2025年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《圓之弧長和扇形面積》專項(xiàng)測試卷及答案

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

1.如圖，在RtZXABC中NC=90。，點(diǎn)。在A3上，以點(diǎn)。為圓心的半圓與8C邊相切于。

點(diǎn)，分別交AB，AC于點(diǎn)E,F.

(1)求證：點(diǎn)。平分￡尸；

(2)當(dāng)4。=66，NC4D=3O。時(shí)，求AO的長.

2.如圖，是。的直徑，C、。為圓上兩點(diǎn)AB1CD,垂足為點(diǎn)E,連接8。并延長到點(diǎn)

M,連接AC,AMZM+ZC=90°.

(1)求證：?是。的切線;

(2)若AC=6,ZCAB=3O0求A。的長.

3.如圖，VABC內(nèi)接于。，點(diǎn)。為的BC中點(diǎn)，連接AD、BD,3E平分/4BC交AD于點(diǎn)

(1)求證：BD=ED；

(2)如圖2,若AC經(jīng)過點(diǎn)0,過點(diǎn)。作。的切線交AC的延長線于點(diǎn)尸，若鈿=麻CF=3,

求陰影部分的面積.

4.如圖，。是VABC的外接圓，為直徑，點(diǎn)E為C8上一點(diǎn)，且AC=CE,過點(diǎn)C作直

線CD//AE,直線。交班延長線于點(diǎn)D.

(1)求證：直線OC是。的切線；

⑵若E尸垂直平分03,垂足為點(diǎn)/，AD=4,求陰影部分的面積.

5.如圖所示，AB是圓。的直徑，弦垂足為E,48=30。0D=4.

(1)求證：BCEWODE；

(2)求圖中陰影部分的面積.

6.如圖，在VABC中NC=90。，以點(diǎn)C為圓心，BC為半徑的圓交于點(diǎn)，交AC于點(diǎn)E,

BC=6.

⑴若ZA=35。，求DE的長度；

(2)若AC=8,求助的長.

7.如圖，AB是圓。的切線，切點(diǎn)為5,A0交圓O于點(diǎn)0,且OC=；OA.

B

rA

(1)求8c的度數(shù)；

⑵設(shè)圓。的半徑為6,求圖中陰影部分面積(結(jié)果保留兀與根號(hào)).

8.已知四邊形神”是。的內(nèi)接四邊形NABC=2NP,連接OC、OA4C.

(1)如圖①.求NOS的度數(shù)；

(2汝口圖②，連接03、03與AC相交于點(diǎn)E,若403=90。,OC=2g,求BC的長和陰影部分

的面積.

9.如圖，A8是。的直徑，點(diǎn)。在。上，NACB的平分線交。于點(diǎn)。，過點(diǎn)。作的

平行線交6的延長線于點(diǎn)足

⑴求證：DE是。的切線;

⑵若=AE=正求圖中陰影部分的面積.

10.如圖，已知正方形河8的邊長為8,以"為直徑的。交對(duì)角線AC于點(diǎn)P,點(diǎn)E在

。上(E,尸分別在直徑的兩側(cè)).

⑴求NA防的度數(shù)；

(2)若AE=7,求-4FE的正弦值；

(3)求圖中陰影部分的面積.

H.如圖，AC是(。的直徑，尸為AC的中點(diǎn)，連接針并延長至點(diǎn)"使尸3=AP,連接

(1)求證BC為。的切線；

⑵若AC=4,求圖中陰影部分的面積.

12.如圖，在VABC中NC=90。，々AC的平分線交8C于點(diǎn)。，點(diǎn)。在AB上,以點(diǎn)。為圓

心，以為半徑的圓恰好經(jīng)過點(diǎn)。，分別交AC、居于點(diǎn)E、F.

⑴試判斷直線BC與。的位置關(guān)系，并說明理由；

(2)若即=2g,BF=2,求陰影部分的面積(結(jié)果保留兀).

13.如圖，。半徑為5,直徑AB，CD互相垂直，點(diǎn)尸為CAD上一點(diǎn)，連接CP,過點(diǎn)。

作CP垂線交。于點(diǎn)V,連接設(shè)直線CP與直線相相交于點(diǎn)0.

