廣東省汕頭市潮陽(yáng)一中明光學(xué)校2024?2025學(xué)年高二下學(xué)期5月月考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知集合，，則A． B． C． D．2．若復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，其中為虛數(shù)單位，是的共軛復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)（

）A． B． C．4 D．53．函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A．4 B．5 C．6 D．74．已知一圓錐的底面直徑與母線(xiàn)長(zhǎng)相等，一球體與該圓錐的所有母線(xiàn)和底面都相切，則球與圓錐的表面積之比為（

）A． B． C． D．5．2022年11月，第五屆中國(guó)國(guó)際進(jìn)口博覽會(huì)在上海舉行，組委員會(huì)安排5名工作人員去A，B等4個(gè)場(chǎng)館，其中A場(chǎng)館安排2人，其余比賽場(chǎng)館各1人，則不同的安排方法種數(shù)為（

）A．48 B．60 C．120 D．2406．純電動(dòng)汽車(chē)是以車(chē)載電源為動(dòng)力，用電機(jī)驅(qū)動(dòng)車(chē)輪行駛，符合道路交通?安全法規(guī)各項(xiàng)要求的車(chē)輛，它使用存儲(chǔ)在電池中的電來(lái)發(fā)動(dòng)．因其對(duì)環(huán)境影響較小，逐漸成為當(dāng)今世界的乘用車(chē)的發(fā)展方向．研究發(fā)現(xiàn)電池的容量隨放電電流的大小而改變，1898年P(guān)eukert提出鉛酸電池的容量、放電時(shí)間和放電電流之間關(guān)系的經(jīng)驗(yàn)公式：，其中為與蓄電池結(jié)構(gòu)有關(guān)的常數(shù)（稱(chēng)為Peukert常數(shù)），在電池容量不變的條件下，當(dāng)放電電流為時(shí)，放電時(shí)間為；當(dāng)放電電流為時(shí)，放電時(shí)間為，則該萻電池的Peukert常數(shù)約為（

）（參考數(shù)據(jù)：，）A．1.12 B．1.13 C．1.14 D．1.157．若直線(xiàn)與曲線(xiàn)相切，則的最小值為（

）A． B．1 C． D．28．已知函數(shù)（其中表示不超過(guò)的最大整數(shù)），則關(guān)于的方程的所有實(shí)數(shù)根之和為（

）A． B． C． D．二、多選題9．將曲線(xiàn)上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線(xiàn)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到曲線(xiàn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C．在上有4個(gè)零點(diǎn) D．在上單調(diào)遞增10．若，其中為實(shí)數(shù)，則（

）A． B． C． D．11．甲罐中有個(gè)紅球，個(gè)白球，乙罐中有個(gè)紅球，個(gè)白球．先從甲罐中隨機(jī)取出一球放入乙罐，再?gòu)囊夜拗须S機(jī)取出一球．表示事件“從甲罐取出的球是紅球”，表示事件“從甲罐取出的球是白球”，表示事件“從乙罐取出的球是紅球”．則下列結(jié)論正確的是（

）A．為互斥事件 B．C． D．三、填空題12．離散型隨機(jī)變量X的概率分布中部分?jǐn)?shù)據(jù)丟失，丟失數(shù)據(jù)以x，y代替，其概率分布如下：X123456P0.200.10x0.10y0.20則等于.13．展開(kāi)式中含項(xiàng)的系數(shù)為（結(jié)果用數(shù)值表示）.14．若數(shù)列滿(mǎn)足，（，），則的最小值是.四、解答題15．在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且．求：（1）；（2）的取值范圍．16．已知函數(shù)．（1）若，求曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程；（2）若，求證：函數(shù)存在極小值；（3）若對(duì)任意的實(shí)數(shù)，恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．17．如圖，在四棱錐中，底面ABCD是矩形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC＝a，E是PC的中點(diǎn)，過(guò)E作EF⊥PB，交PB于點(diǎn)F．（1）證明：PB⊥平面EFD；（2）若平面PBC與平面PBD的夾角的大小為，求AD的長(zhǎng)度.18．已知圓，圓，．當(dāng)r變化時(shí)，圓與圓的交點(diǎn)P的軌跡為曲線(xiàn)C，（1）求曲線(xiàn)C的方程；（2）已知點(diǎn)，過(guò)曲線(xiàn)C右焦點(diǎn)的直線(xiàn)交曲線(xiàn)C于A、B兩點(diǎn)，與直線(xiàn)交于點(diǎn)D，是否存在實(shí)數(shù)m，，使得成立，若存在，求出m，；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．19．學(xué)校食堂為了減少排隊(duì)時(shí)間，從開(kāi)學(xué)第天起，每餐只推出即點(diǎn)即取的米飯?zhí)撞秃兔媸程撞?某同學(xué)每天中午都會(huì)在食堂提供的兩種套餐中選擇一種套餐，若他前天選擇了米飯?zhí)撞停瑒t第天選擇米飯?zhí)撞偷母怕蕿椋蝗羲疤爝x擇了面食套餐，則第天選擇米飯?zhí)撞偷母怕蕿?已知他開(kāi)學(xué)第天中午選擇米飯?zhí)撞偷母怕蕿?（1）求該同學(xué)開(kāi)學(xué)第天中午選擇米飯?zhí)撞偷母怕剩唬?）記該同學(xué)開(kāi)學(xué)第天中午選擇米飯?zhí)撞偷母怕蕿樽C明：當(dāng)時(shí)，.

