2025年遼寧省鞍山市中考數學一模試卷

一、選擇題（本題共10小題，每小題3分，共30分，每小題都有四個選項，只有一個最佳選項符合題目

要求.）

1.（3分）某公司2024年四個季度的盈利情況如表，則收益最低的季度是（

時間第一季度第二季度第三季度第四季度

盈利/萬元-6.8-10.731.527.8

A.第一季度B.第二季度C.第三季度D.第四季度

2.（3分）。eepSe4是一個使用A/技術的平臺，在應用中運算速度非?？欤銱opperGPU實測每秒可進

行1350000000000000次浮點運算，數1350000000000000用科學記數法可表示為（）

A.1.35X1013B.135X1013C.1.35X1015D.135X1015

3.（3分）如圖中三視圖描述的幾何體是)

4.（3分）一個不透明的盒子中裝有5個紅球,5個白球，現又加入5個黑球后，隨機摸出1個球，是紅

球的概率是（）

1111

A.—B.—C.D.-

151053

5.（3分）下列運算正確的是（

A.2a~3a=-aB.[2.〃3=〃6

C.(〃2)3=/D.(-2〃3)2=-4〃6

6.（3分）如圖，直線一個含30°角的直角三角板的直角頂點在直線CD上，有兩條邊與直線

A5相交，若Na=125°,則N0的度數是（）

D

A.15°B.25°C.35°D.55°

7.（3分）如圖，△ABC與△5DC均為直角三角形，分別以邊AC,AB,BD,OC為邊長作正方形，其面

積分別為Si,我,S3,S4,則它們之間的關系正確的是（）

A.Si+S3=S4B.S2+S3=S1+S4

C.S1+S2=S3+S4D.S1+S2+S3=S4

8.（3分）由化學知識可知，用pH表示溶液酸堿性的強弱程度，當p”>7時溶液呈堿性，當pH<7時溶

液呈酸性，若將給定的NaOH溶液加水稀釋，那么在下列圖象中，能大致反映NaOH溶液的pH與所加

水的體積y之間對應關系的是（）

1

9.（3分）如圖，矩形ABCD中，4。=5,AB=3,AC是對角線，分別以A,C為圓心，大于54c的長為

直線EF與AD邊交于點G,連接CG,則CG的長是（）

915

A.-B.—C.3.4D.4

44

10.（3分）如圖，把圓分成〃（九23）等份，經過各分點作圓的切線，以相鄰切線的交點為頂點的多邊形

叫做這個圓的外切正〃邊形.如圖，。。的半徑為R,則它的外切正九邊形的邊長是（）

-2H

C?1an。-

SZTI（90。-*）

二、填空題（本題共5小題，每小題3分，共15分.）

11.（3分）因式分解：a3-4a=.

12.（3分）如圖，△AOE中，點3,C是邊DE上任意兩點，若段則需要添加

一個條件是.

13.（3分）如圖，在每個小正方形的邊長為1的網格中，點A,B,C,。都在格點上，且線段AB與C￡>

14.（3分）若一元二次方程辦2+瑟+.=0（awo）有兩個相等的實數根，則它的根是.

15.（3分）如圖，點A,B分別在函數y=［圖象的兩支上，連接A8交無軸，y軸于點。，C,以點C為

旋轉中心，將線段CB逆時針旋轉90°至CB',且線段AB'±x軸，若函數y=^經過點B',且

tan40DC=貝Uk的值是.

