PAGEPAGE12第一節(jié)空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征及三視圖和直觀圖2024考綱考題考情1．空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征2．空間幾何體的三視圖(1)三視圖的形成與名稱空間幾何體的三視圖是用平行投影得到的，這種投影下與投影面平行的平面圖形留下的影子與平面圖形的形態(tài)和大小是完全相同的，三視圖包括正視圖、側(cè)視圖、俯視圖。(2)三視圖的畫法①在畫三視圖時(shí)，重疊的線只畫一條，攔住的線要畫成虛線。②三視圖的正視圖、側(cè)視圖、俯視圖分別是從幾何體的正前方、正左方、正上方視察幾何體畫出的輪廓線。3．空間幾何體的直觀圖空間幾何體的直觀圖常用斜二測畫法來畫，基本規(guī)則是：(1)原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中，x′軸、y′軸的夾角為45°(或135°)，z′軸與x′軸、y′軸所在平面垂直。(2)原圖形中平行于坐標(biāo)軸的線段，直觀圖中還是平行于坐標(biāo)軸的線段。平行于x軸和z軸的線段長度在直觀圖中保持不變，平行于y軸的線段長度在直觀圖中變?yōu)樵瓉淼囊话搿?．臺(tái)體可以看成是由錐體截得的，易忽視截面與底面平行且側(cè)棱延長后必交于一點(diǎn)。2．三視圖的基本要求(1)長對正，高平齊，寬相等。(2)在繪制三視圖時(shí)，分界線和可見輪廓線都用實(shí)線畫出，被遮擋的部分的輪廓線用虛線表示出來，即“眼見為實(shí)、不見為虛”。在三視圖的推斷與識別中要特殊留意其中的虛線。3．斜二測畫法中的“三變”與“三不變”“三變”eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(坐標(biāo)軸的夾角變更，,與y軸平行的線段的長度變?yōu)樵瓉淼囊话耄?圖形變更。))“三不變”eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(平行性不變更，,與x，z軸平行的線段的長度不變更，,相對位置不變更。))一、走進(jìn)教材1．(必修2P8T1改編)在如圖所示的幾何體中，是棱柱的為________。(填寫全部正確的序號)答案③⑤2．(必修2P15練習(xí)T1改編)已知如圖所示的幾何體，其俯視圖正確的是()解析由俯視圖定義易知選項(xiàng)C符合題意。故選C。答案C二、走近高考3．(2024·全國卷Ⅰ)某圓柱的高為2，底面周長為16，其三視圖如圖所示。圓柱表面上的點(diǎn)M在正視圖上的對應(yīng)點(diǎn)為A，圓柱表面上的點(diǎn)N在左視圖上的對應(yīng)點(diǎn)為B，則在此圓柱側(cè)面上，從M到N的路徑中，最短路徑的長度為()A．2eq\r(17) B．2eq\r(5)C．3 D．2解析由三視圖可知，該幾何體為如圖①所示的圓柱，該圓柱的高為2，底面周長為16。畫出該圓柱的側(cè)面綻開圖，如圖②所示，連接MN，則MS＝2，SN＝4，則從M到N的路徑中，最短路徑的長度為eq\r(MS2＋SN2)＝eq\r(22＋42)＝2eq\r(5)。故選B。答案B4．(2024·全國卷Ⅱ)如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗實(shí)線畫出的是某幾何體的三視圖，該幾何體由一平面將一圓柱截去一部分后所得，則該幾何體的體積為()A．90π B．63πC．42π D．36π解析由三視圖可知，此幾何體應(yīng)是一個(gè)圓柱切去一部分后所得，如圖所示。通過切割及補(bǔ)形知，此幾何體的體積等同于底面半徑為3，高為7的圓柱，所以所求體積V＝π×32×7＝63π。故選B。答案B三、走出誤區(qū)微提示：①棱柱的概念不清致誤；②不清晰三視圖的三個(gè)視圖間的關(guān)系，想象不出原幾何體而出錯(cuò)；③斜二測畫法的規(guī)則不清致誤。5．如圖，長方體ABCD－A′B′C′D′中被截去一部分，其中EH∥A′D′。剩下的幾何體是()A．棱臺(tái)B．四棱柱C．五棱柱D．六棱柱解析由幾何體的結(jié)構(gòu)特征，剩下的幾何體為五棱柱。故選C。答案C6．將一個(gè)長方體沿相鄰三個(gè)面的對角線截去一個(gè)棱錐，得到的幾何體的正視圖與俯視圖如圖所示，則該幾何體的側(cè)視圖為()解析先依據(jù)正視圖和俯視圖還原出幾何體，再作其側(cè)視圖。