(1)當(dāng)點(diǎn)尸位于AD中點(diǎn)時(shí)，貝1]/尸。=。；

(2)如圖1,當(dāng)尸Q：CQ=1：2時(shí)：求點(diǎn)尸到AB的距離;

(3)如圖2,若點(diǎn)尸為線段CO中點(diǎn)時(shí)，求此時(shí)8〃的長度;

(4)若西=6,直接寫出AQ的長.

14.如圖，正六邊形ABCD所為。的內(nèi)接正六邊形.

(1)ZA?=_度；

(2)比較劣弧初與正六邊形MCD跖最長對(duì)角線的長度哪個(gè)更長？

⑶連接AC,M為線段AC上的動(dòng)點(diǎn)，連接腕，MD,。的半徑為廣，求ZWM和VCD暇的

面積和(用含廠的式子表示).

15.如圖1,將RtA43C的頂點(diǎn)A放在。直徑社的端點(diǎn)E處，頂點(diǎn)。在DE上，邊與

。相交于點(diǎn)尸.已知N8AC=6O。，ZACS=90°。的半徑為8.

（1）求扇形網(wǎng)步的面積；

⑵從圖1的位置開始，將VA5c繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)尸與點(diǎn)。重合時(shí)（如圖2所示），

若邊BC與Q恰好相切于點(diǎn)尸，求AC的長；

⑶在（2）的基礎(chǔ)上，若的頂點(diǎn)A在。上滑動(dòng)，當(dāng)直角頂點(diǎn)。恰好落在。上且

在直徑社的右側(cè)（如圖3所示）時(shí)，邊BC與射線即交于點(diǎn)G,與。的另一交點(diǎn)為“，

若DG=1,求S的長.

參考答案

1.⑴見解析

（2）4兀

【分析】（1）連接“，根據(jù)切線的性質(zhì)得到。。〃AC,再根據(jù)平行線的性質(zhì)結(jié)合等腰三

角形的性質(zhì)得到^OAD=ACAD,進(jìn)而利用弧和圓周角的關(guān)系可得結(jié)論；

（2）連接根據(jù)圓周角定理得到加E=9。。，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求得

ZAOD=120%在RtADE中，利用銳角三角函數(shù)定義求得。的半徑。1=6,然后利用弧長

公式求解即可.

【詳解】（1）證明：連接“，則

，ZOAD=ZODA.

與。相切

/.ZODB=90°.

又,:ZC=90°

，ZODB=ZC

：.OD//AC

：.ZODA=ZCAD

：.ZOAD=ZCAD.

，DE=DF，即點(diǎn)D平分EF；

(2)解：連接。E,則ZAZ)石=90。.

ZOAD=ZODA=ACAD=30°

，ZAOD=120°

在^RtADE中,由AD=6\/3cosX.EAD—cos30°=----

AE

—AD6A/3-

乙曰AE=------------=—7^=12

得:cos/EADy/3

~2~

：.。的半徑OA=6

?AAIX120兀'6.

..AO的長為一^—=4兀.

loU

【點(diǎn)睛】本題考查了圓的切線性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)、圓周角定理、弧與圓周角

的關(guān)系、解直角三角形、弧長公式等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)的運(yùn)用及聯(lián)系是解答的

關(guān)鍵.

2.(1)詳見解析

⑵手萬

【分析】本題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，垂徑定理，直角三角形的性質(zhì)，解直

角三角形，弧長公式，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

(1)利用圓周角定理得到4=NC,得出/胡M=90。，即可得到結(jié)論;

(2)連結(jié)。得至l」/AC￡>=60o,CE=OE=/C=3,求出0￡>=_^=2百

2sm600

求出AD的長=叱沔=攣

【詳解】(1)證明："+"=90。NB=NC

:.ZM+ZB=90°

:.ZBAM=90°

四是，。的直徑

??.溫是。的切線;