三、解答題（本題共8小題，共75分，解答應寫出文字說明、演算步驟或推理過程）

16.（10分）（1）計算：V12+（-2）3-4-|V3-2|；

（2）計算：（巾+2+島”2m—4

3—m

17.（8分）在春季研學活動中，某校組織學生參加“走紅色傳承路，弘揚優秀革命傳統”活動，需要租用

旅游客車.租車公司有兩種客車，若租用60座客車，則有一輛車只能坐一半人，若租用45座客車則需

多租1輛，但正好坐滿；

（1）請求出該校共有多少名學生參加活動？

（2）若學校打算同時租用兩種客車，已知60座客車的租金是4500元/輛，45座客車的租金是4000元/

輛，在每位學生都有座位的條件下，請直接寫出怎樣租車最為合算？

18.（8分）在春節期間，大學生志愿者參加創業實踐活動，擬在年貨街通過租賃移動售貨車獲得一定資金

捐贈希望工程.經調研，適合創業的商品的利潤率和已有售貨車數如表：

商品利潤率已有售貨車數

飲品40%2

炸串50%4

春聯福字70%2

手工飾品60%1

手機殼65%1

為了更好的了解市場，首先通過問卷調查收集相關信息：年貨街的消費人群80%為年輕人，每次消費主

要集中在10?30元，上述產品的受歡迎程度如圖所示：

(1)試求出發放的調查問卷總數并補全條形圖；

(2)根據調研數據，大學生志愿者決定在飲品和炸串中選擇一項進行創業實踐，經過研討確定商品利

潤率、售貨車占比及受歡迎程度比例的權重分配為4：3：3,請確定大學生們應該選擇哪一種產品最好.

19.(8分)如圖1,是鞍山市二一九公園“未來之匙”雕塑，它寓意著開啟新的篇章，是對美好生活的希

望和憧憬.如圖2,數學興趣小組利用測角儀對“未來之匙”開展實地測量，在公園廣場上選定一點A,

觀察雕塑頂部，測得其頂部點M仰角為35°,沿雕塑底部點N與點A所在的直線后退10米到點B,

測得點M的仰角為25°,求出該雕塑的高度.(結果精確到0.1米；參考數據：sin35°?0.57,cos35°

-0.62,tan35°弋0.70,sin25°-0.42,cos25°心0.90,tan25°20.47)

20.(8分)RtZ\A8C中，ZACB=90°,經過點8,C分別交AB,AC于點。，E,邊點C作CELA8

交。。于點孔垂足為G,連接BF,CD,且/CZ)8=45°,

(1)求證：CD//BF；

(2)若。。的半徑為4,AE=4V2,求的長.

21.(8分)某工廠加工一種產品，其銷售價隨產品成本的變化而變化，已知該產品的最低成本為40元/千

克，且銷售價p(元/千克)與產品成本無(元/千克)符合一次函數關系P=^K+60；在產品銷售過程

中，銷售量y(千克)隨著銷售價p(元/千克)的變化而變化，其函數關系如圖所示：

(1)請求出y與p(40WpW100)的函數解析式；

(2)請計算當銷售價是多少時該工廠可獲得最大利潤？

22.(12分)如圖1,菱形42。中，ZBAD^6Q°,M是射線A4上的動點，以CM為邊在上方作等

邊三角形CMP,過點尸作PE〃A8交AD延長線于點E,連接P￡),CE；

(1)試判斷△2￡>￡的形狀并證明結論；

(2)若AD=2,DE—m,

①如圖2,當點M在2A延長線上時，補全圖形，并計算點M與點。的距離(用含根的式子表示)；

②連接ME交直線CD于點F,試求出△CEF的面積(用含機的式子表示).

圖1圖2

23.(13分)已知拋物線丫=%/一2雙YN0)上有兩點A(m,yi),B(12-m,”)，且滿足y「y2<0；

(1)求相的取值范圍；

(2)連接A8,求A8與x軸相交所形成的銳角的度數；

(3)作點A關于y軸的對稱點A',以A'為頂點的拋物線"經過原點，當直線48與y軸交于點C(0,

-yi)時，試求出拋物線p與直線AB的交點坐標.

2025年遼寧省鞍山市中考數學一模試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題（本題共10小題，每小題3分，共30分，每小題都有四個選項，只有一個最佳選項符合題目

要求.）

1.（3分）某公司2024年四個季度的盈利情況如表，則收益最低的季度是（）

時間第一季度第二季度第三季度第四季度

盈利/萬元-6.8-10.731.527.8

A.第一季度B.第二季度C.第三季度D.第四季度

【解答】解：-10.7<-6.8<27.8<31.5,

則收益最低的季度是第二季度，

故選：B.

2.（3分）。eepSe"是一個使用A/技術的平臺，在應用中運算速度非?？欤銱opperGPU實測每秒可進

行1350000000000000次浮點運算，數1350000000000000用科學記數法可表示為（）

A.1.35X1013B.135X1013C.1.35X1015D.135X1015

【解答】解：1350000000000000=1.35X1015.