由幾何體的正視圖和俯視圖可知該幾何體為圖①，故其側(cè)視圖為圖②。故選B。答案B7．利用斜二測畫法得到的：①三角形的直觀圖肯定是三角形；②正方形的直觀圖肯定是菱形；③等腰梯形的直觀圖可以是平行四邊形；④菱形的直觀圖肯定是菱形。以上結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是________。解析由斜二測畫法的規(guī)則可知①正確；②錯(cuò)誤，是一般的平行四邊形；③錯(cuò)誤，等腰梯形的直觀圖不行能是平行四邊形；而菱形的直觀圖也不肯定是菱形，④也錯(cuò)誤。答案1考點(diǎn)一空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征【例1】(1)用隨意一個(gè)平面截一個(gè)幾何體，各個(gè)截面都是圓面，則這個(gè)幾何體肯定是()A．圓柱 B．圓錐C．球體 D．圓柱、圓錐、球體的組合體(2)下列說法正確的是()A．有兩個(gè)平面相互平行，其余各面都是平行四邊形的多面體是棱柱B．四棱錐的四個(gè)側(cè)面都可以是直角三角形C．有兩個(gè)平面相互平行，其余各面都是梯形的多面體是棱臺(tái)D．棱臺(tái)的各側(cè)棱延長后不肯定交于一點(diǎn)解析(1)截面是隨意的且都是圓面，則該幾何體為球體。故選C。(2)A錯(cuò)，如圖①；B正確，如圖②，其中底面ABCD是矩形，PD⊥平面ABCD，可證明∠PAB，∠PCB，∠PDA，∠PDC都是直角，這樣四個(gè)側(cè)面都是直角三角形；C錯(cuò)，如圖③；D錯(cuò)，由棱臺(tái)的定義知，其側(cè)棱的延長線必相交于同一點(diǎn)。故選B。答案(1)C(2)B解決與空間幾何體結(jié)構(gòu)特征有關(guān)問題的三個(gè)技巧1．把握幾何體的結(jié)構(gòu)特征，要多視察實(shí)物，提高空間想象實(shí)力。2．緊扣結(jié)構(gòu)特征是推斷的關(guān)鍵，熟識空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，依據(jù)條件構(gòu)建幾何模型，如例1(2)中的A，C兩項(xiàng)易推斷失誤。3．通過反例對結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行辨析。【變式訓(xùn)練】(1)下列命題正確的是()A．兩個(gè)面平行，其余各面都是梯形的多面體是棱臺(tái)B．兩個(gè)面平行且相像，其余各面都是梯形的多面體是棱臺(tái)C．直角梯形以一條直角腰所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體是圓臺(tái)D．用平面截圓柱得到的截面只能是圓和矩形(2)下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是()A．由五個(gè)面圍成的多面體只能是三棱柱B．正棱臺(tái)的對角面肯定是等腰梯形C．圓柱側(cè)面上的直線段都是圓柱的母線D．各個(gè)面都是正方形的四棱柱肯定是正方體解析(1)如圖所示，可解除A、B選項(xiàng)。只要截面與圓柱的母線平行或垂直，則截得的截面為矩形或圓，否則為橢圓或橢圓的一部分。(2)由五個(gè)面圍成的多面體可以是四棱錐，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤。B，C，D說法均正確。答案(1)C(2)A考點(diǎn)二空間幾何體的三視圖微點(diǎn)小專題方向1：三視圖辨析【例2】如圖所示，四面體ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)是長方體的四個(gè)頂點(diǎn)(長方體是虛擬圖形，起協(xié)助作用)，則四面體ABCD的三視圖是(用①②③④⑤⑥代表圖形)()A．①②⑥ B．①②③C．④⑤⑥ D．③④⑤解析正視圖應(yīng)當(dāng)是邊長為3和4的矩形，其對角線左下到右上是實(shí)線，左上到右下是虛線，因此正視圖是①，側(cè)視圖應(yīng)當(dāng)是邊長為5和4的矩形，其對角線左上到右下是實(shí)線，左下到右上是虛線，因此側(cè)視圖是②；俯視圖應(yīng)當(dāng)是邊長為3和5的矩形，其對角線左上到右下是實(shí)線，左下到右上是虛線，因此俯視圖是③。