(2)解：連結(jié)8

,??4B是。的直徑ABLCD

B

.：AS垂直平分CD

NCAB=30°,AC=6

ZACD=60°,CE=DE=-AC=3

2

:.ZAOD=120°

.-.ZDOB=60°

3.(1)見解析

(2)9A/^—3萬

【分析】(1)由題意，得NCW=4W,則NCBO=NC4D=N&1D,因?yàn)镹CBE=/4SE,所以

ZCBE+ZCBD=ZABE+ABAD,即可證明ZDBE=ZDEB,貝!jBD=ED；

(2)證明AB=3D=DC,得AB=BD=DC,得ZDOC=60。，證明是等邊三角形，得

OD=DC=COZODC=ZOCD=60°再證明CD=CF=3,得。￡>=3,OF=6由勾股定理得

DF=3出,求出L"，S叱s=9從而求出S陰影=見學(xué).

【詳解】（1）證明：:點(diǎn)。為BC的中點(diǎn)

BD=CD

/.ZCAD=ZBAD

/.ZCBD=ZCAD=ZBAD

:3石平分/ABC交AD于點(diǎn)E

：.ZCBE=ZABE

，/CBE+/CBD=ZABE+/BAD

?：ZDBE=/CBE+NCBD,ZDEB=ZABE+/BAD

，ZDBE=ZDEB

/.BD=ED.

BD=CD

/.BD=CD

由（1）知DE=BD

：.DE=BD=DC

*/AB=DE

：.AB=BD=DC

.AB=BD=DC

/.ZAOB=ZBOD=/DOC=60°

?/OD=OC

.?.△C8是等邊三角形

OD=CD=OC,NODC=NOCD=60°

?.?祥是；。的切線

/.OD±DF,BPZODF=90°

，ZCDF=90°-60°=30°

又ZOCD=ZCDF+ZCFD

/.ZCFD=ZOCD-ZCDF=60°-30°=30°

ZCDF=ZCFD

：.CD=CF=3

：.OD=OC=CD=3

：.OF=OC+CF=3+3=6

在RtAODF中OF=yj0F2-0D2=762-32=373

?c1"c八12W°9/?_60^x32_3

??sODF=-￡>F-O￡)=-x3^3x3=^-S扇形=360=5萬

?。c9指一3萬

?*?陰影部分_'ODF-》扇形OOC一?

【點(diǎn)睛】本題主要考查圓周角定理、角平分線定義、切線的性質(zhì)、等邊三角形的判定

與性質(zhì)、勾股定理、求扇形面積等知識(shí)，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

4.(1)見解析

⑵

【分析】(1)連接OC,根據(jù)圓周角定理和平行線性質(zhì)證明4+NCAB=90。ZACD=ZB,再

根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得NO6=NG4B,從而可得出"CO=NOC4+ZACD=90。，即可由切

線的判定定理得出結(jié)論；

(2)連結(jié)。￡、BE,證明。如為等邊三角形.得出4OE=60。，從而求得ZAOE120°,再

利用平行線的性質(zhì)與直角三角形的性質(zhì)求得OC=AD=4,則OA=O2=OE=OC=4,用勾股

定理求出匹=2白，即可由$陰影-S扇形AOE—SOAE求解.

?AC=CE

：.ZB=ZCAE

*/CD//AE

/.ZACD=NCAE

/.ZACD=ZB

???A5為。的直徑

/.ZACS=90。

/.ZB+ZC4B=90°

*/OA=OC

/.ZOCA=ZCAB

：.ZOCA^ZB=90°

ZDCO=ZOC4+ZACD=90°

?：OC為O的半徑

???直線。。是，。的切線.

(2)解：連結(jié)。石、BE

所垂直平分03

:.OE=BE

OE=OB

「.VOE5為等邊三角形.

:.ZBOE=S。

ZAOE=180。—60°=120°

ZOAE+ZOEA=60°

OA=OE

.\ZOAE=ZOEA=30°.

DC//AE

:.ZD=ZOAE=30°.

ZOCD=90°

OD=2OC=OA+AD

OA=OC

:.OC=AD=4

.?.OA=OB=OE=OC=4

瓦垂直平分08

JOF=-OB=2ZEFO=90°

2

，EF=ylOE2-OF2=A/42-22=273

SOAE=^AO-FE=gx4x2百=4g

_120^-x42_16

扇形儂=360F

S

--S陰影=S扇形AOE~OAE=---4^3.

