答案】12

【詳解】解：設B（a，勾,則A（a,0）,C（0,b）,

回點￡）、E在雙曲線y=?x>0）上，回。"，

hh

設直線AC為y=e%+8,回卷+6=0,角畢得：e=——,團直線AC的解析式為y=——x+b-

aa

bk

同理可得，直線OE的解析式為y=——%+力+—；團DE〃C4,

aa

團矩形AOCB，0ZS=ZBAO=90°=ZBAF,AO//BC,回四邊形AFZK:為平行四邊形，0AF=￡）C,

團點E為O尸的中點，SDE=EF,^\ZDEB=ZFEA,^tDEB^FE4（AAS）,

0BE=AE>BD=AF,SDEB=SFEA=3,[J—BD-BE=3,CD=BD,

?SVSAX.ACDF=CDXAB=BDX2BE=12,過。作J_OA于H,

國S四邊形ACDF=$四邊形ocDH="=12;故答案為：12.

18.（2025?陜西?模擬預測）如圖，在菱形ABCD中，AB=6,ZA=60°,點瓦/分別在邊43和AD上，且

EF=4.當△?!￡尸的面積最大時，△CEF的面積為.

【答案】8囪

【詳解】解：回EF=4,ZE4F=60°,

團作的外接圓，設圓心為O,過。作O"_LEF于”，過A作AP_L￡F于P,如圖，則EH=HF,

SiAP<OA+OH,當A、。、H共線時取等號，此時"最大，點尸、X重合，AE=AF,

^^,AEF=^EFAP=AP,E1AP最大時，△AEF的面積最大；

如圖1,設BD、AC相交于O',

團四邊形ABC。是菱形，ZBAD^60°,SAO'^CO',BDLAO',ZBAC=ADAC=|ABAD=30°,

0CO'=AO'=AB-cos30°=x6=3^,又回AE=AF,AP±EF,

0ZEAP=ZFAP=-ZEAF=30°,EP=-EF=2,El點A、O、P、O',C共線，

22

^ZAPE=ZAO'B=90°,^AP=EP=y/3EP=2^3,

tan30°

0CP=AC-AP=4A/3,0SC￡f=|EF-CP=1X4X4A/3=8A/3,故答案為：80.

三、解答題（本題共8小題，共78分。其中：19-20題8分，21-24題每題10分，25-26題每題11分，答

案寫在答題卡上）

19.（2025?河南鄭州?一模）計算或解方程組：

2%+）=4①

3x+2y=10②

【答案】（1）夜一1（2）~

Iy=8

【詳解】⑴解：（-1廣,卜西+3,一卷

=l+VI-l+|x^,

=1+72-1-1，

=5/2—1:

2x+y=4①

（2）解:

3x+2y=10②

由①得＞=4-2熄）,

把③代入②可得3x+2（4-2x）=10,

解得x=—2,

把x=—2代入y=4-2x,可得y=8,

???原方程組的解為

20.（2024?四川眉山?二模）先化簡，再求值：,其中尤的值是不等式組的

整數解.

【答案】9-2

1-X

【詳解】解：（一--1+

\X+x）x+2x+1

x——x+2x+1

X2+Xf—1

-X2（X+1『

X

1-x，

由分式的意義，可知，xw-1,0,1,

12尤—1<4②，

解不等式①，得1之-1,

解不等式②，得X<g,

[—Y<C

"等式組2二<4②的解集為一』<5，

???不等式組21<4的整數解是T'O'】"其中一1，°，工不符合分式的意義，

---X只能取2.

將尤=2代入4Y得：原式=三2=-2.

