專題06三角形與四邊形

題型概覽

題型01三角形有關的線段

題型02勾股定理

題型03全等的判定與性質

題型04相似的判定與性質

題型05多邊形的角、邊、對角線

題型06平行四邊形的判定與性質

題型07矩形的判定與性質

題型08菱形的判定與性質

題型09正方形的判定與性質

<<01三角形有關的線段

1.（2025?河北保定?一模）下列五邊形具有穩定性的圖形是（）

2.（2025?福建三明?一模）己知方程（》-2乂f-4x+a）=0的三個互不相等的實數根可作為三角形的三邊邊

長，則實數。的取值范圍是（）

A.\<a<3B.1<?<4

C.3<〃<4D.2vav3

3.（2025?江蘇鎮江?一模）等腰三角形的周長是12,底邊長為2,那么它的一條腰長是（）

A.2B.5C.6D.4

4.（2025?河北邢臺?一模）如圖，根據尺規作圖的痕跡，可以判斷3。是VABC的（）

5.（2025?甘肅隴南?一模）如圖，在VABC中，點。，E分別是AC,AB上的中點，連接8。，DE,若VABC

的面積為10,則VBDE的面積為（）

6.（2025?陜西西安?一模）如圖，在周長為20cm的VA3c中，AD是邊上的中線，已知CD=4cm,

AC=7cm,則AB的長為（）

A.6cmB.5cmC.4cmD.3cm

7.（2025?廣東深圳?一模）下列說法正確的是（）

A.三角形的高、中線、角平分線都在三角形的內部

B.所有的等邊三角形都是全等三角形

C.等腰三角形是關于一條邊上的中線成軸對稱的圖形

D.如果兩個三角形關于某直線成軸對稱，那么它們是全等三角形

8.（2025?河北?一模）如圖，在VA3C中，BA=BC,ZB=40°,點。在BC邊上，點。為AWC的內心,

當△海為鈍角三角形時，a<ZAOC</3,則。和￡的值分別為（）

A.?=110°,6=130。B.a=100°,/?=135°

C.<2=110°,C=135°D.a=100°,#=130°

Ix>m-6

9.（2025?山東日照?一模）線段3,3,機能構成三角形，且使關于x的不等式組。。.“有解的所有整

[-3x+8>3/72-4

數小的和為.

10.（2025?廣西來賓?一模）如圖，VABC是等腰三角形，AB=AC,ZA=36°.

⑴尺規作圖：作-ABC的平分線，交4c于點”；（要求：不寫作法，保留作圖痕跡，標注字母）

（2）若AC=2,BC=y/5-l,求△3MC的周長.

救喳02

1.（2025?海南?一模）如圖，尸是矩形ABCD（AB>A。）的邊AB上一動點，尸是BC的中點，連接OP,將A/MP

沿DP所在直線折疊，點A的對應點是點E,連接跖.已知A3=2質，當線段所的最小值為1時，邊BC

的長為（）

A.9B.8C.7D.6

2.（2025?海南?一模）如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標為（-3,4）,連接。4,將線段Q4向右平移到