參考答案1．【答案】C【詳解】解絕對(duì)值不等式求出集合中的范圍，根據(jù)為整數(shù)求得集合；再根據(jù)并集定義求得結(jié)果.【詳解】

本題正確選項(xiàng)：2．【答案】D【詳解】解：復(fù)數(shù)z＝a+bi，a、b∈R；∵2z，∴2（a+bi）﹣（a﹣bi）＝，即，解得a＝3，b＝4，∴z＝3+4i，∴|z|．故選D．3．【答案】B【詳解】令，則，故或，而，所以或或或或，故共有5個(gè)零點(diǎn)，故選B.4．【答案】B【詳解】設(shè)圓錐底面圓半徑為，球的半徑為，

由題意知，圓錐的軸截面是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，球的大圓是該等邊三角形的內(nèi)切圓，所以，，，所以球與圓錐的表面積之比為故選B5．【答案】B【詳解】分為兩步，第一步：安排2人去A場(chǎng)館有種結(jié)果；第二步：安排其余3人到剩余3個(gè)場(chǎng)館，有種結(jié)果，所以不同的安排方法種數(shù)為.故選B．6．【答案】D【分析】根據(jù)題意可得，再結(jié)合對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互化及換底公式即可求解．【詳解】由題意知，所以，兩邊取以10為底的對(duì)數(shù)，得，所以．故選D．7．【答案】A【詳解】設(shè)直線(xiàn)與曲線(xiàn)的切點(diǎn)為.對(duì)求導(dǎo)，根據(jù)，可得.因?yàn)橹本€(xiàn)的斜率為，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，在切點(diǎn)處，即.又因?yàn)榍悬c(diǎn)既在直線(xiàn)上又在曲線(xiàn)上，所以且，即.將代入可得：，即.將代入可得：，所以當(dāng)，時(shí)，取得最小值為.故選A8．【答案】A【詳解】，即，因?yàn)椋钥傻茫獾茫?dāng)時(shí)，滿(mǎn)足題意；當(dāng)時(shí)，即，解得，滿(mǎn)足題意；當(dāng)時(shí)，即，解得，滿(mǎn)足題意，所有實(shí)數(shù)根之和為，故選A.9．【答案】BC【詳解】根據(jù)圖象變換可得，故A錯(cuò)誤；由，故B正確；由得，所以在上有4個(gè)零點(diǎn)，故C正確；由得由正弦函數(shù)圖象與性質(zhì)可知在上不單調(diào)，故D錯(cuò)誤.故選BC10．【答案】BC【詳解】令，則原式轉(zhuǎn)化為：，由二項(xiàng)式定理，令，得，令，得，所以.故選BC.11．【答案】BD【詳解】A選項(xiàng):事件可以同時(shí)發(fā)生；顯然不成立，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；B選項(xiàng):當(dāng)發(fā)生時(shí)，乙罐中有個(gè)紅球，個(gè)白球，此時(shí)發(fā)生的概率為，∴，∴B選項(xiàng)正確；D選項(xiàng):當(dāng)發(fā)生時(shí)，乙罐中有個(gè)紅球，個(gè)白球，此時(shí)發(fā)生的概率為，∴,∴，∴D選項(xiàng)正確；C選項(xiàng):，∴C選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選BD.12．【答案】/【詳解】由概率分布的性質(zhì)可知隨機(jī)變量的所有取值的概率和為1，則.13．【答案】9【詳解】求出展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)和含項(xiàng)，利用多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式得答案．【詳解】解：二項(xiàng)式的展開(kāi)式中，通項(xiàng)公式為，分別取，5，可得展開(kāi)式中含項(xiàng)的系數(shù)為：．14．【答案】6【詳解】由已知，，…，，，所以，，又也滿(mǎn)足上式，所以，設(shè)，由對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)知在上單調(diào)遞減，在遞增，因此在時(shí)遞減，在時(shí)遞增，又，，所以的最小值是6.15．【答案】（1）（2）【詳解】（1）因?yàn)椋?因?yàn)椋驗(yàn)?（2）由正弦定理，，因?yàn)椋裕裕裕缘娜≈捣秶?16．【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析；（3）．【詳解】解：（1）當(dāng)時(shí)，，所以．所以．曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為．（2）由，得．令，則．當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)．所以的最小值為．當(dāng)時(shí)，，．又在單調(diào)遞增，故存在，使得，在區(qū)間上，在區(qū)間上．所以，在區(qū)間上，在區(qū)間上，所以，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，故函數(shù)存在極小值．（3）對(duì)任意的實(shí)數(shù)，恒成立，等價(jià)于的最小值大于或等于．①當(dāng)時(shí)，，由（2）得，所以．所以在上單調(diào)遞增，所以的最小值為．由，得，滿(mǎn)足題意．②當(dāng)時(shí)，由（2）知，在上單調(diào)遞減，所以在上，不滿(mǎn)足題意．綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是．17．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）a.【詳解】（1）∵PD⊥底面ABCD，且底面ABCD是矩形，∴，，又，∴平面PDC，∵平面PDC，∴．又∵，E是PC的中點(diǎn)，∴，∵，∴DE⊥平面PBC，∴．又，，∴PB⊥平面EFD；（2）如圖，由題意知DA、DC、DP兩兩互相垂直，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA、DC、DP所在的直線(xiàn)分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)，則，，，，，∴，，由（1）知，DE⊥平面PBC，故是平面PBC的一個(gè)法向量，且．設(shè)平面PBD的法向量為，由得即取，得，∴，解得，即．18．【答案】（1）；（2）存在；，．【詳解】解：（1）由題意可知，，，所以，所以曲線(xiàn)C為以、為焦點(diǎn)的橢圓，且，，，所以曲線(xiàn)C的方程為．（2）假設(shè)存在，由題意知直線(xiàn)AB的斜率存在，設(shè)直線(xiàn)AB的方程為，，，聯(lián)立|，消去y整理得，，