21.（2025,安徽蚌埠?模擬預測）"學科素養"展示活動中，某區教體局決定在甲、乙兩校舉行"學科素養”測試,

為此甲、乙兩學校都選派相同人數的選手參加，比賽結束后，發現每名參賽選手的成績都是70分，80分,

90分，100分這四種成績中的一種，并且甲、乙兩校的選手獲得100分的人數也相等，現根據甲、乙兩校

選手的成績繪制如下兩幅不完整統計圖回

人數十

0708090100分數

甲校選手成績條形統計圖乙校選手成績扇形統計圖

⑴甲校選手所得分數的中位數是」乙校選手所得分數的眾數是—；（2）請直接在上圖中補全條形統計圖;

⑶比賽后，教體局決定集中甲、乙兩校獲得100分的選手進行培訓，培訓后，從中隨機選取兩位選手參加

市里的決賽，求所選兩位選手來自同一學校的概率.

【答案】（1）90,80⑵見解析（3）g

r360-90-90-120

【詳解】（D解：設甲校】。。分有“人，則ETT—標―,解得：＞2,

經檢驗，是該方程的解，且符合題意，即甲校100分有2人，回甲校派2+3+5+2=12人,

那么甲校選手所得分數的中位數為第6和第7人分數的平均數,從甲校統計圖可得第6和第7人得分90分,

故甲校選手所得分數的中位數為90；

從乙校選手扇形統計圖可得成績為80分的占比最高，則眾數為80,故答案為：90,80；

（2）解：補全統計圖如圖:

人數,

||||

0708090100分數

甲校選手成績條形統計圖

（3）解：畫樹狀圖為：（甲乙各有2名學生得100分）

甲甲乙乙

△小/K小

甲乙乙甲乙乙甲甲乙甲甲乙

共有12種等可能的結果數，其中所選兩位選手來自同一學校的結果數為4,

41

所以所選兩位選手來自同一學校的概率=方=）.

22.（2025?河南信陽?二模）粒子加速器是當今高能物理學中研究有關宇宙的基本問題的重要工具.圖1,圖

2是某環形粒子加速器的實景圖和構造原理圖，圖3是粒子加速器的俯視示意圖，二。是粒子真空室，C、D

是兩個加速電極，高速飛行的粒子/在A點注入，在粒子真空室內做環形運動，每次經過CD時被加速，達

到一定的速度在B點引出，粒子注入和引出路徑都與G。相切.已知：AB=16km,粒子注入路徑與AB夾

⑴求上4BE的度數；⑵通過計算，求粒子，在環形運動過程中，粒子J到的最遠距離（相關數據:

3

tan37°?-

4

【答案】（1）53。（2）粒子J到的最遠距離是16km

【詳解】（1）解：延長AfBE交于G,

G

-F尸汪_

'

引

ltEH\

叭一/\、、、/

C-----------馬

由題意得：AF,BE是。的切線，.〔47=36,==。=53。；

（2）解:如圖，過點。作于點延長”。交,。于點P,連接49,8。，

A尸是。的切線，.1AO_LA/二50=90°,

a=53°,ZHAO=ZFAO-a=90°-53°=37°,

077±AB,AB=16（km）,AH=^AB=8km,ZAHO=90°,

在MAOH中，tan/HAO=—^=tan37°\—,

AH4

.'.OH?|AH=|X8=6（km）,AO=y/OH2+AH2=762+82=10（km）,

如圖，當粒子J運動到尸點時，離A3的距離最遠，

.-.HP=OW+OP=6+10=16（km）,即粒子J到AB的最遠距離是16km

23.（2025?河南周口?一模）"垃圾分一分，環境美十分”，某中學欲購買A,8兩種型號的垃圾桶，已知A型

垃圾桶的單價比2型垃圾桶的單價便宜20元，用1800元購買A型垃圾桶的數量與用2160元購買B型的垃

圾桶的數量相同.（說明：4型垃圾桶存放不可回收垃圾；8型垃圾桶存放可回收垃圾）

⑴分別求42兩種型號垃圾桶的單價.

3

⑵根據學校需要，準備購買42兩種垃圾桶共60個，其中購買A型垃圾桶的數量不超過8型垃圾桶的;

倍，求購買這兩種垃圾桶所需的最少經費.

