2025年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)難題速遞之整式（2025年4月）

選擇題（共10小題）

1.（2025?浙江模擬）下列運(yùn)算中，正確的是（）

A.3a+4a=7/B.ai,cr>—ai5

C.（-x2）3=-尤6D.（a+b）2—a2+b2

2.（2025春?沛縣月考）下列運(yùn)算正確的是（）

A.2a，a=3aB.a2,a3=a6

25

C.（/）—aD.（ab）3=否3

3.（2025春?迎澤區(qū)校級(jí)月考）下列多項(xiàng)式乘法，能用平方差公式進(jìn)行計(jì)算的是（）

A.（尤+y）（-x-y）B.（-a-b）（a-b）

C.（2x+3y）（3x-2y）D.（m-n）（n-m'）

4.（2025春?迎澤區(qū)校級(jí)月考）已學(xué)的有關(guān)“幕的運(yùn)算”的法則有：①同底數(shù)幕的乘法；②幕的乘方；③

積的乘方.在計(jì)算下面題目（/./）2=（/）2.（/）2=/.°6=/°的過(guò)程中，每一步的運(yùn)算法則分別

是（）

A.①②③B.①③②C.②③①D.③②①

5.（2025春?迎澤區(qū)校級(jí)月考）地球可以近似地看成是球體，球的體積公式是了=［口3.已知地球的半徑

約為6X103千米，它的體積大約是（）立方千米.（TT取3）

A.2.4X1O10B.2.4X106C.8.64X1011D.8.64X106

nnr

6.（2025春?九龍坡區(qū)校級(jí)月考）已知A/”為整式，且％=anx+an^x~+---+a±x+a0,其中n,ao,

〃1，〃2，…，Cln為自然數(shù)，_S.an>an-i>"->ai>ao,令尸（M?）=〃+ao+ai+a2+”，+a”.例如:當(dāng)"=2時(shí)，

2

M2=a2x+arx+a0,F（M2）=2+ao+ai+a2,下列說(shuō)法：①若w=0,且/確W2,則滿(mǎn)足條件的ao

的值有3個(gè)；②若〃=1,ai=4,且整式的值為次方的平方根，則滿(mǎn)足條件的非正數(shù)x的值有5個(gè)；

③若F（MQ=6,則所有滿(mǎn)足條件的整式的和為3/+13X+9.其中正確的個(gè)數(shù)是（）

A.0B.1C.2D.3

7.（2025春?萬(wàn)州區(qū)月考）對(duì)于任意有序排列的整式，我們將相鄰兩個(gè)整式和的一半放在這兩個(gè)整式之間，

形成一組新的整式，這種操作稱(chēng)為“有序插隊(duì)”，并把所得整式之和記為C；現(xiàn)對(duì)整式：2a,3a+4b,依

次進(jìn)行“有序插隊(duì)”，已知第一次“有序插隊(duì)”后所得的整式是：2a,-a+2b,3a+46,且G=^a+66,

以此類(lèi)推，則下列說(shuō)法中，正確的為（）

9511

①經(jīng)過(guò)第二次“有序插隊(duì)”后的整式是：2a,-a+b,-a+2b,一a+3b,3Q+4/?；

424

②若5a+46W0,則"Y，=2；

③若a=2,6=1,則可以經(jīng)過(guò)〃次“有序插隊(duì)”后使得Cn為整數(shù).

A.①②B.①③C.②③D.①②③

8.（2025?興賓區(qū)一模）古時(shí)候人們通過(guò)在繩子上打結(jié)來(lái)記錄數(shù)量，即“結(jié)繩記數(shù)”.如圖所示是一位婦女

按滿(mǎn)五進(jìn)一的方法，從右到左在繩子上依次打結(jié)，用來(lái)記錄采集到的野果的個(gè)數(shù).她一共采集到43個(gè)

野果，則第2根繩子上的打結(jié)個(gè)數(shù)是（）

D.4

9.（2025春?江寧區(qū)校級(jí)月考）如圖，M是AG的中點(diǎn)，B是AG上一點(diǎn)（分別以A3、BG為邊，作正方

形A8C。和正方形8GFE,連接MD和MF.設(shè)BG=b,且a+6=10,ab=8,則圖中陰影部分

C.64D.81

10.（2025春?萬(wàn)柏林區(qū)月考）如圖，將甲圖中陰影部分無(wú)重疊、無(wú)縫隙地拼成乙圖，根據(jù)兩個(gè)圖形中陰影

部分的面積關(guān)系得到的等式是（

a

A.a2-2ab+b2=(a-b)2B.c^+lab+b1=(a-b)2

C.(a-b)(a+b)—a2-b2D.(a+6)(a+b)—c^+b2

二.填空題(共5小題)

11.（2025春?迎澤區(qū)校級(jí)月考）如圖，是一個(gè)L型鋼材截面，5個(gè)同學(xué)分別列出了計(jì)算它的面積的式子:

①ab-(a-?)(6-f)；②at+(b-t)t；③(a-t)t+bt；@at+bt；⑤(a+b-t)t.你認(rèn)為他們之中正

12.（2025春?合肥月考）在一個(gè)正方形的內(nèi)部按照如圖所示的方式放置兩個(gè)大小不同的小正方形，其中較

小正方形的面積為8,重疊部分的面積為3.

（1）較小正方形的邊長(zhǎng)為.

（2）設(shè)兩處空白部分的面積分別為Si,S2,若￡+52=4連-6,則陰影部分的面積為.