CB,若四邊形。IBC為菱形，則點8的坐標為（）

3.（2025,海南?一模）如圖，在Rt^ABC中，N54c=90。，NC=60。，AC=20點。在邊A3上（不與

點A,B重合）.將線段8。繞點8順時針旋轉45。到物，連接AE,若龍是等腰直角三角形，則AD的

A.6-372B.2^/3C.372D.6-26

4.（2025?河南南陽?一模）如圖，菱形A3CD的對角線AC,相交于點。，過點B作即，4）于點F,連

接OF,若CD=5,AC=8,則OP的長為（）

35

A.-B.2C.-D.3

22

5.（2024?天津一模）如圖，將VABC繞點A順時針旋轉得到VADE,點C的對應點E落在CB的延長線上,

連接BO,BD=10,DE=6,CE=\4,則AE的長為（）

A.7B.772C.8D.10

6.（2025?廣西貴港?一模）如圖所示為雷達圖，規定：1個單位長度代表100m,以點。為圓心，過數軸上的

每一刻度點畫同心圓，并將同心圓平均分成十二等分.一艘海洋科考船在點。處用雷達發現A,8兩處魚

群，那么A,8兩處魚群的距離是（）

A.5mB.100mC.500mD.300m

7.（2017?廣東廣州?一模）如圖，在AABO中，ZD=9O°,CD=6,AD=8,NACD=2NB,則B。的長是（）

C.16D.18

8.（2025?山東臨沂?一模）如圖，在矩形A3CD中，AB=6,AD=10,點E在。C上，將矩形A3CD沿AE

折疊，點D恰好落在BC邊上的點F處，那么tan/EFC=

9.（2025?黑龍江齊齊哈爾?一模）如圖，正方形A3CD中，9=2,點E為正方形A3CD內部一點，連接

AE,BE,CE,且=當ABCE為等腰三角形時，AE的長為

10.（2025?河南南陽?一模）如圖，在平面直角坐標系中，矩形ABCD的頂點B、C在x軸上，將該矩形A3CD

沿對角線3D折疊，點C的對應點為點E,班交AD于點F.已知鉆=80=4,OC=5.則點F的坐標為

IL（2025?江蘇連云港?一模）在網格中，每個小正方形的頂點稱為格點.如圖，在4x4的網格中，點A、B、

C都在格點上，那么tanZBAC的值為.

B

12.（2025?山東濟寧?一模）在高為5m,坡面長為13m的樓梯表面鋪地毯，每米造價。元，鋪完整個樓梯總

造價需要元.

13.（2025?甘肅定西?一模）如圖，一棵垂直于地面的樹在一次強臺風中從距離地面2米處折斷倒下，倒下

部分與地面成30。角，這棵樹在折斷前的高度為

1.（2025?遼寧葫蘆島?一模）矩形ABCD中，AB=4,BC=6,延長BA到點E,使AE=AB,連接EC,交AD

于點尸，連接￡?,則即的面積為（）

E

2.（2025?天津西青?一模）如圖，在RtAABC中，ZACB=90°，把Rt/XABC繞點C順時針旋轉90°得到QEC,

點A,8的對應點分別為。，E,DE的延長線與A8相交于點連接班，則下列結論一定正確的是（）

A.BE=AEB.ZABC=ZBEF

C.AE+BC=EDD.DFLAB

3.（2025?山東濟南?一模）如圖，ACBA沼ACBD,若ND=75。,ZACB=65°,則為血）的度數為（）

A.40°B.60°C.80°D.140°

4.（2025?山東濟南?一模）如圖，點尸，B,E,C在同一條直線上，A4BC4△DEF,若NA=30。,立尸=26。,

A.54°B.56°C.58°D.60°

5.（2025?黑龍江大慶,一模）下列說法正確的是（）

A.面積相等的兩個三角形全等

B.角平分線上的點到角的兩邊距離相等

C.4的平方根是2

D.且是分數

2

6.（2025?湖南張家界?一模）如圖，△ABC絲△的）￡,/B=80。，ZC=30°,則ZZME的度數為（）

A.90°B.80°C.70°D.60°

7.（2025,安徽合肥,一模）如圖1,菱形ABCD中，ZD=60°,AB=4,點、E,尸分別在邊AB,AD±,AE=DF.

（1）求證：ABEC沿@FC；

⑵求取的最小值；

⑶如圖2,線段族的中點是點。，連接02,OD,求四邊形O3CD的面積.

8.（2025?河南南陽?一模）華師大版教材八年級下冊121頁有一道習題:

圖1圖2

（1）該習題不添加輔線，只需證明,即可得到結論.

⑵如圖1,正方形ABCD中，點、E、G分別在邊AB、AD上.

①過點G作Ga_LCE交BC于點（要求尺規作圖，不寫作法，僅保留作圖痕跡）.

②求證：GH=CE.

（3）如圖2,黃金矩形ABC。（絲=1二1）中，點、E、G、H分別在邊A3、AD、BC±,且G"，CE,

BC2

若CE=m.請直接寫出線段G8的長（用含加的式子表示）.

9.（2025?陜西漢中?一模）如圖，點E在正方形ABC。的邊BC上，點F在8C的延長線上，連接AE、DF,

AE=DF.求證：BE=CF.