【答案】（1）4型垃圾桶的單價為100元，8型垃圾桶的單價為120元；

（2）所需的最少經費為6480元.

【詳解】（1）解：設A型垃圾桶的單價為x元，則B型垃圾桶的單價為（x+20）元，

根據題意，得幽=義粵，解得》=100,

xx+20

經檢驗，1=100是原方程的解，且符合題意，.?.x+20=120（元）.

答：A型垃圾桶的單價為100元，B型垃圾桶的單價為120元.

（2）解：設購買A型垃圾桶機個，則購買8型垃圾桶（60-加）個.

A型垃圾桶的數量不超過B型垃圾桶的1?倍，，機4（60-機），解得機M36.

設所需經費為w元，貝I]w=100/71+120（60-m）=-20m+7200.

-20<0,二卬隨加的增大而減小，

..?當相=36時，卬有最小值，最小值為-20x36+7200=6480（元）.

答：所需的最少經費為6480元

24.（24-25九年級上?四川成都?階段練習）如圖1,在平面直角坐標系xOy中，直線y=-gx+4與反比例函

數>交于4（6,加），2兩點，與x軸交于點C.

圖1圖2

（1）求見上的值；（2）尸為反比例函數圖象上任意一點（不與A8重合）①過尸作尸Q1AB交y軸于點Q,若

尸Q=2AC,求p點坐標;②如圖2,直線以與x軸、y軸分別交于點直線3P分別與x軸y軸交于EE試

判斷MEFN是否為定值.若是，求出該值；若不是，請說明理由.

【答案】⑴根=1歡=6(2)①(2,3)或(―2,-3),②是，MEFN=8

【詳解】（1）解：當x=6時，y=-1x6+4=l,/.A（6,l）,即m=1,

kk

將點4（6,1）代入反比例函數y中，得1=?解得左=6.

（2）由（1）可知，反比例函數的表達式為y=9,且直線■的表達式為y=-^x+4,

x2

當產。時，0=一；％+4,即x=8直線與九軸交于點C（8,o）,

6

y=—

Y6]

聯立得1，即？=-9+4,解得項=2,%=6,%=3,%=1，點5坐標為（2,3）,

y=——x+4

I2

由點AC的坐標可知，AC=J（8-6丫+『=正,

；直線AB與y軸交點為D(0,4),.-.tanZACO=%=：=：,

OC82

①過點尸作）軸的平行線與點。作了軸的平行線交于點N,與直線43交于點K，

PNDQ,ZQPN=ZDQP,:"QPN=ZOCD,tanZQPN=tanZOCD=,

即器=；，劭=2QNPQ=收『+(2QN)2=出QN

若PQ=2AC,則尸。==&N,：.QN=2,:.點p的橫坐標為2或-2,則點尸的坐標為（2,3）或（-2,-3）.

②ME-FN為定值,定值為8,

設點尸的坐標為（九且4（6,1）,設直線管的表達式為>=履+6,

l=6k+b

則有6,,，解得/=-,力=1+色，.??直線"的表達式為尸―1■無+1+色,

一=mk+bmmmm

當x=0時，y=l+—,當y=0時，x=m+6,A^f0,l+—|,Af(m+6,0),

mvm)

已知點尸的坐標為5(2,3),設直線族的表達式為丁=左/+4，

3=2k1+bx

則有6,,,解得勺=一』，4=3+9,.??直線3尸的表達式為y=-』x+3+9,

一二mk1+4mmmm

當x=0時，y=3+—,當y=0時，x=m+2,F|0,3+—|￡(m+2,0),

m<mJ

則ME=XM_4=(機+6)—(機+2)=4,NF=yF-yN=^3+^-^l+^-j=2,

:.ME*NF=4x2=8

25.(2025?重慶江津?一模)已知VABC是等腰直角三角形，AB=AC,。為平面內一點.