13.（2024秋?管城區(qū)校級(jí)期末）我們把13的倍數(shù)稱(chēng)為“大吉數(shù)”，判斷一個(gè)數(shù)根是否是大吉數(shù)，可以用相

的末三位數(shù)減去末三位數(shù)以前的數(shù)字所組成的數(shù)，其差記為F（m）,如果F（加）是“大吉數(shù)”，這個(gè)

數(shù)就是“大吉數(shù)”.比如：數(shù)字253448,這個(gè)數(shù)末三位是448,末三位以前是253,則F（253448）=

448-253=195,因?yàn)?95+13=15,所以F（253448）是“大吉數(shù)”，那么253448也是“大吉數(shù)”.若

整數(shù)優(yōu)=15"+1(其中0W〃W9,且〃為整數(shù))是“大吉數(shù)”，則機(jī)=.若p,q均為“大吉

數(shù)”，且p=1010+110無(wú)，q=4060+101y+z(0WxW8,lWyW6,0WzW3,且x、y、z均為整數(shù))，則B

(p+q)的最大值為.

14.(2025春?浦口區(qū)校級(jí)月考)已知：5。=2,5〃=6,則53。、。的值為.

15.(2025春?武侯區(qū)校級(jí)月考)已知a—6=a2+b2+c2—1,則ab+bc+ca的值等

于.

三.解答題(共5小題)

16.(2025春?沛縣月考)如圖，某學(xué)校有一塊長(zhǎng)為(5a+6)m,寬為Q2a+b)機(jī)的長(zhǎng)方形土地，計(jì)劃在陰

影部分的區(qū)域進(jìn)行綠化，中間修建一個(gè)邊長(zhǎng)為Q+6)根的正方形噴水池.

(1)用含a,6的代數(shù)式表示綠化面積；

(2)當(dāng)a=l,>=2時(shí)，求綠化面積.

1

(1)(_@)-2+(兀_5)。;

(2)b<-Z?)2+(-b)-(.-b)2；

(3)892+22X89+ll2；

(4)(.m-2")2("?+2”)2.

18.(2025春?迎澤區(qū)校級(jí)月考)簡(jiǎn)便運(yùn)算：

(1)108X112-1102；

(2)4992.

19.(2025春?迎澤區(qū)校級(jí)月考)已知圖1是一個(gè)長(zhǎng)為2租，寬為2〃的長(zhǎng)方形，沿圖中的虛線(xiàn)將其均勻剪成

四個(gè)小長(zhǎng)方形，然后拼成如圖2所示的正方形.

(1)你認(rèn)為圖2中陰影部分的正方形邊長(zhǎng)為.

(2)請(qǐng)用兩種不同的方法表示圖2中陰影部分的面積：

方法一;方法二.

(3)觀察圖2,寫(xiě)出下列三個(gè)代數(shù)式之間的等量關(guān)系.(機(jī)+〃)2；(利-〃)2；4m”

(4)根據(jù)(3)中的等量關(guān)系，解決如下問(wèn)題：若a+b=8,ab=7,求a-b的值.

圖2

20.(2025春?沈陽(yáng)月考)先化簡(jiǎn)，再求值：［(3x-y)2-y產(chǎn)(-3x)-y(2-xy),其中x=寺，y=-6.

2025年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)難題速遞之整式（2025年4月）

參考答案與試題解析

一.選擇題（共10小題）

題號(hào)12345678910

答案CDBDCBACBA

選擇題（共10小題）

1.（2025?浙江模擬）下列運(yùn)算中，正確的是（）

A.3。+4a=7/B.ai'a5—^5

C.（-x2）3=-x6D.（a+6）2=a2+b2

【考點(diǎn)】完全平方公式；合并同類(lèi)項(xiàng)；同底數(shù)幕的乘法；幕的乘方與積的乘方.

【專(zhuān)題】整式；運(yùn)算能力.

【答案】C

【分析】根據(jù)合并同類(lèi)項(xiàng)，同底數(shù)嘉的乘法，塞的乘方，完全平方公式的計(jì)算進(jìn)行判定即可求解.

【解答】解：關(guān)鍵相關(guān)知識(shí)點(diǎn)逐項(xiàng)分析判斷如下：

A、3。+4°=7。，原計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；

B、。3.05=々8,原計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；

C、（-?）3=-無(wú)6,正確，符合題意；

D、（a+b）2—a2+2ab+b2,原計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了合并同類(lèi)項(xiàng)，同底數(shù)幕的乘法，幕的乘方，完全平方公式的計(jì)算，掌握整數(shù)的混合

運(yùn)算法則是關(guān)鍵.

2.（2025春?沛縣月考）下列運(yùn)算正確的是（）

A.2a'a=3aB.a2,a3=a6

C.（a3）2—a5D.（ab）3—a^b3

【考點(diǎn)】單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式；同底數(shù)哥的乘法；塞的乘方與積的乘方.

【專(zhuān)題】整式；運(yùn)算能力.

【答案】D

【分析】根據(jù)同底數(shù)幕乘法，幕的乘方，積的乘方運(yùn)算法則逐項(xiàng)判斷即可.

【解答】解：關(guān)鍵相關(guān)運(yùn)算法則逐項(xiàng)分析判斷如下：

A、2a-a=2a2,原計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；

B、原計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；

C、(/)2=°6,原計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；

D、Q6)3=//,原計(jì)算正確，符合題意；

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了同底數(shù)幕乘法，塞的乘方，積的乘方，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.

3.(2025春?迎澤區(qū)校級(jí)月考)下列多項(xiàng)式乘法，能用平方差公式進(jìn)行計(jì)算的是()

A.(x+y)(-尤-y)B.(-a-b)(a-b)

C.(2x+3y)(3x-2y)D.(m-n)(“-加)

【考點(diǎn)】平方差公式；完全平方公式.

【專(zhuān)題】整式；運(yùn)算能力.

【答案】B

【分析】根據(jù)兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積滿(mǎn)足平方差公式計(jì)算選擇即可.

