第二章粘性流體動(dòng)力學(xué)基本

方程組流體運(yùn)動(dòng)所遵照規(guī)律是由物理學(xué)三大守恒定律要求，即質(zhì)量守恒定律，動(dòng)量守恒定律和能量守恒定律。這三大定律對(duì)流體運(yùn)動(dòng)數(shù)學(xué)描寫就是流體動(dòng)力學(xué)基本方程組。但這個(gè)方程組是個(gè)不封閉，要使其封閉還需要加上輔助物性關(guān)系，如密度、比熱、粘性系數(shù)和熱傳導(dǎo)系數(shù)隨溫度和壓力改變關(guān)系等。普通情況下，現(xiàn)在還求不出這個(gè)方程組解析解，但研究這個(gè)方程組性質(zhì)卻含有極其主要意義，因?yàn)榍ё內(nèi)f化流動(dòng)現(xiàn)象畢竟是由這個(gè)方程組所要求。本書全部?jī)?nèi)容實(shí)質(zhì)上就是在各種詳細(xì)條件下用各種不一樣方法以不一樣近似程度求解這個(gè)方程組，研究解性質(zhì)。第1頁本章將較深入地闡述粘性在動(dòng)量平衡和能量平衡中所起作用。這主要是指粘性對(duì)動(dòng)量和能量輸運(yùn)以及由粘性引發(fā)能量耗散。除邊界條件外，這些項(xiàng)存在是粘流與無粘流根本差異。粘性流動(dòng)一個(gè)基本特征是流動(dòng)有旋性。用量綱理論研究這一方程組，導(dǎo)出一些主要相同參數(shù)，則是本章另一部分內(nèi)容。本章最終將討論這一方程組數(shù)學(xué)性質(zhì)。對(duì)流體運(yùn)動(dòng)描述有兩種基本方法，即拉格朗日法和歐拉法；對(duì)基本定律數(shù)學(xué)表述也有兩種基本形式，即積分形式和微分形式。第2頁本書將以歐拉法和微分形式為主，間或采取拉格朗日法和積分形式。現(xiàn)用歐拉法研究守恒定律。考慮流體流過一個(gè)小、不動(dòng)控制體，將此控制體簡(jiǎn)寫為CV。則對(duì)任何量q守恒定律可表述為：q在CV中增加率=q從CV表面進(jìn)入率-q從CV表面流出率+q在CV內(nèi)源和匯產(chǎn)生總凈增率當(dāng)控制體CV體積均勻趨于零時(shí)所得到方程就是量q在固定點(diǎn)用歐拉方式表示守恒方程，標(biāo)準(zhǔn)上控制體CV能夠是任何形狀，我們這里采取笛卡爾坐標(biāo)，用矩形六面體表示，這不會(huì)影響所得結(jié)果普通性。第3頁§2-1質(zhì)量守恒定律

——連續(xù)方程連續(xù)方程是質(zhì)量守恒定律在運(yùn)動(dòng)流體中數(shù)學(xué)表示式。因?yàn)椴话栴}，所以粘性流體與非粘性流體連續(xù)方程完全相同，在非粘性流體中所做推導(dǎo)和討論在這里全部有效。當(dāng)控制體各向均勻收縮到無限小時(shí)，該控制體稱為微元體。考慮含有相互垂直側(cè)面微元體，其邊長(zhǎng)分別為dx，dy和dz（圖2.1.1）。若將q定為質(zhì)量(即q=質(zhì)量=密度×容積)，則可得到連續(xù)方程。在微元體內(nèi)，質(zhì)量沒有源或匯，則此方程可表述為：質(zhì)量經(jīng)過邊界出入該微元體凈增率等于流體質(zhì)量在該微元體內(nèi)增加率。第4頁為做出定量表述，首先計(jì)算經(jīng)過該微元體兩平行面之間相關(guān)物理量增量。設(shè)速度矢量為u，它在x、y和z方向分量分別為u，v和w。第5頁第6頁現(xiàn)用變量依次輪換法(即x→y→z和u→v→w)，能夠輕易得出經(jīng)過另外兩對(duì)微元面凈質(zhì)量流率，即y方向速度分量輸運(yùn)出微元體凈質(zhì)量流率為第7頁第8頁第9頁第10頁§2-2粘性流體運(yùn)動(dòng)方程