故選B。答案B由直觀圖確定三視圖，一要依據(jù)三視圖的含義及畫法和擺放規(guī)則確認(rèn)，二要熟識常見幾何體的三視圖。方向2：三視圖還原幾何體【例3】(2024·北京高考)某四棱錐的三視圖如圖所示，在此四棱錐的側(cè)面中，直角三角形的個(gè)數(shù)為()A．1B．2C．3D．4解析將三視圖還原為直觀圖，幾何體是底面為直角梯形，且一條側(cè)棱和底面垂直的四棱錐，如圖所示。易知，BC∥AD，BC＝1，AD＝AB＝PA＝2，AB⊥AD，PA⊥平面ABCD，故△PAD，△PAB為直角三角形，因?yàn)镻A⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，所以PA⊥BC，又BC⊥AB，且PA∩AB＝A，所以BC⊥平面PAB，又PB?平面PAB，所以BC⊥PB，所以△PBC為直角三角形，簡潔求得PC＝3，CD＝eq\r(5)，PD＝2eq\r(2)，故△PCD不是直角三角形。故選C。答案C由幾何體的三視圖還原幾何體的形態(tài)。要熟識柱、錐、臺(tái)、球的三視圖，明確三視圖的形成原理，結(jié)合空間想象將三視圖還原為實(shí)物圖。方向3：已知三視圖中的兩個(gè)視圖，推斷第三個(gè)視圖【例4】(2024·唐山市摸底考試)如圖是一個(gè)空間幾何體的正視圖和俯視圖，則它的側(cè)視圖為()ABCD解析由正視圖和俯視圖可知，該幾何體是由一個(gè)圓柱挖去一個(gè)圓錐構(gòu)成的，結(jié)合正視圖的寬及俯視圖的直徑可知側(cè)視圖應(yīng)為A。故選A。答案A由幾何體的部分視圖畫出剩余的部分視圖。先依據(jù)已知的一部分三視圖，還原、推想直觀圖的可能形態(tài)，然后再找其剩下部分三視圖的可能形態(tài)。當(dāng)然作為選擇題，也可將選項(xiàng)逐項(xiàng)代入，再看給出的部分三視圖是否符合。【題點(diǎn)對應(yīng)練】1．(方向1)正方體ABCD－A1B1C1D1中，E為棱BB1的中點(diǎn)(如圖)，用過點(diǎn)A，E，C1的平面截去該正方體的上半部分，則剩余幾何體的側(cè)視圖為()ABCD解析過點(diǎn)A，E，C1的截面為AEC1F，如圖，則剩余幾何體的側(cè)視圖為選項(xiàng)C中的圖形。故選C。答案C2．(方向2)古人實(shí)行“用臼舂米”的方法脫去稻谷的外殼，獲得可供食用的大米，用于舂米的“臼”多用石頭或木頭制成。一個(gè)“臼”的三視圖如圖所示，則鑿去部分(看成一個(gè)簡潔的組合體)的體積為()A．63π B．72πC．79π D．99π解析由三視圖得鑿去部分是圓柱與半球的組合體，其中圓柱的高為5，底面圓的半徑為3，半球的半徑為3，所以組合體的體積為32π×5＋eq\f(1,2)×eq\f(4,3)π×33＝63π。故選A。答案A3．(方向3)已知圓臺(tái)和正三棱錐的組合體的正視圖和俯視圖如圖所示，圖中小方格是單位正方形，那么組合體的側(cè)視圖的面積為()A．6＋eq\f(3\r(3),4) B．eq\f(15,2)C．6＋eq\r(3) D．8解析由題意可得側(cè)視圖如圖所示，上面是一個(gè)三角形，其底為1＋eq\f(1,2)＝eq\f(3,2)，高為2，三角形的面積S1＝eq\f(1,2)×eq\f(3,2)×2＝eq\f(3,2)；下面是一個(gè)梯形，上底為2，下底為4，高為2，梯形的面積S2＝eq\f(1,2)×(2＋4)×2＝6，所以組合體的側(cè)視圖的面積S＝S1＋S2＝eq\f(3,2)＋6＝eq\f(15,2)。故選B。答案B考點(diǎn)三空間幾何體的直觀圖【例5】已知正三角形ABC的邊長為a，那么△ABC的平面直觀圖△A′B′C′的面積為()A．eq\f(\r(3),4)a2 B．eq\f(\r(3),8)a2C．eq\f(\r(6),8)a2 D．eq\f(\r(6),16)a2解析如圖①②所示的實(shí)際圖形和直觀圖。由斜二測畫法可知，A′B′＝AB＝a，O′C′＝eq\f(1,2)OC＝eq\f(\r(3),4)a，在圖②中作C′D′⊥A′B′于D′，則C′D′＝eq\f(\r(2),2)O′C′＝eq\f(\r(6),8)a。所以S△A′B′C′＝eq\f(1,2)A′B′·C′D′＝eq\f(1,2)×a×eq\f(\r(6),8)a＝eq\f(\r(6),16)a2。故選D。