【解答】解：根據(jù)平方差公式逐項(xiàng)分析判斷如下：

A、(x+y)(-x-y)--(x+y)(x+y),不符合題意；

B、(-a-b)(a-b)=-(a+Z?)(a-b)=-c^+b2,符合題意；

C>(2x+3y)(3x-2y),不符合題意；

D、Gn-〃)(7i-m)=-(m-n)(m-n),不符合題意；

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平方差公式的應(yīng)用，熟練掌握公式的使用條件是解題的關(guān)鍵.

4.(2025春?迎澤區(qū)校級(jí)月考)已學(xué)的有關(guān)“幕的運(yùn)算”的法則有：①同底數(shù)幕的乘法；②塞的乘方；③

積的乘方.在計(jì)算下面題目(/.1)2=Q2)2.(/)2=a4.q6=ql0的過(guò)程中，每一步的運(yùn)算法則分別

是()

A.①②③B.①③②C.②③①D.③②①

【考點(diǎn)】事的乘方與積的乘方；同底數(shù)幕的乘法.

【專(zhuān)題】整式；運(yùn)算能力.

【答案】D

【分析】根據(jù)運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可.

【解答】解：根據(jù)運(yùn)算法則可知在運(yùn)算的過(guò)程中，每一步的運(yùn)算法則分別是積的乘方，哥的乘方，同底

數(shù)幕的乘法，

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查積的乘方，幕的乘方以及同底數(shù)幕的乘法，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.

4

-兀r

5.（2025春?迎澤區(qū)校級(jí)月考）地球可以近似地看成是球體，球的體積公式是V3已知地球的半徑

約為6義1。3千米，它的體積大約是（）立方千米.（TT取3）

A.2.4X1O10B.2.4X106C.8.64X1011D.8.64X106

【考點(diǎn)】幕的乘方與積的乘方；科學(xué)記數(shù)法一表示較大的數(shù).

【專(zhuān)題】整式；運(yùn)算能力.

【答案】C

【分析】根據(jù)運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可.

【解答】解：根據(jù)運(yùn)算法則代入公式計(jì)算可得：

44

331O

--兀r-XXX

33(6)3=8.64X1011.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查積的乘方，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.

nnr

6.（2025春?九龍坡區(qū)校級(jí)月考）已知跖2為整式，且％=anx+an_rx-+--+a1x+a0,其中n,ao,

QI,〃2，…,Cln為自然數(shù)，且珈＞斯-1＞—＞。1＞。0,令目（MR）=〃+ao+m+a2+…+而例如:當(dāng)"=2時(shí)，

2

M2=a2x+arx+a0,F（M2）=2+ao+ai+a2,下列說(shuō)法：①若w=0,且J將W2,則滿(mǎn)足條件的ao

的值有3個(gè)；②若w=l,m=4,且整式的值為V7國(guó)的平方根，則滿(mǎn)足條件的非正數(shù)x的值有5個(gè)；

③若F=6,則所有滿(mǎn)足條件的整式的和為3X2+13X+9.其中正確的個(gè)數(shù)是（）

A.0B.1C.2D.3

【考點(diǎn)】整式的加減；解一元一次不等式；平方根；立方根.

【專(zhuān)題】整式；運(yùn)算能力.

【答案】B

【分析】根據(jù)整式的加減，平方根、立方根、解不等式以及新定義判斷即可.

【解答】解：①當(dāng)w=。時(shí)，Mo=ao,

.?.師=底＜2，

滿(mǎn)足條件的的值有2個(gè)，

??〃0=0,1>2,

故①正確；

②當(dāng)〃=1,“1=4時(shí)，

MI=4X+QO,

VV729=9,±V9=±3,

.??4x+〃o=±3,

當(dāng)4%+。0=-3時(shí)，x=阿當(dāng)4x+〃o=3時(shí)，%=3jQ,

由條件可知土色<0或_3-劭

<0,

44

.??〃023或-3,

?."1=4,>〃o且40為自然數(shù),

.??〃o=O,1,2,3,

???符合條件的非正數(shù)x有4個(gè)，故②錯(cuò)誤;

③當(dāng)〃=0時(shí)，3=6,此時(shí)Mo=6；

當(dāng)n—\時(shí)，l+〃o+〃i=6,即〃0+。1=5,

貝!J〃1=5,。0=0或41=4,。0=1或“1=3,“0=2,

此時(shí)M\=5x或Mi=4x+1或Afi=3x+2；

當(dāng)〃=2時(shí)，2+40+41+42=6,即〃0+。1+〃2=4,

則〃2=3,41=1,。0=0,

止匕時(shí)時(shí)2=3%2+X,

當(dāng)〃=3時(shí),3+。0+〃1+〃2+〃3=6,即〃0+〃1+〃2+〃3=3,

當(dāng)。0=0,41=1,42=2時(shí)，"3=3,此時(shí)〃0+。1+。2+。3=6不合題意；

?,?滿(mǎn)足條件的整式Mn的和為3/+X+4X+1+5X+3X+2+6=3X2+13X+10,

故③錯(cuò)誤，

綜上所述，正確的個(gè)數(shù)是1個(gè)，

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了整式的加減，平方根、立方根、解不等式以及新定義，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的

關(guān)鍵.

7.（2025春?萬(wàn)州區(qū)月考）對(duì)于任意有序排列的整式，我們將相鄰兩個(gè)整式和的一半放在這兩個(gè)整式之間，

形成一組新的整式，這種操作稱(chēng)為“有序插隊(duì)”，并把所得整式之和記為C；現(xiàn)對(duì)整式：2a,3o+4b,依

次進(jìn)行“有序插隊(duì)”，已知第一次“有序插隊(duì)”后所得的整式是：2a,|a+2b,3a+4b,且的=苧。+66,

以此類(lèi)推，則下列說(shuō)法中，正確的為（）

9511

①經(jīng)過(guò)第二次“有序插隊(duì)”后的整式是：2”，-a+b,-a+2b,—a+3b,3〃+4b；

424

②若5a+46W0,則C[iF=2.