【點(diǎn)睛】本題考查切線的判定，圓周角定理及其推論，等邊三角形的判定與性質(zhì)，直

角三角形的判定與性質(zhì)，扇形的面積與不規(guī)則圖形的面積、三角形的面積，平行線的

性質(zhì).熟練掌握切線的判定、圓周角定理及其推論、不規(guī)則圖形的面積計(jì)算方法是解

題的關(guān)鍵.

5.(1)見解析

⑵事

【分析】本題主要考查了垂徑定理、扇形面積公式，全等三角形的判定和性質(zhì)，圓周

角定理，解題的關(guān)鍵是掌握以上知識(shí)點(diǎn).

(1)由垂徑定理得到CE=￡D,然后求出見=/3位，即可證明出BCEgODE(ASA)；

=

(2)首先得出S&BCES^ODE,然后得到S陰影=S扇形ODB-SDOE+SBEC=S扇形ODB,然后利用扇形面

積公式求解即可.

【詳解】(1)因?yàn)榻钍恰５闹睆剑褻DM5

所以CE=￡S.

因?yàn)?BCD=30。

所以ZDOE=2ZBCD=60°

所以ZODE=90°-60°=30°

所以NODE=NBCE

又因?yàn)镹BEC=ZOED=90°

所以BCE^,ODE(ASA)；

(2)由(1)的結(jié)論,知口CE=S-

所以S陰影=S扇形ODB_SDOE+SBEC

-q

一°扇形0。3

2

_60KxOD

~360

_8兀

2

6.⑴京

(2)7.2

【分析】（1）如圖所示，連接根據(jù)直角三角形兩銳角互余可得4=55。，由等邊對(duì)

等角可求出4a>=70。，則有“CE=20。，由弧長公式/弧長=黑（〃是弧長所對(duì)的圓心角的

1OU

度數(shù)）即可求解；

（2）如圖所示，過點(diǎn)C作即于點(diǎn)，由垂徑定理可得加=2瓦根據(jù)勾股定理可得

A3的長，根據(jù)等面積法可得C尸，在凡中，由勾股定理可得昉=。斤=3.6,由此即可

求解.

【詳解】（1）解：如圖所示，連接8

在ABC中ZACB=90°,ZA=35°

/.ZB=90。-ZA=90。-35。=55。

*/CB=CD

/.ZCBD=ZCDB=55°

/./BCD=180—ZCBD-ZCDB=180。—55°-55°=70°

/.ZDCE=ZACB-ZBCD=90°-70°=20°

*/C的半徑3C=CD=CE=6

?.20°XKX62

.?/.=--------------=—7T

DE18003

1?DE的長度為9兀;

（2）解：如圖所示，過點(diǎn)。乍中，如于點(diǎn)下

B

在心ABC中AC=8,BC=6

AB=7AC2+5C2=A/82+62=10

,/S=-ACBC=-ABCF

ABRrC22

22

.,?在用BCV中BF=y/BC-CF=A/62-4.82=3.6

/.BD=2BF=2x3.6=12

.,?加的長為7.2.

【點(diǎn)睛】本題主要考查直角三角形兩銳角互余，等腰三角形的判定和性質(zhì)，弧長的計(jì)

算，垂徑定理，勾股定理等知識(shí)的綜合，掌握弧長的計(jì)算公式，垂徑定理于勾股定理

的綜合運(yùn)用是解題的關(guān)鍵.

7.(1)60°

(2)18A/3-6TT

【分析】本題主要考查了扇形面積公式、切線的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，得出陰影部

分的面積為SOBC-S扇形甌是解題關(guān)鍵.

(1)如圖：連接BC,直接利用切線的性質(zhì)得到然后推導(dǎo)△OBC是等邊三

角形，得到-3OC的度數(shù)即可解答；

(2)利用勾股定理得A8=6g,再根據(jù)S陰影=S甌-S扇形.Be即可解答.

【詳解】(1)解：如圖：連接BC.

加是圓。的切線，切點(diǎn)為B

又OC=^OA

BC=-OA

2

:.OC=BC

QOC=OB

：.OC=OB=BC

是等邊三角形

.-.ZBOC=60°

的度數(shù)為60。.