——?jiǎng)恿渴睾愣烧承粤黧w運(yùn)動(dòng)方程是動(dòng)量守恒定律對(duì)于粘性流體運(yùn)動(dòng)規(guī)律數(shù)學(xué)表述，它可由牛頓第二定律推出。以微元體為分析對(duì)象則可表述為：在慣性系中，流體微元體質(zhì)量與加速度乘積等于該微元體所受外力協(xié)力。對(duì)于流體運(yùn)動(dòng)應(yīng)考慮兩類外力：一為徹體力，它是作用在微元體內(nèi)全部質(zhì)量上力，如重力：另一類為表面力，它是作用在微元體界面上力，如壓力，摩擦力等。若F表示作用在單位質(zhì)量上徹體力，P表示作用在單位容積上表面力，則運(yùn)動(dòng)方程可寫為以下向量形式：第11頁第12頁從歐拉法觀點(diǎn)看，此式右端第一項(xiàng)由流動(dòng)非定常性引發(fā)，稱為當(dāng)?shù)丶铀俣龋挥叶说诙?xiàng)由流場(chǎng)中速度分布不均勻性引發(fā)，表示經(jīng)Dt時(shí)間后因?yàn)槲F(tuán)空間位置改變而引發(fā)速度改變，稱為遷移加速度或?qū)α骷铀俣取Ｊ街袕伢w力可用三個(gè)分量表示，即第13頁第14頁第15頁普通情況下μ是溫度函數(shù),所以方程很復(fù)雜.對(duì)于慣用情況,能夠不考慮μ隨空間位置改變,于是μ可作為常量而寫到導(dǎo)數(shù)之外.考慮到這一點(diǎn),能夠?qū)⒎匠躺钊敫膶?對(duì)方程第一個(gè)式子可寫為第16頁第17頁第18頁應(yīng)該指出，盡管在粘性流體中幾乎處處存在粘性應(yīng)力，但并不是在任何地方它都主要。由公式（2.2.6）或(2.2.8)可見，只在速度梯度改變猛烈地方粘性應(yīng)力才起主要作用。這一點(diǎn)很主要，它是邊界層理論賴以建立一個(gè)基本事實(shí)，對(duì)此，還要在第五章中深入討論。第19頁§2-3粘性流體能量方程1.動(dòng)能方程第20頁第21頁上式左端是單位質(zhì)量流體動(dòng)能物質(zhì)導(dǎo)數(shù)，表示流體微團(tuán)單位質(zhì)量動(dòng)能隨時(shí)間改變率。右端第一項(xiàng)是單位時(shí)間內(nèi)徹體力對(duì)單位質(zhì)量所做功。右端第二項(xiàng)是單位時(shí)間內(nèi)粘性力對(duì)運(yùn)動(dòng)著單位質(zhì)量流體所輸運(yùn)機(jī)械能。右端第三項(xiàng)是單位時(shí)間內(nèi)壓力對(duì)單位質(zhì)量流體所做功，即流動(dòng)功。右端第四項(xiàng)中是體積膨脹率（§1-5），它與壓力p乘積代表單位時(shí)間膨脹功。右端第五項(xiàng)是單位時(shí)間內(nèi)粘性力所做變形功。它把流體運(yùn)動(dòng)機(jī)械能不可逆地轉(zhuǎn)換為熱能而消耗，故稱為耗散項(xiàng)。第22頁第23頁對(duì)于層流運(yùn)動(dòng)，只在邊界層內(nèi)靠近壁面處有大速度梯度，因而產(chǎn)生大耗散，而在其它區(qū)域耗散則很小。對(duì)于湍流運(yùn)動(dòng)，則不但在邊界層內(nèi)緊靠壁面處，而且在兩個(gè)很靠近旋渦之間都能夠有很大應(yīng)變改變率，因而產(chǎn)生大耗散。依據(jù)以上分析，可對(duì)式(2.3.1a)歸結(jié)以下：流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)能改變率取決于單位時(shí)間內(nèi)徹體力所作之功、經(jīng)過粘性力和壓力與相鄰微團(tuán)機(jī)械能交換、膨脹功以及粘性力對(duì)機(jī)械能耗散等原因。第24頁2.內(nèi)能方程第25頁第26頁第27頁第28頁第29頁第30頁第31頁3.總能量方程第32頁值得注意是，與理想流體相比，粘性流體能量方