③若a=2,b=l,則可以經(jīng)過(guò)〃次“有序插隊(duì)”后使得Cn為整數(shù).

A.①②B.①③C.②③D.①②③

【考點(diǎn)】整式的加減；規(guī)律型：數(shù)字的變化類(lèi)；整式.

【專(zhuān)題】運(yùn)算能力.

【答案】A

【分析】根據(jù)有序插隊(duì)的定義，可得第二次有序插隊(duì)后的整式，進(jìn)而可以得到C2,即可判斷①；分別

計(jì)算出Cl、C2、C3,根據(jù)數(shù)字的變化規(guī)律，可得G,即可判斷②；根據(jù)②中所得當(dāng)。=1,6=2時(shí)，

計(jì)算可得Q是否為整數(shù)，即可判斷③.

QC11

【解答】解：①第二次"有序插隊(duì)"后的整式是

2a,-4ra+b,5za+2b,-qr-a+3b,3a+4b,

故①正確；

②由C1=^xa+竽X%,C2=8+9+1/1+12xa+2(l+2j3+4)xb=

16+17+18+19+…+24,2(l+2+3+4+…+8),

QXCLIXb9

2n+l

：.Cn=^^(5a+4b),

???5a+4Z?W0,

.Cn+「Cn=2兀+1+1-(2n+1)==

-2n+l-(2n-1+l)-2n-2n-1-'

故②正確；

③b=2,

???5〃+4/?=5X1+2X4=13,

則的=$#X13,不是整數(shù)，

故③錯(cuò)誤；

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了整式的加減，讀懂題目信息，理解有序插隊(duì)的定義，以及根據(jù)數(shù)字的變化規(guī)律，得

出。?=yM（5a+46）是解題的關(guān)鍵.

8.（2025?興賓區(qū)一模）古時(shí)候人們通過(guò)在繩子上打結(jié)來(lái)記錄數(shù)量，即“結(jié)繩記數(shù)”.如圖所示是一位婦女

按滿(mǎn)五進(jìn)一的方法，從右到左在繩子上依次打結(jié)，用來(lái)記錄采集到的野果的個(gè)數(shù).她一共采集到43個(gè)

野果，則第2根繩子上的打結(jié)個(gè)數(shù)是（）

【考點(diǎn)】整式的加減；用數(shù)字表示事件.

【專(zhuān)題】應(yīng)用題；應(yīng)用意識(shí).

【答案】C

【分析】我們可以將43個(gè)野果按照滿(mǎn)五進(jìn)一的規(guī)則進(jìn)行分解：首先，從右到左的第一根繩子上的打結(jié)

數(shù)為3,（因?yàn)?3除以5的余數(shù)是3）.然后，將43減去3,得到40.接下來(lái)，40除以5到8,表示在

第二根繩子上打結(jié)數(shù)為8,因?yàn)闈M(mǎn)五進(jìn)一，所以8+5=1……3,所以第2根繩子上的打結(jié)個(gè)數(shù)是3.

【解答】解：43+5=8（組）....3（個(gè)），

（40-3）+5=8（個(gè)），

8+5=1（組）……3（個(gè)）.

答：第2根繩子上的打結(jié)個(gè)數(shù)是3個(gè).

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了整式的加減，用數(shù)字表示事件，解決本題的關(guān)鍵是運(yùn)用“滿(mǎn)五進(jìn)一”的條件.

9.（2025春?江寧區(qū)校級(jí)月考）如圖，M是AG的中點(diǎn)，2是AG上一點(diǎn)（分別以A3、BG為邊，作正方

形ABC。和正方形8GFE,連接和設(shè)BG=b,且a+b=10,"=8,則圖中陰影部分

A.46B.59C.64D.81

【考點(diǎn)】完全平方公式的幾何背景.

【專(zhuān)題】整式；運(yùn)算能力.

【答案】B

【分析】根據(jù)題意，用含b的代數(shù)式表示出圖中陰影部分的面積，再結(jié)合整體思想進(jìn)行計(jì)算即可.

【解答】解：由題知，

-：a+b=-lO,且點(diǎn)〃是AG的中點(diǎn)，

：.AM=GM=5,

??^AADM=2a，SAFMG=]b，

??S陰影—a2+_a(a+b).

Va+b=10,ab=8,

a2+b2=(a+b)2-2tz/?=100-16=84,

:?S陰影=84一,x10=59.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了完全平方公式的幾何背景，熟知完全平方公式是解題的關(guān)鍵.

10.(2025春?萬(wàn)柏林區(qū)月考)如圖，將甲圖中陰影部分無(wú)重疊、無(wú)縫隙地拼成乙圖，根據(jù)兩個(gè)圖形中陰影

部分的面積關(guān)系得到的等式是()

【考點(diǎn)】完全平方公式的幾何背景.

【專(zhuān)題】計(jì)算題；運(yùn)算能力.

【答案】A

【分析】分別表示出圖甲、圖乙中陰影部分的面積即可求解.

【解答】解：圖甲中：S陰影=?-2曲廬,

圖乙中：S陰影=(a-b)，

.,.a2-2ab+b2=(a-b)2.

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用圖形面積驗(yàn)證乘法公式，準(zhǔn)確表示出陰影部分面積是解題關(guān)鍵.

填空題(共5小題)

11.(2025春?迎澤區(qū)校級(jí)月考)如圖，是一個(gè)L型鋼材截面，5個(gè)同學(xué)分別列出了計(jì)算它的面積的式子:

①ab-(a-f)(b-f)；②(b-t)t；③(a-t)t+bt；@at+bt；⑤(a+b-f)t.你認(rèn)為他們之中正

【考點(diǎn)】整式的混合運(yùn)算.

【專(zhuān)題】整式；運(yùn)算能力.

【答案】①②③⑤.

【分析】根據(jù)添加不同輔助線(xiàn)，且結(jié)合面積公式進(jìn)行求解即可.