(2)解：圓O的半徑為6oc=^OA

:.OA=12

???RtABO中AB='OA—OB2=?*—6=6百

SAABO=gxOBxAB=gx6x6^3=18^/3

60XKX62

「3扇形OBC=疏=6兀

=1873-671.

-S陰影—SOBC—S扇形os。

8.(1)30°

(2)3%-2百

【分析】本題考查了扇形面積的計(jì)算，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，解直角三角形的知識(shí)，

求不規(guī)則的陰影部分的面積時(shí)常常轉(zhuǎn)化為幾個(gè)規(guī)則幾何圖形的面積的和或差是解題的

關(guān)鍵.

(1)根據(jù)題意得到ZABC+ZP=180°,根據(jù)ZABC=2NP得到々+24=180。，從而求得

々=60。，最后根據(jù)OA=OC,即可得到結(jié)果；

（2）根據(jù)題意得到/狽=4%-4必=90。，利用勾股定理得OE=2然后利用

S陰影=S扇形08C—S/\OEC求解即可.

【詳解】（1）解：?.?四邊形鉆。是。的內(nèi)接四邊形

1?ZABC+ZP=180°

/ZABC=2ZP

4P+24P=180°

ZP=60°

/.1AOC2?P120?

'/OA=OC

(2)VZCOB=90°ZACO=90。

：.EC=2OE

在RtOC￡中OC=2百

/.OE2+OC2=EC2

解得OE=2

=-OEOC=-x2x2g=2g

22

90?x(2扃

S扇形05c=荻2=3%

??§陰影=5扇形。&：_5。及？=3兀-26.

9.（1）見解析

(2)5-71

【分析】（1）如圖，連接加，OD,AD,首先由直徑得到NAD3=90。，然后證明出A￡>=￡?,

得到然后推出8LED,即可證明OE是G。的切線；

（2）如圖所示，過點(diǎn)4作即垂線釬，首先證明出四邊形48尸為正方形，設(shè)圓半徑為

R,利用勾股定理求出R=2,得到即=：AB=3,然后利用陰影面積=S40sf”代數(shù)求

解即可.

【詳解】(1)解：如圖，連接加，OD,AD

TAB是。的直徑

/.ZADB=90°

DC平分/AC6

/.ZACD=ZDCB

:.AD=DB

4汨為等腰直角三角形

:.OD±AB

ED//AB

:.ODLED

：?ED為。的切線；

(2)解：如圖所示，過點(diǎn)A作口垂線轉(zhuǎn)

FD//AO

:.AF±AB

*/ODLED

???四邊形AO”為矩形

又AO=DO

，矩形A8尸為正方形

設(shè)圓半徑為尺

DE=-3ABFD=OA=1—AB

42

:.EF=DE-FD=-3AB——1AB1=-A1B=-R

4242

/.AE1=AF2+EF2

,,,心）

解得：R=2,負(fù)值舍去

3

/.ED=-AB=3

4

陰影面積=S梯形皿,-S扇形儂=；（AO+ED）xno-]〃。2

=-（2+3）x2--7ix22

2V74

=5-71.

【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定，圓周角定理，正方形性質(zhì)與判定，勾股定理，扇形

面積公式等知識(shí)點(diǎn)，能綜合運(yùn)用定理進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵.

10.（1）45°

（3）24-4^

【分析】（1）首先連接應(yīng)BD,易得點(diǎn)尸是對(duì)角線AC與m的交點(diǎn)，即可得ZAB尸=45。,

又由在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，即可求得一但的度數(shù)；

（2）首先連接BE,由AB是直徑，即可得乙煙=90。，然后在RtA43E中，由三角函數(shù)的

定義，即可求得-4狙的正弦值，繼而求得/AFE的正弦值；

（3）連接。由S陰影=S梯形OBCF-S扇彩BOF,即可求得答案.