10.（2025?寧夏銀川?一模）如圖，在菱形ABCD中，￡是CO的中點，連接AE并延長，交BC的延長線于

點、F.

⑴求證：BC=CF；

（2）連接AC,若AB=3,AELAB,求AC的長.

11.（2025?山東淄博?一模）將矩形ABCD繞點A順時針旋轉1（0°<1<360。），得到矩形A￡FG.

（1）如圖，當點E在上時，求證：FD=CD；

（2）當。為何值時，GC=G3?不畫圖形，請直接寫出結論.

12.（2025?河南鄭州?一模）如圖，在菱形ABC。中，對角線AC,相交于點O.

A■D

----------------

⑴尺規作圖：在菱形A3CD的邊AD上方找一點E,使得AAEDZABOC（不寫作法，保留作圖痕跡）;

（2）連接OE,求證：OE=AB.

相似的判定與性質

1.（2025?湖南長沙?一模）如圖，下列條件不能判定的是（）

A

A.ZADB^ZABCB.ZDBA=NCC.AB23=AD-AC

2.（2025?上海松江?一模）已知命題：

①兩邊及第三邊上的中線對應成比例的兩個三角形相似;

②兩邊及第三邊上的高對應成比例的兩個三角形相似.

下列對這兩個命題的判斷，正確的是（）

A.①和②都是真命題B.①和②都是假命題

C.①是真命題，②是假命題D.①是假命題，②是真命題

3.（2025?上海嘉定?一模）下列兩個三角形一定相似的是（）

A.兩個直角三角形B.有一個內角為40。的兩個直角三角形

C.兩個等腰三角形D.有一個內角是40。的兩個等腰三角形

4.（2013?吉林白城?一模）如圖，在三角形紙片ABC中，AB=6,AC=4,BC=8,沿虛線剪下的涂色部

分的三角形與VABC相似的是（）

BD2CBC

AR9

5.（2025廣東湛江?一模）若△ABCSADER—=一，VABC的周長是8,則ADEF的周長是（）

DE3

A.27B.18C.15D.12

6.（2025?安徽合肥?一模）如圖，AABCs^BDC,若AC=3,BC=C,貝UVA3c與力。。的相似比為

（）

A.1：V3B.1:3C.3:1D.73:1

7.（2025?湖南?一模）如圖，已知VABC與△/）￡尸位似，位似中心為。，且VABC的面積與〃湖的面積之

比為25:16,則等于（）

A.4:9B.16:25C.5:9D.4:5

8.（2025?廣西河池?一模）小鄭在做"小孔成像”實驗時,蠟燭到擋板的距離與擋板到屏幕的距離之比是1：2.若

燭焰AC的高是4cm,則實像的高是（）

C.6cmD.5cm

9.（2025?遼寧?一模）若兩個相似三角形的相似比是1:3,則這兩個相似三角形的面積比是

10.（2025?福建?一模）如圖，四邊形ABCD是一張矩形紙片，點、E、F在邊上，沿著DE折疊，使。4邊

落在。C邊上，點A落在點”處；沿著CF折疊，使CB邊落在CD邊上，點8落在點G處.若矩形HEFG與

An

原矩形ABCD相似，則而為

11.（2025,河南鶴壁?一模）如圖，在VA3C中，AB=4,AC=5,BC=6.將VABC折疊，使點B的對應

點8'落在邊AC上，折痕分別與AB,BC交于點D,E.若AB'CE與VABC相似，則CE的長為

12.（2025?貴州黔南?一模）如圖，在AABC中，是。。的直徑，C是上一點，在。。上找一點

使得CO=8C連接相＞，過點C作AD的垂線，垂足為E.

（1）求證：AACE^AASC；

⑵求證：CE是。。的切線；

（3）若AD=2CE,OA=42,求陰影部分的面積.

13.（2025,浙江杭州?一模）如圖，已知正方形ABCD的對角線相交于。點，CE平分NBG4交于點E,

DHLCE,交AC于點G,交BC于點、H.

AD

⑴求COS/3C4的值;

（2）求證：八DOGs^DCH；

⑶求正器=2.

14.（2025?山西陽泉?一模）如圖，已知矩形ABCD及對角線AC.