L的面積=ab-(a-t)(b-t),故①正確,

如圖，

￡的面積〃/+(b-t)t,故②正確;

如圖,

,11

L的面積=兩個(gè)梯形之和=(6+b—t)xtX2+(a+a—t)xtXa=(b+a—t)t,故⑤正確；

,:at+b佯(b+a-/)t=at+bt-t2,

，④是錯(cuò)誤的；

故答案為：①②③⑤.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了整式的運(yùn)算，熟練掌握整式運(yùn)算法則，正確添加輔助線(xiàn)是解題的關(guān)鍵.

12.(2025春?合肥月考)在一個(gè)正方形的內(nèi)部按照如圖所示的方式放置兩個(gè)大小不同的小正方形，其中較

小正方形的面積為8,重疊部分的面積為3.

(1)較小正方形的邊長(zhǎng)為2/.

(2)設(shè)兩處空白部分的面積分別為Si,S2,若S】+S2=4&-6,則陰影部分的面積為9.

【考點(diǎn)】整式的混合運(yùn)算.

【專(zhuān)題】整式；運(yùn)算能力.

【答案】2/；9.

【分析】（1）根據(jù)較小正方形的面積為8,根據(jù)正方形面積公式直接開(kāi)方求出邊長(zhǎng)；

（2）先根據(jù)兩個(gè)空白部分的對(duì)稱(chēng)性得出它們面積相等，進(jìn)而推出重疊部分是正方形，求出其邊長(zhǎng).再

通過(guò)空白部分面積和較小正方形邊長(zhǎng)求出空白長(zhǎng)方形的寬和長(zhǎng)，從而得到較大正方形邊長(zhǎng)和面積，最后

用大正方形面積減去重疊部分面積得到陰影部分面積.

【解答】解：（1）由條件可知較小正方形的邊長(zhǎng)為迎=2/，

故答案為：2企；

（2）①由條件可知Si=S2；

②由①得，重疊部分也為正方形，

???重疊部分的面積為3,

重疊部分的邊長(zhǎng)為百，

...一個(gè)空白長(zhǎng)方形的寬為：2版

:兩處空白部分的面積為：=4V6-6,

一個(gè)空白長(zhǎng)方形面積為：2傷-3,

...一個(gè)空白長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為：-

2V2—V3

較大正方形邊長(zhǎng)為：V3+V3=2-\/3,

，大正方形面積=（2V3）2=12,

陰影部分的面積為12-3=9.

故答案為：2魚(yú)；9.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正方形和長(zhǎng)方形.熟練掌握正方形面積公式，長(zhǎng)方形面積公式，求一個(gè)數(shù)的算

術(shù)平方根，是解題的關(guān)鍵.

13.（2024秋?管城區(qū)校級(jí)期末）我們把13的倍數(shù)稱(chēng)為“大吉數(shù)”，判斷一個(gè)數(shù)根是否是大吉數(shù)，可以用相

的末三位數(shù)減去末三位數(shù)以前的數(shù)字所組成的數(shù)，其差記為F（機(jī)），如果F（加）是“大吉數(shù)”，這個(gè)

數(shù)就是“大吉數(shù)”.比如：數(shù)字253448,這個(gè)數(shù)末三位是448,末三位以前是253,則F(253448)=

448-253=195,因?yàn)?95+13=15,所以P(253448)是“大吉數(shù)”，那么253448也是“大吉數(shù)”.若

整數(shù)加=15〃+1(其中00W9,且〃為整數(shù))是“大吉數(shù)”，則優(yōu)=91.若p,q均為“大吉數(shù)”，

且p=1010+110x,q=4060+101y+z(0WxW8,lWyW6,0WzW3,且x、y、z均為整數(shù))，貝!JF(p+q)

的最大值為819.

【考點(diǎn)】整式的加減.

【專(zhuān)題】整式；運(yùn)算能力.

【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容

【分析】根據(jù)“大吉數(shù)的”的定義可分別表示尸(4)和F(p),再根據(jù)“大吉數(shù)”的定義可得出p,q

的值，進(jìn)而可得出結(jié)論.

【解答】解：,整數(shù)根=15〃+1(其中0W/W9,且"為整數(shù))是“大吉數(shù)”，且根=15〃+1=13"+2”+1,

；.2月+1是13的倍數(shù)，

.'.n=6,即機(jī)=91；

為“大吉數(shù)”，p=1010+110x,(0W尤W8,lWyW6,0WzW3,且無(wú)、y、z均為整數(shù))，

.,.F(p)=100x+10(x+1)-l=110x+9=13X8x+6x+9,

；.6x+9為13的倍數(shù),

??x=5,

:.p=1560；

均為“大吉數(shù)”，g=4060+101y+z,

.?.當(dāng)lWyW3時(shí)，F(xiàn)⑷=100y+60+y+z-4=104y+52-3y+4+z,

/.-3y+4+z是13的倍數(shù)，

.,.當(dāng)y=2時(shí)，z=2,此時(shí)q=4264；

當(dāng)y=6時(shí)，z—1；此時(shí)q=4667；

：.p+q=1560+4264=5824或p+q=1560+4667=6227,

：.F(p+q)=824-5=819；或尸(p+q)=227-6=221,

：.F(p+q)的最大值為819；

故答案為：91；819.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查新定義的運(yùn)算及整除問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是正確理解新定義，求出p,q的值是解題關(guān)

鍵.

2

14.(2025春?浦口區(qū)校級(jí)月考)已知：5。=2,5〃=6,則53。「26的值為一

-9-

【考點(diǎn)】同底數(shù)事的除法；幕的乘方與積的乘方.

【專(zhuān)題】整式；運(yùn)算能力.

【答案】

【分析】逆用同底數(shù)暴的除法及暴的乘方與積的乘方進(jìn)行計(jì)算即可.