故選：C.

3.（3分）如圖中三視圖描述的幾何體是（）

v\

【解答】解：如圖中三視圖描述的幾何體是

故選：c.

4.（3分）一個不透明的盒子中裝有5個紅球，5個白球，現又加入5個黑球后，隨機摸出1個球，是紅

球的概率是（）

1111

A.—B.—C.-D.一

151053

【解答】解：???個不透明的盒子中裝有5個紅球，5個白球，現又加入5個黑球，

???隨機摸出1個球，是紅球的概率是『二=

5+5+53

故選：D.

5.（3分）下列運算正確的是（）

A.2a-3a=-aB.a2,9a3=a6

C.（〃2）3=a5D.（-2〃3）2=-43

【解答】解：2a-3a=-a,則A符合題意，

/?/=/,則2不符合題意，

（/）3=/，則c不符合題意,

（-2a3）2=4不，則。不符合題意，

故選：A.

6.（3分）如圖，直線A8〃CD,一個含30°角的直角三角板的直角頂點在直線CQ上，有兩條邊與直線

A2相交，若Na=125°,則N0的度數是（）

A.15°B.25°C.35°D.55°

【解答】解：如圖，

過點E作E/〃A8,

'：AB//CD,

：.EF//CD,

'CAB//CD,Za=125°,

ZCHG=ZBNH=125°,

VZCHG=ZCHE+ZGHE,NGHE=90°,

：.ZCHE=ZCHG-ZGHE=125°-90°=35°,

9：EF//CD,

：.ZFEH=ZCHE=35°,

VZGEH=ZFEH+ZGEFfNGEH=90°-30°=60°,

：.ZGEF=ZGEH-ZFEH=60°-35°=25°,

'：EF//AB,

：.ZAME=ZGEF=25°,

即N0=25°,

故選：B.

7.（3分）如圖，ZVIBC與△30。均為直角三角形，分別以邊AC,AB,BD,。。為邊長作正方形，其面

積分別為Si,S2,S3,S4,則它們之間的關系正確的是（）

A.S1+S3=S4B.S2+S3=S1+S4

C.S1+S2—&+54D.S1+S2+S3—S4

【解答】解：設AC—b,AB=C9BD=m,CD=n,

222

根據正方形的面積公式得：Si=bfS2=c,S3=m,S4=〃2,

在Rt^ABC中，由勾股定理得：BC1=AC2+AB1,

a2=b2+c2,

在RtZXBCD中，由勾股定理得：CD2=BC2+BD2,

nnn

.*?n=a+77?,

n2=Z72+c2+m2,

「?S4=Si+S2+S3,

即S1+S2+S3=S4.

故選：D.

8.（3分）由化學知識可知，用p”表示溶液酸堿性的強弱程度，當p”>7時溶液呈堿性，當pH<7時溶

液呈酸性，若將給定的NaOH溶液加水稀釋，那么在下列圖象中，能大致反映MzOH溶液的pH與所加

【解答】解：根據題意：將給定的溶液加水稀釋，那么開始pH>7,隨著慢慢加水，溶液堿性越

來越弱，pH值逐漸減小.故選：B.

1

9.（3分）如圖，矩形ABC。中，AD=5,AB=3,AC是對角線，分別以A,C為圓心，大于］4C的長為

半徑作弧，兩弧交于點E,F,直線EE與邊交于點G,連接CG,則CG的長是（）

【解答】解：：四邊形ABC。是矩形，

：.ZD=90°,CD=AB=3,

由作圖可知所垂直平分線段AC,

；.GA=GC,

設GA=GC=x,

在RtzXCOG中，則有W=32+（5-X）2

解得x=3.4.

故選：C.

10.（3分）如圖，把圓分成“（〃23）等份，經過各分點作圓的切線，以相鄰切線的交點為頂點的多邊形

叫做這個圓的外切正〃邊形.如圖，。。的半徑為H,則它的外切正〃邊形的邊長是（）

2R[R0°

A，tan(90。-嗒)B.2R,tcin(90o----——)

-2Re2R

C.1an。-D?-180°

s譏(90。-詈~)tQ.YL-----

n

【解答】解：如圖，設正”邊形的邊與內切圓O。相切于點M,連接04、OB、0M,則0M=R,

在RtZ\A0M中，0A=R,AA0M=^ZA0B=X

22nn

180°

AM=OM*tan-----,

n

AB=2AM

180°

=2H?tan------

n

1

=2R?

tcm(90。-哼)

2R

tcm(90。-哨'

故選：A.