（1）過點8作AC的垂線，垂足為點E；（要求：尺規作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）

⑵結合圖形猜想AABESAC4￡）,請將下面的證明過程補充完整.

證明：?.?四邊形A3CD是矩形,

①,ZD=@。（矩形的對邊平行，每個角都是直角）.

.-.ZBAE^ZACD（③）.（填寫推理的依據）

BE±AC,

:.ZAEB=90°.

:.ZAEB=ZD.

:.AABES.CAD(④).(填寫推理的依據)

15.(2025?湖北?一模)(1)如圖1,在VABC中，ZABC=90°,瓦/_LAC于點H,求證：AAHB^ABHC;

AH4RF

(2)如圖2,己知NABC=/O=90。，E為BD上一點,且AE=AB,若不7；=?,求"的值；

BC5CD

(3)如圖3,在四邊形ABC￡>中，ZZMB=ZABC=90°,AB=3C,E為邊8上一點，且短=AB,BELCD,

求有的值?

16.（2025,湖南張家界?一模）如圖，線段AB與C￡>相交于點尸，AP=5,CP=3,BP=10,DP=6.求

證:△APCs八BPD.

反比例函數y=§（x>0）的圖像經過點A（2,3）,一次函數>=〃式+〃的圖象與

17.（2025?河南?一模）如圖,

反比例函數的圖象交于A,。兩點，與y軸交于點3（0,4）,與x軸交于點C.

⑴求反比例函數與一次函數的表達式.

（2）現有一個直角三角板，讓它的直角頂點P在反比例函數圖象上的4。兩點之間滑動（不與點A,。重合）,

兩直角邊始終分別平行于x軸、y軸，且與線段AD交于/W,N兩點，試判斷點P在滑動過程中，APMN與

△O3C是否總相似，并說明理由.

18.（2025?河南開封?一模）（1）計算：6-&厄+炳）.

AnAR

（2）如圖，。是VABC的邊AC上的一點，連接80,已知二一=二；.求證：AABD^AACB.

ABAC

19.（2025?吉林長春?一模）如圖，在VABC中，ZABC=90°,BC=6fAB=8,。為邊AC的中點.點尸

從點A出發，以每秒1個單位長度的速度沿運動到點3停止；同時點。從點8出發，以每秒2個單位長

度的速度沿折線BC-CD運動到點。停止，當點。停止運動時，點尸也停止運動.設點。的運動時間為t

（秒）.

⑴當點。與點D重合時，?的值為；

⑵用含/的代數式表示C0長；

⑶尸。將VA3C的分成的兩部分，其中的三角形與VABC相似時，求f的值；

⑷當點。不與VABC的頂點重合時，過點。作。河〃AB交VABC的邊于點以尸M和Q"為邊作

nPMQN.連結83,直接寫出將口PMQN分成面積相等的兩部分時/的值.