【解答】解:原式=53。+52匕

=(5。)34-(5。)2

=23*

=8+36

一??2

故答案為：

9

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查同底數(shù)幕的除法及幕的乘方與積的乘方，靈活運(yùn)用以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

222

15.(2025春?武侯區(qū)校級(jí)月考)已知a—b=b—a+b+c=1f則ab+bc+ca的值等于

__2_

-25,

【考點(diǎn)】完全平方公式.

【專(zhuān)題】整式；運(yùn)算能力.

【答案】-春

222

【分析】由a-6=b-c=|可得：a-cj由/+/+C2=1可得2(fl+&+c)=2,再利用完全平方公

式得到2(6Z2+Z?2+C2)=(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2+2(ab+bc+ca),代入已知代數(shù)式的值計(jì)算即

可.

【解答】解：根據(jù)題意，由。-b=b-c=1可得：

由d52+/?2+c2=1可得2(a2+b2+c2)=2,

再利用完全平方公式可得：2(a2+/?2+c2)=(4/-Z?)2+(/?-c)2+(〃-c)2+2(ab+bc+ca),

將a2+Z?2+c2=1,a-b=b-c=a-c=3代入可得：

336

2X1=(-)2+(-)2+(-)2+2(aA+bc+ca),

555

2

解得ab+bc+ca=—汨.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了完全平方公式，解題的關(guān)鍵是分別把a(bǔ)-b=|,b-c=l，a-c=(三個(gè)式子兩邊

平方后相加，化簡(jiǎn)求解.

三.解答題(共5小題)

16.(2025春?沛縣月考)如圖，某學(xué)校有一塊長(zhǎng)為(5。+匕)m,寬為(2a+b)機(jī)的長(zhǎng)方形土地，計(jì)劃在陰

影部分的區(qū)域進(jìn)行綠化，中間修建一個(gè)邊長(zhǎng)為Q+b)機(jī)的正方形噴水池.

(1)用含a,6的代數(shù)式表示綠化面積；

(2)當(dāng)a=l,b=2時(shí)，求綠化面積.

5a+b

【考點(diǎn)】完全平方公式的幾何背景；多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式.

【專(zhuān)題】數(shù)形結(jié)合；幾何直觀.

【答案】(1)9a2+5%(2)19平方米.

【分析】(1)根據(jù)S草坪=5長(zhǎng)方形一s正方形，用代數(shù)式表示即可；

(2)把a(bǔ)=l,6=2代入(1)中的代數(shù)式求值即可.

【解答】解：(1)S草坪=S長(zhǎng)方形—*S正方形=(5a+b)(2a+b)-(.a+b)+5ab+2ab+b^-(?-2ab-

b2=9a2+5ab,

二?綠化面積為(9〃2+5〃。)平方米；

(2)當(dāng)a=l,b=2時(shí)，

S草坪=9"2+5〃/?=9+10=19(平方米)，

答：綠化面積為19平方米.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，完全平方公式，掌握完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征以及多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式

的計(jì)算方法是正確解答的關(guān)鍵.

17.(2025春?高新區(qū)校級(jí)月考)計(jì)算題：

2

(1)(-1)-+(7T-5)°;

(2)b<-ft)2+(-6)?(-b)2；

(3)892+22X89+ll2；

(4)(m-2n)2(m+2n)2.

【考點(diǎn)】平方差公式；零指數(shù)塞；負(fù)整數(shù)指數(shù)幕；同底數(shù)幕的乘法；完全平方公式.

【專(zhuān)題】計(jì)算題；運(yùn)算能力.

【答案】(1)10；

(2)0；

(3)10000；

(4)m4-8m2w2+16w4.

【分析】(1)根據(jù)負(fù)整數(shù)指數(shù)幕和零指數(shù)嘉的運(yùn)算法則計(jì)算即可；

(2)根據(jù)同底數(shù)塞的乘法運(yùn)算法則計(jì)算即可；

(3)根據(jù)完全平方公式計(jì)算即可；

(4)根據(jù)積的乘方、平方差公式和完全平方公式計(jì)算即可.

【解答】解：(1)原式=(-3)-"2>+I

=9+1

=10；

(2)原式=b"2+(_b)3

=b3-*

=0；

(3)原式=892+2X89X11+112

=(89+11)2

=1002

=10000；

(4)原式=[(優(yōu)-2〃)。〃+2〃)]2

=(m2-4層)2

=m4-8m2/+16/.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查平方差公式、同底數(shù)幕的乘法、完全平方公式、零指數(shù)幕、負(fù)整數(shù)指數(shù)暴，掌握平方

差公式、同底數(shù)塞的乘法、完全平方公式、零指數(shù)塞、負(fù)整數(shù)指數(shù)塞和積的乘方運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.

18.(2025春?迎澤區(qū)校級(jí)月考)簡(jiǎn)便運(yùn)算：

(1)108X112-1102；

(2)4992.

【考點(diǎn)】平方差公式；完全平方公式.

【專(zhuān)題】整式；運(yùn)算能力.

【答案】⑴-4；

(2)249001.

【分析】(1)利用平方差公式進(jìn)行計(jì)算即可；

(2)利用完全平方公式進(jìn)行計(jì)算即可.

【解答】解：(1)108X112-1102

=(110-2)X(110+2)-1102

=1102-4-1102

=-4；

(2)4992

=(500-1)2

=50()2,2X500+1

=249001.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查簡(jiǎn)便運(yùn)算，熟練掌握平方差公式以及完全平方公式是解題的關(guān)鍵.

19.(2025春?迎澤區(qū)校級(jí)月考)已知圖1是一個(gè)長(zhǎng)為2%，寬為2”的長(zhǎng)方形，沿圖中的虛線(xiàn)將其均勻剪成

四個(gè)小長(zhǎng)方形，然后拼成如圖2所示的正方形.