A

二、填空題（本題共5小題，每小題3分，共15分.）

11.(3分)因式分解：/-4。=〃(a+2)(4-2).

【解答】解：1-4a=a(/-4)=a(a+2)(a-2).

故答案為：a(a+2)(a-2).

12.（3分）如圖，△ADE中，AD=AE,點、B,C是邊。E上任意兩點，^AADB^AAEC,則需要添加

一個條件是DB=EC（答案不唯一）

【解答】解：

：./D=/E,

在△AOB和△AEC中，

AD=AE

乙D=乙E,

、DB=EC

：.AADB^AAEC(SAS),

...若△ADB之△AEC,需要添加一個條件是DB=EC（答案不唯一）.

故答案為：DB=EC（答案不唯一）.

13.（3分）如圖，在每個小正方形的邊長為1的網格中，點A,B,C,。都在格點上，且線段A8與CD

ADQ

交于點P,則f的值是-.

BP—2一

【解答】W：'：AC//BD,

：.AAPCsABPD,

tAPAC3

"BP~BD~2

故答案為：|.

14.（3分）若一元二次方程a/+6x+a=0（aWO）有兩個相等的實數根，則它的根是1或-1

【解答】解：由題意得，A^b2-4?2=0,

:.b=±2a,

cu?土2ax+a=0,

解得尤=±1,

它的根是1或-1.

故答案為：1或-1.

15.（3分）如圖，點A,3分別在函數y=］圖象的兩支上，連接A2交無軸，y軸于點。，C,以點C為

旋轉中心，將線段CB逆時針旋轉90°到CB1,且線段AB'±x軸，若函數y=［經過點B',且

13

taMODCy則女的值是——

3—,

【解答】解：如圖，過8作軸于點M,過8作軸于點N,

則NBMC=N8NC=90°,

由題可知NBC9=90°,CB=CB\

：./BCN=NCB，M=90°-NB'CM,

:?△BCM"ACBN(AAS),

:.B'M=CN,CM=BN,

1

設B(4m,一),

m

1

?

:BN=4m,0N=m-,

?：/ODC=/NBC,

3

總

tanZODC=tanZNBC=q

rCN3

即—=一,

BN4

CN=3m,

：.B'M=CN=3m,CM=BN=4m,

上1,

VOC=CN-0N=3m—m

11

OM=CM-OC—^m-3m-\——m=m-\——m,

i

B'(-3m,m-\——m),

過A作AK_Ly軸于點K,則AK=8M=3機，

■:/CAK=/ODC

9

?

CK=AKtanNC4K=%q,

19211

1.0K=OC+CK=3m--m+^4m=4?n—m-,

121

/.A(-3m,———m),

m4

???點A在反比例函數y=:上,

121

-3m*(———m)=4,

m4

解得機=|（負值舍去）,

13

：.B'(-2,—)

6

.c1313

??左=-2X『F

三、解答題（本題共8小題，共75分，解答應寫出文字說明、演算步驟或推理過程）

16.(10分)(1)計算：V12+(-2)34-4-|V3-2|；

(2)計算：(m+2+*-)?爭心.

、2—mJ3-m

【解答】解：(1)原式=2A/3+(—8)+4—(2—V3)

=2V3-2-2+V3

=3A/3—4；

(2)原式=(嗎—三)?冬包

vm—2m—273—m

_(m+3)(m—3)2(m—2)

一m—23—m

=-2(m+3)

=-2m-6.