程(2.3.20)多了一項(xiàng)。這項(xiàng)存在說明，即使

沒有外熱、熱傳導(dǎo)和徹體力作功等項(xiàng)，粘性流體微團(tuán)總焓沿跡線也是改變，這是因?yàn)檎承詰?yīng)力能夠在相鄰跡線之間輸運(yùn)能量。從該式還能夠看出，式中并不顯式地包含粘性耗散函數(shù)，這是因?yàn)檎承院纳H僅引發(fā)能量形式改變，即是說，它將所耗散機(jī)械能都以熱能形式又加到了微團(tuán)中，從形式看并未引發(fā)微團(tuán)總能量改變。不過若考慮到因?yàn)檎承院纳⒋嬖诙淖兞苏麄€(gè)流場(chǎng)內(nèi)能分布，則與此有親密聯(lián)絡(luò)熱傳導(dǎo)情況也將改

變，即項(xiàng)將有所改變而改變微團(tuán)總焓。所以，

粘性耗散即使不顯式地影響總能量平衡，但它影響依然隱含在里面。第33頁§2-4粘性流體動(dòng)力學(xué)方程組

封閉性問題所謂封閉性問題是指方程組所含有方程數(shù)目是否等于所出現(xiàn)未知函數(shù)數(shù)目標(biāo)問題。只有當(dāng)這二者相等時(shí)，對(duì)于正確要求定解條件，方程組解才可能既存在又唯一，這是普通數(shù)學(xué)標(biāo)準(zhǔn)。流體動(dòng)力學(xué)方程組包含有質(zhì)量方程、動(dòng)量方程和能量方程；所包含未知函數(shù)有ρ、u、F、p、μ、h（或e）、Q和q，共八個(gè)（這里把矢量作為一個(gè)量對(duì)待，）而方程數(shù)目?jī)H三個(gè)，所以還需補(bǔ)充其它假設(shè)條件和物理關(guān)系式。通常假設(shè)徹體力F和外熱Q是已知。對(duì)處于不一樣條件下不一樣工質(zhì),當(dāng)前人們還未能找到聯(lián)絡(luò)各熱力學(xué)參數(shù)之間普遍適用關(guān)系式。對(duì)于空氣等氣體，常采取完全氣體假設(shè)，它們滿足以下狀態(tài)方程和熱焓關(guān)系第34頁還能夠采取傅里葉定律（1.4.6）計(jì)算熱流密度矢量q。對(duì)熱傳導(dǎo)系數(shù)k和粘度系數(shù)μ,可采取前面公式計(jì)算，在溫度改變不大時(shí)，也可假設(shè)為常數(shù)。利用以上假設(shè)和關(guān)系，就可使可壓縮粘性氣體動(dòng)力學(xué)方程組封閉。對(duì)于不可壓縮流體，密度ρ為已知常數(shù)，所以由質(zhì)量方程(2.1.3)和動(dòng)量方程(2.2.8)已組成一個(gè)關(guān)于壓力p和速度u封閉方程組，即可由此解出壓力和速度后再由能量方程求解溫度。因?yàn)椴豢蓧嚎s流體能量方程并不與質(zhì)量方程和動(dòng)量方程一起聯(lián)立求解，所以稱之為非耦合；對(duì)于可壓縮流，質(zhì)量方程、動(dòng)量方程和能量方程則必須聯(lián)立求解，稱之為耦合。第35頁§2-5粘性流體動(dòng)力學(xué)方程組