(1)你認(rèn)為圖2中陰影部分的正方形邊長(zhǎng)為m-n.

(2)請(qǐng)用兩種不同的方法表示圖2中陰影部分的面積：

方法一()2-4加〃；方法二Gn-n)".

(3)觀察圖2,寫(xiě)出下列三個(gè)代數(shù)式之間的等量關(guān)系.(〃z+w)2；(m-ri)2；4mn(加+")2-4am

=(加一＞)2.

(4)根據(jù)(3)中的等量關(guān)系，解決如下問(wèn)題：若〃+。=8,ab=7,求的值.

圖2

【考點(diǎn)】完全平方公式的幾何背景.

【專(zhuān)題】整式；運(yùn)算能力.

【答案】(1)m-n；

(2)(m+n)2-4mn；(m-n)2；

(3)(m+n)2-4mn=(m-n)2；

(4)±6.

【分析】平均分成后，每個(gè)小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為如寬為機(jī)

(1)正方形的邊長(zhǎng)=小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)-寬；

(2)第一種方法為：大正方形面積-4個(gè)小長(zhǎng)方形面積，第二種表示方法為：陰影部分為小正方形的

面積；

(3)利用(m+n)2-4mn=(m-H)之可求解；

(4)利用(4-Z?)2=(〃+/?)之-4〃。可求解.

【解答】解：(1)由題意得：m-n；

故答案為：m-n；

(2)方法一：(m+n)2-4m?；

方法二：(m-n)2；

故答案為：(加十幾)2-4mn；(m-n)2；

(3)由(2)可得：(m+n)2-4mn=(m-n)2；

故答案為：(加十孔)2-4mn=(m-n)2；

2

(4)(a-b)2=(〃+Z?)-4abf

Va+b=S,ab=7,

：.(4-b)2=64-28=36,

:?a—b=+V36=+6.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了完全平方式的知識(shí)，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是讀懂題意，找到所求的量的等量關(guān)系.本

題更需注意要根據(jù)所找到的規(guī)律做題.

20.(2025春?沈陽(yáng)月考)先化簡(jiǎn)，再求值：[(3x-y)2-y2]4-(-3x)-y(2-孫)，其中x=g,尸-6.

【考點(diǎn)】整式的混合運(yùn)算一化簡(jiǎn)求值.

【專(zhuān)題】整式；運(yùn)算能力.

【答案】-3x+町2,11.

【分析】先根據(jù)完全平方公式、多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式和單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的計(jì)算法則進(jìn)行化簡(jiǎn)，再將數(shù)值代

入，即可求出結(jié)果.

【解答】解：原式=(9x2-6xy+9-y2)4-(-3x)-(2y-姬)

=-3x+2y-2y+xy2

=-3x+盯2,

當(dāng)％=I，y=-6時(shí)，

原式=-3x可+耳x(—6)2=11.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了整式的混合運(yùn)算與化簡(jiǎn)求值，解題的關(guān)鍵是根據(jù)運(yùn)算法則來(lái)進(jìn)行計(jì)算.

考點(diǎn)卡片

1.科學(xué)記數(shù)法一表示較大的數(shù)

(1)科學(xué)記數(shù)法：把一個(gè)大于10的數(shù)記成ax10"的形式，其中a是整數(shù)數(shù)位只有一位的數(shù)，n是正整數(shù)，

這種記數(shù)法叫做科學(xué)記數(shù)法.【科學(xué)記數(shù)法形式：aXIO",其中l(wèi)Wa<10,〃為正整數(shù).】

(2)規(guī)律方法總結(jié)：

①科學(xué)記數(shù)法中。的要求和10的指數(shù)n的表示規(guī)律為關(guān)鍵，由于10的指數(shù)比原來(lái)的整數(shù)位數(shù)少1；按此

規(guī)律，先數(shù)一下原數(shù)的整數(shù)位數(shù)，即可求出10的指數(shù)加

②記數(shù)法要求是大于10的數(shù)可用科學(xué)記數(shù)法表示，實(shí)質(zhì)上絕對(duì)值大于10的負(fù)數(shù)同樣可用此法表示，只是

前面多一個(gè)負(fù)號(hào).

2.用數(shù)字表示事件

用普通的數(shù)字去表示并解決生活中的一些事情，一方面讓學(xué)生了解了數(shù)學(xué)知識(shí)，另一方面也考察了學(xué)生的

思維能力.

3.平方根

(1)定義：如果一個(gè)數(shù)的平方等于。，這個(gè)數(shù)就叫做。的平方根，也叫做。的二次方根.

一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根，這兩個(gè)平方根互為相反數(shù)，零的平方根是零，負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根.

(2)求一個(gè)數(shù)。的平方根的運(yùn)算，叫做開(kāi)平方.

一個(gè)正數(shù)。的正的平方根表示為“VH”，負(fù)的平方根表示為“-VH”.

正數(shù)a的正的平方根，叫做a的算術(shù)平方根，記作傷.零的算術(shù)平方根仍舊是零.

平方根和立方根的性質(zhì)

1.平方根的性質(zhì)：正數(shù)。有兩個(gè)平方根，它們互為相反數(shù)；0的平方根是0;負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根.

2.立方根的性質(zhì)：一個(gè)數(shù)的立方根只有一個(gè)，正數(shù)的立方根是正數(shù)，負(fù)數(shù)的立方根是負(fù)數(shù)，。的立方根是

0.

4.立方根

(1)定義：如果一個(gè)數(shù)的立方等于a,那么這個(gè)數(shù)叫做。的立方根或三次方根.這就是說(shuō)，如果/=小

那么x叫做a的立方根.記作：Va.

(2)正數(shù)的立方根是正數(shù)，0的立方根是0,負(fù)數(shù)的立方根是負(fù)數(shù).即任意數(shù)都有立方根.