17.（8分）在春季研學活動中，某校組織學生參加“走紅色傳承路，弘揚優秀革命傳統”活動，需要租用

旅游客車.租車公司有兩種客車，若租用60座客車，則有一輛車只能坐一半人，若租用45座客車則需

多租1輛，但正好坐滿；

（1）請求出該校共有多少名學生參加活動？

（2）若學校打算同時租用兩種客車，已知60座客車的租金是4500元/輛，45座客車的租金是4000元/

輛，在每位學生都有座位的條件下，請直接寫出怎樣租車最為合算？

【解答】解：（1）設租用60座客車x輛，該校共有y名學生參加活動，則租用45座客車（x+1）輛，

由題意得16°（”一1）+恭60=兀

45（%+1）=y

解得：［y=270'

答：該校共有270名學生參加活動；

（2）設租用60座客車m輛，租用45座客車n輛，

由題意得：60，"+45"2270,

整理得：4〃?+3”三18,

:%、w均為正整數，

.（m=（

4=5或｛九=—42-或p.％fm==23或-LTin==14）

...有4種租車方案：

①租用60座客車1輛，45座客車5輛，費用為4500X1+4000X5=24500（元）；

②租用60座客車2輛，45座客車4輛，費用為4500X2+4000X4=25000（元）；

③租用60座客車3輛，45座客車2輛，費用為4500X3+4000X2=21500（元）；

④租用60座客車4輛，45座客車1輛，費用為4500）<4+4000X1=22000（元）；

25000>24500>22000>21500,

租用60座客車3輛，45座客車2輛最為合算.

18.（8分）在春節期間，大學生志愿者參加創業實踐活動，擬在年貨街通過租賃移動售貨車獲得一定資金

捐贈希望工程.經調研，適合創業的商品的利潤率和已有售貨車數如表:

商品利潤率已有售貨車數

飲品40%2

炸串50%4

春聯福字70%2

手工飾品60%1

手機殼65%1

為了更好的了解市場，首先通過問卷調查收集相關信息：年貨街的消費人群80%為年輕人，每次消費主

要集中在10?30元，上述產品的受歡迎程度如圖所示：

(1)試求出發放的調查問卷總數并補全條形圖；

(2)根據調研數據，大學生志愿者決定在飲品和炸串中選擇一項進行創業實踐，經過研討確定商品利

潤率、售貨車占比及受歡迎程度比例的權重分配為4：3：3,請確定大學生們應該選擇哪一種產品最好.

【解答】解：(1)發放的調查問卷總數為90?45%=200(份).

“炸串”的人數為200義30%=60(人)，“春聯”的人數為200義15%=30(人).

補全條形統計圖如圖所示.

(2)由題意得，飲品的商品利潤率為40%,售貨車占比為-----------x100%=20%,受歡迎程度比

2+4+2+1+1

例為45%,

4

炸串的商品利潤率為50%,售貨車占比為-----------xl00%=40%,受歡迎程度比例為30%,

2+4+2+1+1

，飲品的加權平均數為(4X40%+3X20%+3X45%)4-(4+3+3)=0.355,

炸串的加權平均數為(4X50%+3X40%+3X30%)+(4+3+3)=0.41,

V0.355<0.41,

...大學生們應該選擇炸串最好.

19.(8分)如圖1,是鞍山市二一九公園“未來之匙”雕塑，它寓意著開啟新的篇章，是對美好生活的希

望和憧憬.如圖2,數學興趣小組利用測角儀對“未來之匙”開展實地測量，在公園廣場上選定一點A,

觀察雕塑頂部，測得其頂部點M仰角為35°,沿雕塑底部點N與點A所在的直線后退10米到點2,

測得點M的仰角為25°,求出該雕塑的高度.（結果精確到0.1米；參考數據：sin35°心0.57,cos35°

-0.62,tan35°-0.70,sin25°-0.42,cos25°心0.90,tan25°?0.47)

【解答】解：在中，：tan/B=器,

?RN—MN_MN

tan25°~0A7,

在RtAMNA中，'：tanZMAN=靠,

.MN_MN

-AN1cm35°=麗'

；BN-AN=AB,

MNMN

——-----=10?

0.470.70

解得MN-14.3(米).

答：該雕塑的高度為14.3米.

20.（8分）RtaABC中，ZACB=90°,O。經過點3,C分別交AB,AC于點。，E,邊點C作CPLAB

交O。于點孔垂足為G,連接BRCD,且NCr>2=45°,

(1)求證：CD//BF；

(2)若。。的半徑為4,AE=4V2,求的長.