數(shù)學(xué)性質(zhì)依據(jù)偏微分方程理論，可按方程組數(shù)學(xué)性質(zhì)將其分為不一樣類型。這一問題主要性在于定解條件提法、解性質(zhì)以及數(shù)值求解過程基本方式都是由方程類型確定。這里只引述相關(guān)結(jié)論，而不作證實(shí)。關(guān)于偏微分方程普通理論，大部分是從研究以下擬線性二階方程發(fā)展起來第36頁第37頁橢圓型、拋物型和雙曲型名稱本身沒有什么意義，它們是由與圓錐截面對(duì)應(yīng)不一樣二次曲線比擬而得來。然而，不一樣類型卻反應(yīng)了含有本質(zhì)差異數(shù)學(xué)物理性質(zhì)。第38頁對(duì)于這三類經(jīng)典方程性質(zhì)人們已了解得很清楚，但對(duì)于粘性流體基本方程組(納維-斯托克斯方程組)卻不是這么，它含有復(fù)雜得多數(shù)學(xué)性質(zhì)，在不一樣條件下能夠有不一樣表現(xiàn)，所以不能用任何一類經(jīng)典方程去簡(jiǎn)單地類比其綜合性質(zhì)。納維-斯托克斯方程組分類和數(shù)學(xué)性責(zé)問題即使標(biāo)準(zhǔn)上能夠用編微分方程組特征理論來研究，但詳細(xì)分析很復(fù)雜，當(dāng)前還沒有完全處理，這里主要從物理上來討論這一問題。我們首先分析流體粘性很小和粘性很大兩種極限情況。當(dāng)粘性趨于零時(shí)，納維-斯托克斯方程組退化為歐拉方程組。對(duì)于無粘定常理想氣體流動(dòng)，在亞聲速時(shí)擾動(dòng)能夠傳遍速個(gè)空間，而在超聲速時(shí)擾動(dòng)傳輸則只能局限在馬赫錐范圍內(nèi)。這種物理上本質(zhì)差異在數(shù)學(xué)上表現(xiàn)為：對(duì)于描寫無粘定常流體動(dòng)力學(xué)方程組，在亞聲速流動(dòng)時(shí)沒有實(shí)特征曲面，歸屬于橢圓型方程；在超聲速流動(dòng)時(shí)則存在實(shí)特征曲面，歸屬于雙曲型方程第39頁第40頁在普通情況下(不屬于上述粘性尤其小或尤其大極限情況)，納維-斯托克斯方程組應(yīng)兼有歐拉方程組和擴(kuò)散方程性質(zhì)。即非定常可壓納維-斯托克斯方程組屬于拋物-雙曲混合型，或稱為不完全拋物型。其拋物屬性是指在動(dòng)量和能量方程中含有二階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)，即粘性和熱擴(kuò)散項(xiàng)；其雙曲屬性對(duì)應(yīng)于非定常歐拉方程組。對(duì)于定常不可壓縮流，方程組為橢圓型，對(duì)于非定常不可壓縮流，方程組為拋物型。現(xiàn)以高雷諾數(shù)定常超聲流為例定性說明納維-斯托克斯方程組所含有上述雙重屬性。第41頁§2-6定解條件和定解問題

適定性依據(jù)現(xiàn)在普通看法，前面導(dǎo)出納維-斯托克斯方程組正確反應(yīng)了諸如空氣和水等經(jīng)典流體運(yùn)動(dòng)規(guī)律(對(duì)這一問題將在§2-7中深入討論)，不過僅由納維-斯托克斯方程組本身還不能確定流動(dòng)詳細(xì)形態(tài)，因?yàn)榱鲃?dòng)形態(tài)還與初始情況和邊界情況相關(guān)。即是說，一個(gè)封閉微分方程組，加上恰當(dāng)要求安始條件和邊界條件，才可能確定詳細(xì)解，才組成一個(gè)定解問題。初始條件和邊界條件統(tǒng)稱定解條件。第42頁對(duì)于一個(gè)定解問題，不論從數(shù)學(xué)角度還是從物理角度出發(fā)，都會(huì)關(guān)心這么幾個(gè)問題：解是否存在，即解存在性問題；解是否唯一，即解唯一性問題；解是否依賴于定解條件和自由項(xiàng)，或者說，定解條件和自由項(xiàng)微小改變是否引發(fā)解微小改變，此即解穩(wěn)定性問題。假如一個(gè)定解問題解是存在、唯心史觀一且穩(wěn)定，就稱此定解問題是適定。定解條件要求應(yīng)依據(jù)方程類型而確定。