20.（2025?陜西渭南?一模）大象寺塔是渭南的一座回音塔，是當地的一大奇觀，這里的建筑風格獨特，回

音效果讓人嘆為觀止.林軒和王飛想利用所學知識測量大象寺塔的高度.測量方案如下：如圖，林軒在地

面上立即點處，放置一個小平面鏡（大小忽略不計），并沿著CE方向移動，當移動到點A處時，他剛好在

小于曲鏡內看到該塔最高點。的像，此時，測得A￡=2米，林軒眼睛與地面的距離AB=1.5米.土（紅色）

的另一側的點尸處，測得該塔頂部。的仰角=63.4。，測得點4P之間的距離為57米.已知圖中所

有點均在同一平面內，ABJ.AC,CDLAC,點P、C、E、A在同一水平直線上.請根據以上信息計算大

象寺塔的高度CD.（參考數據：sin63.4°?0.89,cos63.4°~0.45,tan63.4°~2.00）

多邊形的角、邊、對角線

1.（2025?山東濟南?一模）若一個正多邊形的每個外角是72。，則它共有幾條對角線（）

A.4B.5C.6D.7

2.（2025?浙江寧波?一模）如圖，多邊形ABCD硬是邊長為1的正六邊形，則（）

AB

AC=5/5C.ZA=118°D.AC=6

3.（2025?河北邢臺?一模）如圖，已知正六邊形ABCDEF的頂點A在直線/上，G是A3的中點，連接EG并

延長交直線/于〃點，若田=30。,8=2,則tan/EEH的值是（）

c-觸

4.（2025?河南周口?一模）如圖，一束太陽光線平行照射在放置于地面的正六邊形上，若4=42。，則N2的

C.18°D.15°

5.（2025?云南昆明?一模）若一個正多邊形每個內角的度數都是其相鄰外角度數的4倍，則它的邊數是（）

A.8B.9C.10D.11

6.（2025?河南南陽?一模）清代文人魏松在《壹是紀始》中寫到："不倒翁起始于唐朝現在"不倒翁"已成

為益智的玩具.如圖："不倒翁"平面示意圖是由等邊VABC與BC圍成的圖形.已知：AB=2^3,等邊VA3C

的中心。是BC的圓心.則這個“不倒翁"的平面示意圖的面積為（）

A

A.2萬B.4"C.—兀+A/3D.—7i+

33

7.（2025?四川南充?一模）如圖，正五邊形ABCDE內接于。。，點b為注石的中點，則（）

8.（2025?安徽滁州?一模）如圖，邊長為26cm的正六邊形螺帽，中心為點O,04垂直平分邊C。，垂足

為B,AB=17cm,用扳手擰動螺帽旋轉90。，則點A在該過程中所經過的路徑長為（）

A.（17+6）兀cmB.（17+2百bcmc.lOKcmD.207rcm

9.（2025?安徽合肥?一模）如圖，螺母的外圍可以看作是正六邊形ABCDEF,已知這個正六邊形的半徑是2,

則它的面積是（）

D

A.65/3B.12C.12A/3D.24

10.（2025?陜西咸陽?一模）如圖，將五邊形ABCDE沿虛線裁去一個角得到六邊形ABCDGF,則該六邊形的

周長一定比原五邊形的周長.（填"大"或"小"）

11.（2025?陜西榆林?一模）在古希臘時期，正九邊形被認為是完美和神圣的象征，它代表著和諧與平衡.如

圖1所示的第四套人民幣中1角硬幣采用了圓內接正九邊形的獨特設計，這個正九邊形的示意圖如圖2所

示，該正九邊形的一個內角-A的度數為.

A7

F

圖1圖2

12.（2025,遼寧大連?一模）一個多邊形的內角和為720。，則它的邊數為.

13.（2025?重慶?一模）若六邊形的內角中有一個內角為60。，則其余五個內角之和為.

14.（2025?山東棗莊?一模）如圖，已知五邊形ABCDE為正五邊形，以點A為圓心，以AC的長為半徑畫弧,

分別交AB,AE的延長線于點F,G,連接CG,DG,則NCGD=.

15.（2025,廣東清遠?一模）圖1窗根的外邊框為正六邊形（圖2）,則該正六邊形每個外角的度數為

16.（2025?陜西渭南?一模）若一個正多邊形的每個外角的度數都是40。，則這個正多邊形的中心角

是________

17.（2025?陜西渭南?一模）如圖，正六邊形A3CDEF的邊長為1,則對角線的長是.

AD

1.（2025?河北邢臺?一模）下面是嘉嘉作業本上的一道習題及解答過程：

己知：如圖，在四邊形A3CD中，BO垂直平分AC,過點A作M4_LAC,以。為頂點，在AD的左側作

NADN=/BCD,DN交AM于點、E.

c

一

求證：四邊形ABDE是平行四邊形.

證明：Q3D垂直平分AC,

:.AD=CD,AB=BC,又；BD=BD,

:.AADB^ACDB（①），

:.ZDAB=ZDCB,

/BCD=NADE,NADE=ZDAB,____②_____

vAElAC,BD±AC,.\AE//BD,

二?四邊形48。￡是平行四邊形.