⑴如圖1,當。點在AB的中點時，連接C。，將繞點。逆時針旋轉90。，得到M,若AB=6,求AE的

長；(2汝口圖2,當。點在VA5C外部時，E、尸分別是48、3C的中點，連接防、DE、DF,將DE繞E

點逆時針旋轉90。得到EG,連接CG、DG、FG,若NFDG=NFGE,求證：FD=CG+血FG;

⑶如圖3,當。在內部時，連接AD,將AD繞點。逆時針旋轉90。，得到即，若即經過BC中點尸，連

s

接AE、CE,G為CE的中點，連接G廠并延長交AB于點H,當AG最大時，請直接寫出臺段的值.

【詳解】（1）解：過點E作EH_LAB交54的延長線于H,如圖1,

團點。是的中點，且AB=6,^\AD=BD=-AB=3,在Rt^ACD中，ACAD=9Q°,AC=AB=6,

2

0tanZACD=^=|=1,CDZAIF+AC?=打+62=34，

ACO，

由旋轉得：DE=CD=3A/5,ZCDE=90°,即NAT>C+NAr>E=90。，

EA

圖1〃圖2圖3

ElZADC+ZACD=90°,BZADE=ZACD,

ADHE=ACAD=90°

在△￡>￡//和，CZM中，\^ADE=ZACD,0DEgCDA,

DE=CD

SEH=AD=3,DH=AC=6,SAH=DH-AD=6-3=3,

在RtAAEH中，=飛AH?+EH。=存f=30；

(2)解：證明：如圖2,連接AF、AG,過點尸作FHLFG交AG于H,

國VABC是等腰直角三角形，E、尸分別是A3、BC的中點，

0AE=EF,AE±EF,AF=CF,回/AEG+/EEG=90°,由旋轉得ED=EG,/DEG=90。,

ISZFED+ZFEG=90°,ZEDG=ZEGD=45°,^ZAEG=ZFED,

AE=EF

在△￡AG和，上田中，ZAEG=ZFED,0EAG^,EFD,SAG=FD,ZAGE=NFDE,

EG=ED

0ZFDG=ZFGE,0ZAGE+NFGE=ZFDE+ZFDG=ZEDG=45°,即ZAGF=45°,

0ZGFH=90°,S\ZFHG=45°=ZFGH,EfU"是等腰直角三角形，SFH=FG,HG=FG,

0ZAFH+ZCFH=ZCFG+ZCFH=90°,0ZAFH=NCFG,

AF=CF

在,.AFH和△CFG中，</AFH=/CFG,^tAFH^,CFG,0AH=CG,

FH=FG

SAG^AH+HG,SFD=CG+y/2FG-.

(3)解：設AE、G”交于點M,作48中點P,連接PC、PE、BE、A/，作PC中點Q,連接42、QG,

如圖，回將AO繞點。逆時針旋轉90。，得到即，回是等腰直角三角形，

ffl—=—,ZEAD=45°,回尸是等腰直角三角形，0—=^l,ZBAF=45°,0—=—,

AD1AF1AFAD

^ZBAF-ZEAF=ZEAD-ZEAF,ZBAE=ZFAD,ZBEA=ZFAD=9Q°,

團點P是AB的中點，SPEPE=^-AB,EIQ是PC的中點，G是EC的中點,

2

團QG是△CPE的中位線，BQG=-PE^-AB,QG//PE,設AB=AC=4a,則QG=q,PA=2q,

24

在RtZXPAC中，PC=JPA2+AC?=J(2a)2+(4a(=2A,AQ=g尸C=gx2氐=A，

當A、Q,G三點共線時，AG=AQ+QG=^a+a=(45+\]a,取得最大值，

y^\QG//PE,^AG//PE,SZPEA=ZGAE,SPE=PA,^\ZPAE=ZPEA=ZEAG,

國F是BC的中點，G是EC的中點，El尸G是V3EC的中位線，SFG//BE,

SAE±HG,0AHMAGM,SHM=GM,AH=AG=(A/5+1)A,

AEAH