第43頁對(duì)于經(jīng)典線性方程，為確保適定性所要求定解條件提法問題已完全處理了；但對(duì)于非線性納維-斯托克斯方程組，這一問題并沒有完全處理，也沒有處理這一問題完整理論，這與至今未能完全認(rèn)識(shí)納維-斯托克斯方程組數(shù)學(xué)性質(zhì)相關(guān)。為了要求定解條件，只能依靠物理方面理由，然后依靠已知數(shù)學(xué)結(jié)果和對(duì)問題正確思索和判斷。以下介紹當(dāng)前較通行處理方法。第44頁第45頁1.流體與固體接觸面上邊界條件第46頁第47頁2.不一樣流體分界面上邊界條件在不一樣液體形成分界面上，若可不考慮表面張力和質(zhì)量擴(kuò)散作用，則可設(shè)界面處兩液體諸物理量相等對(duì)于液體與氣體形成分界面，若不考慮蒸發(fā)、傳熱、表面張力以及氣體對(duì)液體粘性應(yīng)力作用等效應(yīng)，即得到所謂液體理想自由面，其邊界條件為第48頁3.入口出口邊界條件對(duì)于許多實(shí)際問題，為了數(shù)值計(jì)算方便，往往需要把無限求解域縮小為有限域，為此，需組成假想上游入口邊界和下游出口邊界。對(duì)于納維-斯托克斯方程組，正確要求下游邊界條件往往是很困難。因?yàn)橄掠螤顟B(tài)強(qiáng)烈地受上游流動(dòng)狀態(tài)影響，所以下游邊界條件應(yīng)與流場(chǎng)解相關(guān)，這與方程橢圓性質(zhì)是有一定矛盾。實(shí)際對(duì)下游邊界條件經(jīng)常加一些守恒標(biāo)準(zhǔn)限制邊界上壓力值不能隨意給定，它應(yīng)與壓力泊松方程一致。對(duì)不可壓縮流體動(dòng)量方程(2.2.8b)取散度，考慮到連續(xù)方程(2.1.3)，并設(shè)徹體力滿足，則得第49頁第50頁§2-8粘性流體動(dòng)力學(xué)相同

律和量綱分析許多工程和科學(xué)技術(shù)問題向人們提出了一個(gè)要求：尋求確保流動(dòng)相同條件。只有當(dāng)兩種情況下流動(dòng)相同時(shí)，模型試驗(yàn)才有意義。1.基本方程組和邊界條件量綱一化尋求相同條件最直接方法是將基本方程組和邊界條件量綱一化。為此，首先選定一組特征物理量，用這些量除方程和邊界條件中對(duì)應(yīng)變量，并重新定義由此得到量綱一變量，即可得到量綱一化方程和邊界條件。第51頁第52頁第53頁第54頁第55頁第56頁第57頁2.相同律每一個(gè)詳細(xì)流場(chǎng)都是由封閉基本方程組和定解條件決定。即是說，假如有兩個(gè)流場(chǎng)，它們幾何邊界相同，它們有完全一樣量綱一基本方程組，而且還有完全一樣量綱一定解條件，則這兩個(gè)流場(chǎng)量綱一解是完全一樣，我們稱這兩個(gè)流場(chǎng)是相同。所以兩個(gè)流場(chǎng)相同必要和充分條件是：(1)流體邊界幾何相同；(2)量綱一基本方程組完全一樣；(3)量綱一定解條件完全一樣。第58頁這里所謂量綱一基本方程組和量綱一定解條件完全一樣，是指這些方程和定解條件所包含全部量綱一組合量都一一對(duì)應(yīng)相等，即是說，若A和B分別代表兩個(gè)流場(chǎng)，則應(yīng)有因?yàn)樵趲缀芜吔缦嗤疤嵯拢瑑蓚€(gè)流場(chǎng)這些量綱一數(shù)一一對(duì)應(yīng)相等是相同必要和充分條件，故將這些量綱一數(shù)稱為相同參數(shù)或相同準(zhǔn)則。第59頁3.完全相同和部分相同上面列出了8個(gè)相同參數(shù)，實(shí)際上依據(jù)問題所包括物理內(nèi)容不一樣，還能夠得出另外相同參數(shù)。比如：表征自由對(duì)流格拉曉夫數(shù)Gr，表征表面張力韋伯?dāng)?shù)We，表征高馬赫數(shù)低雷諾數(shù)時(shí)壁面可能滑移克努森數(shù)Kn，表征液體內(nèi)部出現(xiàn)空泡可能性空化數(shù)等等。