若以上解答過程正確，①，②應分別為（）

A.SAS,DE=ABB.SSS,DE//AB

C.SAS,DE//ABD.SSS,DE=AB

2.（2024?河北滄州?一模）根據所標數據,不能判斷下列四邊形是平行四邊形的是（）

6

6

9

3.（2025?山西臨汾?一模）如圖,在口A3co中，AB=~,AD=6,—BAD和ZADC的平分線分別交BC

于點E,F,AE與叱交于點若AE=3,則的長為（）

AD

BFEC

9

A.6B.-C.4A/2D.60

2

4.（2025?陜西漢中?一模）如圖,四邊形ABCD為平行四邊形，對角線AC與8。相交于點0,E、F、G、H

分別為邊AB,BC,CD,AD的中點，連接跖,FG,GH,EH,四邊形EFG”為菱形，若OC=3,

則80的長為（）

AHD

BFC

A.6B.5C.4D.3

5.（2025?陜西渭南?一模）如圖，在菱形ABCD中,連接83,點￡、尸分別是AD、8。的中點，連接E尸,

若EF=1,則菱形ABCD的周長為（）

DC

AB

A.8B.6C.4D.2

6.（2025?山東日照?一模）如圖所示，在VA3C中，點D,E分別為AB,AC的中點，點//在線段CE上,

連接3”，點GF分別為BH,S的中點.若DGLBH,BD=3,EF=',2,則6"的長為.

A

7.（2025?山東臨沂?一模）如圖，AABO為等邊三角形，A,8在0。的圓周上，49=1,尸為圓周上一動

點，C為5P的中點，當P在圓周上運動時，AC的最小值為.

8.（2025?江蘇淮安?一模）如圖，四邊形A3CD為平行四邊形，點E為BC延長線上一點且CE=BC.連接AC、

AE.DE.求證：

⑴四邊形ACED為平行四邊形；

（2）當△樨滿足條件時，四邊形ACED是矩形，并證明你的結論.

9.（2025?云南玉溪?一模）如圖，在VABC中，ZACB=90°,AC=3C,點。在AC上，過點D作￡>E〃3C

交A3于點E,延長到點F,使C尸=AD,連接CE,DF.

⑴求證：四邊形。尸CE是平行四邊形；

（2）若/。色=30。，AC=2,求尸C的長.

10.（2025?陜西咸陽?一模）如圖，在四邊形AEEE中，已知點B,C在線段AD上，BE//CF,BE=CF,

AC=DB.求證：四邊形AED尸為平行四邊形.

11.（2025?吉林長春?一模）如圖，ZVIB尸的兩條中線AC、BE相交于點G,過點A作AD〃3尸，交CE的延

長線于點D.

（1）求證：四邊形ABCD是平行四邊形；

⑵若AGEC的面積為2,直接寫出口ABCD的面積為.

12.（2025?江蘇揚州?一模）如圖，在口ABCD中，E,F是對角線B。上的兩點（點￡在點F左側），且

ZAEB=NCFD=90°.

（1）求證：四邊形AECF是平行四邊形；

3

（2）當AB=5,tanZABE=-,NCBE=NE4廠時，求族的長.

4

13.（2025,重慶?一模）學習了平行四邊形的知識后，實踐小組進行了以下研究：作平行四邊形一組對邊與

一條對角線的兩夾角的角平分線，這兩條角平分線與另一組對邊所圍成的四邊形是一個平行四邊形.請根

據他們的思路完成以下作圖和推理填空：

A,E'D

（1）如圖，用直尺和圓規，過點。作NBDC的角平分線，交BC于點b.（不寫做法，保留作圖痕跡）

（2）已知：四邊形ABCD是平行四邊形，連接BE平分NABD,DF平分NBDC.

求證：四邊形3的是平行四邊形.

證明：???四邊形ABCD是平行四邊形，

:.AD//CB,①,

:.ZABD=ZCDB.

;BE平分NABD,DF平分/BDC,

NEBD=~ZABD,NBDF」NCDB.

22

②，

③__________

■：ED//BF,BE//DF,

...四邊形是平行四邊形.

實踐小組進一步研究發現：平行四邊形A3CD中，若NBDC=2ZADB,請你模仿題中表述，補全以下結論:

作平行四邊形一組對邊與一條對角線的兩夾角的角平分線，則④.