答案D平面圖形與其直觀圖的面積關(guān)系干脆依據(jù)水平放置的平面圖形的直觀圖的斜二測畫法規(guī)則即可得到平面圖形的面積是其直觀圖面積的2eq\r(2)倍，這是一個(gè)較常用的重要結(jié)論。【變式訓(xùn)練】某幾何體的正視圖和側(cè)視圖如圖①所示，它的俯視圖的直觀圖是矩形O1A1B1C1，如圖②，其中O1A1＝6，O1C1＝2，則該幾何體的側(cè)面積為()A．48 B．64C．96 D．128解析由已知中的三視圖可得該幾何體是一個(gè)四棱柱，因?yàn)樗母┮晥D的直觀圖是矩形O1A1B1C1，O1A1＝6，O1C1＝2，所以它的俯視圖的直觀圖面積為12，所以它的俯視圖的面積為24eq\r(2)，所以它的俯視圖是邊長為6的菱形，棱柱的高為4，故該幾何體的側(cè)面積為4×6×4＝96。答案Ceq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(老師備用題))1．(協(xié)作例2運(yùn)用)已知點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別是正方體ABCD－A1B1C1D1的棱AA1，CC1，DD1的中點(diǎn)，點(diǎn)M，N，Q，P分別在線段DF，AG，BE，C1B1上。以M，N，Q，P為頂點(diǎn)的三棱錐P－MNQ的俯視圖不行能是()ABCD解析當(dāng)M與F重合、N與G重合、Q與E重合、P與B1重合時(shí)，三棱錐P－MNQ的俯視圖為A；當(dāng)M，N，Q，P是所在線段的中點(diǎn)時(shí)，三棱錐P－MNQ的俯視圖為B；當(dāng)M，N，Q，P位于所在線段的非端點(diǎn)位置時(shí)，存在三棱錐P－MNQ，使其俯視圖為D。故選C。答案C2．(協(xié)作例3運(yùn)用)一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，在該幾何體的各個(gè)面中，面積最小的面的面積為()A．8 B．4C．4eq\r(3) D．4eq\r(2)解析由三視圖可知該幾何體的直觀圖如圖所示，由三視圖特征可知，PA⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，AB⊥AC，PA＝AB＝AC＝4，DB＝2，則易得S△PAC＝S△ABC＝8，S△CPD＝12，S梯形ABDP＝12，S△BCD＝eq\f(1,2)×4eq\r(2)×2＝4eq\r(2)。故選D。答案D3．(協(xié)作例4運(yùn)用)一個(gè)錐體的正視圖和側(cè)視圖如圖所示，下列選項(xiàng)中，不行能是該錐體的俯視圖的是()ABCD解析A，B，D選項(xiàng)滿意三視圖作法規(guī)則，C不滿意三視圖作法規(guī)則中的“寬相等”，故C不行能是該錐體的俯視圖。答案C4．(協(xié)作例5運(yùn)用)如圖所示，正方形O′A′B′C′的邊長為1cm，它是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖，則原圖形的周長是______cm。解析把直觀圖還原，得原來的平面圖形為四邊形OABC，如圖所示。由直觀圖是邊長為1cm的正方形可知，對角線O′B′的長為eq\r(2)cm，則原圖形是底邊長為1cm，高為2eq\r(2)cm的平行四邊形，即在原圖形中，OA＝BC＝1cm，OB＝2eq\r(2)cm，則AB＝OC＝eq\r(2\r(2)2＋12)＝3(cm)，故原圖形的周長是2×(1＋3)＝8(cm)。答案8構(gòu)造法解三視圖問題的三個(gè)步驟三視圖問題(包括求解幾何體的表面積、體積等)是培育和考查空間想象實(shí)力的好題目，是高考的熱點(diǎn)。由三視圖還原幾何體是解決這類問題的關(guān)鍵，但是不少學(xué)生感到難度頗大。筆者探討發(fā)覺，由三視圖還原幾何體只要依據(jù)以下三步驟去做，基本都能精確還原出來。這三個(gè)步驟是：第一步，先畫長(正)方體，在長(正)方體中畫出俯視圖；其次步，在三個(gè)視圖中找直角；第三步，推斷直角位置，并向上(或向下)作垂線，找到頂點(diǎn)，連線即可。【典例1】如圖是一個(gè)四面體的三視圖，三個(gè)三角形均是腰長為2的等腰直角三角形，還原其直觀圖。【解】第一步，依據(jù)題意，畫正方體，在正方體內(nèi)畫出俯視圖，如圖①。其次步，找直角，在俯視圖、正視圖和側(cè)