為了確保嚴(yán)格相同，必須使全部這些相同準(zhǔn)則都得到滿足，而在實(shí)際上這幾乎是不可能，主要是因?yàn)橛行┫嗤瑴?zhǔn)則相互矛盾。第60頁第61頁實(shí)際上，各個(gè)相同準(zhǔn)則主要程度不是在任何條件下都完全一樣，人們能夠依據(jù)所研究詳細(xì)情況只確保一些起主要作用相同準(zhǔn)則。比如，不包括表面張力時(shí)可不考慮We準(zhǔn)則，不包括壁面換熱時(shí)可不考慮Nu準(zhǔn)則，自然對(duì)流不主要時(shí)可不考慮Gr準(zhǔn)則等等。這么就只確保了部分相同而不是完全相同。第62頁4.不一樣條件下方程簡(jiǎn)化第63頁當(dāng)雷諾數(shù)很大時(shí)，粘性力項(xiàng)變得很小，忽略此項(xiàng)后得到歐拉方程組。這正是理想流體能在一些條件下代表高雷諾數(shù)流動(dòng)原因。第64頁5.量綱分析以上討論了由已知方程互助友愛和定解條件導(dǎo)出量綱一相同參數(shù)方法；還有另一個(gè)方法，它應(yīng)用范圍更廣，它能在不知道方程組及其解情況下導(dǎo)出量綱一相同參數(shù)，此即量綱分析法。由數(shù)學(xué)公式表述物理定律，把表征所研究現(xiàn)象各有量綱量相互聯(lián)絡(luò)起來，這些有量綱量詳細(xì)數(shù)值依賴于所選取度量單位制。另首先，物理定律本身應(yīng)不依賴于單位制選擇。這種情況說明，有量綱量之間函數(shù)相關(guān)必定含有某種特有結(jié)構(gòu)，而量綱理論則提供了確定上述相關(guān)結(jié)構(gòu)方法。方法基本依據(jù)是任何數(shù)學(xué)方程各項(xiàng)必須含有相同質(zhì)量、長(zhǎng)度和時(shí)間等量量綱，而超越函數(shù)如logx和sinx等自變量則必須是量綱量一。第65頁第66頁第67頁第68頁量綱分析在數(shù)學(xué)上異常簡(jiǎn)單，因難在于物理方面，要求使用者對(duì)過程物理本質(zhì)有深刻了解才能確定影響這一物理過程主要參數(shù)，方能得出有用結(jié)果，不然會(huì)得出荒謬結(jié)果。從上述分析還可見，量綱分析只能建立有量綱量之間關(guān)系，而不能建立量綱一量之間關(guān)系，盡管如此，量綱分析仍不失為非常有力工具，它不但能夠在不知道數(shù)學(xué)方程及其解條件下導(dǎo)出量綱一相同參數(shù)，而且還可用以得出一些深刻反應(yīng)流動(dòng)物理機(jī)制關(guān)系式。第69頁§2-9流體渦旋運(yùn)動(dòng)1.流體運(yùn)動(dòng)有旋性粘性流體運(yùn)動(dòng)總是有旋。比如，因?yàn)檎掣阶饔茫诠腆w壁面附近薄層中，流體速度由主流速度值下降到零，以滿足壁面無滑移條件。這薄層速度梯度很大，形成強(qiáng)渦旋運(yùn)動(dòng)，所以渦量產(chǎn)生始自邊界，固壁附近邊界層常是生成渦旋主要區(qū)域。在無粘流體中，因?yàn)閴毫Α囟群挽氐葻崃W(xué)參數(shù)不均勻性也可引發(fā)渦旋。比如，因?yàn)樘柡偷孛孑椛鋵?duì)大氣不均勻加熱就常引發(fā)渦旋。所以除了簡(jiǎn)單理想化情況外，實(shí)際流動(dòng)總是有旋。第70頁第71頁2.渦量輸運(yùn)方程實(shí)際流動(dòng)中，渦量沿空間分布往往很不均勻，形成一些局部集中強(qiáng)渦量區(qū)。這些區(qū)域?qū)φ麄€(gè)流場(chǎng)運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)性質(zhì)有很大影響，所以研究渦旋生成、輸運(yùn)和擴(kuò)散過程是很有意義。