矩形的判定與性質

1.（2025?福建泉州?一模）一塊截面為四邊形的玉片ABCD,已測得兩組對邊分別平行，再測量得下列條件,

仍不能判定這塊玉片的截面為長方形的是（）

A.ZA=90°B.ZB=ZCC.AC=BDD.AC±BD

2.（2025?福建三明?一模）活動課上，小明用四根細木條搭成如圖所示的一個四邊形，現要判斷這個四邊形

是否是矩形，以下測量方案正確的是（）

A.測量是否有三個角是直角B.測量對角線是否相等

C.測量兩組對邊是否分別相等D.測量對角線是否互相垂直

3.（2025?安徽蚌埠?模擬預測）如圖，在矩形ABCD中，AB=4,E為8C中點，連接AE.將AABE沿AE翻

折，使點B落在對角線3。上的點F處，且EF=EC.連接C/，則C尸的長為（）

4n

D.瓜

4.（2025?河北?一模）如圖，已知在矩形A3CD中，AB=6,BC=3,點H在AB邊上，且BH=2,點E為

射線。C上一動點，連接AE,過點H作于G,交直線C。于則有下列結論：

39

①上&比的正切值為了時，砂的長為二；

②在點E運動過程中，族的最小值為2；

③當點￡在射線。C上運動時，GC的最小值為3；

A.0個B.1個C.2個D.3個

5.（2025?山東濰坊?一模）下列命題是真命題的是（）

A.對角線相等的四邊形是矩形B.圓內接四邊形的對角互補

C.一個凸多邊形的內角中最多有三個銳角D.三角形的外心都在三角形的外部

6.（2025?山東濟南?一模）如圖，在矩形ABCD中，AD=7,AB=36，點E在邊A3上，AE：EB=1:2,

在矩形內找一點尸，使得NBPE=60。，則線段D尸的最小值為

7.（2025?遼寧撫順?一模）如圖，在矩形ABC。中，AB=1,AD=4,BM=1＞以點A為圓心、AB的長為

半徑的圓交AD于點E,點P在BE上運動，則尸尸的最小值為

8.（2025?陜西咸陽?一模）如圖，在四邊形ABCD中，ZA=90°,AD//BC,E為AB邊上一點.請用尺規

作圖法在四邊形A3CD內部求作一點P,使四邊形AEPD為矩形.（保留作圖痕跡，不寫作法）

9.（2025?江蘇徐州?一模）如圖，在口A3GD中，點E,尸分別在邊BC,AD上，且AF=CE.

（1）求證：AABEdCDF；

下面是小軒的證明過程：

證明：,??四邊形A3CD是平行四邊形，

AB//CD,AB=CD,ZB=ZD.①

AB//CD,

:"BAE=NDCF,②

在AME與VCD尸中，

ZB=ZD

AB=CD,

ZBAE=ZDCF

.?.△ABE也ACZ）F（ASA）③；

上述推理過程從第步開始出現錯誤？請寫出完整的正確證明過程.

（2）請添加一個條件,使四邊形AECF是矩形.（直接填空，不需說明理由）

10.（2025?江蘇揚州一模）如圖，四邊形A3CD是平行四邊形，點G,H分別是A3,C。的中點，點E,

廠在對角線AC上，且AE=C尸.

AD

⑴求證：AAGE知CHF；

（2）若所=AD,求證：四邊形EGF”是矩形.

11.（2025?吉林長春?一模）如圖，在VABC中，AB=AC,AD是中線，點E是AC的中點，連結DE并延

長至點尸，使EF=DE,連結AF、CF.

（1）求證：四邊形位＞CF為矩形.

2

⑵若cos?B,貝|JAAEF與四邊形ABDE的周長比為.