【詳解】（1）解：如圖，連接所，BD

加為。的直徑

.-.ZAFB=90°

四邊形ABCD是正方形

s.ACLBD

.?.點(diǎn)B,F,。共線

即點(diǎn)F是對(duì)角線AC與m的交點(diǎn)

:,ZABF=45°

:.ZAEF=ZABF=45°；

(2)解：連接助

是直徑

:.ZAEB=90°

AB=8AE=7

sinZABE=—=-

AB8

ZABE=ZAFE

???"花的正弦值為：;

o

(3)解：如圖，連接OFBF

四邊形ABC。是正方形，尸為正方形的中心

:.AF=BF

OA=OB

OFYAB

即ZBOF=9Q0

,?S陰影=S梯形—S扇形BOF

=1x(OF+BC)xOB-^x(OB)2

=-x(4+8)x4--x^-xl6

2v74

=24—4/r.

，陰影部分的面積為24-4萬.

【點(diǎn)睛】此題考查了正方形的性質(zhì)、圓周角定理、三角函數(shù)的定義以及扇形的面積.此

題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

11.⑴見解析

(2)6-萬

【分析】(1)根據(jù)AC是。的直徑，可得ZAPC=NBPC=90。，再根據(jù)尸為AC的中點(diǎn)，得

出AP=C尸，再推出ZACB=90。，從而得證；

(2)利用5陰=S麗-SAW-S扇poc求得陰影部分的面積.

【詳解】(1)證明：???m是。的直徑

ZAPC=ZBPC=90°

???尸為AC的中點(diǎn)

..AP=CP

ZPAC=ZPCA=45°

*/PB=AP

：.ZPCB=ZPBC=45°

，ZACB=ZACP-^-ZBCP=90°

，AC.LBC

：?BC為。的切線；

(2)角軋VAC=4

BC=AC=4OA=OP=2

???P為AC的中點(diǎn)

/.ACLOP

?cccc1..1__90TTx22,

??8陰=SMC_S4。尸_5扇「00=-x4x4--x2x2——=6一%

【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定，圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)以及扇形面積公式

的應(yīng)用，正確掌握切線的判定是解題的關(guān)鍵.

12.(1)直線8C與：。的位置關(guān)系是相切，理由見解析

(2)2V3-1K

【分析】本題考查了切線的判定定理、扇形面積、勾股定理，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并

靈活運(yùn)用是解此題的關(guān)鍵.

(1)連接證明8〃AC,得出/OD3=/C=90。，即ODL3C,即可得證；

(2)設(shè)=8=無，則03=0尸+M=x+2,由勾股定理得出。。=。尸=2,解直角三角形得

出/DOB=60°,再根據(jù)9陰影=S。。L$扇形.計(jì)算即可得解.

【詳解】(1)解：直線BC與。的位置關(guān)系是相切，理由如下：

如圖，連接OD

：AD是N&LC的平分線

，ZBAD=ZCAD

9：OA=OD

，ZOAD=ZODA

：./CAD=NODA

OD//AC

：.ZODB=ZC=90°,IPOD±BC

???“為半徑

，直線BC與。相切；

(2)角星：設(shè)。尸=OD=x,貝ljO3=OW+BE=x+2

由勾股定理可得：OB2=OD2+BD2,即(X+2)2=/+(26『

解得：x=2

OD=OF=2

：.OB=4

...,egOD1

.sinAOBD=----=一

OB2

NOBD=30。

/.ZDOB=60°

?c_60Kx4_2

,,WDOF=^60-=37r

[22

S陰影=s8B_S扇形D0b=-X2X2A/3--71=2A/3--7T.

13.(1)22.5；

⑵點(diǎn)尸到AB的距離為］

⑶葛

(4)AQ的長為三或30.

【分析】(1)利用圓周角定理即可求解；

(2)作PE，鉆于點(diǎn)E,證明△PQES^CQO,利用相似三角形的性質(zhì)即可求解；

(3)先求得OC=OP=CP,推出/3OM=30。，再利用弧長公式即可求解；

(4)連接AP,作。尸，AP于點(diǎn)尸，作PE_LAB于點(diǎn)E,求得AP=BM=6,AF=^AP=3由勾

股定理求得。尸的長，利用等積法求得用的長，再分兩種情況討論，利用相似三角形的

判定和性質(zhì)即可求解.