現(xiàn)推導(dǎo)渦量輸運(yùn)方程。對(duì)式(2.2.7d)兩端各項(xiàng)取旋度可得第72頁第73頁第74頁式(2.9.3)左端與右端粘性項(xiàng)與納維-斯托克斯方程對(duì)應(yīng)項(xiàng)有相同形式，但壓力項(xiàng)消失了，且右端第一項(xiàng)在納維-斯托克斯方程中沒有對(duì)應(yīng)項(xiàng)。式(2.9.3)左端表示某微團(tuán)沿跡線運(yùn)動(dòng)時(shí)其渦量隨時(shí)間改變率，由式(2.9.3b)可見，它可分為兩部分，即渦量當(dāng)?shù)馗淖兟?左端第一項(xiàng))和渦量對(duì)流改變率(左端第二項(xiàng))。后者反應(yīng)了流體在空間分布不均勻渦量場(chǎng)中對(duì)流所引發(fā)渦量改變。這項(xiàng)說明，渦量也是輸運(yùn)量。這是因?yàn)闇u量是速度空間導(dǎo)數(shù)，速度作為單位質(zhì)量動(dòng)量是可輸運(yùn)量，因而渦量也是可輸運(yùn)量。由式(2.9.3)可見，微團(tuán)渦量隨時(shí)間改變率取決于右端第二項(xiàng)。右端第一項(xiàng)是渦拉伸彎扭項(xiàng)，第二項(xiàng)是渦量粘性擴(kuò)散項(xiàng)。下面將分別研究這兩項(xiàng)物理意義。利用式(2.9.3)能夠較輕易看出渦量改變，但不易直接看出渦量產(chǎn)生。對(duì)此將在§3-4中經(jīng)過平板突然加速說明這一問題。第75頁3.渦拉伸與彎曲第76頁第77頁可見，由拉壓或彎曲而引發(fā)渦量改變都與粘性無關(guān)，都是慣性運(yùn)動(dòng)產(chǎn)物。流動(dòng)一旦因?yàn)槟撤N原因成為有旋流后，拉伸和彎曲會(huì)深入增加渦量。在湍流流動(dòng)中，拉伸和彎曲對(duì)形成各種尺度渦(尤其是在高雷諾數(shù)時(shí)形成小尺度均勻各向同性渦)起著非常主要作用。第78頁4.粘性對(duì)渦量擴(kuò)散第79頁值注意是由粘性流體運(yùn)動(dòng)方程導(dǎo)出式(2.9.5)與線渦在無粘位勢(shì)流中誘導(dǎo)出速度場(chǎng)完全一樣。這個(gè)速度場(chǎng)基本特點(diǎn)是除中心點(diǎn)外渦量處處為零，但有角變形率(請(qǐng)讀者在習(xí)題2.18中證實(shí)這兩點(diǎn))。假如有粘性就會(huì)不停發(fā)生耗散，所以只有在中心不停提供渦源情況下才能維持這種運(yùn)動(dòng)。現(xiàn)在來研究假如線渦渦量突然變?yōu)榱悖€渦原來含有非零渦量將怎樣向外擴(kuò)散。第80頁第81頁第82頁第83頁第84頁第85頁5.環(huán)量和開爾文定理第86頁第87頁第88頁第89頁第90頁第91頁上面得出粘性流體環(huán)量將隨時(shí)間改變結(jié)論是在封閉線周長(zhǎng)有限條件下得出。利用上述點(diǎn)渦例子能夠得出封閉線半徑趨于無限大時(shí)情況。由式（2.9.11）可得出以點(diǎn)渦為圓心圓周上環(huán)量第92頁6.相關(guān)渦管流動(dòng)性質(zhì)定理與流管概念相對(duì)應(yīng)，可引入渦管概念。為此先引入渦線概念。渦線是這么一條曲線，曲線上任意一點(diǎn)切線方向與在該點(diǎn)流體渦量方向一致。因?yàn)闇u量與流體微團(tuán)瞬時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)速度之間關(guān)系，渦線也可看成流體微團(tuán)瞬