菱形的判定與性質

1.（2025?河南信陽?一模）已知四邊形ABCD是平行四邊形，下列條件中，能判定口ABCD為菱形的是（）

A.ZA=90°B.ZB=ZCC.ACJ.BDD.AC=BD

2.（2025?安徽宿州?一模）己知四邊形A3CD的對角線AC與交于點O,AB//CD.添加下列選項中的

條件，仍不能判定四邊形ABCD是菱形的是（）

A.AD=3C且AC2a)B.AB=CD且AB=AD

C.AD//BC^.O^+OB2=AB2D.A3=CD且

3.（2025?山東濟南?一模）如圖.以點A為圓心，以適當長為半徑畫弧，交AC于點M,交AB于點N.分

別以M,N為圓心，以大于的長為半徑畫弧，兩弧在N54C的內部相交于點尸.作射線AP交BC

于點D.分別以A,。為圓心，以大于二4。的長為半徑畫弧，兩弧相交于G,//兩點.作直線GH,交

2

3

AC,A3分別于點石，F.若AF=2,CE=3,BD=^,則CO的長是（）

A

M

A.2B.1.75C.2.25D.3

4.（2025?山東濟南?一模）如圖，在nABCD中，以點A為圓心，A3長為半徑畫弧交AD于點尸；以點A為

圓心，適當長為半徑畫弧分別交A氏于M,N兩點；分別以點”,N為圓心，大于長為半徑畫弧，

兩弧在平行四邊形內交于點G,連接AG并延長交8c于E,連接EF,3n分別交于尸，。兩點,

5.（2025?陜西咸陽?一模）如圖，兩張寬度均為3cm的矩形紙條交叉疊放在一起，交叉形成的銳角為30。,

則重疊部分構成的四邊形ABCD的周長為cm.

6.（2025?黑龍江哈爾濱?一模）如圖，等邊VABC的邊長為8,過點B的直線/J.A8,且VABC與△A'BC'關

于直線/對稱，D為線段3C'上一動點，則AD+CD的最小值是

7.（2025?山東濰坊?一模）如圖，將矩形ABCD沿對角線3。翻折，點C落在C'處，3C'交AD于點E.過

點C作C'產〃CD,交AD,8。分別于點P,F,連接CF.

(1)求證：四邊形C'產CD是菱形；

(2)若CD=4,BC=8,求線段C'P的長.

8.(2025?山西呂梁?一模)如圖，AB//CD,CE平分/ACD,交A8于點E.

⑴實踐與操作：利用尺規作NC鉆的平分線，交CE于點O,交CD于點F,連接EF(要求：尺規作圖并保

留作圖痕跡，不寫作法，標明字母)；

(2)猜想與證明：試猜想四邊形ACFE的形狀，并加以證明.

9.(2025?福建龍巖?一模)如圖，。是半圓的圓心，直徑AB=10cm.

⑴分別在半圓上的取點C和點。，順次連接各點，構成以A,O,C,。為頂點的菱形，請用直尺和圓規

求作符合要求的菱形；

(2)求(1)中菱形的面積.

10.(2025?云南昆明?一模)如圖，在VABC中，AC=15,AB=20,BC=25,AD是邊BC上的中線，E是AD

的中點，連接班并延長至點P，使得EF=BE,連接CP.

⑴求證：四邊形位＞CF是菱形；

(2)過點。作CG1.A/于點G,求CG的長.

n.（2025?山東臨沂?一模）如圖，已知線段A3,分別以端點A,8為圓心，以大于143的長為半徑作弧,

兩弧交于E,尸兩點，分別連接AE,BE,AF,BF,EF.若點C為AE的中點，連接尸C并延長，與BE

的延長線交于點￡）,連接D4.求證：DAYAB.

12.（2025?山東淄博?■模）如圖，oABCD,線段AC的垂直平分線交AC于點。，分別交5C,AD于點E,

F,連接AE,CF.

⑴判斷四邊形AECP的形狀，并證明；

（2）若如果ACLAB,ZB=30°,AE=3,求四邊形AEC廠的面積.

1.（2025?安徽合肥?一模）在矩形A3CD中，E,F,G,8分別在邊AB,BC,CD,D4上（不與頂點

重合），順次連接得到四邊形EFGH.對于任意矩形ABCD,下面結論一定正確的有（）個

①存在無數個四邊形EFG"是平行四邊形；②存在無數個四邊形ER汨是矩形；③存在無數個四邊形

EFGH是菱形;④至少存在一個四邊形EFG"是正方形

A.1B.2C.3D.4

2.（2025?海南?一模）如圖，在正方形ABCD中，AB=3,連接AC.以點A為圓心，適當長為半徑畫弧，

分別交AD,AC于點M,N,再分別以點M,N為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧相交于點P,

作射線AP交BC的延長線于點E,