(3)求一個(gè)數(shù)。的立方根的運(yùn)算叫開(kāi)立方，其中a叫做被開(kāi)方數(shù).

注意：符號(hào)正中的根指數(shù)“3”不能省略；對(duì)于立方根，被開(kāi)方數(shù)沒(méi)有限制，正數(shù)、零、負(fù)數(shù)都有唯一一

個(gè)立方根.

【規(guī)律方法】平方根和立方根的性質(zhì)

1.平方根的性質(zhì)：正數(shù)a有兩個(gè)平方根，它們互為相反數(shù)；0的平方根是0；負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根.

2.立方根的性質(zhì)：一個(gè)數(shù)的立方根只有一個(gè)，正數(shù)的立方根是正數(shù)，負(fù)數(shù)的立方根是負(fù)數(shù)，。的立方根是

0.

5.合并同類(lèi)項(xiàng)

(1)定義：把多項(xiàng)式中同類(lèi)項(xiàng)合成一項(xiàng)，叫做合并同類(lèi)項(xiàng).

(2)合并同類(lèi)項(xiàng)的法則：把同類(lèi)項(xiàng)的系數(shù)相加，所得結(jié)果作為系數(shù)，字母和字母的指數(shù)不變.

(3)合并同類(lèi)項(xiàng)時(shí)要注意以下三點(diǎn)：

①要掌握同類(lèi)項(xiàng)的概念，會(huì)辨別同類(lèi)項(xiàng)，并準(zhǔn)確地掌握判斷同類(lèi)項(xiàng)的兩條標(biāo)準(zhǔn)：帶有相同系數(shù)的代數(shù)項(xiàng)；

字母和字母指數(shù)；

②明確合并同類(lèi)項(xiàng)的含義是把多項(xiàng)式中的同類(lèi)項(xiàng)合并成一項(xiàng)，經(jīng)過(guò)合并同類(lèi)項(xiàng)，式的項(xiàng)數(shù)會(huì)減少，達(dá)到化

簡(jiǎn)多項(xiàng)式的目的；

③“合并”是指同類(lèi)項(xiàng)的系數(shù)的相加，并把得到的結(jié)果作為新的系數(shù)，要保持同類(lèi)項(xiàng)的字母和字母的指數(shù)

不變.

6.規(guī)律型：數(shù)字的變化類(lèi)

探究題是近幾年中考命題的亮點(diǎn)，尤其是與數(shù)列有關(guān)的命題更是層出不窮，形式多樣，它要求在已有知識(shí)

的基礎(chǔ)上去探究，觀察思考發(fā)現(xiàn)規(guī)律.

(1)探尋數(shù)列規(guī)律：認(rèn)真觀察、仔細(xì)思考，善用聯(lián)想是解決這類(lèi)問(wèn)題的方法，通常將數(shù)字與序號(hào)建立數(shù)

量關(guān)系或者與前后數(shù)字進(jìn)行簡(jiǎn)單運(yùn)算，從而得出通項(xiàng)公式.

(2)利用方程解決問(wèn)題.當(dāng)問(wèn)題中有多個(gè)未知數(shù)時(shí)，可先設(shè)出其中一個(gè)為無(wú)，再利用它們之間的關(guān)系，設(shè)

出其他未知數(shù)，然后列方程.

7.整式

(1)概念：?jiǎn)雾?xiàng)式和多項(xiàng)式統(tǒng)稱(chēng)為整式.

他們都有次數(shù)，但是多項(xiàng)式?jīng)]有系數(shù)，多項(xiàng)式的每一項(xiàng)是一個(gè)單項(xiàng)式，含有字母的項(xiàng)都有系數(shù).

(2)規(guī)律方法總結(jié)：

①對(duì)整式概念的認(rèn)識(shí)，凡分母中含有字母的代數(shù)式都不屬于整式，在整式范圍內(nèi)用“+”或“-”將單項(xiàng)

式連起來(lái)的就是多項(xiàng)式，不含“+”或“-”的整式絕對(duì)不是多項(xiàng)式，而單項(xiàng)式注重一個(gè)“積”字.

②對(duì)于“數(shù)”或“形”的排列規(guī)律問(wèn)題，用先從開(kāi)始的幾個(gè)簡(jiǎn)單特例入手，對(duì)比、分析其中保持不變的部

分及發(fā)展變化的部分，以及變化的規(guī)律，尤其變化時(shí)與序數(shù)幾的關(guān)系，歸納出一般性的結(jié)論.

8.整式的加減

(1)幾個(gè)整式相加減，通常用括號(hào)把每一個(gè)整式括起來(lái)，再用加減號(hào)連接；然后去括號(hào)、合并同類(lèi)項(xiàng).

(2)整式的加減實(shí)質(zhì)上就是合并同類(lèi)項(xiàng).

(3)整式加減的應(yīng)用：

①認(rèn)真審題，弄清已知和未知的關(guān)系；

②根據(jù)題意列出算式；

③計(jì)算結(jié)果，根據(jù)結(jié)果解答實(shí)際問(wèn)題.

【規(guī)律方法】整式的加減步驟及注意問(wèn)題

1.整式的加減的實(shí)質(zhì)就是去括號(hào)、合并同類(lèi)項(xiàng).一般步驟是：先去括號(hào)，然后合并同類(lèi)項(xiàng).

2.去括號(hào)時(shí)，要注意兩個(gè)方面：一是括號(hào)外的數(shù)字因數(shù)要乘括號(hào)內(nèi)的每一項(xiàng)；二是當(dāng)括號(hào)外是時(shí)，

去括號(hào)后括號(hào)內(nèi)的各項(xiàng)都要改變符號(hào).

9.同底數(shù)塞的乘法

(1)同底數(shù)塞的乘法法則：同底數(shù)幕相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加.

am-an=a'n+n(m，〃是正整數(shù))

(2)推廣：a