【詳解】(1)解：???直徑AB，CD互相垂直

ZAOD=ZAOC=90°

當(dāng)點(diǎn)尸位于AD中點(diǎn)時(shí)

ZAOP=ZDOP=-ZAOD=45°

2

/./PCD=-APOD=22.5°.

2，

(2)解：作于點(diǎn)如圖

則ZPEQ=9Q°=ZCOQ

,/ZPQE=ZCQO

Z\PQE^Z\CQO

/.PE:CO=PQ:CQ=1:2

/.PE=-OC=-

22

???點(diǎn)尸到"的距離為1

(3)解：如圖

*/PCLCM

/.ZPCM=90°

，尸河是。的直徑

若點(diǎn)尸為線段C0中點(diǎn)時(shí)

貝(jOP=；CQ=CP=PQ

/.ZPOC=ZOCP

,/OC=OP

：.OC=OP=CP

/.ZPOC=NOCP=ZOPC=60°

/.ZBOM=ZPOQ=ZAOC-ZPOC=30°

此時(shí)BM的長度=［；

1806

(4)解：若瀏1=6,連接AP,作。尸，AP于點(diǎn)尸，作于點(diǎn)E

/.ZAFO=ZPEQ=90°AF=PF=-AP

.*ZAOP=ZBOM

二?AP=BM=6AF=-AP=3

2

在RtAO尸中，由勾股定理得郎=一/2=在_32=4

AOP=^OA-PE=^AP-OF

APOF6x424

得PE=

OA55

24

在RtAO/中OE=^OP2-PE2=J52-

5二

當(dāng)點(diǎn)尸在AO上時(shí)

由（2）知△尸

24

.\EQ=PE=X24

OQCO525

2575

，OQ=^—OE=___x__—__

25+24495~7

30

AQ=OA—OQ=—；

?//PEQ=ZCOQ=90°/PQE=ACQO

/.Z\PQE^/\CQO

24

絲—=w24

OQCO525

.OE_25-24_1

OQ2525

7

/.OQ=25OE=25x-=35

，AQ=OQ-OA=30

綜上，AQ的長為9或30.

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，弧長公式，圓周角定理，

正確引出輔助線解決問題是解題的關(guān)鍵.

14.(1)60

(2)劣弧前比正六邊形/最長對(duì)角線的長.

⑶4

【分析】本題考查圓與正多邊形的基本性質(zhì)，能夠正確做出輔助線是解題關(guān)鍵.

(1)根據(jù)正多邊形性質(zhì)求解即可；

(2)連接OE,CF,b為正六邊形最長對(duì)角線，通過弧長公式算出劣弧前的長

度與3比較即可；

(3)如圖，過B點(diǎn)作3G1,AC于G點(diǎn)，先求出AC的長度，再分別用r表示出AA?和VCDM

的面積，再相加計(jì)算即可.

【詳解】(1)解：??.正六邊形神CDEF為。的內(nèi)接正六邊形.

ZAOF=^360-°=60°

6

故答案為：60.

(2)如圖，連接OE,CF,C歹為正六邊形"CD/最長對(duì)角線

設(shè)。的半徑為r,貝|]CV=2廠AO=OE=r

360°

/.ZAOE=——x2=120°

6

?'?劣弧初的長度為：^|^x^-r=|^-r>2r

劣弧初比正六邊形ABCDEF最長對(duì)角線的長.

(3)如圖，過3點(diǎn)作8GLAC于G點(diǎn)

/.ZAGB=90。

二?正六邊形的內(nèi)角和為：(6-2卜180。=720。

720°

ZABC=ZFAB=/DCB=—=120°

6

VZAOF=60°OF=OA

，RM為等邊三角形

二?AF=r

又二正六邊形ABCDM

/.CD=CB=AB=AF=r

ZBAC=ZBCA=30°

GB=-rAG=GC

2

???AG=yjAB2-BG2=-r

2

AC=V3r

ZFAB=ZDCB=120°ABAC=ZBCA=30°

ZFAC=ZACD=90°

S=-AFxAM=-rxAMS=-CDxCM=-rxCM

aAFMr22CDM22

1ii11M

=—rxAMH■—rxCM=—rx(CM+AM)=—rxAC=—rxy/3r=—:

°AFM丁」CDM2221