【解答】（1）證明：???b，A8,

：.ZCGD=90°,

VZCZ)B=45°,

：.ZDCF=45°,ZBFC=ZCDB=45°,

：.ZDCF=ZBFC,

：.CD//BF.

(2)解：如圖，連接BE、DE.

VZACB=90°,

?'.BE是。。的直徑，則BE=4X2=8,

：.DELAB,

9：ZCDB=45°,

：.ZCDE=45°,

：.ZCBE=ZCDE=45°,

:?BC=CE,

設8C=CE=x,

在RtZXBCE中利用勾股定理，得BC2+CE2=BE2,BP2x2=82,

解得XI=4A②X2=-4A/2(舍去)，

:?BC=CE=4五,

：.AC=AE+CE=442+4V2=8V2,

tanZA==2，

：.AD=2DE,

在RtZxADE中利用勾股定理，得。爐+&。2=4爐，即。爐+（2DE）2=（4V2）2,

解得DE=生等或DE=-生等（舍去）,

.\AD=2D￡=2x=^52.

21.(8分)某工廠加工一種產品，其銷售價隨產品成本的變化而變化，已知該產品的最低成本為40元/千

克，且銷售價p(元/千克)與產品成本x(元/千克)符合一次函數關系「=々久+60；在產品銷售過程

中，銷售量y(千克)隨著銷售價p(元/千克)的變化而變化，其函數關系如圖所示：

(1)請求出y與p(40WpW100)的函數解析式；

(2)請計算當銷售價是多少時該工廠可獲得最大利潤？

【解答】解：(1)設函數解析式為＞=切+乩將(80,1000)和(100,800)代入得,

C1000=80/c+bA734Bffe——10

1800=100fc+b，解傳lb=1800，

???所求的函數解析式為y=-10p+1800；

(2)設該工廠獲得的利潤為w由「=+60,

可得了=2〃-120,

.\w=y(p-x)

=(-10/;+1800)(-7+120)

=10/-3000/7+216000

=10(p-150)2-9000,

對稱軸0=150,且拋物線開口向上，在對稱軸左側，y是隨x增大而減小，

：x240,

.?.p280,

，當p=80時，可獲得最大利潤w=40000,

由圖象可得，當"2100時，y=800,

w=800(p-x)=-800p+96000,

〈kCO,

???w隨x增大而減小,

當p=100時，可獲得最大利潤w=16000,

V40000>16000,

/.當銷售價為80元時，工廠可獲最大利潤.

22.（12分）如圖1,菱形ABCD中，ZBAD=6Q°,M是射線BA上的動點，以CM為邊在8C上方作等

邊三角形CMP,過點尸作交延長線于點E,連接PDCE；

（1）試判斷△PDE的形狀并證明結論；

（2）若AD=2,DE=m,

①如圖2,當點M在BA延長線上時，補全圖形，并計算點〃與點。的距離（用含機的式子表示）；

②連接腔交直線C￡）于點E,試求出的面積（用含機的式子表示）.

圖1圖2

【解答】解：(1)/kPOE是等邊三角形，理由：

:四邊形ABC。是菱形，ZBAD=6Q°,

：.AD//BC,DC//AB,BC=CD,ZBCD=60°,

.?.ZB=120",

?..△PMC是等邊三角形，

AZMCP=60°,CM=CP,

：.ZMCB=ZPCD,

，叢MBC馬叢PDC(SAS),

.?.NPOC=NB=120°,/EDC=/DCB=60°,

:./PDE=60°,

'：PE//AB,

：.ZDCA^60°,

...△PDE是等邊三角形；

(2)①如圖，由(1)得△2￡>￡是等邊三角形，

：.PD=PE,ZDPE=60°,

「△PMC是等邊三角形，

:.PM=PC,/MPC=60°,

：./\PMD^/\PCE(SAS),

：.MD=CE,

過點C作CF1AE于點F,

在RtZXOC/中，CD=2,ZCDE=60°,ZDCF=30°,

：.DF=1,CF=V3；

在RtAECF中CE=y/CF2+FE2=Vm2-2m+4,

/.MD=Vm2—2m+4；

②過點RM分別作F8_LOE于H,MN_LAE于點N,

,JDC//AB,

:.叢DEFs叢AEM,

DEFH

AE—MN'

mFH

即